第四章 角动量守恒定律
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4-3 角动量 角动量守恒定律
vM = (2 gh)
第四章 刚体转动
12
碰撞后的瞬间, 碰撞后的瞬间 M, B , N具有相同的线速度 具有相同的线速度
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 第二版) (第二版)
vM = (2gh)
12
M,N和跷板系统 , 和跷板系统 角动量守恒
l u N = uM = u = ω 2
B
2
刚体定轴转动运动状态的描述 L = Jω Ek = Jω 2 2 刚体定轴转动运动状态的描述
ω = 0, p = 0
ω ≠ 0, p = 0
ω
pi
Hale Waihona Puke pj第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 一 质点的角动量和刚体的角动量 1 质点角动量 质点在垂直于 z 轴平面 上以角速度 ω 作半径为 r 的圆运动. 的圆运动 质点角动量(相对圆心) 质点角动量(相对圆心) θ = 90
考虑到
θ = ωt
7 lg dr 12 v 0 g = cos ω t = cos( t) dt 2ω 24 v 0 7l
第四章 刚体转动
�
l 1 l 2 2 mv0 = ml + m( ) ω 4 12 4
ω = 12 v 0 7l
第四章 刚体转动
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
物理学教程 第二版) (第二版)
12 v 0 ω= 7 l
角动量定理
dL d( Jω ) dJ M= = =ω dt dt dt
d 1 dr 2 2 mgr cosθ = ω ( ml + mr ) = 2mrω dt 12 dt
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
大学物理第4章-动量和角动量
与地面碰撞的时间为t
由动量定理得：
F
，重tt12心F下dt移了ps2
。
p1
ห้องสมุดไป่ตู้
F Mv0
t2 t1
t
t
设人落地后作匀减速运动到静止，则：
讨论
v v0 at ,v2 v02 2as
F Mv02 2s
v02 2gh
t 2s v0 h
F Mg s
设人从 2m 处跳下，重心下移 1cm，则：
称质心：质点系的质量中心)的概念。 N个质点组成的系统∶
• • •• • m1, m2 ,, mi ,, mN
y
m1 m2
• • •• 位矢分别为 • • • •• • •
•C
m3
mi
x
• • r1 , r2 ,..., ri ,..., rN
mN
• 质点系的动量为∶
p m1v1 m2v2 ... mN vN
F1
m1
: F1
f1
dp1 dt
f1 f2 0
f1
f2
F2
m1
m2
m2
: F2
f2
dp2 dt
F1
F2
d(
p1
dt
p2
)
n 个质点组成的质点系：
即：
F
外
dp dt
n
Fi
i 1
d dt
n i 1
pi
— 质点系的动力学方程
即∶质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。
说明
内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献。
四、质点系的动量定理： 1、微分形式： 由
F
4-5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
l 1 l 2 2 mv0 m l m( ) 4 12 4
12 v 0 7 l
第四章 刚体的转动
9
大学 物理学
4-5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
12 v 0 7 l
爬行过程： 系统的对转轴 的转动惯量：
1 2 2 J ml mr J J t 12
Z F Fi 0, M i 0 i i
(3)动量守恒，角动量守恒
第四章
F
F Z F Fi 0, M i 0 i i
14
刚体的转动
大学 物理学
4-5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 (4)理论上：
当F 外 0时， 当M 外 0时，
