运筹学课后作业及解答
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学(胡运权)第五版课后答案-运筹作业
运筹学(胡运权)第五版课后答案-运筹作业47页1.1b用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d无界解1 2 3 454321-1-6 -5 -4 -3 -2X2X12x1--2x1+3x1 2 3 44321X12x1+x2=23x1+4x2=X1.2（b）约束方程的系数矩阵A= 1 2 3 42 1 1 2P1 P2 P3 P4基基解是否可行解目标函数值X1 X2 X3 X4P1 P2 -4 11/2 0 0 否P1 P3 2/5 0 11/5 0 是43/5 P1 P4 -1/3 0 0 11/6 否P2 P3 0 1/2 2 0 是 5 P2 P4 0 -1/2 0 2 否P3 P4 0 0 1 1 是 5最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T49页13题设Xij为第i月租j个月的面积minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x1 3 +6000x23+7300x14s.t.x11+x12+x13+x14≥15x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20x14+x23+x32+x41≥12Xij≥0用excel求解为：( )用LINDO求解：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 118400.0V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTZ 0.000000 1.000000X11 3.000000 0.000000X21 0.000000 2800.000000X31 8.000000 0.000000X41 0.000000 1100.000000X12 0.000000 1700.000000X22 0.000000 1700.000000X32 0.000000 0.000000X13 0.000000 400.000000X23 0.0000001500.000000X14 12.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -2800.0000003) 2.000000 0.0000004) 0.000000 -2800.0000005) 0.000000 -1700.000000NO. ITERATIONS= 3答若使所费租借费用最小，需第一个月租一个月租期300平方米，租四个月租期1200平方米，第三个月租一个月租期800平方米，50页14题设a1，a2，a3, a4, a5分别为在A1, A2, B1, B2, B3加工的Ⅰ产品数量，b1，b2，b3分别为在A1, A2, B1加工的Ⅱ产品数量，c1为在A2，B2上加工的Ⅲ产品数量。
运筹学课后习题解答_1.(DOC)
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题min z=2x1 3x2a4x1 6x2 6 ）2x2 4 st.. 4x1x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 MABCN，且可知线段 BA上的点都为最优解，即该问题有无量多最优解，这时的最优值为3z min =23 0 3 2P47 1.3 用图解法和纯真形法求解线性规划问题max z=10x1 5x 2a ）3x1 4x2 95x1 2x2 8st..x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知 B 点为最优值点，3x1 4x2x1 1 T 9 3，即最优解为x*1,3即2x2 8x2 2 5x1 2这时的最优值为 z max =10 1 5 3 35 2 2纯真形法：原问题化成标准型为max z=10x15x23x1 4 x2x39st.. 5x12x2x48x1 , x2 , x3 ,x4 010 5 0 0c jC B X B b x1 x2 x3 x49 3 4 1 0x38 [5] 2 0 1x410 5 0 0C j Z j21/5 0 [14/5] 1 -3/5 x38/5 1 2/5 0 1/5 10x10 1 0 -2C j Z j53/2 0 1 5/14 -3/14 x21 1 0 -1/7 2/7 10x10 0 -5/14 -25/14C j Z j1,3 T1015335因此有 x*, zmax2 2 2P78 2.4 已知线性规划问题：max z 2 x1 4x2 x3 x4x1 3x2 x4 82x1 x2 6x2 x3 x4 6x1 x2 x3 9x1 , x2 , x3,x4 0求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X* (2,2,4,0) ，试依据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：min w 8 y1 6 y2 6 y3 9 y4y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1y1 y3 1y1, y2 , y3 ,y4 0（2）由原问题最优解为X* ( 2,2,4,0) ，依据互补废弛性得：y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1把 X * (2,2,4,0) 代入原线性规划问题的拘束中得第四个拘束取严格不等号，即 2 2 4 8 9 y4 0y1 2 y2 2进而有3y1 y2 y3 4y3 1得 y 4 , y2 3, y31, y 01 5 5 4( 4,3,1,0)T，最优值为w min16因此对偶问题的最优解为y*5 5P79 2.7考虑以下线性规划问题：min z 60x140x280x33x12x2x3 24x1x23x3 42x12x22x3 3x1, x2 , x30（ 1）写出其对偶问题；（ 2）用对偶纯真形法求解原问题；解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4 y23y33y1 4 y2 2 y3602 y1 y22y340y13y22y380y1, y2 , y30（2）在原问题加入三个废弛变量x4 , x5 , x6把该线性规划问题化为标准型：max z 60x1 40x2 80x33x1 2x2 x3 x4 24x1 x2 3x3 x5 42 x1 2x2 2x3 x6 3x j 0, j 1, ,6c j-60 -40 -80 0 0 0 C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6x4-2 -3 -2 -1 1 0 0x5-4 [-4] -1 -3 0 1 0x6-3 -2 -2 -2 0 0 1 C j Z j-60 -40 -80 0 0 0x41 0 -5/4 5/4 1 -1/12 080x11 1 1/4 3/4 0 -1/4 0x6-1 0 [-3/2] -1/2 0 -1/2 1C j Zj0 -25 -35 0 -15 0x411/6 0 0 5/3 1 1/3 -5/680x15/6 1 0 2/3 0 -1/3 1/640x22/3 0 1 1/3 0 1/3 -2/3C j Zj0 0 -80/3 0 -20/3 -50/3x* ( 5 , 2 ,0) T , z max 60 5 40 2 80 0 2306 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、资料等相关数据见下表。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学课后习题答案
