高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题4立体几何突破点11空间中的平行与垂直关系专题限时集训理

专题限时集训(十一) 空间中的平行与垂直关系[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．(2016·南昌一模)设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥αB [A中，两直线可能平行、相交或异面，故A错；B中，由直线与平面垂直的判定定理可知B正确；C中，b可能平行α，也可能在α内，故C错；D中，b可能平行α，也可能在α内，还可能与α相交，故D错．综上所述，故选B.]2．(2016·济南一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4A [对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.]3．如图11­5所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC 的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )图11­5A．①②B．①②③C．①D．②③B [对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．]4．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( )A．①B．②C．③D．①③D [对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B，C.对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.]5．(2016·成都二模)在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是( )图11­6A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形B [因为AP ⊥平面ABC ，所以AP ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且PA 和AB 是平面PAB 上两条相交直线，则BC ⊥平面PAB ，BC ⊥AE .当AE ⊥PB 时，AE ⊥平面PBC ，则AE ⊥EF ，△AEF 一定是直角三角形，A 正确；当EF ∥平面ABC 时，EF 在平面PBC 上，平面PBC 与平面ABC 相交于BC ，则EF ∥BC ，则EF ⊥AE ，△AEF 一定是直角三角形，C 正确；当PC ⊥平面AEF 时，AE ⊥PC ，又AE ⊥BC ，则AE ⊥平面PBC ，AE ⊥EF ，△AEF 一定是直角三角形，D 正确；B 中结论无法证明，故选B.]二、填空题6．已知P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题： ①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确命题的个数是________. 【导学号：67722041】 3 [如图所示，∵PA ⊥PC ，PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴PA ⊥平面PBC . 又∵BC ⊂平面PBC ， ∴PA ⊥BC .同理PB ⊥AC ，PC ⊥AB ，但AB 不一定垂直于BC .]7．在三棱锥C ­ABD 中(如图11­7)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 是斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A ­BD ­C 的大小为60°，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④cos ∠ADC ＝32；⑤四面体ABCD 的外接球表面积为32π.其中真命题是________(填序号)．图11­7①③⑤ [由题意知BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，则BD ⊥平面AOC ，从而BD ⊥AC ，故①正确；根据二面角A ­BD ­C 的大小为60°，可得∠AOC ＝60°，又直线AD 在平面AOC 的射影为AO ，从而AD 与CO 不垂直，故②错误；根据∠AOC ＝60°，AO ＝CO 可得△AOC 为正三角形，故③正确；在△ADC 中 ，AD ＝CD ＝4，AC ＝CO ＝22，由余弦定理得cos ∠ADC ＝42＋42－222×4×4＝34，故④错误；由题意知，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为22，则外接球的表面积为S ＝4π×(22)2＝32π，故⑤正确．]8．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC ⊥BE ；②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E ­ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1.①②③ [因为AC ⊥平面BDD 1B 1，故①，②正确；记正方体的体积为V ，则V E ­ABC ＝16V 为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．]三、解答题9．(2016·北京高考)如图11­8，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .图11­8(1)求证：DC ⊥平面PAC . (2)求证：平面PAB ⊥平面PAC .(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由．[解] (1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC ⊥DC .2分又因为DC ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ， 所以DC ⊥平面PAC .4分(2)证明：因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ， 所以AB ⊥AC .因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB . 