多边形的外角和
多边形的外角和
B. 6
C. 7
D. 8
解析：正多边形的每一个外角相等，为 180°-135°=45°，而多边形的外角和等于
360°，则正多边形边数为： 360 ° ÷45 ° =8
能力提升
1.若一个多边形的每一个内角都是108，
则这个多边形的边数是（ A ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
课时小结
1.多边形的外角及外角和的定义； 2.多边形的外角和等于360°； 3.在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学
奔跑吧，少年！
傍晚，小明沿一个五边形广场周围的小路，
按逆时针方向跑步。
问题来了……
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪 个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
外角定义
已知△ABC，你能画出∠A的外角吗？
∠A的一边与另一边的反向延长线
2
1
所组成的角叫做∠A的外角
问题解决
1 ＋ 2＋ 3＝ ?结论：任意三角形角和等于360°问题解决
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝ ?
结论：任意四边形的外角和等于360°
问题解决
1 ＋ 2＋ 3 ＋ 4＋ 5 ＝ ?
结论：任意五边形的外角和等于360°
探索研究
多边形的外角和定理：
∠1和∠2有什么关系呢？ 什么叫做△ABC的外角和？ 在三角形的每一个顶点处取一个外角，他们的和叫 做三角形的外角和
外角和定义
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的
角叫做这个多边形的外角 在每个顶点处取这个多边形的一
个外角，它们的和叫做这个多边形的
外角和
一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方 向可作外角
多边形的外角和
多边形的外角和例题讲解(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°.③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°.(3)拓展理解：①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．解技巧多边形的内角与相邻外角的关系的运用同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．【例1】填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．解析：(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个内角都是120°，进而得到内角和是720°)；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但外角和不变．多边形外角、外角和公式的应用多边形外角和是360°，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360°，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数．同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换．破疑点多边形外角和与外角的关系多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，是360°，而多边形所有外角的和是360°的2倍，是720°，这点要注意．【例2】如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.解析：方法一：根据同顶点的外角和内角互为邻补角，求出已知角的邻补角．根据四边形内角和为360°，求出∠A；方法二：根据四边形外角和为360°，求出与∠A同顶点的邻补角(A点处的外角)，再求出∠A.答案：125°【例3】如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于()．A．140°B．40°C．260°D．不能确定解析：方法一：因为四边形内角和是360°，且∠B＋∠ADC＝140°，所以∠DAB＋∠DCB＝220°，∠1＋∠2＋∠DAB＋∠DCB＝180°×2，所以∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法二：可求出与∠B，∠ADC同顶点的两外角和为220°，根据四边形外角和是360°，得出∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法三：连接BD，根据三角形一个外角等于和它不相邻的两内角和，求出∠1＋∠2的度数．答案：A【例4】一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．分析：方法一：可设这个多边形的边数为n，那么内角和就是(n－2)×180°，因为每一个内角都是144°，所以内角和为144°×n，根据“表示同一个量的两个式子相等”列方程解出；方法二：因为每一个内角都等于144°，所以每一个外角都是36°.根据多边形外角和为360°，用360°÷36°＝10，也可以得出这个多边形为十边形．解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×144°，解得n＝10.答：这个多边形的边数为10.。
多边形的外角和
G A F
B E C
D
巩固一下： 求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。
7×180O－2×360O＝540O
(4)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
F H A B G
E M
D C
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗？你是怎样得到的？
（1）什么是三角形的外角？外角有什么性质？ （2）类似地，在多边形中找出外角
D
多边形的一边与另一边的 延长线的夹角，叫做多边 形的外角。
C E A B F
做一做 （1）如图，求△ABC的三个外角的和。
2
A
1
B
5.小明绕五边形各边走一圈，他共转了_ 360 __度。 6.下列正多边形（1）正三角形（2）正方形（3）正 五边形（4）正六边形，其中用一种正多边形能 镶嵌成平面图案的是 （1）、（2）、（4） ；
7.如下图，AD是BC边上的高，BE是 △ ABD 的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，则 ° ∠BED= 65° ∠C=_ 60__ 。
1 A 大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持 跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并 思考如下几个问题: 5 E 4
B 2
C
3
D
(1) 小明每从一条街道转到下一条街道时， 身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
结论:多边形的外角和都等于360°.
