2011高数2期末第6
2011高考全国Ⅱ卷数学(解析版)
2011年高考题全国卷II 数学试题·理科全解全析 科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科) 知识点检索号新课标 题目及解析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=（A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i 【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。
【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥ 【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B .在函数2(0)y x x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以2(0)y x x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. （3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二：利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选D .22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
11级高数期末复习题答案
高等数学2期末复习题一参考解答一、 填空题：（共10小题，每小题2分，共20分） 1、12； 2、01(,)xdx f x y dy --⎰⎰； 3、2； 4、225y z x +=；5、1;6、(0，0),(1，1)；7、(),f x y 在点()00,x y 处偏导数存在且连续或()()00000,,lim0,x y z f x y x f x y yρρ→''∆-∆-∆=ρ=8、!)2(ln n n；9、3,11,2,3,(1)n n u n n n =⎧⎪=⎨=⎪-⎩1()n n n u S S -=-； 10、3512x xy C e C e -=+。
二、 单项选择：（共5小题，每小题2分，共10分） 1、D ； 2、C ； 3、A ； 4、A ； 5、B 。
三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分） 1、解 因为22211,1()z y xxyx yy ∂==∂++22221()1()z x x xyyx yy ∂-=-=∂++ ………6分所以22220xy xy z z xyxyx yx y∂∂+=-=∂∂++ ………7分2、解 由2y xy x=⎧⎨=⎩, 得交点(0,0),(1,1). ………1分2110sin x yxx x dy dx dx dyxx=⎰⎰⎰………5分112sin ()sin (1)x x x dx x x dxx=-=-⎰⎰………6分1sin 1=- ………7分3、解 方程可变形为()222111dx y x dyy y y +=++ ………2分所以方程的通解为()()()()222222ln 1ln 111221111y ydy dy y y y y x e e dy C e e dy C y y y y --++++⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎢⎥⎢⎥=+=+⎰⎰++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]22111ln 11dy C y C y y y ⎡⎤=+=+⎰⎢⎥++⎣⎦ ………6分将()11y =代入通解，得2C =。
2011华南理工大学高等数学下期末考试答案
2011-2012学年第二学期《高等数学》答案一．填空题（每小题4分，共20分）1.函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；2.函数44222z x y x xy y =+---的极值点是()()1,1,,1,1--；3.假设L 为圆222x y a +=的右半部分，则22Lx y ds +=⎰____2a π；4.设22e sin (2)x A y xy z xzy =+++i j k ，则(1,0,1)div |A = 0 ，5.设13y =，223y x =+，233e x y x =++都是方程22(2)(2)(22)66x x y x y x y x '''---+-=-的解，则方程的通解为 2123e x y c x c =++．二.(本题8分）计算三重积分222()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由2221x y z ++=所围成的闭球体．解：⎰⎰⎰⋅=122020sin dr r r d d ϕϕθππ4’π54= 4’三. （本题8分）证明：(),f x y xy =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证 ()0l i m 00,0x y x y f →→== ，故(),f x y 在点()0,0处连续； 2’又由定义()()(),00,00,0lim00x x f x f f x →-==-， ()0000,0lim00y y y f y →⋅-==-； 2’但22000limxy x yx yρ→--⋅-⋅+不存在，故在()0,0 处不可微。