又因为PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面PAC .8分 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAC .9分 (3)棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF .10分 理由如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF . 又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥PA . 又因为PA ⊄平面CEF ，且EF ⊂平面CEF ， 所以PA ∥平面CEF .14分10．(2016·青岛模拟)如图11­9，四棱锥P ­ABCD ，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC 的中点．图11­9(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求点D 到平面PAM 的距离．[解] (1)证明：法一：取AD 中点O ，连接OP ，OC ，AC ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形，所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD ，又OC ∩OP ＝O ，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD .5分法二：连接AC ，AM ，DM ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形，又M 为PC 的中点，所以AM ⊥PC ，DM ⊥PC ，又AM ∩DM ＝M ，AM ⊂平面AMD ，DM ⊂平面AMD ， 所以PC ⊥平面AMD ，又AD ⊂平面AMD ，所以PC ⊥AD .5分(2)由题可知，点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离，由(1)可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ­ADC 的高．在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△PAC 中，PA ＝AC ＝2，PC ＝6，边PC 上的高AM ＝PA 2－PM 2＝102， 所以S △PAC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝152.8分设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ­PAC ＝V P ­ACD 得13S △PAC ·h ＝13S △ACD ·PO ，又S △ACD ＝34×22＝3，所以13×152·h ＝13×3×3，解得h ＝2155，所以点D 到平面PAM 的距离为2155.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·乌鲁木齐三模)如图11­10，在多面体ABC ­DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AC ∥GF ，且△ABC 是边长为2的正三角形，四边形DEFG 是边长为4的正方形，M ，N 分别为AD ，BE 的中点，则MN ＝( )图11­10A.7 B ．4 C.19D ．5A [如图，取BD 的中点P ，连接MP ，NP ，则MP ∥AB ，NP ∥DE ，MP ＝12AB ＝1，NP ＝12DE＝2.又∵AC ∥GF ，∴AC ∥NP .∵∠CAB ＝60°，∴∠MPN ＝120°，∴MN ＝MP 2＋NP 2－2×MP ×NP ×cos 120°＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，故选A.]2．如图11­11，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ­BCD .则在三棱锥A ­BCD 中，下列命题正确的是( )图11­11A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABCD [∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD .又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB .又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.]3．(2016·贵阳二模)如图11­12，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，AF ，EF 把正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为P ，P 点在△AEF 内的射影为O ，则下列说法正确的是( )图11­12A ．O 是△AEF 的垂心B ．O 是△AEF 的内心C ．O 是△AEF 的外心D ．O 是△AEF 的重心A [由题意可知PA ，PE ，PF 两两垂直，∴PA ⊥平面PEF ，从而PA ⊥EF ，而PO ⊥平面AEF ，则PO ⊥EF .∵PO ∩PA ＝P ，∴EF ⊥平面PAO ，∴EF ⊥AO ，同理可知AE ⊥FO ，AF ⊥EO ，∴O 为△AEF 的垂心．故选A.]4．(2016·长沙模拟)如图11­13，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝22，则下列结论中错误的是( )图11­13A ．AC ⊥BFB ．三棱锥A ­BEF 的体积为定值C ．EF ∥平面ABCDD ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值D [对于选项A ，连接BD ，易知AC ⊥平面BDD 1B 1.∵BF ⊂平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BF ，故A 正确；对于选项B ，∵AC ⊥平面BDD 1B 1，∴A 到平面BEF 的距离不变．∵EF ＝22，B 到EF 的距离为1，∴△BEF 的面积不变，∴三棱锥A ­BEF 的体积为定值，故B 正确；对于选项C ，∵EF ∥BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，故C 正确；对于选项D ，异面直线AE ，BF 所成的角不为定值，当F 与B 1重合时，令上底面中心为O ，则此时两异面直线所成的角是∠A 1AO ，当E 与D 1重合时，点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是∠OBC 1，这两个角不相等，故异面直线AE ，BF 所成的角不为定值，故D 错误．]二、填空题5．