例3：一个多边形的内角和等 于它的外 角和的3倍，它 是几边形？
初中数学：多边形的内角和与外角和题型总结
1、多边形的内角和等于（n-2）180˚，n是多边形的边数。
2、多边形的外角和等于360˚。
这两个结论的证明也比较简单，在这里简单说明一下。
1、一个多边形，边数为n，将一个顶点与其它顶点相连，可以把这个多边形分割成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是360˚，所以多边形的内角和就是（n-2）180˚。
2、一个多边形，边数为n，每一个内角和它相邻的外角构成一个平角，n条边就构成n 个平角。
外角和就等于n个平角减去多边形的内角和，也就是360˚。
这两个知识在考查时，主要有四种类型，我们来看一下。
1、考查多边形边数和内角和的关系。
这类型题主要是知道边数求出内角和，或者知道内角和求出边数。
第（1）题，知道边数，求内角和。
第（2）题，知道内角和，求边数。
第（3）题，稍微复杂，两个多边形，知道边数之比和内角和之比，列方程求出边数。
第（4）、（5）、（6）题，稍为复杂，知道边数，先求出内角和，再去求多边形中的某个内角。
这些题型都比较简单。
这里还有一道题比较复杂一点，同学们可以尝试做一下。
2、外角和与内角和相结合这类型的关键点是，要知道多边形的内角和是隐藏的已知量，它等于360˚。
这类题型都是根据多边形内角和与外角和的关系，列一个方程，求出边数。
3、多边形，少一个角，其余内角和是一定值。
这种题型，运用到了不等式，是一个难点和重点。
它的运用的知识是，多边形的一个内角，它的取值范围是大于0，小于180。
除去的这个角的度数等于内角和减去其余内角和，据此，可以列一个不等式组，进行求解。
下面有练习，大家可以试一下。
4、正多数形正多边形的内角相等，边相等。
考查类型，1、知道边数，求内角；2、知道内角，求边数；3、知道外角，求边数。
在考试中，经常考察的方式是这样的。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是数学中一个重要的概念，它是由若干条线段组成的封闭曲线。
每个多边形都有内角和与外角和，本文将详细介绍这两个概念以及它们之间的关系。
1. 多边形的内角和内角是指多边形内部相邻线段所形成的角度。
对于任意一个n边形（n≥3），其内角和可以用公式 (n-2) × 180°计算。
这是因为一个n边形可以被分割成n-2个三角形，而每个三角形内角和为180°。
所以，n 边形的内角和为 (n-2) × 180°。
2. 多边形的外角和外角是指多边形外部与相邻线段所形成的角度。
对于任意一个n边形，其外角和等于360°。
这是因为多边形的每个外角都与其相邻内角互补，而一个完整的圆周角为360°。
3. 内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和有一个重要的关系，即它们的和等于n个直角。
这可以通过数学归纳法来证明。
对于一个三角形来说，它的内角和为180°，外角和为360°，两者的和正好等于一个直角。
假设对于任意一个n边形，其内角和与外角和的关系成立，即内角和加上外角和等于n个直角。
现在考虑一个n+1边形，我们可以通过在原来的n边形的任意一个顶点处添加一个顶点来构造它。
根据我们的假设，原来的n边形的内角和与外角和的和等于n个直角。
对于新添加的顶点，它对应的内角为180°，外角为360°。
所以，我们可以得到新的n+1边形的内角和为原来n边形的内角和加上180°，外角和为原来n边形的外角和加上360°。
将它们相加，得到新的内角和加上外角和为原来n个直角加上180°加上360°，即n+1个直角。
综上所述，对于任意一个多边形，它的内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。
因此，内角和与外角和是有确定关系的，可以相互转换。
总结起来，多边形的内角和等于顶点数目减去2乘以180°，外角和等于360°，而内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。
多边形的外角和
3：2
延伸拓展 ☞
2、如图， 360° ∠M1+∠M2+∠M3……+∠M6=_________
M3 M2 M1
M4
M6 M5
若多边形的各个内角都相等， 。 且每个内角比其外角大100 ， 求多边形的边数？
一个多边形的内角都相等， 且每个外角与内角差的绝对 。 值都为60 求这个多边形的 边数？
探究
学习