4’四．（本题8分）设函数),(y x u 有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式θθsin ,cos r y r x == ，将xuyy u x∂∂-∂∂变换为θ,r 下的表达式. 解,u u r u u u r ux r x x y r y yθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2’ 再由cos ,sin x r y y θθ==，分别对,x y 求导数，得1cos sin 0sin cos r r x x r r x x θθθθθθ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩和0cos sin 0sin cos r r y y r r y y θθθθθθ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解得sin cos ,r x x r θθθ∂∂==-∂∂，cos sin ,r y x rθθθ∂∂==∂∂从而sin cos u u u x r r θθθ∂∂∂=-∂∂∂，cos sin u u u y r r θθθ∂∂∂=+∂∂∂， 4’ 所以x u yy u x ∂∂-∂∂=θ∂∂u2’五．（8分）计算22d d L x y y xx y -+⎰ ,其中L 为（1）圆周()()22111x y -+-=（按反时针方向）；解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式0= 4’ （2）闭曲线1x y +=（按反时针方向）．解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++， 原式()1122d d d d 1001120.01L L Dx y y x x y y x dxdy x y π--===+=+⎰⎰⎰⎰ 4’六．（8分）计算d y S ∑⎰⎰，∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分． 解： 4,1,1x y z x y z z =--=-=-，1113dS dxdy dxdy =++=，:01,02D r θπ≤≤≤≤ 原式3D ydxdy =⎰⎰4’1232203sin 3cos 03ar d r dr ππθθθ==-⋅=⎰⎰ 4’七.（8分）计算曲面积分2I yzdzdx dxdy ∑=+⎰⎰，其中∑为上半球面224z x y =--的上侧解 取1∑为xOy 平面上圆224x y +≤的下侧，记Ω为1∑与∑所围的空间闭区域。
2011年高考全国2卷数学理科详细解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅱ卷理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：（每小题５分，共60分）1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=（ ）A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i 【详细解析】1(1)(1)(1)1211zz z i i i i i --=+--+-=---=-【考点定位】复数与共轭复数的概念及复数的四则运算法则，考查复数的运算，属于简单题。
2．函数y =0x ≥）的反函数为（ ）A ．24x y =（x R ∈）B ．24x y =（0x ≥）C ．24y x =（x R ∈） D ．24y x =（0x ≥）【详细解析】由y =0x ≥），得20,2y y x ≥=，故反函数为2(0)4x y x =≥ 【考点定位】考查反函数的求法。
属于简单题。
3．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要条件是（ ）A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >【详细解析】由a b >，可得1a b >+，反之不成立，故选A 【考点定位】考查不等式的性质与充要条件问题。
属于简单题。
4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【详细解析】()222221,244245n n k k a n S n S S k k k k +=-=-=+-=+=∴=【考点定位】考查等差数列的前n 项和公式及计算，属于简单题。
2011-2012(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
u(x,
y)
，
f
,
可导，且
(u)
1，
g
连续，
y
证明： g( y)
z x
g(x)
z y
0
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1. xoy 平面上的曲线 x y 2 1 绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为____ 。
2.
若
1
dx
1
xf
(
y)dy
1,
则
1 f (1 x)dx
0
0
0
。
3. 曲面 z e z 2xy 3 在点(1,2,0) 处的一个法线向量与oy 轴正向的夹角成钝角，则它与ox 轴正 向夹角的余弦cos ______。
。 。
二、解答下列各题(每小题 8 分,，总计 80 分)
1.
求过两直线 பைடு நூலகம்1
:
x2
y 2
z 1 1
与
l
2
:
x 1 2
y 0
z
2 1
的平面方程，并求两直线的夹角。
2.
设u
f (x 2 , xy, x
y) ，
f
具有连续的二阶偏导，求
u x
,
2u xy
。
3.
