人教版高一数学(人教A版)必修2课件：第三章 直线与方程
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人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程课件(2)
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2.直线方程的五种形式
名称 点斜式
方程 y y1 k(x x1)
适用范围 不含垂直于x轴的直线
斜截式
y kx b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
不含直线x=x1 （x1≠x2） 和直线y=y1 （y1≠y2）
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截距式
x y 1 ab
第九编 解析几何
§9.1 直线的方程
基础知识 自主学习
要点梳理 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基
准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角 叫
做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 0°.
②倾斜角的范围为 0°≤ ＜180°.
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(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角 的 正切值 叫做这条
直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= tan ，
倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线
y2 y1 . 的斜率公式为k= x2 x1
又直线经过点A（-1，-3），
因此所求直线方程为y+3=- 3 (x+1), 4
即3x+4y+15=0.
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探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直 线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题 时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距 是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况.
2.直线方程的五种形式
名称 点斜式
方程 y y1 k(x x1)
适用范围 不含垂直于x轴的直线
斜截式
y kx b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
不含直线x=x1 （x1≠x2） 和直线y=y1 （y1≠y2）
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x y 1 ab
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§9.1 直线的方程
基础知识 自主学习
要点梳理 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基
准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角 叫
做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 0°.
②倾斜角的范围为 0°≤ ＜180°.
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(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角 的 正切值 叫做这条
直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= tan ，
倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线
y2 y1 . 的斜率公式为k= x2 x1
又直线经过点A（-1，-3），
因此所求直线方程为y+3=- 3 (x+1), 4
即3x+4y+15=0.
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探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直 线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题 时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距 是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况.
高一数学人教A版必修2课件：第三章 直线与方程
核心归纳
高考体验
一般式直线方程平行、垂直的条件
已知两条直线的方程为 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 ∥l2 的条件是 A1B2-A2B1=0,且 B1C2-C1B2≠0 或 条件是 A1A2+B1B2=0.
������1 ������2
=
������1 ������2
本章整合
明目标、知重点
-1-
知识网络
核心归纳
高考体验
倾斜角:直线向上方向与������轴的正向所成 的角 几何要素 概念: 斜率 ① ②
斜率公式:
定点:常取与坐标轴的交点 相交—特例:垂直—斜率都存在时, 位置关系 平行:斜率都存在时, 重合:斜率都存在时, 点斜式: 斜截式: 方程 两点式: 截距式:
明目标、知重点 一般式:
③
④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
知识网络
核心归纳
高考体验
两条直线的交点坐标:解方程组 两点间的距离: 计算 点到直线的距离: ⑪ ⑫ ⑬
两条平行线间的距离: 的量 坐标法——步骤
第一步:建立坐标系,用坐标表示有关 第二步:进行有关代数运算 第三步:把代数运算结果“翻译”成几 何关系
知识网络
专题一 专题二 专题三
核心归纳
高考体验
例2已知点A(1,2)和直线l:2x-3y+5=0,求经过点A且平行于直线l的 直线方程. 思路分析:利用平行直线系设出方程,代入点A的坐标即可. 解:设所求直线方程为2x-3y+m=0, ∵直线过点A(1,2),故2×1-3×2+m=0, ∴m=4. ∴所求直线方、知重点
知识网络
高中数学第三章直线与方程3.3.3_3.3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离课件新人教A版必修2
1.(点到直线的距离)原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( D )
(A)1
(B) 3 (C)2
(D) 5
2.(两平行线间的距离)到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为( B ) (A)3x-4y-1=0 (B)3x-4y-1=0或3x-4y-21=0 (C)3x-4y+1=0 (D)3x-4y-21=0
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知识探究
1.点到直线的距离
| Ax0 By0 C |
(1)点到直线的距离公式:点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离为 d= A2 B2 (当
A=0 或 B=0 时,也成立).
(2)几种特殊情况下的点到直线距离:①点P0(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P0(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P0(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P0(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b(b≠0)的距离d=|x0-b|.
的最小值是( )
(A)2
(B)2 2 (C)4
(D)2 3
解 析 : 因 为 (m,n) 在 4x+3y-10=0 上 , 所 以 m2+n2 的 最 小 值 表 示 原 点 到 直 线 4x+3y-10=0 的距离的平方,即( 10 )2=4.故选 C.
42 32
【备用例3】 过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这 条直线的方程.
数m=
.
