计算机图形学(Hermite curve)
计算机图形学 答案
计算机图形学Ⅰ专业：计算机科学与技术计算机科学与技术20922012年12月第1章绪论1、计算机图形学的概念？（或什么是计算机图形学？）计算机图形学是研究怎样利用计算机表示、生成、处理和显示图形的(原理、算法、方法和技术)一门学科。
2、图形与图像的区别？图像是指计算机内以位图(Bitmap)形式存在的灰度信息；图形含有几何属性，更强调物体（或场景）的几何表示，是由物体（或场景）的几何模型(几何参数)和物理属性(属性参数)共同组成的。
3、计算机图形学的研究内容？计算机图形学的研究内容非常广泛，有图形硬件、图形标准、图形交互技术、光栅图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法，以及科学计算可视化、计算机动画、自然景物仿真和虚拟现实等。
4、计算机图形学的最高奖是以 Coons 的名字命名的，而分别获得第一届（1983年）和第二届（1985年）Steven A. Coons 奖的，恰好是 Ivan E. Sutherland 和 Pierre Bézier 。
5、1971年，Gourand提出“漫反射模型+插值”的思想，被称为 Gourand 明暗处理。
6、1975年，Phong提出了著名的简单光照模型—— Phong模型。
7、1980年，Whitted提出了一个光透明模型—— Whitted模型，并第一次给出光线跟踪算法的范例，实现了Whitted模型。
8、以 SIGGRAPH 会议的情况介绍，来结束计算机图形学的历史回顾。
9、什么是三维形体重建？三维形体重建就是从二维信息中提取三维信息，通过对这些信息进行分类、综合等一系列处理，在三维空间中重新构造出二维信息所对应的三维形体，恢复形体的点、线、面及其拓扑关系，从而实现形体的重建。
10、在漫游当中还要根据CT图像区分出不同的体内组织，这项技术叫分割。
11、一个图形系统通常由图形处理器、图形输入设备和输出设备构成。
12、CRT显示器的简易结构图12、LCD液晶显示器的基本技术指标有：可视角度、点距和分辨率。
计算机图形学 曲线和曲面 算法
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
计算机图形学习题5-8
习题51．何谓曲线的插值、逼近和拟合？答：如果曲线顺序通过每一个控制点，称为对这些控制点进行插值；如果曲线在某种意义下最接近每一个控制点，称为对这些控制点进行逼近；插值和逼近统称为拟合。
2．用参数表示法来描述自由曲线或曲面有什么优点？为什么通常都用三次参数方程来表示自由曲线？答：用参数表示法来描述自由曲线或曲面，其优越性主要体现在曲线的边界容易确定、点动成线、具有几何不变性、参数方程的形式与坐标系的选取无关、易于变换、易于处理斜率为无穷大的情形和具有直观的几何意义等方面。
由于参数方程次数太低会导致控制曲线的灵活性降低，曲线不连续；而次数太高则会导致计算复杂，存储开销增大。
因此，为了在计算速度和灵活性之间寻找一个合理的折衷方案，多采用三次参数方程来表示自由曲线。
3．请给出Hermite形式曲线的曲线段i与曲线段i-1及曲线段i+1实现C1连续的条件。
答：参见教材第133页。
4．Bezier曲线具有哪些特性？答：Bezier曲线的端点性质：曲线的起/终点与控制多边形的起/终点重合，曲线在起/终点与控制多边形相切，且切线方向与控制多边形的第一条边和最后一条边的走向一致。
除此之外，Bezier曲线还具有对称性、几何不变性、变差缩减性和凸包性等特性。
5．Bernstein基函数具有哪些特性？答：正性、端点性质、权性、对称性、递推性等。
6．试自行推导三次Bezier曲线的Bernstein基函数。
答：推导过程（略），推导结果为：) ()1(3) ()1(3) () 1() (3 3,323,22 3,13 3,0ttBtttBtttBt tB=-=-=-=7．上机编程实现绘制一条二次Bezier曲线。
答：略。
8．B样条曲线具有哪些特性？答：B样条曲线具有端点特性、连续性、凸包性、局部性、扩展性等。
具体参见教材第152-154页。
9．B 样条曲线与Bezier 曲线之间如何互相转化？答：在实际应用中可以对B 样条曲线和Bezier 曲线互相进行转换。
hermite曲线与bezier曲线转换
hermite曲线与bezier曲线转换引言：Hermite曲线和Bezier曲线是计算机图形学中常用的两种曲线表示方法。
它们可以用于生成平滑的曲线，广泛应用于计算机辅助设计、动画和游戏开发等领域。
本文将详细介绍Hermite曲线和Bezier曲线的基本概念、特点以及它们之间的转换方法。
正文：1. Hermite曲线1.1 概念和特点Hermite曲线是由法国数学家Charles Hermite于1858年提出的一种参数曲线表示方法。
它通过给定曲线上的两个端点和两个控制向量，可以生成一条平滑的曲线。
其中，端点确定了曲线的起点和终点，而控制向量则决定了曲线在起点和终点处的切线方向。