求曲线
2
x2 3x 2
3y2 y
z 2
9. 求 y 2 y 3y (2x 1)e x 的通解。
10. 设 f (x) 可导，且 f ( ) 1 ，又 y(sin x f (x)) dx f (x)dy 在右半平面与路径无关，求 f (x) 。
L
x
三 证明题（本题 8 分）
设 z f (u),由u (u)
2011年全国高考2卷理科数学试题及答案
2011年全国高考2卷理科数学试题及答案2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，共三大题21小题，总分150分，考试时间120分钟。
考生答题前需在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
选择题需用2B铅笔将答案标号涂黑，如需更改，需用橡皮擦干净后重新涂写。
填空题和解答题需使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的对应区域内回答，试题卷上的回答无效。
考试结束时，请一并上交试题卷和答题卡。
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+i，z为其共轭复数，则zz-z-1=A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.函数y=2x(x≥0)的反函数为A)y=(x∈R)B)y=(x≥0)C)y=4x2(x∈R)D)y=4x2(x≥0)3.以下四个条件中，使a>b成立的充分必要条件是A)a>b+1B)a>b-1C)a>bD)以上条件都是4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，且Sk+2-Sk=24，则k=A)8(B)7(C)6(D)55.已知函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图像向右平移2π/3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A)1/3B)3C)6D)96.已知直二面角α-ℓ-β，点A∈α，AC⊥ℓ，C为垂足，B∈β，BD⊥ℓ，D为垂足，且AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于A)2√3/3B)√2C)1D)2√3/37.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A)4种B)10种C)18种D)20种8.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=-x和y=x围成的三角形的面积为A)1/12B)1/2C)1/3D)1/329.设f(x)是周期为2的奇函数，当-1≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-5/4)=A)-11/16B)-1/4C)1/4D)11/16210.已知抛物线C：y=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A、B两点，则cos∠AFB=(A)解析：首先，求出抛物线C的准线方程为y=-4x，焦点为F(0,1)。
2011年(全国卷II)(含问题详解)高考文科数学
2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则(M∩N)＝( ) A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}2、函数y＝2(x≥0)的反函数为( )A． (x∈R) B． (x≥0)C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0)3、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，，则|a＋2b|＝( )A. B． C．D．4、若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为( ) A．17 B．14 C．5D．35、下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2D．a3＞b36、设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k ＝( )A．8 B．7 C．6D．57、设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A．B．3 C．6D．98、已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D 为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝…( )A．2 B． C．D．19、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种B．24种C．30种 D．36种10、(5分)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－5/2)＝( )A． B． C．D．11、设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B． C．8 D．12、已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为( ) A．7π B．9π C．11π D．13π二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 20 分)13、 (1－x)10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为______．14、已知，tanα＝2，则cosα＝______.15、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．16、已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝______.三、解答题 ( 本大题共 6 题, 共计 70 分)17、设等比数列{a n}的前n项和为S n.已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求a n和S n.18、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.