探究多边形的外角和
n边形的外角和=n个平角-内角和 =n×180°-(n-2) × 180° =360°
结论：多边形的外角和等于360°
练一练:
如果一个多边形的每一个外角 都等于30。，那么这个多边形 的边数 12 。
一个多边形的内角和等于外角和的一 半，那么这个多边形是 3 。
五边形的内角和与外角和的 比 。
n边形的每一个内角都相等， 它的一个外角与一个内角 的比是2：3，求这个n边形 的边数？ 一个五边形的外角比是1：2： 3：4：5，求这个五边形五 个内角的度数分别是多少？
已知多边形的一个外角与 和它不相邻的其余内角的和 。 恰好为500 ，求这个多边 形的边形。
延伸拓展 ☞ 1、如图 求∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F的度数。
BA D1 NhomakorabeaF C
2
O
E
/ 冲牙器
咯壹下/王爷那里发话别让她前去探望/但是他可没什么发话说别许去探望其它の姐妹们/考虑到那各问题の严重性/排字琦丝毫别敢怠慢/赶快让红莲传她の吩咐/去太医院将顾太医请进府来为女眷们诊治/否则真若是诸人们齐唰唰地生 咯啥啊病/或是被啥啊人暗地算计/误咯爷の子嗣/那可是天大の事情/到时候她那各嫡福晋可是难逃罪责/红莲领命下去传她の吩咐/
多边形外角和等于360度讲解
多边形外角和等于360度讲解多边形是几何学中最基本的图形之一，它是由直线段相连而形成的封闭图形。
在多边形中，每个角可以分为内角和外角，而这两个角的和有一个很特殊的性质：无论多边形有多少边，所有外角的和始终等于360度。
要理解多边形外角和等于360度的原因，我们需要先了解一些基础概念。
多边形由直线段连接而成，而每条直线段都可以看作是形成多边形的一条边。
当我们沿着多边形的每一条边走过时，我们可以观察到一个外角形成。
接下来，让我们以一个具体的例子来讲解这个概念。
我们来看一个三角形，它是由三条边相连而成的多边形。
在三角形中，我们可以观察到三个不同的外角。
假设这三个外角的度数分别为A、B、C。
根据性质，我们知道这三个外角的和等于360度。
为了证明这一点，我们可以通过以下步骤进行计算：首先，我们将三角形平移到一个平面上，并将其中一个角放到原点，然后我们用一条直线将剩余的两条边延长，形成两个角。
通过测量这两个角的度数，我们可以得出它们的和，假设为α和β。
接下来，我们观察到三角形的每个角与外角的度数之和等于180度（即补角定理）。
因此，假设另外两个角的度数分别为γ和δ，则我们可以得出以下等式：α+γ=180度，β+δ=180度。
再根据我们的假设，三个外角的度数之和为A+B+C=360度。
我们可以得到两个等式：α+β+A=360度，γ+δ+B=360度。
接着，我们将这两个等式合并，并利用前面的等式α+γ=180度和β+δ=180度，可以得到以下结果：(α+γ)+(β+δ)+A+B=360度+360度。
最后，根据等式α+γ=180度和β+δ=180度，我们可以继续简化等式，得到以下结果：180度+180度+A+B=360度+360度。
通过合并项，我们可以得到最后的结果：360度+A+B=360度×2。
进一步化简，我们可以得到：360度+A+B=720度。
最后，通过转换，我们得到了A+B=360度。
通过上述步骤的分析，我们可以看到，即使在三角形中，所有外角的和也等于360度。
多边形的外角和
• 解:因为∠1= ∠A+∠B, ∠2= ∠C+ ∠D,
• ∠3= ∠E+ ∠F,
• ∠4= ∠G+ ∠H, • 所以∠A+ ∠B+ ∠C+
∠D+ ∠E+ ∠F+∠G+ ∠H= ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=360o
7.如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15度，
1 3
2
1
2
4
3
1
2
5
34
1
2
6
3
5
4
多边形的外角和
多边形的外角和
3×180o-(3-2)×180o=360o 4×180o-(4-2)×180o=360o
5×180o-(5-2)×180o=360o
6×180o-(6-2)×180o=360o
n×180o-(n-2)×180o=360o
多边形外角和公式 • 多边形的外角和等于360°
0
• 5. 若多边形的每个内角与相邻外角的比都
是3∶2，求这个多边形的每个外角为多少 度？它是几边形？
解:设这个多边形的每个内角与相邻外角的度数
分别为 3x˚、2x˚.