1.2 基本公式Hermite曲线的表示公式如下：P(t) = (2t^3 - 3t^2 + 1)P0 + (t^3 - 2t^2 + t)M0 + (-2t^3 + 3t^2)P1 + (t^3 - t^2)M1其中，P(t)表示曲线上的点，t为参数值，P0和P1为端点，M0和M1为控制向量。
1.3 应用场景Hermite曲线广泛应用于计算机图形学中的形状设计和动画制作。
它可以用于创建平滑的曲线路径，用于物体的运动轨迹、摄像机的运动路径等。
2. Bezier曲线2.1 概念和特点Bezier曲线是由法国工程师Pierre Bezier于1962年提出的一种参数曲线表示方法。
它通过给定曲线上的若干个控制点，可以生成一条平滑的曲线。
Bezier曲线的特点是可以通过调整控制点的位置来改变曲线的形状。
2.2 基本公式Bezier曲线的表示公式如下：P(t) = ∑(i=0 to n) (Bi(t) * Pi)其中，P(t)表示曲线上的点，t为参数值，n为控制点的数量，Bi(t)为Bezier基函数，Pi为控制点。
2.3 应用场景Bezier曲线广泛应用于计算机图形学中的形状设计和曲线插值。
它可以用于创建平滑的曲线路径，用于绘制二维图形、字体设计等。
基于hermite插值的过渡曲线曲面的构造
图表目录
图2.1 三次三角Hermite基函数.............................................................................2 图3.1 平面插值曲线............................................................................................14 图3.2 空间插值曲线............................................................................................17 图3.3 辅助点分布图 .........................................................................................19 图3.4 插值曲面片................................................................................................22
冯月萍《计算机图形学》作业3答案
习题1. 形成一条参数三次多项式曲线的Lagrange 插值法，是使曲线P(t)在参数t=0，31，32，1时通过事先给定的四个点1P ，2P ，3P ，4P 。
求矩阵l M ，使P(t)= P TM l ，其中()1123t t tT =，()TP P P P P 4321=。
解法1解答：根据Lagrange 插值法，参数三次多项式曲线P(t)可表示为：)()()()()()()()()(33221100t g t f t g t f t g t f t g t f t P +++=其中：))()(())()(()())()(())()(()())()(())()(()())()(())()(()(2313032103321202310231210132013020103210t t t t t t t t t t t t t g t t t t t t t t t t t t t g t t t t t t t t t t t t t g t t t t t t t t t t t t t g ------=------=------=------=根据题意有：43322110)1()()32()()31()()0()(P f t f P f t f P f t f P f t f ======== 所以有：t t t t t t t t t t t t t t t t t t t g tt t t t t t t t t t t t t t t t t t g tt t t t t t t t t t t t t t t t t t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t g +-=------------=-+-=------------=+-=------=------=+-+-=------=------=2323130321032332120231022331210132012330201032102929)321)(311)(01()32)(31)(0())()(())()(()(2918227)132)(3132)(032()1)(31)(0())()(())()(()(9245227)131)(3231)(031()1)(32)(0())()(())()(()(1211929)10)(320)(310()1)(32)(31())()(())()(()(因为[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==432144434241343332312423222114131211231)(P