（1）求B；（2）若A＝75°，b＝2，求a，c.19、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（2）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20、如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1.（1）证明：SD⊥平面SAB；（2）求AB与平面SBC所成的角的大小．21、已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)．（1）证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)；（2）若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1，3)，求a的取值范围．22、已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P满足. （1）证明：点P在C上；（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分) DM∩N＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}，又∵U＝{1，2，3，4}，∴(M∩N)＝{1，4}．2、(5分) B由 (x≥0)得 (y≥0)，∴，∴反函数为 (x≥0)．3、(5分) B由|a|＝|b|＝1，，得.4、(5分) C由x，y的约束条件画出可行域如图：设l0：，则过A点时，z的值最小．由得A(1，1)，∴z min＝2×1＋3×1＝5.5、(5分) AA项中a＞b＋1＞b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b ＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．6、(5分) D由S k＋2－S k＝24，∴a k＋1＋a k＋2＝24，∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，∴2a1＋(2k＋1)d＝24.又a1＝1，d＝2，∴k＝5.7、(5分) C由题意得：为函数f(x)＝cosωx的最小正周期的正整数倍，∴(k∈N*)，∴ω＝6k(k∈N*)，∴ω的最小值为6.8、(5分) C如图，AB＝2，AC＝BD＝1，连结BC，则△ABC为直角三角形，∴.又△BCD为直角三角形，∴.9、(5分) B先从4人中选2人选修甲课程，有种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有种方法．10、(5分) A∵f(x)是周期为2的奇函数，∴11、(5分) C由题意可设两圆的方程均为：(x－r)2＋(y－r)2＝r2.将(4，1)代入，可得：(4－r)2＋(1－r)2＝r2，∴r2－10r＋17＝0.∴此方程两根r1，r2分别为两圆半径，∴两圆心的距离12、(5分) D由题意可得截面图形．∵圆M的面积为4π，∴圆M的半径为2.∵α与β所成二面角为60°，∴∠BMC＝60°.在△OMB中，∠OMB＝90°，MB＝2，OB＝4，∴∠OBM＝60°. ∴OB∥CD，.在△OMN中，∠OMN＝30°，，∴.∴.∴圆N的面积为.二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 20 分)解析：(1－x)10的通项公式.∴，，∴系数之差为.14、(5分)解析：∵α∈(π，)，tanα＝2，∴.又sin2α＋cos2α＝1，∴5cos2α＝1，∴.15、(5分)解析：如图，连结DE.∵AD∥BC，∴AE与BC所成的角，即为AE与AD所成的角，即∠EAD. 设正方体棱长为a，∴，∴，∴.解析：F1(－6，0)，F2(6，0)，M(2，0)，∴|F1M|＝8，|MF2|＝4.由内角平分线定理得：，又|AF1|－|AF2|＝2a＝2×3＝6，∴2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝6.三、解答题 ( 本大题共 6 题, 共计 70 分)17、(10分) 解：设{a n}的公比为q，由题设得解得或当a1＝3，q＝2时，a n＝3×2n－1，S n＝3×(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，a n＝2×3n－1，S n＝3n－1.18、(12分) 解：（1）由正弦定理得.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.故，因此B＝45°.（2）sin A＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.故，.19、(12分) 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．（1）P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.（2），P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝×0.2×0.82＝0.384.20、(12分)解法一：（1）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2. 连结SE，则SE⊥AB，.又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角．由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD. SD与两条相交直线AB、SE都垂直．所以SD⊥平面SAB.（2）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，.作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1.连结SG，则SG⊥BC.又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG.作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.，即F到平面SBC的距离为.由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为. 设AB与平面SBC所成的角为α，则，.解法二：以C为坐标原点，射线CD 为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)．又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，（1）＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由得，故x＝1.