含参数的一元二次不等式的解法微课课件
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一元二次不等式及其解法优质课
新知讲解 一元二次不等式（定义）
像 x2－x－6>0 这样只含一个 未知 数，并且未知数最高次数为 2 的不等 式，称为一元二次不等式.
那么怎样求一元二次不等式 x2－x－6>0的解集呢？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) ,
(2)判定△的符号， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
(1){x|13x2}
（大于0解集是大于大根或小于小根，小于0解集是大于小根且 小于大根）
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
一元二次不等式的标准形式：
ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0（a>0）
记忆口诀：a>0（0）
新知讲解 一元二次不等式（定义）
像 x2－x－6>0 这样只含一个 未知 数，并且未知数最高次数为 2 的不等 式，称为一元二次不等式.
那么怎样求一元二次不等式 x2－x－6>0的解集呢？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) ,
(2)判定△的符号， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
(1){x|13x2}
（大于0解集是大于大根或小于小根，小于0解集是大于小根且 小于大根）
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
一元二次不等式的标准形式：
ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0（a>0）
记忆口诀：a>0（0）
含参数的一元二次不等式的解法微课课件
原不等式解集为
xk4k28kxk
k28k
4
k 8
(3)当 (4)当
xk4k28kxk4k28k
k 8时,不等式解集为
x x 2
时,不等式解集为
(2)当
时8,不k等式0解集为
综上所述， (1)当
k0
时,不等式解集为
x x 0
(5)当
k 时 ,0不等式解集为
xk4k28kxk4k28k
a
（2）当 a0 时，有：
（a）当 （b）当 （c）当
1 1 a
即 a 1
时，原不等式的解集为：
{x | 1 x 1} a
1 1 即 a 1 时，原不等式的解集为：
a
1 1 即 0a1 时，原不等式的解集为： {x | 1 x 1}
a
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
01
a2x(a1)x10.
02
综上所述，
例3:解关于 的不等式：
人教版高中数学必修五第三章
含 参 数 的 一 解元 法二 次 不 等 式 的
授课人：广东省阳东广雅中学
杨学武
温故知新
a x 2 + b x + c > 0 或 a x 2 + b x + c < 0 (a > 0 )
根据二次函数的图
象以及不等号的方
向，写出不等式的
0
（2）求对应方程的根：
1 一．
因式分解求方程的根，
m m 0 时 ， 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 或 x 2 }
m
课堂小结
对含参数的一元二次不 等式解法，其分类讨论 的依据
《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件pptx
定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
含参数的一元二次不等式的解法课件
含参数的一元二次不 等式的解法课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 一元二次不等式的概念和性质 • 含参数的一元二次不等式 • 含参数一元二次不等式的解法实例 • 课程总结与展望
01 引言
课程背景
01
一元二次不等式是中学数学的重要内容，也是高等 数学的基础。
02
含参数的一元二次不等式在解决实际问题中具有广 泛的应用。
解集为$1 < x < a$。当$a < 1$时，解集为 $a < x < 1$。
实例三：求解含参数的一元二次不等式
要点一
题目
要点二
解答
求解不等式$x^2 + (a - 3)x + a > 0$
首先，将不等式化为标准形式。然后，对参数$a$进行分 类讨论。当$a = 1$时，不等式变为$(x + 2)^2 > 0$，解 集为全体实数除了$-2$。当$a < 1$时，利用因式分解法 $(x + a)(x + 2) > 0$，解集为全体实数除了$-a$和$-2$。 当$a > 1$时，解集为全体实数。
它包含一个未知数 x 的最高次数为2的不等式。
一元二次不等式的解法
01
解一元二次不等式的基本步骤是：首先求出不等式的根， 然后根据不等式的符号确定解集。
02
对于形如 ax^2 + bx + c > 0 的不等式，如果 a > 0，则解集为 两根之外的所有实数；如果 a < 0，则解集为两根之间的所有实数
两个实根。最后，根据二次函数的性质，判断不等式的解集为两根之间的区间。
实例二：求解含参数的一元二次不等式
目录
CONTENTS
• 引言 • 一元二次不等式的概念和性质 • 含参数的一元二次不等式 • 含参数一元二次不等式的解法实例 • 课程总结与展望
01 引言
课程背景
01
一元二次不等式是中学数学的重要内容，也是高等 数学的基础。
02
含参数的一元二次不等式在解决实际问题中具有广 泛的应用。
解集为$1 < x < a$。当$a < 1$时，解集为 $a < x < 1$。
实例三：求解含参数的一元二次不等式
要点一
题目
要点二
解答
求解不等式$x^2 + (a - 3)x + a > 0$
首先，将不等式化为标准形式。然后，对参数$a$进行分 类讨论。当$a = 1$时，不等式变为$(x + 2)^2 > 0$，解 集为全体实数除了$-2$。当$a < 1$时，利用因式分解法 $(x + a)(x + 2) > 0$，解集为全体实数除了$-a$和$-2$。 当$a > 1$时，解集为全体实数。