P P P M M M M M M M M M M M M M M M M t t t PTM t P l 所以矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00011299211291824592922722729l M解法2解答：设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211M M M M M M M M M M M M M M M M M l 所以[]4443424214334333232133242322221231413121211343214443424134333231242322211413121123)()()()(1)(P M tM M t M t P M tM M t M t P M tM M t M t P M tM M t M t P P P P M M M M M M M M M M M M M M M M t t t PTM t P l +++++++++++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==因为有1)0(P P =； 所以有：1444343242141P P M P M P M P M =+++，所以可求得： 114=M ，024=M ，034=M ，044=M ；又因为2)31(P P =，3)32(P P =，4)1(P P =，所以有：24342414333231323222121312111)3191271()3191271()3191271()13191271()31(P P M M M P M M M P M M M P M M M P =++++++++++++=34342414333231323222121312111)3294278()3294278()3294278()13294278()32(P P M M M P M M M P M M M P M M M P =++++++++++++=44342414333231323222121312111)()()()1()1(P P M M M P M M M P M M M P M M M P =++++++++++++=所以有：031912710319127113191271013191271342414332313322212312111=++=++=++=+++M M M M M M M M M M M M032942781329427803294278013294278342414332313322212312111=++=++=++=+++M M M M M M M M M M M M10001342414332313322212312111=++=++=++=+++M M M M M M M M M M M M解上面的方程组可得：2911-=M ，921=M ，21131-=M ；22712=M ，24522-=M ，932=M ；22713-=M ，1823=M ，2933-=M ；2914=M ，2924-=M ，134=M ；所以矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00011299211291824592922722729l M习题2. 设0P =(0，0，0)，1P =(0，1，0)，2P =(1，0，1)，3P =(1，0，0)，试求出一段三次参数多项式曲线，使曲线经过1P 和2P 点，与0P 1P 和2P 3P 相切。
计算机图形学题库
1.多边形填充算法中，错误的描述是（）。
A．扫描线算法对每个像素种访问一次，主要缺点是对各种表的维持和排序的耗费较大B. 边填充算法基本思想是对于每一条扫描线与多边形的交点，将其右方像素取补C. 边填充算法较适合于帧缓冲存储器的图形系统D. 边标志算法也不能解决像素被重复访问的缺点2.下列设备中属于图形输出设备的是（）1鼠标2LCD3键盘4 LED5打印机6扫描仪7绘图仪8触摸屏A.1,3,6,8B.2,4,5,7C.2,5,6,7D.4,6,7,83. 在Cohen-Sutherland算法中，完全在窗口边界内的线段两个断点的区域码均为______.4.已知三角形ABC各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线P1P2(线段的坐标分别为：P1 (-1,-1) 、P2 (8,3) )做对称变换后到达A’、B’、C’。
试计算A’、B’、C’的坐标值。
（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵，列出计算式子，不要求计算结果）5.将坐标（2，3）以（1，1）为中心放大3倍，再针对坐标原点做对称变换，最终变换结果为（）。