由得y2＋z2＝1，又由得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故，.于是，，，，，.故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.（2）设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则，，，.又，，故取p＝2得．又，.故AB与平面SBC所成的角为.21、(12分) 解：（1）f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a.由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a，得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)．（2）由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0.①当时，f(x)没有极小值；②当或时，由f′(x)＝0，得，，故x0＝x2.由题设知1＜－a＋＜3.当时，不等式无解；当时，解不等式，得.综合①②得a的取值范围是(，)．22、(12分) 解：（1）F(0，1)，l的方程为，代入并化简得.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，则，，，，由题意得，y3＝－(y1＋y2)＝－1.所以点P的坐标为．经验证，点P的坐标)满足方程，故点P在椭圆C 上．（2）由P和题设知，Q，PQ的垂直平分线l1的方程为.①设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②由①②得l1、l2的交点为N，，，，，，故|NP|＝|NA|.又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．。
昆明理工大学2011级《高等数学》A(2)期末试卷及参考答案
昆明理工大学2011级《高等数学》A （2）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共20分）1.设),(y x f z =在点),(00y x 处取极小值，则函数),()(0y x f y =ϕ在0y 处（ ）。
)(A 取最小值，)(B 取最大值，)(C 取极大值，)(D 取极小值。
2.已知全微分dy y x dx xy x y x df )()2(),(222-++=，则).(),(=y x f,33)(323y y x x A +-,33)(323y y x x B --,33)(323y y x x C -+.33)(323C y y x x D +-+3.设),0(:222>≤+a a y x D 要使,222π=σ--⎰⎰d y x a D则.)(=a.21)(,43)(,23)(,1)(333D C B A 4.微分方程y y dxdyxln =满足条件2)1(e y =的特解为.)(=y .)(,)(,)(,)(2221xe D e C e B eA xx x+5. 微分方程x xe y y 22='-''的特解*y 的形式为.)(.)()(,)(,)(,)()(22222x x x x e B Ax x y D e Ax y C Axe y B e B Ax y A +===+=****二、填空题（每小题4分，共20分）1.过曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于,0122=-++z y x 则P 点的坐标是 .2.设10,10:≤≤≤≤y x D ，则=-⎰⎰dxdy x y D.3.设曲面∑为上半球面229y x z --=的上侧，则zdxdy ∑=⎰⎰ .4.设曲线L 为)0(222>=+a ax y x ，则=⎰Lds .5设)(x ϕ在),0(+∞有连续导数，,1)(=πϕ要使积分dy x dx xyx x I L)()]([sin ϕ+ϕ-=⎰在0>x 时与路径无关，则=ϕ)(x .三 (9分).设),(y x z z =是由0),(=--bz y az x F 确定的隐函数，而),(v u F 可微，验证1z zab x y∂∂+=∂∂.四(9分)计算,222dv z y x I ++=⎰⎰⎰Ω其中Ω是.2222z z y x ≤++五(9分)用格林公式计算,)2(2ydx x dy x xy I L--=⎰其中L 为闭区域41:22≤+≤y x D 的正向边界曲线。
2011高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂[来源:Z§xx§]足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于(A)3 (B)3 (C)3(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种[来源:学科网](8)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23(D)1(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1第Ⅱ卷 注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011级本科高等数学(二)期末试题及解答A(多学时、经180)
2011级本科高等数学（二）期末试题及解答A（理工类多学时、经管类多学时）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.z x y x (,)000=和z x y y (,)000=是可微函数z z x y =(,)在点(,)x y 00处取得极值的（ A ）.(A) 必要条件但非充分条件； (B) 充分条件但非必要条件； (C) 充要条件； (D) 既非必要条件也非充分条件. [经180]二阶常系数线性差分方程2120x x x y y y ++++=的通解为（ A ）.(A)*12()(1)x x y A A x =+-； (B) *12()(2)xx y A A x =+-；(C) *12()2x x y A A x =+； (D) *12()1x x y A A x =+.2. 设u xy =，则22(1,1)u x∂=∂（ B ）.(A)12； (B) 14-； (C)1； (D)0.3. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=,则该方程有特解（ B ）. (A) y x =； (B) x y e =； (C) x y e -=； (D) sin y x =.4. 