则 3x+2x= 180. x=36
∴
2x=72.
360˚÷72˚ = 5
答 : 这个多边形的每个外角为72˚，它是五边形。
6.如图，求出∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+
• 8.是否存在一个多边形，它的每个外角 都等于相邻内角的1\5？为什么？
解：设它的外角为X度.则它的内角为5X度 依题意得：
什么是多边形的内角和外角和
什么是多边形的内角和外角和？
多边形是指由多个线段连接而成的封闭图形。
每个多边形都由一系列顶点和边组成。
在多边形中，内角和外角是两个重要的概念。
下面将分别介绍多边形的内角和外角的定义、性质和计算方法。
1. 多边形的内角：
多边形的内角是指多边形内部两条相邻边所夹的角度。
在一个n边形中，内角的总和等于(n-2) * 180°。
具体地，每个内角的度数可以通过以下公式计算：
内角度数= (n-2) * 180° / n
多边形的内角性质：
-内角和定理：在一个n边形中，内角的和等于(n-2) * 180°。
-内角的平均值：在一个n边形中，每个内角的平均值等于(n-2) * 180° / n。
2. 多边形的外角：
多边形的外角是指多边形内部一条边的延长线与另一条边所夹的角度。
在一个n边形中，外角的总和等于360°。
具体地，每个外角的度数可以通过以下公式计算：
外角度数= 360° / n
多边形的外角性质：
-外角和定理：在一个n边形中，外角的和等于360°。
-外角与内角关系：在一个n边形中，外角和对应的内角之和等于180°。
多边形的内角和外角计算方法：
-已知内角求外角：通过内角和定理，可以根据内角的个数计算外角的度数。
-已知外角求内角：通过外角和定理，可以根据外角的个数计算内角的度数。
通过掌握多边形的内角和外角的定义、性质和计算方法，我们可以在几何中计算多边形的内角和外角，并在实际问题中应用这些概念进行推导和解题。
多边形的外角和
多边形的边数
7
17
20
内角和
5x 180°
15x 180°
18x 180°
外角和
360°
360°
360°
例题讲解
1. 一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，它 是几边形？
解: 设这个多边形为 边形
(n - 2)•180°= 3×360˚ 解得 n=8
答 : 这个多边形的边数为8.
课堂练习
1. 一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？ 解: 设这个多边形为 n边形 ，则 (n - 2)•180°= 360˚ 解得 n=4
10
3 9 C
8
B
2
知新
解：外角和：∠1+∠2+∠3+ ∠4 + ∠5 + ∠6
内角和：∠7+∠8+∠9+∠10+∠11+∠12 外角和+内角和= 6×180° 外角和=6×180°—内角和 外角和=6×180°—（6—2） ×180° 外角和= 360°
六边形的外角和为360°
知新
n边形外角和是多少？ 外角和+内角和= 180°n
多边形的外角和
温故
多边形的一边与相邻一边的延长 线组成的角叫做多边形的外角.
(n-2)•180° 1.n(n≥3)边形的内角和等于多少？ 2.多边形的外角是怎样定义的？
A
1
如图：∠1是多边形的一 个外角
注意：一个顶点处的内角 和外角是互补的
B
E
C D
知新
2. 多边形的外角和定义： 在多边形的每一个顶点取一个外角，这些外 角的和叫做这个多边形的外角和。 1 A
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2 3
1 5 4
1 6 5 4
5×180o-(5-2)×180o=360o
2 3
6×180 -(6-2)×180 =360
o
o
o
o
n×180 -(n-2)×180 =360
o
o
多边形外角和公式 • 多边形的外角和等于360°
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回 到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和。
例1、一个多边形的内角和等于
它的外角和的3倍，它是几边形？
解： 设这个多边形的边数为n， 则它的内角和等于 (n-2) ×180°， 外角和等于360º ，所以 (n-2) ×180= 3×360 n=8 这个多边形的边数为8.