第四章 刚体的转动
25
大学 物理学
4-5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
系统对轴的动量矩守恒，即 1 2 vr 2 mr ( ) MR 0 r 2 mrvr const 1 2 mr MR2 2 设在时间 t 内，盘相对于地面转过的角 度为 ，则 m rvr t t 1 2 2 m r MR 2
第四章 刚体的转动
19
大学 物理学
4-5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
l 1 1 2 2 mvM ml ml 2 12 2 12 mvMl 2 6m(2 gh) 解得 2 2 ml 12 ml 2 (m 6m)l
演员N以u起跳，达到的高度：
u l 3m 2 h ( ) h 2g 8g m 6m
第四章 刚体的转动
27
2
v0 3m 3m M l
第四章_角动量守恒定律1
M = 0，角动量相对于
力心守恒 c)参考点必须是惯性系中的固定点 参考点必须是惯性系中的固定点
例： A
参考点： 参考点：
A点 点
O点 点
LA
θ
LO
l
rA × mg 重力矩： 重力矩：= lmg sin θτ ˆ = mgRτˆ
张力矩： 张力矩：
ro × mg = mgRτˆ
ro ×T mg π ˆ = sin( +θ )R(−τ ) cosθ 2 = −mgRˆ τ
dS 1 = r ×v = C dt 2
在这里我们可以直接引入 但是我们认为引入
r × v 为一个新的物理量 r × mv 为一个新的物理量将更合适
一、角动量
（动量矩）
对点的角动量： 对点的角动量： 1 定义： Lo = ro × mv 定义： 角动量是描述质点的运动方向 相对于参考点的变化或物体的 转动特征的物理量 2 各项意义： 各项意义：
O
Lo
mv
ro
ro
:位置矢量，由参考点指向质点，决定于参考 点 位置矢量，由参考点指向质点， 位置矢量 的选取，一般选取惯性系中的固定点为参考点。 的选取，一般选取惯性系中的固定点为参考点。
质点具有的动量与参考系的选取有关。 质点具有的动量与参考系的选取有关 m v :质点具有的动量与参考系的选取有关。 －－决定于参考点与参考系 决定于参考点与参考系。 Lo = ro × mv －－决定于参考点与参考系。对于不同参考 系中不同参考点的角动量是不同的， 系中不同参考点的角动量是不同的，所以一 般要指明某一角动量所对应的参考点， 般要指明某一角动量所对应的参考点，且角 动量要画在参考点上。 动量要画在参考点上。
一、角动量
角动量守恒定律
7ml2 答案： 48
小结和课后作业
质点的角动量定理及其守恒定律 刚体定轴转动的角动量定理 刚体定轴转动的角动量守恒定律 阅读教材相关内容 问题P142：6，7，10 习题P144：18，19，23，24 预习4-4，4-5
4-3-3 刚体定轴转动时的角动量
任意质点对转轴的角动量 Li = ∆mi ri2ω 刚体对固定转轴的角动量L
2 L = ∑Li = ∑∆mi ri ω = Jω i i
L = Jω
ห้องสมุดไป่ตู้
正负表方向
等于它对该轴的转动惯量 J 和角速度 ω 的乘积
4-3-4 刚体对定轴的角动量定理和守恒定律
例题：碰撞过程中的角动量守恒
解： （1）小虫与细杆完全非弹性碰撞，角动量守恒
m v0
A
l
l 1 2 l mv0 = ml + m v 4 12 4
2
ω
l /4
m
12 v0 ω= 7 l
例题：碰撞过程中的角动量守恒
解： （2）小虫在细杆上的爬行过程
12 v0 ω= 7 l
质点对参考点的角动量举例
• 质点作直线运动的角动量 L = dmv 匀速运动时角动量是常量 • 质点作圆周运动的角动量 L = r mv 匀速率运动时角动量是常量
4-3-2 质点的角动量定理和守恒定律
1、质点的角动量定理
d dr dp 考虑角动量的变化率 (r × p) = × p + r × dt dt dt d dr dp 由于 × p =v ×mv = 0 所以 (r × p) =r × =r × F dt dt dt
1、刚体定轴转动的角动量定理
dω d(Jω) d L M = Jα = J = = ， M dt = d L dt dt dt
大学物理力学：4 角动量、角动量定理和角动量守恒定律
L
mgR cos mR 2d LdL
由题设条件，t =0时，θ0 =0，L0=0.故上式的积分为