设21()DI x y dxdy =+⎰⎰，32()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中22:(2)(2)2D x y -+-≤，则1I ，2I 的大小关系是 ( C ).(A)12I I >； (B) 12I I =； (C) 12I I ≤； (D) 12I I ≥.5. 设222222()d ,:4I f x y z V x y z z Ω=++Ω++≤⎰⎰⎰，f 为连续函数，则I =（ D ）.(A) ()4cos 2220d d sin d f r r r ππϕθϕϕ⎰⎰⎰； (B) ()24cos 22202d d sin d f r r r ππϕθϕϕ⎰⎰⎰； (C) ()24cos 220d d sin d f r r r ππϕθϕϕ⎰⎰⎰； (D) ()24cos 2220d d sin d f r r r ππϕθϕϕ⎰⎰⎰.[经180] 曲线cos (0)2y x x π=≤≤与2x π=及0y =所围的平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积为（D ）.(A) 2π； (B)π； (C) (2)ππ+； (D)(2)ππ-.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6. 幂级数12n nn x n ∞=∑的收敛半径R = 1/2 .7. 若2(,)sin()f x y y x x x y =++-，则(,)x f x x '= 3x . 8. 设函数()f u 可微，且1(0)4f '=，则22(4)z f x y =-在点（1，2）处的全微分 (1,2)dz= 2dx dy - .9. 交换二次积分的次序()()2224111211d ,d d ,d x x x x f x y y x f x y y -+----+⎰⎰⎰⎰222204d (,)d y y y y f x y x ---=⎰⎰.10. 设曲线2224:1x y z L z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分22221d 23Lz s x y z π+=++⎰. [经180] 二重积分2221()d d 2x y x y x y π+≤+=⎰⎰.三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．求极限00ln(1sin())lim1xy x y xy e →→+-． 解：00ln(1sin())lim1xy x y xy e →→--00sin()lim x y xy xy →→-= （4分） 00lim1x y xyxy →→-==-． （8分）12．设2(,)sin()x y f x y xy e -=-，求(0,1)x f ，(0,1)y f ．解：22cos()x y x f y xy e -=- （3分） 22cos()x y y f xy xy e -=+ （6分） 1(0,1)1x f e -=-，1(0,1)y f e -=． （8分）13.设2322(,,)u x y z x y y z xz =++，求)1,1,1(du ．解：322x u xy z =+，2232y u x y yz =+，22z u y xz =+ （3分） (1,1,1)3x u =，(1,1,1)5y u =，(1,1,1)3z u = （5分） (1,1,1)353du dx dy dz =++． （8分）14. 设,e x x z f y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：121x z f ye f x y∂=+∂ （4分） 221112221232e 1(1)e e x x x z x f x f y f f f x y y y y∂=-+-+-+∂∂. （8分） 15.计算曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰ , 其中L 是取圆周229x y +=的正向闭曲线.解: ,,Q P x x x y∂∂=-=-∂∂2422.Q P x y∂∂-=-∂∂2 （4分） 由格林公式,有 原式().Dd σππ=-=-⋅⋅=-⎰⎰222318 （8分） [经180] 计算二重积分{}222d d ,(,)02Dx y x y D x y x y y +=≤≤-⎰⎰.解 2sin 22220d d d d Dx y x y πϕϕρρ+=⎰⎰⎰⎰（4分）320816sin d 39πϕϕ==⎰. （8分）16．设曲线段2:(01)L y x x =≤≤上任意一点(,)x y 处的线密度函数12x μ=，求该曲线段的质量.解 12d Lm x s =⎰ （4分）1201214d 551x x x =+=-⎰. （8分）[经180] 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2x y +.解: 依题意: ',().y x y y =+⎧⎨=⎩200 （3分）则： x y x Ce =--+22. （6分）把 ()y =00 代入上式, 得C =2.故().x y e x =--21 （8分）四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 17．利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰ ,其中∑是长方体：{}(,,)0,0,0x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤整个表面的外侧. 解: ,,.Px Q y R z === （2分）,,PQRxy z∂∂∂===∂∂∂111 （3分） 则由高斯公式有原式().dv abc Ω=++=⎰⎰⎰1113 （6分）[经180]已知曲线22:4z x y C x y z ⎧=+⎨++=⎩，求C 上距离原点最远的点和最近的点，并求最远距离和最近距离.解 22222()(4)L x y z x y z x y z λμ=++++-+++-， （2分）220x L x x λμ=++=，220y L y y λμ=++=,20z L z λμ=-+=,220x y z +-=,40x y z ++-=解得12(2,2,8),(1,1,2)M M --， （4分） 由问题的实际意义知，1M 为最远点，2M 为最近点max min 62,6d d ==. （6分）18．求级数20(1)!nn n x n ∞=+∑的收敛区间及和函数.