解析:(1)由题意,得 | 9 16 7 | = |18 4m 7 | ,
5
5
高一数学人教A版必修二 课件 第三章 直线与方程 3.3.2
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
教案·课堂探究
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
教案·课堂探究
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两条直线的交点问题 自主练透型 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0； (2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝13x＋12； (3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝13x＋12.
又直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， 所以－λλ＋ －23＝－3 且λ＋3 2≠2－λ－13，解得 λ＝121. 将 λ＝121代入①，整理，得 15x＋5y＋16＝0，即为所求.
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
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直线恒过定点问题 多维探究型
求证：不论 m 为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都过某一 定点．
证明： 法一：取 m＝1 时，直线方程为 y＝－4.取 m＝12时，直线方程为 x＝9.
两直线的交点为 P(9，－4)，将点 P 的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋ (2m－1)×(－4)＝m－5.
学案·新知自解
方程组的解的组数与两条直线的位置关系
教案·课堂探究
练案·学业达标
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
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[化解疑难] 对两点间距离公式的理解 (1) 公 式 与 两 点 的 先 后 顺 序 无 关 ， 也 就 是 说 公 式 也 可 以 写 成 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将几何问题代数化． (2)当直线 P1P2 平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下 列方法：①直线 P1P2 平行于 x 轴时|P1P2|＝|x2－x1|；②直线 P1P2 平行于 y 轴时 |P1P2|＝|y2－y1|.
人教A版高中数学必修二课件必修二新课标人教A版数学上：第三章直线的方程课件(12张ppt)
直线的斜率为：即
图形如下：
Y5
-5 o X
例题讲练： 例2已知直线的斜率为k，与y轴的交点是P（0， b），求直线L的方程。
解：因为直线经过点，且斜率是： 代入点斜式方程，得：
即
注意：⑴上述方程是由直线的斜 小心率：当和这它个在点y轴为直上线的在截Y距轴上确的定交的点；
（0，b）时，代入上式得：
高中数学课件
灿若寒星整理制作
Y
O
X
秘籍
知识回顾 ：
.Y p
K>0
O
X
（1）
.Y p
K不存在
o
O
X
（3）
.Y p
K<0
O
X
（2）
.Y p
K=0
o
O
X
（4）
一、复习与引入
是不是所有直线都有斜率？怎样求解直线的斜率？
1:不是所有直线都有斜率，倾斜角为900的直线 没有斜率
2：直线的斜率有两种求解方法： Ⅰ: 根据倾斜角来求
示，这时直线方程为：
解：设点Q(x,y)是直线上不同于点的任意一点，
根据经过两点的直线的斜率公式，可得：
可化为：
例题讲练： 例1：一条直线经过点，倾斜角，
求这条直线方程，并画出其图象。
解：因为直线经过点，且斜率是： ，代入点分倾斜析斜：角式因的方为正程直 切，线 值得的 ，斜 所：率 以等 所于 求
化简得⑵：称b为直线在y轴上的截距； 我述 们方⑶称程截：称距b为为直b直可线线以方在大程Y于的轴斜上0，截的也式截可。距以；上小于
+b1;L2：y=k2x+b2; ①两条直线平行的条件是什么？
②垂直的条件是什么？
图形如下：
Y5
-5 o X
例题讲练： 例2已知直线的斜率为k，与y轴的交点是P（0， b），求直线L的方程。
解：因为直线经过点，且斜率是： 代入点斜式方程，得：
即
注意：⑴上述方程是由直线的斜 小心率：当和这它个在点y轴为直上线的在截Y距轴上确的定交的点；
（0，b）时，代入上式得：
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Y
O
X
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.Y p
K>0
O
X
（1）
.Y p
K不存在
o
O
X
（3）
.Y p
K<0
O
X
（2）
.Y p
K=0
o
O
X
（4）
一、复习与引入
是不是所有直线都有斜率？怎样求解直线的斜率？
1:不是所有直线都有斜率，倾斜角为900的直线 没有斜率
2：直线的斜率有两种求解方法： Ⅰ: 根据倾斜角来求
示，这时直线方程为：
解：设点Q(x,y)是直线上不同于点的任意一点，
根据经过两点的直线的斜率公式，可得：
可化为：
例题讲练： 例1：一条直线经过点，倾斜角，
求这条直线方程，并画出其图象。
解：因为直线经过点，且斜率是： ，代入点分倾斜析斜：角式因的方为正程直 切，线 值得的 ，斜 所：率 以等 所于 求
化简得⑵：称b为直线在y轴上的截距； 我述 们方⑶称程截：称距b为为直b直可线线以方在大程Y于的轴斜上0，截的也式截可。距以；上小于
+b1;L2：y=k2x+b2; ①两条直线平行的条件是什么？
②垂直的条件是什么？
高考数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课件新人教A版必修2
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( B ) A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0 C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0 解析 将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C 两项. 又 y＝－43x＋14 过点(0，14)即直线过第一象限， 所以只有B项正确.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
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35
谢谢欣赏！
2019/7/12
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36
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 解析 由 ax＋by＝c，得 y＝－abx＋bc， ∵ab<0，∴直线的斜率 k＝－ab>0， 直线在 y 轴上的截距cb<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限.