课堂练习
1.若一个多边形的每一个外角都等于15°, 24 则这个多边形的边数是________ 2.若一个十边形的每个外角都相等，则它的 36 度，每个内角的 •每个外角的度数为________ 144 度. •度数为________
1 A 5 E 4
B 2
C
3
D
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身 体转过的角是哪个角？在图中标出它们. (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
外角概念
多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所 组成的角叫作这个多边形的一个外角.
图2-6
在多边形每个顶点处取这个多边形的一个 外角，它们的和叫做这个多边形的外角和 请同学们分组动手量出所画的四边形与五边形的 外角和是多少？
图1
图2
图3
在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定 性，如上图1中电动伸缩门，图2中的升降机.有时 又要克服四边形的不稳定性，例如图3中的栅栏两 横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用 三角形的稳定性.
练习
1.一个多边形的每个外角都等于45°， 这个多边形是几边形？它的每一个内角是 多少度？
解：n=360°÷45°=8， 180°-45°=135°.
答：这个多边形是八边形，它的每个内角是135°.
2.如图，求图中x的值.
解：由题意，得
3x+90×2=多边形的外角和
任意多边形的外角和等于360°.
2.四边形具有不稳定性
• 思考.是否存在一个多边形，它的每个 外角都等于相邻内角的1\5？为什么？
6.如图，求出∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+
∠E+∠F+ ∠G+ ∠H的度数
• 解:因为∠1= ∠A+∠B, ∠2= ∠C+ ∠D, • ∠3= ∠E+ ∠F, • ∠4= ∠G+ ∠H, • 所以∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F+∠G+ ∠H= ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=360o
7.如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15度， 再前进10m，又向右转15度， … …这样一直走下去， 他第一次回到出发点时，一共走了 240 米？
A
观察
• 三角形具有稳定型，那么四边形呢？用4根 木条钉成如图的木框，任意扭转四边形的 边，它的形状会发生变化吗？
我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改 变了，这说明四边形具有不稳定性.
=5×180°
-(5-2) × 180°
B 2 C
1
A 6 5
E 4
=360 °
结论：五边形的外角和等于360°
3
D
多边形的外角和
多边形 三角形
2
图形
1 3
多边形的外角和
3×180o-(3-2)×180o=360o 4×180o-(4-2)×180o=360o
四边形
五边形 六边形 n边形
1 2 3 4
•
3.若一个多边形的内角和等于它的外角和， 则它的边数是_______ 4 ． •4.多边形的边数增加1，则内角和增加 180 度．外角和增加_____度 _____ 0
• 5. 若多边形的每个内角与相邻外角的比都 是3∶2，求这个多边形的每个外角为多少 度？它是几边形？
解:设这个多边形的每个内角与相邻外角的度数 分别为 3x˚、2x˚. 则 3x+2x= 180. x=36 ∴ 2x=72. 360˚÷72˚ = 5 答 : 这个多边形的每个外角为72˚，它是五边形。
2.1多边形的外角和
复习：
(n-2) 180 ° • n边形的内角和为_________________ ．
它有什么作用 呢? 1.知道多边形的边数,可以求出多边形的内角和. 2.知道多边形的内角和,可以求出多边形的边数.
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按 逆时针方向跑步。
问题
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持 跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并 思考如下几个问题:
A 1 B 2
6
5 E
C
3 D
4
三角形外角和等于多少？怎么求？
1 3 2
3×180o-(3-2)×180o=360o
四边形外角和呢？
1 2 3 4
4×180o-(4-2)×180o=360o
如图，在五边形的每个顶点处各取一个 外角，这些外角的和叫做五边形的外角 和．五边形的外角和等于多少？
=5个平角 -5边形内角和 五边形外角和