机械系统运动稳定性分析的Routh-Hurwitz法
机械工程控制基础第五章系统稳定性分析
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
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5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
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b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
现代控制理论(17-21讲：第5章知识点)
0
试分析系统的稳定性。
解：（1）由 x(t ) 0 , 求得 xe = 0 是系统唯一平衡状态；
（2）选择Lyapunov函数为 1
2 2
二次型函数，是正定的； d 2 2 2 （3） V (x) ( x1 x2 ) 2 x1 x1 2 x2 x 2 2 x2 dt 故V(x)的导数是半负定的； （4）由：
(1) V(x)是正定的； (2) V ( x )是负定的；
则在状态空间坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。此时， 如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的。
2 2 例1：设系统的状态方程为: x1 x2 ax1 ( x1 x2 ) 其中：a为非零正常数。试 2 x2 x1 ax2 ( x12 x2 ) 分析系统的稳定性。
(2) V ( x ) 是半负定的； (3) 对于任意初始时刻t0时的任意状态x0≠0, 在t≥t0时，除了在 x=0时,有 V ( x) 0 外，V ( x )不恒等于零，则系统在平衡状 态是渐近稳定的。如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 在应用定理二时，注意以下两种情况： （1）极限环的情况。稳定， 但不是渐近稳定；
(1) V(x)在原点的某一邻域内是正定的； (2) V ( x ) 在同样的邻域内也是正定的；
那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。（注意：此地 V(x)的导数也可半正定，但有V(x)的导数不恒为零。）
例3：设时变系统的状态方程为: x1 x1 sin 2 t x2et x 2 x1et x2 cos 2 t 分析系统的稳定性。 解：（1） 显然 xe = 0 是系统平衡状态; （2）选择V(x)为：
6-劳斯判据
注意： 由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断 的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。
3-2 劳思稳定性判据
[判据] （1） 系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大 于 0 （同号）；只要有1项等于或小于 0 ，则为不稳定系 统。
（2）系统稳定的充分条件：劳思表第一列元素均大于0 （同号） 。
s0 7
5 分母总是上一行第一个元素
8 再令正无穷小量ε趋近于6 一行可同乘或同除某正数
0，得到真正的劳斯表如下。7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 均大于零! 同号！ 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件:
系统在虚轴上有重根， 响应中含有tsin(t)成分， 是发散的。
3-3 劳思判据的应用举例
例3.8 试分析如下系统的稳定性，其中K>0
s 1
s 1
R(s)
_
k
ss 1
Y(s)
系统的特征方程为：
1
Gs
1
Ks 1 ss 1s 1
0
系统稳定否？ 不稳定！
例3.9 焊接控制（p256例6.5)
Ks a
劳斯表情况一 例3.3、含参变量的例子：设系统特征方程为：
s3+s2+s+K=0; K不等于１或０
劳 s3 1 1
s2 1 K
斯 s1 1-K 0 表 s0 K
参数取值影响稳定性！
于是： Ｋ小于０，系统不稳定；
Ｋ大于１，系统不稳定；
Ｋ大于０且小于１时，系 统稳定。
例3.4 设系统特征方程为： 劳斯表情况二 s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