L
LdL
m2 gR3 cos d
0
0
L mR 3/ 2 (2g sin )1/ 2
L mR 2
( 2 g sin )1/ 2
R
由题B点，θ =900
( 2 g )1/ 2
R
11
6
例3.19“‘根据玻尔假设，氢原子内电子绕核运动的角 动量只可能是h/2的整数倍，其中h是普朗克常数， 大小为6.631034 kg•m2/s，已知电子圆形轨道的半 径为 r =0.52910-10m
求：在此轨道上运动电子的速率？
解：由于是最小半径，所以有
v h
2mr
L mrv h
2
2
6.63 1034 9.11031 0.5291010
4.1 质点的角动量和角动量定理
一 、质点的角动量
m
r
v
P
L
L r P r mv
L
o
r
m
Pθ
大小：L＝r m Vsin
方向：右手螺旋定则判定
单位：kgm2/s
量纲：ML2T-1
例如作圆周运动的质点的角
L
P
L
r
o
P
动量L＝mrV ，其方向垂
直于轨道平面。要标明对哪
or
点的动量矩。
解 小球受正压力和重力的作用。
其中正压力指向环心O，对于O的 力矩为零，故小球所受的力矩仅为
重力矩，其大小为 M mgR cos
角动量定理 mgR cos dt dL
R
O N B
mg
mgR cos mR 2d LdL
由题设条件，t =0时，θ0 =0，L0=0.故上式的积分为
L
LdL
m2 gR3 cos d
0
0
L mR 3/ 2 (2g sin )1/ 2
L mR 2
( 2 g sin )1/ 2
R
由题B点，θ =900
( 2 g )1/ 2
R
11
6
例3.19“‘根据玻尔假设，氢原子内电子绕核运动的角 动量只可能是h/2的整数倍，其中h是普朗克常数， 大小为6.631034 kg•m2/s，已知电子圆形轨道的半 径为 r =0.52910-10m
求：在此轨道上运动电子的速率？
解：由于是最小半径，所以有
v h
2mr
L mrv h
2
2
6.63 1034 9.11031 0.5291010
4.1 质点的角动量和角动量定理
一 、质点的角动量
m
r
v
P
L
L r P r mv
L
o
r
m
Pθ
大小：L＝r m Vsin
方向：右手螺旋定则判定
单位：kgm2/s
量纲：ML2T-1
例如作圆周运动的质点的角
L
P
L
r
o
P
动量L＝mrV ，其方向垂
直于轨道平面。要标明对哪
or
点的动量矩。
解 小球受正压力和重力的作用。
其中正压力指向环心O，对于O的 力矩为零，故小球所受的力矩仅为
重力矩，其大小为 M mgR cos
角动量定理 mgR cos dt dL
R
O N B
mg
4-3角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
v v v M = r ×F
Z
v L
M =0 v v v L=r×p L = rmυ sin 90 = mr ω = Jω
0 2
v p
o
守恒
r
m v
行星绕太阳、卫星绕地球的椭圆轨道运动 行星绕太阳、卫星绕地球的椭圆轨道运动——行星 行星 对太阳、 对太阳、卫星对地球的角动量守恒
第四章 刚体的转动 二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量
内力矩可以改变系统各组成部分 的角动量， 的角动量，但不能改变系统的总 角动量
在冲击等问题中 冲击等问题中
Q M >> M
in
ex
∴L ≈C
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
一物体正在绕固定光滑轴自由转动， （A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变。 （B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小。 （C）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大。 （D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大。
m v
如果力的作用线通过固定点: 如果力的作用线通过固定点 M=0 O
F
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
v v dL M= dt
∫
