广西桂林、崇左、防城港市2020届高三数学联合模拟考试试题理

广西桂林、崇左、防城港市2020届高三数学联合模拟考试试题 理注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则M N⋃=A. {}|43x x -<<B. {}|42x x -<<-C. {}|22x x -<<D. {}|23x x << 2.已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 A. iB. 1C. 2D. 43.已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<4.若x,y 满足约束条件0,+-30z 2-20,x x y x y x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的最小值是A. 0B. 3C. 4D. 65.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为A. 9B. 7C. 8D. 66. 函数)(22R ∈-=x x y x 的图象大致为7.已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，那么函数()y f x =的图象 A. 关于点(,0)16π-对称 B. 关于点(,0)16π对称C. 关于直线16x π=对称D. 关于直线4πx =-对称 8.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A.215π B.320π C. 2115π-D. 3120π-9.已知抛物线22y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 10. 在ABC ∆中，若cos 1cos 2cos 1cos 2b C Cc B B+=+，则ABC ∆的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形11.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为 A. 2B.435 312.若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为 A. 2eB. eC.12D. 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题－第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题－第（23）题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.62x x ⎛⎪⎝⎭-的展开式中常数项是 .14. 已知tan α，tan β分别是26510x x -+=的两个实数根，则tan()αβ+= . 15. 已知向量(2,1)=a ,(1,3)=-b ,若存在向量c ,使得6⋅=a c ，4⋅=b c ,则c =_______． 16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，23AB =，Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_______．三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望. 18.(本小题满分12分) 已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足215327a a a +=，763S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b a =，11n n n b b a ++-=，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 19.(本小题满分12分) 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥底面ABCD ，过AB 的平面与侧面PCD 的交线为EF ，且满足:13PEF CDEF S S ∆=四边形：. （1）证明：//PB 平面ACE ；（2）若二面角C AF D --的余弦值为5，求PA AB 的值.20.(本小题满分12分) 已知椭圆的焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且3PQ =. (1)求椭圆的方程；(2)过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN ∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.21 .(本小题满分12分) 已知22()2ln af x x ax x=-+. （1）当01a <<时，求证：02a f ⎛⎫>⎪⎝⎭； （2）当()f x 有三个零点时，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为1x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），现以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设,P Q 是圆C 上的两个动点，且3POQ π∠=，求OP OQ +的最大值23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈. （1）若2a =-，解不等式()5f x ≤；（2）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.2020年高考桂林市第二次模拟考试 理科数学参考答案及评分标准一．选择题（每题5分，共60分）二．填空题（每题5分，共20分） 13. 6014. 115. （2,2） 16. 57π．三. 解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤.17.（本小题满分12分）解：（1）记事件A i 第i 天到达(i=1,2,3，…,13),设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A 5∪A 8， ……………………2分 所以()()()()5858213P B P A A P A P A =⋃=+=.……………………3分 （2）由题意知，X 的所有可能取的值为0,1,2，且()()367111P X P A A A A ==⋃⋃⋃()()()()36711413P A P A P A P A =+++=;……………………5分 ()()()()()()1212131212134213P X P A A A A P A P A P A P A ==⋃⋃⋃=+++=;…………7分()()()5011213P XP X P X ==-=-==,…………9分 所以X 的分布列为…………10分X 的期望为5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=.…………12分 18. （本小题满分12分）解：（1）设正项等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，n 0a >，则()21111242772163a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨⎪+=⎩， ……………………2分得1=32a d ⎧⎨=⎩……………………4分 ()31221n a n n ∴=+-⨯=+……………………5分（2）11n n n b b a ++-=Q ，且21n a n =+，123n n b b n +∴-=+. ……………………6分 当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L(21)(21)53(2)n n n n =++-+++=+L ，……………………8分 当1n =时，13b =满足上式，(2)n b n n =+.……………………9分11111()(2)22n b n n n n ∴==-++. ……………………10分1211111n n nT b b b b -∴=++++L 1111111111[(1)()()()()]232435112n n n n =-+-+-+-+--++L 11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++………………………………12分 19.（本小题满分12分）(1)解：由题知四边形ABCD 为正方形∴AB//CD，又CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ∴AB//平面PCD…………1分 又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE∩平面PCD=EF∴EF // AB，又AB//CD∴EF //CD，…………3分由S △PEF ：S 四边形CDEF =1:3知E 、F 分别为PC 、PD 的中点连接BD 交AC 与G ，则G 为BD 中点，在△PBD 中EG 为中位线，∴ EG//PB ∵ EG//PB，EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴PB//平面ACE.…………6分（2）∵底面ABCD 为正方形，且PA⊥底面ABCD ，∴PA、AB 、AD 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz ，…………7分设AB=AD=2a ，AP=2b ，则A （0，0，0），D （0，2a ，0），C （2a ，2a ，0） G （a ，a ，0），P （0，0，2b ），F （a ，a ，b ）， ∵PA⊥底面ABCD ，DG ⊂底面ABCD ，∴DG⊥PA， ∵四边形ABCD 为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A ∴DG⊥平面CAF ，∴平面CAF 的一个法向量为(),,0DG a a =-u u u v…………9分设平面AFD 的一个法向量为(),,m x y z =v而()()0,2,0,,,AD a AF a a b ==u u u v u u u v由00m AD m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得02000x a y z ax ay bz ⋅+⋅+⋅=⎧⎨++=⎩ 取z a =-可得(),0,m b a v=-为平面AED 的一个法向量，设二面角C —AF —D 的大小为θ则22225cos 5DG m DG m a a a bθ⋅===⋅+⋅+u u u v v u u u v v 得63b a =又2,2,PA b AB a == ∴6PA AB=∴当二面角C —AF —D 的余弦值为5时，6PA AB =. ………………………………12分 20（本小题满分12分）(1)解：设椭圆方程为2222x y a b +＝1(a >b >0)，由焦点坐标可得c ＝1.由|PQ |＝3，可得22b a ＝3.又a 2－b 2＝1，得a ＝2，b ＝3.故椭圆方程为2243x y +＝1. …………4分(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，不妨令y 1>0，y 2<0， 设△F 1MN 内切圆的半径为R ， 则△F 1MN 的周长为4a ＝8，S △F 1MN ＝12(|MN |＋|F 1M |＋|F 1N |)R ＝4R ， 因此要使△F 1MN 内切圆的面积最大，则R 最大，此时S △F 1MN 也最大．S △F 1MN ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝y 1－y 2，…………6分 由题知，直线l 斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 得y 1＝2334m m －＋＋，y 2＝2334m m -－＋8分则S △F 1MN ＝y 1－y 2，令tt ≥1， 则S △F 1MN＝21231t t ＋＝1213t t＋.…………10分 令f (t )＝3t ＋1t ，则f ′(t )＝3－21t ， 当t ≥1时，f ′(t )>0，所以f (t )在[1，＋∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3， 当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ＝3，又S △F 1MN ＝4R ，∴R max ＝34这时所求内切圆面积的最大值为916π，此时直线的方程为x =1。