12345
解析答案
12345
3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A ) A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0). 故所求直线方程为 y＝12(x－1)，即 x－2y－1＝0.
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
答案
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题型探究
重点突破
题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( B ) A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0 C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0 解析 将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C 两项. 又 y＝－43x＋14 过点(0，14)即直线过第一象限， 所以只有B项正确.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 解析 由 ax＋by＝c，得 y＝－abx＋bc， ∵ab<0，∴直线的斜率 k＝－ab>0， 直线在 y 轴上的截距cb<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限.
12345
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12345
3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A ) A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0). 故所求直线方程为 y＝12(x－1)，即 x－2y－1＝0.
高一数学(人教A版)必修2课件：第三章直线与方程
当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它 的斜率变化范围是[5，＋∞)， 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变 1 化范围是(－∞，－2]． 1 ∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
规律总结：借助数形结合思想既可以定性地分析倾斜 角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范 围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法．
成才之路· 数学
人教A版· 必修2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
•
第三章
直线与方程
第三章
章末归纳总结
知识结构
直线与方程 定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角 倾斜角 范围：[0°，180° 定义：倾斜角αα≠90°的正切值叫做这条直线的斜率，即k＝tanα y －y 斜率 斜率公式：过两点P x ，y ，P x ，y x ≠x 的直线的斜率公式：k＝ x －x k ＝k 两条直线平行的判定：l ∥l ⇔ 或l ，l 的斜率均不存在 k k ＝－1 两条直线垂直的判定：l ⊥l ⇔ 或l 斜率不存在，l 的斜率为0
专题三
两条直线的位置关系
(1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥l2⇔k1k2＝－1； l1与l2相交⇔k1≠k2.
(2)已知直线的一般式方程： l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则：l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0； l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1.
[例1]
已知直线l过点P(－1,2)且与以A(－2，－3)、B(3,0)
高一数学人教A版必修二 课件 第三章 直线与方程 3.1.1
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斜率 __0_
k＞0 _不__存__在__
k＜0
y2－y1
4.公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 k＝_x_2_－__x_1.
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
[化解疑难] 1．直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是 90°时， 直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时，直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)． 2．当 0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90°＜α＜180° 时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大.
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
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第三章 直线与方程
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直线 PB 的斜率 kPB＝43. 结合图形可知当直线 l 由 PB 变化到与 y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐 渐增大到 90°，
故斜率的取值范围为43，＋∞
.
数学 必修2
第三章 直线与方程
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当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角由 90°增大到 PA 的倾斜角，
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3．已知点 M(5,3)和点 N(－3,2)，若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和－74，
高一数学人教A版必修2：3-2-1 直线的点斜式方程课件
第八页，编辑于星期日：二十二点 三分。
新课引入
第三章 3 .2 3．2.1
第九页，编辑于星期日：二十二点 三分。
生活中会遇到这个场景，起重机在起吊重物时，首先将 起重臂扬起某一角度，然后将起重臂伸长，最后将吊钩放 下，将重物吊起．起重臂是绕着轴旋转的，旋转到某一角度 可以停下．在平面中，如果将起重臂看成直线，轴看成点， 那么是否可以认为，直线上一定点和直线的倾斜角可以确定 这条直线？答案是肯定的，本节我们就来学习直线的点斜式 方程．
②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线， 这条直线上任意一点的横坐标都是1.