清华机械工程控制基础课件2Routh判据
这样可求得n+1行系数
tef1d
e1d 2 d
wite1h
1
Ae2 spos劳e.斯Sl稳Eidv定eas判lufao据trio.NnEoTnl3y..5
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5.2
如果劳C斯o表p中yr第ig一h列t 2的0系1数9-均20为1正9值A，s则po其s特e征P方ty程L式td的. 根
线性系统稳定
2019/11/5
不会有系数为零的项
机械工程
必要条件
a 0 S n a 1 S n 1 a 2 S n 2 a n 1 S a n 0a 0 0 ( 3 5 ) 5
将各项系数，按下面的格式排成老斯表
Sn
a0
a2
a4
a6
S n1
比较Co渐p近yri稳gh定t 2性01与9-Л20я19п AуspнoоseвPt意y 义Ltd下. 的稳 定性可知，前者比后者对系统的稳定性的要求 高，系统若是渐近稳定的则一定是 Л я п у н о в 意义下稳定的，反之则不尽然。
2019/11/5偏差”稳定性又称“小稳定”或“局部稳定 性”。
就等C于o该py方ri程g在htS2右0半1平9-面2上01根9的A数s目po，s相e应P的ty系L统td为. 不
稳定
如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表
示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定
2019/11/5
机械工程
请看例题
例5-3 已知系统的特征方程式为 S32S2S20
移C不o仅py可ri能gh有t 上20述19三-2种0情19况A，s而po且se还P可ty能L趋td于. 某
交流电机驱动弹性连杆式振动机械的Sommerfeld效应分析
第 36 卷第 5 期2023 年10 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol. 36 No. 5Oct. 2023交流电机驱动弹性连杆式振动机械的Sommerfeld效应分析陈晓哲，刘俊岐，钟山，李凌轩（东北大学秦皇岛分校控制工程学院，河北秦皇岛066004）摘要: 针对一类由交流电机驱动的弹性连杆式振动机械，研究了该非理想振动系统中的Sommerfeld效应。
基于拉格朗日方程，引入交流电机的数学模型，建立了该振动系统的机电耦合动力学方程。
应用平均法，推导了系统一次近似解析解及稳态运动时的电机运动方程。
根据一次稳定性判别法，获得该系统的三个稳定性条件。
通过对理论结果进行数值分析发现，交流电机驱动的非理想振动系统必须考虑机电耦合作用，因为其幅频特性曲线也具有硬式非线性特征。
对存在转速跳跃现象的案例进行分析发现，其产生原因均是电机运动方程本身是超越方程，存在多根现象。
需要将参数代入稳定性条件判断哪个状态是稳定的。
上述理论结果通过时域仿真得到了验证。
对质量、主振刚度、传动刚度、偏心半径和电机阻尼等系统参数进行了定量的数值讨论，可以为该类振动机械参数设计提供依据。
关键词: 非理想振动系统；非线性跳跃；机电耦合；交流电机中图分类号: TH113.1 文献标志码: A 文章编号: 1004-4523（2023）05-1266-07DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2023.05.010引言在人类生产活动中所应用的机械设备都是由各式各样的内燃机和电动机等原动机来提供动力输出的。
受能量守恒限制，所有的原动机能够提供的动力都是有限的，统称这类提供有限动力的原动机为非理想原动机［1］。
在一般机械系统研究中，因电机部分与机械部分无运动耦合关系，往往不考虑机械部分的运动对原动机的影响。
但是在振动系统中，由于系统振动运动的变化速度与原动机转速同频，系统的振动运动会显著影响原动机的旋转运动，进而形成一种机电耦合作用［2］。
磁悬浮轴承稳定性分析
磁悬浮轴承稳定性分析磁悬浮轴承（Magnetic Bearing）是利用磁力作用将转子悬浮于空中，使转子与定子之间没有机械接触。
与传统的滚珠轴承，滑动轴承以及油膜轴承相比，磁轴承不存在机械接触，转子的转速可以运行到很高，具有机械磨损小，能耗低，噪声小、寿命长、无需润滑，无油污染等优点，特别适用于高速、真空、超净等特殊环境。
这项技术是20世纪60年代中期在国际上开始研究的一项新的支撑技术。
在各个领域都有着广泛的应用。