A.（4，7，1）B.（6，9，1）C.（-4，-7，1）D.（-6，-9，1）6.以下哪一个颜色模型是使用单位立方体来进行表示的（）。
答案A.YUVB.RGBC.HSID.HSV7.计算机图形学是研究什么的学科？简要论述计算机图形学的概念及其涉及到的学科及其关系。
8. 计算机图形学研究的主要内容是什么？9.Bezier曲线在端点处的一阶导数为：p’(0)=n(P1-P0)，p’(1)=n(Pn-Pn-1)，二阶导数为：p”(0)=n(n-1)((P2-P1)-(P1-P0))，p”(1)=n(n-1)((Pn-2-Pn-1)-(Pn-1-Pn))。
写出如图2所示的两段三次Bezier曲线在连接点处的G1，G2连续性条件。
10. 计算机图形学是研究怎样通过计算机表示、__________、__________图形的一门学科。
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第1讲二维图形—抛物线样条曲线和Hermite 曲线基本点：自由曲线（曲面）；曲线拟合；曲线插值；抛物线样条曲线；Hermite 曲线。
重点：Hermite 曲线。
难点：向量和矩阵运算。
疑点：形状比较复杂、不能用二次方程来表示的曲线（曲面）称为自由曲线（曲面），也称为复杂曲线(曲面)，通常以三次参数方程来表示。
给定一个点列，用该点列来构造曲线的方法称为曲线拟合。
已知曲线上的一个点列，求曲线上的其他点的方法称为曲线插值。
所谓齐次坐标表示法就是用n ＋１维向量表示一个n 维向量，即n 维空间中的点的位置向量(P1，P2，…Pn)被表示为具有n ＋１个坐标分量的向量(hP1,hP2,…，hPn ，h)。
例如三维空间坐标（x, y, z ）的齐次坐标可表示为[X, Y, Z, w]，其中x=X/w, y=Y/w, z=Z/w 。
w=0实际上表示了一个三维无穷远点。
齐次坐标表示的优点是可方便地用变换矩阵实现对图形的变换和表达无穷远点。
1．抛物线参数样条曲线样条是一根富有弹性的细木条或类似物，其两端连接着起固定作用的压铁。
通过调整样条两端的压铁可以改变样条的形态，它是手工绘制自由曲线的一种工具。
沿着样条绘制的曲线称为样条曲线。
样条曲线可以表示为参数多项式曲线或分段参数多项式曲线。
给定一个点列P 1,P 2,…,P n ，对相邻三个点用抛物线来拟合，相邻抛物线在公共区间内用权函数t 进行调配，所得到的曲线称为抛物线参数样条曲线。
该曲线向量形式可表示为：],)1[(121+-=+-=∑i in i tS St S ]1,0[∈t其中，S i 为P i ,P i+1,P i+2三个点决定的抛物线。
2．Hermite 曲线Hermite 曲线是以曲线的两个端点P 0、P 1和端点处的切向矢量R 0、R 1为边界条件的三次参数曲线。
空间自由曲线三次参数方程的一般形式可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=z z z z y y y y x x x x d t c t b t a t z d t c t b t a t y d t c t b t a t x 232323)()()( 或[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=d c b a t t t d ct bt at t Q 1)(2323其中Q(t)=(x(t),y(t),z(t)),a=(a x ,a y ,a z ),b=(b x ,b y ,b z ),c=(c x ,c y ,c z ), d=(d x ,d y ,d z )。
令T=[t 3 t 2 t 1],⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010R R P P G h ,那么Q （t ）可以表示为Q （t ）=TM h G h 。
M h 是由初始条件确定的一个矩阵，该矩阵不唯一，通常取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0001010012331122h M 。
F h (t)=TM h 确定的一组函数称为调和（或基）函数。
对于端点处坐标和切线方向都相同的Hermite 曲线，它们的形状随着切向矢量的长度的变化而变化。
此外，如果取与z 相关的系数为0，则得到平面上的Hermite 曲线。
Hermite 曲线通过端点和端点处的切向矢量来控制曲线的形状，一条单独的Hermite 曲线不适合于用来拟合一个空间点列，它主要用在样条曲线中用来表示其中的某一段曲线。
第2讲 二维图形—三次参数样条曲线基本点：三次参数样条曲线；约束条件。
重点：三次参数样条曲线。
难点：三次参数样条曲线。
疑点：给定参数节点{t i }(i=0,1,…,n)和相应的点列{P i }(i=0,1,…,n),求二阶导数连续的分段三次参数多项式曲线P(t)( ],[0n t t t ∈)，使得该曲线能够拟合已知的点列，即P （t i ）=P i (i=0,1,…,n)。