第三章 3 .2 3．2.1
第二十五页，编辑于星期日：二十二点 三分。
写出满足下列条件的直线方程填空． (1)过点(－1,2)，斜率为 3，________； (2)过点(－3,1)，平行于x轴，________； (3)过点(－3,1)，(1,4)，________； (4)过点(－1，－3)，倾斜角为135°，________.
第三章 3 .2 3．2.1
第三章 3 .2 3．2.1
第六页，编辑于星期日：二十二点 三分。
(2)斜率公式：①k＝ tanα (α≠90°)； ②k＝yx22－－yx11(x1≠x2) ，其中P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上 的两点． (3)斜率与倾斜角的关系：一条直线必有唯一的倾斜角， 但不一定有斜率 (倾斜角为90°时无斜率)． (4)斜率的意义：斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程 度．
第三章 3 .2 3．2.1
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 三分。
[答案] (1) 3x－y＋2＋ 3＝0. (2)y＝1. (3)3x－4y＋13＝0. (4)x＋y＋4＝0.
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第三章 3 .2 3．2.1
第九页，编辑于星期日：二十二点 三分。
生活中会遇到这个场景，起重机在起吊重物时，首先将 起重臂扬起某一角度，然后将起重臂伸长，最后将吊钩放 下，将重物吊起．起重臂是绕着轴旋转的，旋转到某一角度 可以停下．在平面中，如果将起重臂看成直线，轴看成点， 那么是否可以认为，直线上一定点和直线的倾斜角可以确定 这条直线？答案是肯定的，本节我们就来学习直线的点斜式 方程．
②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线， 这条直线上任意一点的横坐标都是1.
第三章 3 .2 3．2.1
第二十五页，编辑于星期日：二十二点 三分。
写出满足下列条件的直线方程填空． (1)过点(－1,2)，斜率为 3，________； (2)过点(－3,1)，平行于x轴，________； (3)过点(－3,1)，(1,4)，________； (4)过点(－1，－3)，倾斜角为135°，________.
第三章 3 .2 3．2.1
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(2)斜率公式：①k＝ tanα (α≠90°)； ②k＝yx22－－yx11(x1≠x2) ，其中P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上 的两点． (3)斜率与倾斜角的关系：一条直线必有唯一的倾斜角， 但不一定有斜率 (倾斜角为90°时无斜率)． (4)斜率的意义：斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程 度．
第三章 3 .2 3．2.1
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 三分。
[答案] (1) 3x－y＋2＋ 3＝0. (2)y＝1. (3)3x－4y＋13＝0. (4)x＋y＋4＝0.
高一数学人教A版必修二 课件 第三章 直线与方程 3.1.2
总之，l1 与 l2 一个斜率为 0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1 与 l2 斜率都 存在时，满足 k1·k2＝－1.
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第三章 直线与方程
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2．已知点 P(－1,1)与点 Q(3,5)，下列直线与直线 PQ 垂直的直线 l 为( )
A．y＝x＋1
所以 l1∥l2.
(4)l1⊥x 轴，l2⊥x 轴，且 l1 与 l2 不重合，所以 l1∥l2.
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第三章 直线与方程
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两条直线的垂直关系 自主练透型 已知△ABC 三个顶点坐标分别为 A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求 此三角形三边的高所在直线的斜率．
解析： 因为 l1⊥l2，所以 k1·k2＝－1， 即34×a2＋01－－3a－2＝－1， 解得 a＝1 或 a＝3， 所以当 a＝1 或 a＝3 时，l1⊥l2. 答案： 1或3
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第三章 直线与方程
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[归纳升华] 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤
1．首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在， 若不相等，则将点的坐标代入斜率公式．
2．求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应 用斜率公式要对参数进行讨论．
则顶点 D 的坐标为________．
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2．已知点 P(－1,1)与点 Q(3,5)，下列直线与直线 PQ 垂直的直线 l 为( )
A．y＝x＋1
所以 l1∥l2.
(4)l1⊥x 轴，l2⊥x 轴，且 l1 与 l2 不重合，所以 l1∥l2.