本文主要分析磁悬浮轴承的稳定性问题。
文章的第一部分介绍了磁悬浮轴承在国际和国内的发展与研究现状，并分析了磁悬浮轴承的一些特点。
文章的第二部分对磁悬浮轴承的稳定性进行了讨论，先论证了永磁轴承无法实现自稳定，然后对电磁轴承的稳定性进行了分析。
关键词：磁悬浮，轴承，电磁轴承，永磁轴承，稳定性第一章引言第一节磁悬浮轴承的研究背景国际上很早就有了利用磁力使物体处于无接触悬浮状态的设想, 但其实现却经历了很长的一段时间。
1842 年, Earnshow 证明: 单靠永磁体不能将一个铁磁体在所有 6 个自由度上都保持在自由稳定的悬浮状态.真正意义上的磁悬浮研究开始于20世纪初的利用电磁相吸原理的悬浮车辆研究，1937 年, Kenper 申请了第一个磁悬浮技术专利, 他认为，要使铁磁体实现稳定的磁悬浮, 必须根据物体的悬浮状态不断的调节磁场力的大小,因此必须采用可控电磁铁,这也是以后开展磁悬浮列车和磁悬浮轴承研究的主导思想。
随着现代控制理论和电子技术的飞跃发展, 20世纪 60 年代中期对磁悬浮技术的研究跃上了一个新台阶。
日本、英国、德国都相继开展了对磁悬浮列车的研究。
资料记载: 1969 年, 法国军部科研实验室(LRBA ) 开始对磁悬浮轴承的研究; 1972 年,第一个磁悬浮轴承用于卫星导向轮的支撑上, 从而揭开了磁悬浮轴承发展的序幕。
此后, 磁悬浮轴承很快被应用到了国防、航天等各个领域。
1983年11月，美国在搭载在航天飞机上的欧洲空间试验仓里采用了磁悬浮轴承真空泵; 同年，日本将磁悬浮轴承列为 80 年代新的加工技术之一, 1984 年, S2M 公司与日本精工电子工业公司联合成立了日本电磁轴承公司, 在日本生产、销售涡轮分子泵和机床电磁主轴等。
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使用上述特征根判据定理的主要困难在于需要求出特征方程即
系统的稳定性， 实际只需知道所有根的符号就够了。利用多项式的根与系数的关系， 劳斯 … 规定其中 （ ） 将 ， 将此方程的系数按以下规则构成 阶方阵 ! 。 ， ， …， 依次排列为对角线元素。
）
出了代数方程的根均为负实部的条件。设常系数线性微分方程组的特征方程展开后的一般形式为
［ ］
，
） 法 （含一次近似理论和
［］ ） 定理 、 劳 ［ ） 定理 ］
、 相平面法
［ ，］
、 邦加莱 （
，） 法则
［ ，］
、 拉格朗日 狄里克雷 （
斯 赫尔维茨 （
［ ，］ ） 判据 、 开尔文 泰勒 切塔耶夫 （
等等。
对于机械系统中多自由度线性自治系统的稳定性分析， 劳斯一赫尔维茨方法不失为一种较为方便、 简捷的实用方法。因为线性系统是一种特殊的动力学系统， 由于线性常系数微分方程组的数学理论已 发展得十分完善， 可以提供更简单的稳定性判断方法， 因此在工程设计中， 经常将原系统的非线性项略 去， 近似化作线性系统， 即一次近似系统。本文利用劳斯 系统的运动稳定性分析问题进行初步研究。 赫尔维茨法对机械运动中多自由度线性自治
赫尔
##
若系统内存在粘性阻尼力， 记作 动产生的科氏惯性力引起的陀螺力， 记作
，
##
（ ）
， 通常可表示为广义速度
的线性函数， 还存在通常由旋转运
， 为广义速度的一次式， 则阻尼力和陀螺力的一般形式为
#
，
#
（
，， …，）
（ ）
将式 （ ） （ ） 、 代入存在粘性阻尼力系统的拉格朗日方程
其中 （ ，
第
卷 第 期 年 月
河 南 科 技 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版 ） （）ຫໍສະໝຸດ 文章编号：（）
机械系统运动稳定性分析的
张淑芬， 张彦斌， 王彦生
（河南科技大学 建筑工程学院， 河南 洛阳 ）
法
摘要： 对机械运动中多自由度线性自治系统的运动稳定性分析有多种方法， 但是这些方法不是受到使用条件 的限制就是数学分析繁杂。本文利用劳斯 关键词： 运动稳定性； 线性系统； 劳斯 中图分类号： 赫尔维茨判据 （ ） 对上述系统的运动稳定 性问题进行了研究探讨。给出的算例表明该方法较为简捷、 实用。 赫尔维茨判据； 机械振动 文献标识码：
基金项目： 河南省自然科学基金资助项目 （ 作者简介： 张淑芬 （ 收稿日期：
） ， 女， 河南新乡人， 副教授， 研究领域为力学， 主要方向为机械振动
・
・
河 南 科 技 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版 ）
年
（） 任意第 （ ） 自
行内， 自对角线元素 !
向左的元素依次按 ，
!