解：222(1)1!lim lim(1)(2)2(1)!n n n n n R n n n n →∞→∞++⎛⎫==+=+∞ ⎪++⎝⎭+ 所以收敛区间为(,)-∞+∞. （2分）令20(1)()!nn n S x x n ∞=+=∑，则211000(1)11()()!!!xxn n nn n n n n n S x dx x dx x x x xS x n n n ∞∞∞+===+++====∑∑∑⎰⎰（4分） ()1100001()(1)!!!n n x n x x n n n n x x S x x dx x xe x e n n n +∞∞∞==='''⎛⎫⎛⎫+⎛⎫'=====+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰ ()2()(1)(31)x x S x x x e x x e '=+=++ （6分） [经180] 求级数01!nn n x n ∞=+∑的收敛区间及和函数. 解：222(1)1!lim lim(1)(2)2(1)!n n n n n R n n n n →∞→∞++⎛⎫==+=+∞ ⎪++⎝⎭+ 所以收敛区间为(,)-∞+∞. （3分） 令01()!nn n S x x n ∞=+=∑，则 ()100001()(1)!!!n n x n x x n n n n x x S x x dx x xe x e n n n +∞∞∞==='''⎛⎫⎛⎫+⎛⎫'=====+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰ （6分）五、解答题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19. 将函数()ln(3)f x x =+展开成幂级数.解：()1001111(1)ln(3)()333331()3n n n n n n x x x x x ∞∞+==-'+==⋅=-=+--∑∑，3x <（3分）11100(1)(1)ln(3)ln 333(1)n n xn n n n n n x x dx x n ∞∞+++==--+-==+∑∑⎰. 110(1)ln(3)ln 33(1)nn n n x x n ∞++=-+=++∑ （5分）20. 设函数(,)z f x y =具有二阶连续偏导数，且满足方程：2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂，作变换23u x yv x y=-⎧⎨=+⎩，求在新变量(,)u v 下，方程2222260z z z x x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂的形式. 解：,23z z z z z z x u v y u v∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂ （2分） 22222222z z z zx u u v v ∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂，22222223z z z zx y u u v v∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂ 22222224129z z z zy u u v v ∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ （4分） 所以，222226z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂225zu v∂∂∂，原方程可化为2z u v∂∂∂＝0 （5分）。
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工科高数Ⅱ第五章 作业解答48页习题 3.（2）z =；解：函数定义域为22{(,)12},D x y x y =<+≤是有界的连通集 (3) ln[ln()]z x y x =-解：函数定义域为{(,)0101}D x y x y x x y x =<-<>->且0<或且 是无界不连通的开集。
7.求下列极限 （7）20sin()limx y xy y→→20sin()=lim2x y xy xxy→→=解：原式63页习题2.求下列函数的偏导数： （1）33z x y y x =-2332:3,3x yz x y y z x xy ''=-=-解 （3）z =11x yz y xy z x xy'=⋅='=⋅=解：（6）(1)yz xy =+ 121ln(1)(1)(1),[](1)[ln(1)];1y y xy xy y yy z y xy y y xy xy z e xy xy xy--⋅+'=+⋅=+''==+⋅+++解：7. 221,21,22,z x y =+求函数在点（）处从点（）到点（方向的方向导数。
(1,2)(1,2)(1,2(1,2)(1,2)1,22,,1cos ,cos 222,4,=cos cos 1l l z z xyz z z lxyαβαβ====∂∂==∂∂∂∂∂⋅+⋅=+∂∂∂）解：设从（）到（的方向向量为则且方向余弦为又所以方向导数为64页习题14.求下列函数的全微分。
（3）z =2222223322222211)()()dz d ydx y x yxyxdx dyx y x y ==-+=--+=-+++解：15. 22(1)ln(1)1,2z x y =++求在点（）处的全微分 22222222(1,2)1ln(1)=(1)11(22),1121,233dz d x y d x y x yxdx ydy x ydzdx dy=++++++=+++=+解：因为所以在点（）处的全微分65页习题31. 22222,.z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂求下列函数的和(2)sin()z x x y =+22222sin()cos(),cos()cos()cos()sin()2cos()sin();sin();cos()sin()z x y x x y xz x x y y z x y x y x x y xx y x x y z x x y yz x y x x y x y∂=+++∂∂=+∂∂∴=+++-+∂=+-+∂=-+∂∂=+-+∂∂ 解：71页习题1. 求下列函数的全导数： （2）23,sin ,,x ydz z ex t y t dt-===设而求；3222sin 22=cos 23(cos 6)x yx yt tdz z dx z dy dt x dt y dt e t et et t ---∂∂+∂∂=⋅-⋅=-解：2. 