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两条直线的垂直关系 自主练透型 已知△ABC 三个顶点坐标分别为 A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求 此三角形三边的高所在直线的斜率．
解析： 因为 l1⊥l2，所以 k1·k2＝－1， 即34×a2＋01－－3a－2＝－1， 解得 a＝1 或 a＝3， 所以当 a＝1 或 a＝3 时，l1⊥l2. 答案： 1或3
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[归纳升华] 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤
1．首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在， 若不相等，则将点的坐标代入斜率公式．
2．求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应 用斜率公式要对参数进行讨论．
则顶点 D 的坐标为________．
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第三章 章末归纳总结
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(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②， 则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上， 且|C－53|＝12·|C＋512|，即C＝123或C＝161， ∴2x0－y0＋123＝0，或2x0－y0＋161＝0； 若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
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[解析] 设AB、AC边的中线分别为CD、BE，其中D、E 为中点，
∵点B在中线y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(xB,1)． ∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)， ∴点D的坐标为(xB＋2 1，2)． ∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴xB＋2 1－2×2＋1＝0，∴xB＝5.
x0＝－3
解得y0＝12
，应舍去．
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由2x0－y0＋161＝0 x0－2y0＋4＝0
，解得x0＝19 y0＝3178
.
∴P(19，3178)即为同时满足三个条件的点．
第三章 章末归纳总结
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[例4] 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－
4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是170 5.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
专题四 点、直线间的距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22. (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|. (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)之间的距离为d＝ |CA1－2＋CB2|2.
得xy＝＝－3kk＋－4kk1＋2－，11.
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∴直线l与l1交于A(3kk＋－12，－4kk＋－11)． 解方程组yx＝＋ky＋x－6＝30＋1， 得xy＝＝3－kk＋－9kk1＋7－，11. ∴直线l与l2交于B(3kk＋－17，－9kk＋－11)．
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当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它 的斜率变化范围是[5，＋∞)，
当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变 化范围是(－∞，－12]．
∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－12]∪[5，＋∞)．
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 2 求出P点坐标；若不能，说明理由．
5 .若能，
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[解析] (1)l2即2x－y－12＝0， ∴l1与l2的距离d＝ |a2－2＋－－121|2＝7105， ∴|a＋512|＝7105，∴|a＋12|＝72， ∵a>0，∴a＝3.
专题二 直线方程的五种形式的应用问题 [例2] 已知△ABC中，A(1,3)，AB、AC边上中线方程为x －2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程． [分析] 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中 线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方 程．
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有|2x0－y0＋3|＝ 5
52·|x0＋y20－1|，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋123＝0和x0－2y0＋4＝0，
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(2)已知直线的一般式方程： l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则：l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0； l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1.
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(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式． 求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的 形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中x，y的 对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可 转化成点到直线的距离求解．
线的斜率公式k＝
y2－y1 x2－x1
(x1≠x2)，应用时注意其适用的条件
x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．
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[例1] 已知直线l过点P(－1,2)且与以A(－2，－3)、B(3,0) 为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
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∵坐标原点到l1，l2的距离相等， ∴4|a－a 1|＝|1－a a|，a＝2或a＝23.
因此ab＝＝－2，2，
或a＝23， b＝2.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
直线与方程
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知识结构
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直线与方程
倾斜角定范义围：：当[0°直，线18l0与°x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角 定义：倾斜角αα≠90°的正切值叫做这条直线的斜率，即k＝tanα 斜率 斜率公式：过两点P1x1，y1，P2x2，y2x1≠x2的直线的斜率公式：k＝yx22－－yx11 两条直线平行的判定：l1∥l2⇔k或1＝l1，k2 l2的斜率均不存在 两条直线垂直的判定：l1⊥l2⇔k或1kl21＝斜－率1不存在，l2的斜率为0
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规律总结：借助数形结合思想既可以定性地分析倾斜 角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范 围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法．
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∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0；
BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
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专题三 两条直线的位置关系 (1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥l2⇔k1k2＝－1； l1与l2相交⇔k1≠k2.
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∴点B的坐标为(5,1)．
∵点C在直线x－2y＋1＝0上，
∴设点C的坐标为(2t－1，t)．
∴AC的中点E的坐标为(t，t＋2 3)．
∵点E在中线BE：y＝1上，
∴t＋2 3＝1，∴t＝－1.
∴点C的坐标为(－3，－1)，
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(3)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程可设为Ax ＋By＋C1＝0；与其垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
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[例3] 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y ＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．
[解析] (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即a2－a－b ＝0. ①
又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0. ② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，ab＝1－a，b＝1－a a， 故l1与l2的方程分别为 l1：(a－1)x＋y＋4a－ a 1＝0，l2：(a－1)x＋y＋1－a a＝0.