它包含一个未知数 x 的最高次数为2的不等式。
一元二次不等式的解法
01
解一元二次不等式的基本步骤是：首先求出不等式的根， 然后根据不等式的符号确定解集。
02
对于形如 ax^2 + bx + c > 0 的不等式，如果 a > 0，则解集为 两根之外的所有实数；如果 a < 0，则解集为两根之间的所有实数
两个实根。最后，根据二次函数的性质，判断不等式的解集为两根之间的区间。
实例二：求解含参数的一元二次不等式
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综上所述，
例3:解关于
x
2 ax (a 1) x 1 0. 的不等式：
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
1 x x 或 x 1 a
x x 1
1 x 1 x a
(3)当 8 k 0 时,不等式解集为
(4)当 k 0 时,不等式解集为 x x 0 (5)当 k 0 时,不等式解集为
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例题讲解
例3:解关于
x
2 ax (a 1) x 1 0. 的不等式：
人教版高中数学必修五第三章
温故知新
解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲”
（1）转化为不等式的“标准”形式；
ax2 +bx+c>0或ax2 +bx+c<0(a>0)
（2）求对应方程的根： ①因式分解求方程的根， ②不能因式分解的判断判别式△与0的关系，求 出相应 一 元二次方程的实根X1,X2;
（3）根据二次函数的图象以及不等号的方向，写出不等式的解 集.
课堂小结
1、思想方法： 分类讨论思想，数学结合思想 ； 2、对含参数的一元二次不等式解法，其分类讨论的 依据
（１）当 （２）当
原不等式解集为 k 2 8k 0 即 8 k 0 时，
k 2 8k 0 时得 k 0 或 k 8
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为： x x 0
解集为： x x 2
2 2 x 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
自我测试
解关于x的不等式：
3 mx2 2(m 1) x 4 0
解：m 0时，不等式的解集为 {x | x 2}
2 0 m 1时，不等式的解集为{x | 2 x } m m 1时，不等式的解集为 2 m 1时，不等式的解集为{x | x 2} m 2 m 0时，不等式的解集为{x | x 2或x } m
a 0时，原不等式解集为： x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： x | x 3a或x 2a
例题讲解
例2:解关于
2
x 的不等式: 2 x2 kx k 0
分析:由于 x 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号. 解： k 2 8k
解： a 1 时，不等式的解集为 {x | a x 1}
a 1时，不等式的解集为
1 2 x (a ) x 1 0 a 时，不等式的解集为 解：a 1
2
；
a 1时，不等式的解集为 {x |1 x a}
1 1 a 0或a 1时，不等式的解集为{x | x a} a 1 a 1或0 a 1时，不等式的解集为{x | a x } a
解: （一）当 a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解集为： {x | x 1}. （二）当 a 0 时, 原不等式变形为： (ax 1)(x 1) 0 1 其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定，故有： a 1 {x | x 或x 1} （1）当 a 0 时，原不等式的解集为： a （2）当 a 0 时，有：
例题讲解
例1 解关于 x 的不等式 分析 :
x 5ax 6a 0 (a 0)
2 2
原不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0 故只需比较两根2a与3a的大小.
x 2a( x 3a) 0 解: 原不等式可化为：
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a (2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a 综上所述：
(3)当 0 a 1 时，原不等式的解集为 (4)当 a 1 时，原不等式的解集为 (5)当 a 1 时，原不等式的解集为
1 x 1 x a
自我测试 （请按“暂停”思考后再接着听）
解关于x的不等式：
（） 1 x2 (1 a) x a 0
2 k 8k 0 即 k 0 或 k 8 时, （３)当
原不等式解集为
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
综上所述， (1)当 k 8 时,不等式解集为
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4 (2)当 k 8 时,不等式解集为 x x 2
解含参数一元二次不等式的基本思想 对于含有参数的一元二次不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即：分类讨论 思想。 解含参一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准： 讨论：（1）二次项系数a>0,a=0,a<0
（2）判别式△>0,△=0,△<0
（3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小， x1>x2 ，x1=x2，x1<x2
（a）当 （b ） 当 （c ） 当
1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a{x |源自1 x 1} a即
1 { x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
例3:解关于
x
2 ax (a 1) x 1 0. 的不等式：