求下列函数的一阶偏导数： （2）2ln ,,32;x v v x y y==-设z=u 而u222212ln 323ln(32);(32)z z u z v x u x v x uu v yvx xx y yy x y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂=+=-+-解： z z u z v yu yv y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂2222322ln (2)22ln(32);(32)x uu v yvx xx y yy x y -=+--=--- （3）2222,cos ;u x y z z x y =++=设而3224222cos 24cos ;22(sin )2sin 2u u u z xxz xx z x y x x y u u u z yy z yy zx y y x y∂∂∂∂=+∂∂∂∂=+⋅=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂=+-=-解:3. 求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶偏导数）： （1）(,),,;u f x y x s t y st ==+=而 12121;1;u f x f y s x s y s f f t u f x f y t x ty tf f s ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅解：72页习题9. 求下列函数的二阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： （1）22();z f x y =+ 222222222;2,24;224;224;24z z f x f y xyz f x f xz xf y xyf x y z yf x xyf y x z f y f y∂∂''=⋅=⋅∂∂∂'''∴=+∂∂''''=⋅=∂∂∂''''=⋅=∂∂∂'''=+∂ 解：。
（3）(,);x z f x y=12222111221222221222222322212122222222222322341;,111;1;11();22z z xf f f xy y yz f f f f x y y yz x x f f f x yyy yz x f f f y x yyyz x x x x x f f f f yyyyyy∂∂-'''=+⋅=⋅∂∂∂''''''''=+⋅+⋅+∂∂--'''''∴=-+∂∂∂'''''=--+⋅∂∂∂-''''''=-=+∂ 解：。
77页习题4. 求由下列方程确定的函数的导数或偏导数。
（1）2sin 0;x y e xy +-= 222(sin )0,cos 20,cos 2xxxd ye xy ydy e dx y dx xydy dy y edxy xy+-=+--=-=-解：对方程两边微分，得：即所以。
（2）lnarctan;y x =2222(ln(arctan),12)()=,y d d xxy xdx ydy dy dx x yxxxdx ydy xdy ydx dy x y dxx y=+=-++-+=-解：对方程两边微分，得：即所以也即78页习题7. ,sin()0,x yx y ex z x y dz ++=设是由方程所确定的的函数，求。
(sin())0,sin()()cos()()0sin()cos()sin()cos()cos()(1tan())tan()x yx yx yx yx yx y x yx yd e x z ex z dx dy e x z dx dz ex z ex z e x z dz dx dyex z ex z x z dx x z dy+++++++++=+++++=++++=--++=-++-+解：对方程两边微分，得：即11. 2330,z z xyz x y∂-=∂∂设求。
32222222222(,,)33;3;33;()()(2)()(2)()x y z y x z z F x y z z xyzF yz F xz F z xyF F z yzzxz xF z xy yF z xy z z z xy z y yz zx z yy x y z xy z z z yyz zx yy z xyz xy =-'''=-=-=-''∂∂∴=-==-=''∂-∂-∂∂-+--∂∂∂=∂∂-∂∂+--∂∂=+-- 解：设则32332223532223()2()2()z z xy xyz xyz x y zz xy z xyz x y zz xy --+-=----=-12.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）22222230z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩22642222484;12412136412622126124122664x dz dy y x dx dxdz dy z y x dx dx xy x y dz xy xy x y dxy yzzz y x z x dy x xz x xz y dxy yzy yzzy⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩---===-++-----===-++解：对方程组中两方程求关于的导数：93页习题1. 求下列函数的极值：221(,)4();420420(2,2),2,0,2(2,2)2,(2,2)0,x y xxxy yy xxxy f x y x y x y f x f y f f f A f f =---'=-=⎧⎨'=--=⎩''''''-=-==-''''=-=--=（）解：由解得驻点又因为所以2(2,2)2,40,20,(2,2)(2,2)8yyf AC B A f ''-=-∆=-=>=-<--=则且故在可取得极大值，极大值为。
(5). 22(,)2ln 2ln ,(0,0);f x y x y x y x y =+-->>222220,220222;0;2,(1,1)4;(1,1)0;(1,1)4,1600,(1,1)(1,1)2x yxxxyyy xxxy yy f x x f y y f f f xyA f f f A CB A f ⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩''''''=+==+''''''====∆=-=>>= 解：由解得驻点(1,1),又则又所以函数在取得极小值，极小值为。
3.求下列函数在指定条件下的条件极值：(2) 14(,),3f x y x y xy=++=如果221233143()314()+0,(3)1,3;28()+(3)x y f x xxf x xx x x f x xx +==+-'=-=-==-''=- 解：由有解得驻点又8(1)30;(3)0216(1,2)3;1(3,6)(3,6)3f f f f ''''∴=>-=-<=--=所以函数在(1,2)取得极小值，为在取得极大值，为。
5. (,0)y a =求曲线动点到定点的最小距离。