[分析] 利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根 据斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情 形．
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[解析] 如图所示，直线PA的斜率
kPA＝－2－ 1－－－32＝5， 直线PB的斜率kPB＝3－0－－21＝－12.
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由题意，得|AB|＝5，
∴(
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(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②， 则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上， 且|C－53|＝12·|C＋512|，即C＝123或C＝161， ∴2x0－y0＋123＝0，或2x0－y0＋161＝0； 若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
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[解析] 设AB、AC边的中线分别为CD、BE，其中D、E 为中点，
∵点B在中线y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(xB,1)． ∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)， ∴点D的坐标为(xB＋2 1，2)． ∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴xB＋2 1－2×2＋1＝0，∴xB＝5.
x0＝－3
解得y0＝12
，应舍去．
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由2x0－y0＋161＝0 x0－2y0＋4＝0
，解得x0＝19 y0＝3178
.
∴P(19，3178)即为同时满足三个条件的点．
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[例4] 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－
4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是170 5.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
专题四 点、直线间的距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22. (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|. (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)之间的距离为d＝ |CA1－2＋CB2|2.
得xy＝＝－3kk＋－4kk1＋2－，11.
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∴直线l与l1交于A(3kk＋－12，－4kk＋－11)． 解方程组yx＝＋ky＋x－6＝30＋1， 得xy＝＝3－kk＋－9kk1＋7－，11. ∴直线l与l2交于B(3kk＋－17，－9kk＋－11)．
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当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它 的斜率变化范围是[5，＋∞)，
当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变 化范围是(－∞，－12]．
∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－12]∪[5，＋∞)．
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 2 求出P点坐标；若不能，说明理由．
5 .若能，
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[解析] (1)l2即2x－y－12＝0， ∴l1与l2的距离d＝ |a2－2＋－－121|2＝7105， ∴|a＋512|＝7105，∴|a＋12|＝72， ∵a>0，∴a＝3.
专题二 直线方程的五种形式的应用问题 [例2] 已知△ABC中，A(1,3)，AB、AC边上中线方程为x －2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程． [分析] 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中 线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方 程．
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有|2x0－y0＋3|＝ 5
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即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋123＝0和x0－2y0＋4＝0，
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(2)已知直线的一般式方程： l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则：l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0； l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1.
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(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式． 求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的 形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中x，y的 对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可 转化成点到直线的距离求解．
线的斜率公式k＝
y2－y1 x2－x1
(x1≠x2)，应用时注意其适用的条件
x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．
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[例1] 已知直线l过点P(－1,2)且与以A(－2，－3)、B(3,0) 为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
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∵坐标原点到l1，l2的距离相等， ∴4|a－a 1|＝|1－a a|，a＝2或a＝23.
因此ab＝＝－2，2，
或a＝23， b＝2.
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倾斜角定范义围：：当[0°直，线18l0与°x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角 定义：倾斜角αα≠90°的正切值叫做这条直线的斜率，即k＝tanα 斜率 斜率公式：过两点P1x1，y1，P2x2，y2x1≠x2的直线的斜率公式：k＝yx22－－yx11 两条直线平行的判定：l1∥l2⇔k或1＝l1，k2 l2的斜率均不存在 两条直线垂直的判定：l1⊥l2⇔k或1kl21＝斜－率1不存在，l2的斜率为0
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∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0；
BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
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专题三 两条直线的位置关系 (1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥l2⇔k1k2＝－1； l1与l2相交⇔k1≠k2.
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∴点B的坐标为(5,1)．
∵点C在直线x－2y＋1＝0上，
∴设点C的坐标为(2t－1，t)．
∴AC的中点E的坐标为(t，t＋2 3)．
∵点E在中线BE：y＝1上，
∴t＋2 3＝1，∴t＝－1.
∴点C的坐标为(－3，－1)，
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(3)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程可设为Ax ＋By＋C1＝0；与其垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
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[例3] 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y ＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．
[解析] (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即a2－a－b ＝0. ①
又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0. ② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，ab＝1－a，b＝1－a a， 故l1与l2的方程分别为 l1：(a－1)x＋y＋4a－ a 1＝0，l2：(a－1)x＋y＋1－a a＝0.
[分析] 利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根 据斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情 形．
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[解析] 如图所示，直线PA的斜率
kPA＝－2－ 1－－－32＝5， 直线PB的斜率kPB＝3－0－－21＝－12.
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由题意，得|AB|＝5，
∴(
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