(2016·衡水二模)如图11­14，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB ＝3BC ，将△ABE 沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，关于翻折后的几何体有如下描述：图11­14①AB 与DE 所成角的正切值是2；②AB ∥CE ；③V B ­ACE ＝16a 3；④平面ABC ⊥平面ACD .其中正确的有________．(填序号)①③④ [作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB ＝3BC ＝3a ，BE ＝a ，∴AE ＝2a .∴AD ＝AE 2－DE 2＝a ，∴AC ＝CD 2＋AD 2＝2a .在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ×BC＝3a 2＋a 2－2a 223a2＝33. ∴sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. ∴tan ∠ABC ＝sin ∠ABCcos ∠ABC＝ 2.∵BC ∥DE ，∴∠ABC 是异面直线AB ，DE 所成的角，故①正确．连接BD ，CE ，则CE ⊥BD ，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，∴CE ⊥AD .又BD ∩AD ＝D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD .又AB ⊂平面ABD ，∴CE ⊥AB ，故②错误．V B ­ACE ＝V A ­BCE ＝13S △BCE ·AD ＝13×12×a 2×a ＝a 36，故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴BC ⊥AD .又BC ⊥CD ，CD ∩AD＝D ，CD ，AD ⊂平面ACD ，∴BC ⊥平面ACD .∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD ，故④正确．故答案为①③④.]6．(2016·太原二模)已知在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D ­ABC ，当三棱锥D ­ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为________．【导学号：67722042】43π [当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ­ABC 的体积取最大值．此时易知BC ⊥平面DAC ，∴BC ⊥AD .又AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，取AB 的中点O ，易得OA ＝OB ＝OC＝OD ＝1，故O 为所求外接球的球心，故半径r ＝1，体积V ＝43πr 3＝43π.]三、解答题7．(2016·四川高考)如图11­15，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .图11­15(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .[解] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点.2分理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .4分又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .6分(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .8分因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形，10分 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .12分8．(2016·长春二模)已知等腰梯形ABCD (如图11­16(1)所示)，其中AB ∥CD ，E ，F 分别为AB 和CD 的中点，且AB ＝EF ＝2，CD ＝6，M 为BC 中点．现将梯形ABCD 沿着EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA (如图11­16(2)所示)，N 是线段CD 上一动点，且CN ＝12ND .(1) (2)图11­16(1)求证：MN ∥平面EFDA ； (2)求三棱锥A ­MNF 的体积．[解] (1)证明：过点M 作MP ⊥EF 于点P ，过点N 作NQ ⊥FD 于点Q ，连接PQ .由题知，平面EFCB ⊥平面EFDA ，又MP ⊥EF ，平面EFCB ∩平面EFDA ＝EF ，∴MP ⊥平面EFDA .又EF ⊥CF ，EF ⊥DF ，CF ∩DF ＝F ，∴EF ⊥平面CFD . 又NQ ⊂平面CFD ，∴NQ ⊥EF .又NQ ⊥FD ，EF ∩FD ＝F ，∴NQ ⊥平面EFDA ，∴MP ∥NQ .2分 又CN ＝12ND ，∴NQ ＝23CF ＝23×3＝2，且MP ＝12(BE ＋CF )＝12×(1＋3)＝2，∴MP 綊NQ ，∴四边形MNQP 为平行四边形.4分 ∴MN ∥PQ .又∵MN ⊄平面EFDA ，PQ ⊂平面EFDA ， ∴MN ∥平面EFDA .6分11(2)法一：延长DA ，CB 相交于一点H ，则H ∈CB ，H ∈DA . 又∵CB ⊂平面FEBC ，DA ⊂平面FEAD .∴H ∈平面FEBC ，H ∈平面FEAD ，即H ∈平面FEBC ∩平面FEAD ＝EF ，∴DA ，FE ，CB 交于一点H ，且HE ＝12EF ＝1.8分 V 三棱锥F ­CDH ＝V 三棱锥C ­HFD ＝13·S △HFD ·CF ＝92，又由平面几何知识得S △AMN S △CDH ＝29，10分 则V 三棱锥F ­AMN V 三棱锥F ­CDH ＝29， ∴V 三棱锥A ­MNF ＝V 三棱锥F ­AMN ＝29·V 三棱锥F ­CDH ＝29×92＝1.12分 法二：V 三棱台BEA ­CDF ＝13×EF ×(S △BEA ＋S △BEA ·S △CDF ＋S △CDF )＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12×92＋92＝133， V 四棱锥A ­BEFM ＝13×AE ×S 四边形BEFM ＝56，V 三棱锥N ­ADF ＝13×2×S △ADF ＝2，V 三棱锥N ­CFM ＝13×1×S △CFM ＝12，10分V 三棱锥A ­MNF ＝V 三棱台BEA ­CDF －V 三棱锥N ­CFM －V 四棱锥A ­BEFM －V 三棱锥N ­ADF ＝133－12－56－2＝1.12分。