方法与应用
在一般机 械 系 统 的 线 性
劳斯 ， ， ， ， 或 ， ，
表! 赫尔维茨判据
劳斯 " 赫尔维茨判据
化动力学方程中通常包含保 守力、 阻尼力和陀螺力三种类 型的广义力， 对于只含保守力 的理想化系统， 可利用拉格朗
［ 日定理 ，］
， 或
， ， ，（ ）
判断其稳定性。 但
在分析工程实际问题时， 必须了解阻尼力、 陀螺力对系统平衡稳定性的影响。 下面给出利用劳斯 维茨判据分析机械运动中多自由度线性自治系统运动稳定性问题的方法步骤。 （ ） 利用拉格朗日方程推导系统的动力学微分方程。 设系统的动能 和势能 的一般形式为
表示， 并排成
（ ） ， 上式可写作矩阵形式 K （ ）
（ C 干 G）
第 期
张淑芬等： 机械系统运动稳定性分析的
法
・
・
阶方阵 ! 、 刚度阵、 阻尼阵和陀螺阵。 "、 #、 $ 分别称为系统的质量阵、 !、 "、 # 通常为对称矩阵， $ 为反对称矩阵。 当系统无陀螺力时， $ ， 线性微分方程组的矩阵形式为
（ ） ! # " （ ） 写出方程 （ ） 的特征方程， 并由常微分方程理论， 常系数线性微分方程组有非零解的条件是其 特征方程行列式必须等于零， 即 ! 展开式 （ ） 后的代数方程即为式 （ ） 。 （ ） 分别求出系数 ， ， …， ， 根据劳斯 赫尔维茨判据 的滑块 可 ， 质 进行分析， 判断其系统的稳定性。 算例： 图 所示两自由度有阻尼系统， 质量为 沿光滑水平直线轨道运动， 滑块左端与刚度系数为 和阻尼系数为 的阻尼器相连， 并通过铰链 量为 的匀质细杆 析系统在平衡位置附近运动的稳定性。 解： （ ） 取 ， 写出系统的动能 ! 为广义坐标， 函数 " 。 ［ （ ， 势能 ， 耗散
! " （! ） ! （ ） ! ! ! 为拉格朗日函数； 为系统内除有势力和粘性阻尼力以外的其它广义力； " 为瑞利
） 耗散函数， 定义为 "
#
， 而粘性阻尼力
可用耗散函数表示， 即
! " !
导出系统线性化动力学微分方程的普遍形式 ［ # 令 ， 将 改用 （ ） 阶列阵 ＊ ］ （ ，， …， ） （ ）
若特征方程全部根都有负实部时， 零解是渐近稳定的； 若特征方程的根中有一个 （或一个以上） 具有 正实部时， 零解是不稳定的； 而若特征方程没有正实部的根而有实部为零的根， 当零实部的根是单根时
［ 零解是稳定的； 当零实部的根是重根时， 则需进一步研究 ，］
。 次代数方程的根。而为了判别 赫尔维茨给 （ ）
， … … … … …
， …， 排列， 以后的元素为零。 !
向右的元素依次按
， …， 排列， 以后的元素为零。
D
（ ）
!
!
!
!
!
D 矩阵的
个主子行列式"（ "
，， …， ） 称为代数方程的赫尔维茨行列式 ， " ， " ， … （ ）
的所有根均有负实部的充分与必要条件为所有的赫尔维茨行列式均大于零， 即 定理： 代数方程 （ ） （ ，， …， ） " 对于几种低阶情形， 上述条件可予以简化， 在表 中列出。 （ ）
理论
对于多自由度线性定常 （自治） 系统 （受扰运动微分方程中不显含 是常系数线性微分方程组， 由其解可以判断零解的稳定性
［ ，］
的系统） ， 其受扰运动微分方程 个线性无关
。由常微分方程理论可知， 常系数线性微
分方程组有非零解的条件是其特征方程行列式必须等于零。而微分方程组的通解是其 解的组合， 方程组零解稳定性可根据特征方程的根来判定。
前言
在力学、 自动控制、 宇宙航行、 电子技术、 生物化学等许多领域中， 都存在运动 （包括静止） 的稳定性 问题。在工程实际问题中常需要判断系统的某种运动是否稳定， 即判断当状态变量受到微小扰动后， 其 受扰运动规律是否仍接近未扰运动的规律。在振动力学中稳定性的研究甚为重要。 对运动稳定性分析， 在相关文献中介绍了很多方法， 如李雅普诺夫 （ 直接法）