t2
t1
v v v M d t = L2 − L1
冲量矩
∫t1
t2
v M dt
质点的角动量定理： 质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量. 的冲量矩等于质点角动量的增量 3 质点的角动量守恒定律
第四章 动量和角动量
p mv
从力的瞬间作用定律——牛顿第二定律出发，根据牛顿
自己提出的形式，第二定律为： d (m v ) dp F dt dt ——合外力等于质点的动量对时间的变化率。
当 v << c（真空中光速）时m 可视为常量：
当m不为常量时，牛顿第二定律应写为
注意： （1）动量是描写运动状态的量 ，是状态的单值函数。
（或内力在该方向上的分量）小得多而可忽略时，系统的
总动量（或动量在该方向的分量）仍可认为是守恒的， （4-11） 或（4-12）式仍然适用。 所以动量守恒的条件可写为 ： F外 0 或 F 外 f内 （某方向上）
对动量守恒定律应注意： （1）动量守恒定律是用于物体系的。
（2）所有的物体的速度都要对同一惯性系而言。
P
P2
2. 平均力
在物体碰撞过程中，相互作用时间很短，而相互作用
力很大，这种力称为冲力。 冲力随时间变化的关系 F ( t ) 实际上是难确定的，但 可以引入平均力来近似地描述它们：
F
1 t 2 t1
t2
F dt
F( t )
t1
F o t1 t2 t
标量式为
显然，引起相同的动量改变，相互作用时间愈短，平 均力愈大。
在运动中保持不变，内力的作用仅仅改变总动量在
各物体之间的分配。动量守恒定律是物理学中又一 条重要而又具有普遍性的定律。 动量守恒定律的分量式为： 时，有 当 当 时，有
即使系统所受合外力不为零，但如果合外力在某一方 向上的分量为零，则系统在该方向的分量也是守恒的。
注意：
有时合外力或它在某方向上的分量并不为零，但合外 力（或它在某方向上的分量）比系统内物体的相互作用力
第四章 动量和角动量
碰撞前速度 r
r v10
v20
碰撞后速度 r 碰撞瞬间
r v1
v2
m1
m2
m1 m2
m1
m2
x
由动量守恒定律得 r r r r m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20 在 x 方向的分量式为 m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20
（1） ）
1. 完全弹性碰撞
碰撞过程中机械能守恒
t1
动量定理 力在某一时间内的冲量等于物体在这 段时间内的动量的增量
动量定理的分量形式
I x = ∫ Fx dt = mv2 x − mv1 x
t1 t2
I y = ∫ F y dt = m v 2 y − m v1 y
t1
t2
用平均力表示， 用平均力表示，动量定理为
I x = ∫ Fx dt = Fx (t 2 − t1 ) = mv2 x − mv1 x
例题4-3 氚核质量约为 mD = 3.4×10−27kg 速率分 例题 ， 6 6 别为 v10 = 10 m/s 和 v20 = 0.5 × 10 m/s、方向相互垂 直的氚核碰撞后，产生质量为mn = 1.7×10−27 kg 的中 直的氚核碰撞后， 的氦同位素， 子和质量为m H = 5.1 × 10 −27 kg 的氦同位素，中子 e r o 6 以速度 vn = 2 × 10 m/s 沿着与 v10 成 45角的方向 r 被发射出来， 的大小和方向。 被发射出来，求氦同位素速度 vHe的大小和方向。 解 两个氚聚合成一 个氦同位素和一个中子的 过程遵守动量守恒定律， 过程遵守动量守恒定律， r 设 vHe 与 x 轴夹角为 α ， 由动量守恒定律有
r v10
v20
碰撞后速度 r 碰撞瞬间
r v1
v2
m1
m2
m1 m2
m1
m2
x
由动量守恒定律得 r r r r m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20 在 x 方向的分量式为 m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20
（1） ）
1. 完全弹性碰撞
碰撞过程中机械能守恒
t1
动量定理 力在某一时间内的冲量等于物体在这 段时间内的动量的增量
动量定理的分量形式
I x = ∫ Fx dt = mv2 x − mv1 x
t1 t2