P(t)称为三次样条曲线。
三次样条曲线P(t)在每一个区间[t i ,t i+1](10-<≤n i )上的分段曲线记为P i (t)。
如果用Hermite 曲线表示P i (t)，则可以用Hermite 三次参数曲线来描述传统的样条曲线。
1．Hermite 曲线的二阶导数形式由前一讲可知，Hermite 曲线可以表示为：Q(t)=F h1(t)Q(0)+F h2(t)Q(1)+F h3(t)Q ’(0)+F h4(t)Q ’(1) 如果Hermite 曲线在端点处二阶导数已知，则端点处的一阶导数可以用端点处的二阶导数来表示，最后可以把Hermite 曲线用二阶导数形式表示为：)1()(61)0()23(61)1()0()1()(323Q t t Q t t t tQ Q t t Q ''-+''-+-++-= 2．三次参数样条曲线设有点列{P i }(i=0,1,…,n)，用Hermite 三次参数曲线将相邻点连接起来，使得最终的曲线在已知点处具有连续的二阶导数，该曲线是一条三次样条曲线。
P i+1是前后两条Hermite 曲线的端点，根据这两曲线的方程分别求该点处的二阶导数得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0001010012331122h M()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=''++1100010100123311220026)(i i i i P P P P tt P 1114266+++'+'+-=''i i i i i P P P P P (t=1)()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=''++++212100010100123311220026)(i i i i P P P P tt P 212112466+++++'-'-+-=''i i i i i P P P P P (t=0)由于曲线具有二阶连续导数，由上面两式得到)(34221i i i i i P P P P P -='+'+'+++对于已知的点列，可以得到n-2个类似于上式的方程，其中未知的一阶导数有n 个。
如果再给定三次样条曲线在起点和终点处的切向矢量或二阶导数，则可以求出各一阶导数和分段Hermite 曲线，进而可以确定三次样条曲线。
三次样条曲线在两端点处的边界条件是根据问题的物理要求来确定的。
常用的端点约束条件有如下三种：（1）自由端在两端点处的二阶导数为零，由此得到)(321221P P P P -='+')(3211---='+'n n n n P P P P （2）夹持端在端点处的切向矢量已知，即111E k P ='，n n n E k P ='，其中E 1，E n 为单位切向矢量。
（3）抛物端假定分段曲线的最初和最未段为抛物线，即三次项的系数为0，则在这两段曲线上二阶导数为常数，由此可以得到)(21221P P P P -='+')(211---='+'n n n n P P P P例：已知平面上三点P1(0,0)，P2(1,1)和P2(2,0)，用自由端约束条件计算三次Hermite 样条曲线Q(t)使得它拟合点列{P1，P2，P3}，并将Q(t)表示为参数序列{0，1，2}上的分段参数多项式函数。
解：由Hermite 样条曲线二阶导数的连续性及自由端约束条件得到)(3413321P P P P P -='+'+' )(321221P P P P -='+')(322332P P P P -='+' 解方程组得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-='+-='-+-=' )56(41)(21)65(4132133123211P P P P P P P P P P P 由控制点的坐标得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 231 2121231321P P P 由Hermite 曲线方程())10( 00010100123311221)(1123≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=++t P P P P t t tt Q i i i i 得到())10( 5.05.1105.011000010100123311221)(231≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=t t t t t Q ())10( 5.15.00115.02100010100123311221)(232≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=t t t t t Q所求曲线方程为：⎩⎨⎧≤≤-<≤=2)t (1 )1( )10()()(21t Q t t Q t Q。