6
5
6
3
σ34=15+50=1;至此;六个闭回路全部计算完 ;σ11=4;σ14=2;σ22=0;σ31=2;σ32=2;σ34=1;即全部检验数σ均 大于或等于0 即用上述三种方法计算中;用沃格尔法计算所
得结果z*=35为最优解
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16
表329
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
3
7
22
4
A3 销量
4
33
3
3
B3
6 3 28 2
B4 B5 产量
1 4 30
5
⑤
2
0
2②
15 0
6⑧
2
3
③
④
⑦
⑥
①
x11=1;x14=1;x15=3;x21=2;x32=3;x33=2;x34=1;总费用=1×3 ＋1×4＋3×0＋2×2＋3×3＋2×8＋1×5＝41
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18
②西北角法求解：
3 2 运输问题的基可行解应满足什么条件 试判断形表 326和表327中给出的调运方案是否作为表上作业法迭 代时的基可行解 为什么
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1
表326
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
0
A2
A3
5
销量
5
15
15
15
10
25
5
15
15
10
解：表326产地个数m=3;销地个数n=4;m+n1=3+41=6个;而 表326中非零个数的分量为5个≠6个;所以表326不可作为表上 作业法时的基可行解
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
第四版运筹学部分课后习题解答
第四版运筹学部分课后习题解答篇一：运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案运筹学基础及应用习题解答习题一P461.1(a)41的所有?x1,x2?，此时目标函数值2该问题有无穷多最优解，即满足4x1?6x2?6且0?x2?z?3。
(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。
1.2(a)约束方程组的系数矩阵?1236300A??81?4020??30000?1最优解x??0,10,0,7,0,0?T。
(b) 约束方程组的系数矩阵?1234?A2212?????211?最优解x??,0,,0?。
5??5T1.3(a)(1) 图解法最优解即为??3x1?4x2?935?3?的解x??1,?，最大值z?5x?2x?822??2?1(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z?10x1?5x2?0x3?0x4?3x?4x2?x3?9s.t. ?1?5x1?2x2?x4?8则P3,P4组成一个基。
令x1?x2?0得基可行解x??0,0,9,8?，由此列出初始单纯形表?1??2。
??min?,89??53?8 5?2?0，??min??218?3,??142?2?335?1,?2?0，表明已找到问题最优解x1?1, x2?,x3?0 ,x4?0。
最大值z*?22(b)(1) 图解法6x1?2x2x1?x2?最优解即为??6x1?2x2?2417?73?的解x??,?，最大值z?2?22??x1?x2?5(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z?2x1?x2?0x3?0x4?0x5?5x2?x3?15?s.t. ?6x1?2x2?x4?24?x?x?x?5?125则P3，P4，P5组成一个基。
令x1?x2?0得基可行解x??0,0,15,24,5?，由此列出初始单纯形表?1??2。
??min??,??245?,??461?3?3?15,24,??2?2?5?2?0，??min?新的单纯形表为篇二：运筹学习题及答案运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
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课后练习
1.1 ( b ) ( d )
s.t
s.t
无可行解 无界解
1.2 找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解 ( b )
s.t
解：系数矩阵如下：
1 2 3 4 2 2 1 2
1.3 用单纯型法求解
解：（1）化标准型
s.t s.t
单纯型表
1.11建模
解：设为第i个月鉴定j 个月仓库租用合同的面积（100 ）
s.t
1.12 建模
解：设i=1,2,3 代表产品Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，j=1，2，代表适用设备，
K=1,2,3 代表适用设备
代表使用设备生产i产品的数量
s.t
2.1 写出下列问题的对偶问题
（a）对偶问题
s.t s.t
（d ）对偶问题
s.t s.t
2.12 解：设生产A--- 件；B--- 件；C---
（a ）
s.t
求解得：
( b ) 产品A的变动在-0.6---1.8之间时，利润z 不变
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 27.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 5.000000 0.000000
X2 0.000000 2.000000
X3 3.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.200000
3) 0.000000 0.600000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3.000000 1.800000 0.600000 X2 1.000000 2.000000 INFINITY X3 4.000000 1.000000 1.500000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
2 45.000000 15.000000 15.000000
3 30.000000 15.000000 7.500000
( c ) 设生产D--件
s.t
整数规划求解得
（d ）设购进y 单元材料
s.t
解得：
6.4 分别用破圈法和避圈法求最小部分树
2+3+4+3+1+2+1=16
（红色部分）2+2+6+1+1+2+5+4+5+4=32
6.7 用标号法求最短路
（a ）
( b )
6.12 求最大流，并标出最小割集
（ b ）
14
？？？？
最大流：13 无最小割集
9
8
5
1
7
4
7
2
8
4
3
10
9
10
8
14
11
13
7.1 绘制PERT网络图
表7—8
7.3绘图并找出最早开始与最早结束时间，最迟开始与最迟结束时间，总时差与自由时差，关键路线。