I y = ∫ F y dt = m v 2 y − m v1 y
t1
t2
用平均力表示， 用平均力表示，动量定理为
I x = ∫ Fx dt = Fx (t 2 − t1 ) = mv2 x − mv1 x
例题4-3 氚核质量约为 mD = 3.4×10−27kg 速率分 例题 ， 6 6 别为 v10 = 10 m/s 和 v20 = 0.5 × 10 m/s、方向相互垂 直的氚核碰撞后，产生质量为mn = 1.7×10−27 kg 的中 直的氚核碰撞后， 的氦同位素， 子和质量为m H = 5.1 × 10 −27 kg 的氦同位素，中子 e r o 6 以速度 vn = 2 × 10 m/s 沿着与 v10 成 45角的方向 r 被发射出来， 的大小和方向。 被发射出来，求氦同位素速度 vHe的大小和方向。 解 两个氚聚合成一 个氦同位素和一个中子的 过程遵守动量守恒定律， 过程遵守动量守恒定律， r 设 vHe 与 x 轴夹角为 α ， 由动量守恒定律有
4-2 角动量-角动量守恒定律
量），要使该仪器刚好掠着行星表面着陆，
角应是多少？着陆滑行初速度为多大？
v0
m2
r0 4R
v R
m1
sin
1 4
(1
3Gm1 2Rv02
)
1 2
v
v0
(1
3Gm1 2Rv02
)
1 2
三.角动量（Angular Momentum）
2. 刚体定轴转动的角动量（Angular
Momentum of Rigid Body）
NO.4-2
第四章 刚体的转动
内容目录
1. 角动量 冲量矩 2. 角动量定理 3. 角动量守恒定律 4. 进动
三.角动量（Angular Momentum）
1. 质点角动量
( Angular momentum of one particle )
（1） 定义 L r p r mv
若质点作圆周运动
转体
外环
内环
支架
例3.静止水平转台边缘上一质量为 m的人，当 人沿边缘以速率 行v走时，问转台的角速度为
多大？设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ台绕通过转台中心的铅直轴转动，
转动惯量为 J，0 半径为 R．
mRv J0 mR2
例4. 一质量为 ,m长1为l 的匀质棒可绕支点
O与自棒由的v转下动端.相一碰质，量碰为后的以小速m球度2 以反水向平运速v动度' 。
四.进动（Precession ）
L f
炮管中的来复线使炮弹 高速旋转，飞行过程中
作进动。
在日、月的引力作用下，地球自转 轴的空间指向并不固定，呈现为绕 一条通过地心并与黄道面垂直的轴 线缓慢而连续地运动，大约25800 年顺时针向（从北半球看）旋转一 周，描绘出一个圆锥面 。这就造成 了“岁差”。 岁差即为地球自转轴的进动引起春 分点位移的现象。
角应是多少？着陆滑行初速度为多大？
v0
m2
r0 4R
v R
m1
sin
1 4
(1
3Gm1 2Rv02
)
1 2
v
v0
(1
3Gm1 2Rv02
)
1 2
三.角动量（Angular Momentum）
2. 刚体定轴转动的角动量（Angular
Momentum of Rigid Body）
NO.4-2
第四章 刚体的转动
内容目录
1. 角动量 冲量矩 2. 角动量定理 3. 角动量守恒定律 4. 进动
三.角动量（Angular Momentum）
1. 质点角动量
( Angular momentum of one particle )
（1） 定义 L r p r mv
若质点作圆周运动
转体
外环
内环
支架
例3.静止水平转台边缘上一质量为 m的人，当 人沿边缘以速率 行v走时，问转台的角速度为
多大？设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ台绕通过转台中心的铅直轴转动，
转动惯量为 J，0 半径为 R．
mRv J0 mR2
例4. 一质量为 ,m长1为l 的匀质棒可绕支点
O与自棒由的v转下动端.相一碰质，量碰为后的以小速m球度2 以反水向平运速v动度' 。
四.进动（Precession ）
L f
炮管中的来复线使炮弹 高速旋转，飞行过程中
作进动。
在日、月的引力作用下，地球自转 轴的空间指向并不固定，呈现为绕 一条通过地心并与黄道面垂直的轴 线缓慢而连续地运动，大约25800 年顺时针向（从北半球看）旋转一 周，描绘出一个圆锥面 。这就造成 了“岁差”。 岁差即为地球自转轴的进动引起春 分点位移的现象。