第四章 系统的运动稳定性
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机械系统的运动稳定性分析
机械系统的运动稳定性分析引言机械系统是由各种机械元件组成的，其运动稳定性是系统是否可以稳定工作的重要指标。
在工程设计中，运动稳定性分析是一个关键的环节，它能够帮助工程师们更好地设计和优化机械系统，提高其性能和可靠性。
本文将介绍机械系统的运动稳定性分析的基本原理和方法，并通过实例说明。
一、运动稳定性的定义和影响因素运动稳定性指的是机械系统在运动过程中是否能保持平衡和稳定。
一个稳定的机械系统不会发生过量振荡、失控或过载，可以正常运行并达到设计要求。
影响机械系统运动稳定性的因素很多，包括质量分布、摩擦力、弯曲刚度、惯性力等。
这些因素之间相互作用，会对机械系统的运动稳定性产生重要影响。
二、运动稳定性分析的基本原理运动稳定性分析需要考虑机械系统的动力学特性和运动方程。
最常用的方法是应用拉格朗日方程对机械系统进行建模和计算。
通过建立机械系统的拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程并进一步求解。
在求解的过程中，需要考虑系统内各个部件之间的相互作用，例如惯性力、刚度力和摩擦力等。
三、运动稳定性分析的方法1. 线性稳定性分析线性稳定性分析是机械系统运动稳定性分析的一种常用方法。
它假设机械系统的运动方程是线性的，并通过线性化处理进行分析。
线性稳定性分析可以通过计算系统的特征根值（也称为本征值）来评估系统的稳定性。
当系统的本征值都具有负实部时，系统是稳定的；当存在本征值具有正实部时，系统是不稳定的。
2. 非线性稳定性分析非线性稳定性分析是对机械系统的非线性运动方程进行分析。
与线性稳定性分析不同，非线性稳定性分析需要考虑系统运动方程的非线性特性，并通过数值模拟等方法进行求解。
非线性稳定性分析具有更高的准确性，能够更好地描述实际系统的运动稳定性。
四、运动稳定性分析实例以摆线针轮传动为例进行运动稳定性分析。
摆线针轮传动是一种特殊的齿轮传动，它具有高传动精度和低噪音等优点。
在传动过程中，由于齿轮齿形的非线性特性，系统的运动稳定性需要进行详细分析。
第四章线性控制系统的稳定性
G ( s) f ( s) K P(s + Z i )
i 1
P ( s + Pj ) P ( s 2 + 2x k w nk s + w nk 2 )
j 1 k 1
q
r
则脉冲响应为： g (t)
A e
j j 1
q
p t j
+ B e
k k 1
r
x w t k nk
sinwnk 1 xk t + Ck e
三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根
不易求
其它简单的判定方法?
2019/4/16
北京科技大学自动化学院自动化系
22
4.2.2 Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
Routh表
系统闭环特征方程
n 1 n 2 + + a0 S a1 S a2 S + + a 1 S + a 0 a0 > 0 n n n
10
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
2019/4/16
北京科技大学自动化学院自动化系
11
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
临界稳定
2019/4/16
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12
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原 平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳 定。反之，若初始扰动的影响下，系统的 动态过程随时间的推移而发散，则称系统 不稳定。
i 1
P ( s + Pj ) P ( s 2 + 2x k w nk s + w nk 2 )
j 1 k 1
q
r
则脉冲响应为： g (t)
A e
j j 1
q
p t j
+ B e
k k 1
r
x w t k nk
sinwnk 1 xk t + Ck e
三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根
不易求
其它简单的判定方法?
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22
4.2.2 Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
Routh表
系统闭环特征方程
n 1 n 2 + + a0 S a1 S a2 S + + a 1 S + a 0 a0 > 0 n n n
10
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
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11
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
临界稳定
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12
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原 平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳 定。反之，若初始扰动的影响下，系统的 动态过程随时间的推移而发散，则称系统 不稳定。
第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)
1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x
04第四章-李雅普诺夫稳定性理论
平衡状态— —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
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x x xe ,
A
f xT
f 2
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n
fn
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x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
现代控制理论-复习第四章
对于非线性系统，方程f(xe，t) = 0的解可能有多个，
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
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线性系统理论 系统的运动稳定性 18
Hurwitz定理：给定实系数多项 式 f ( s ) s n a1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 其所有根均s平面左半平面的充要条 件是 a1 a3 i a5 a 2i 1 1 a2 a4 a 2i 0 a1 a3 1 a2 0 , i 1,2, , n ai
t
(4)一致渐近稳定的充要条 件是存在正常数 k１和k２, 使得： || (t , t 0 ) || k１e k２(t t0 ) , t t 0
线性系统理论 系统的运动稳定性 15
4.2.3 Lyapunov定理
定义：设Q(t )为定义在[t 0 , )上的一个分段连续的实 对 称矩阵函数，它称为是 一致有界和一致正定的 ，如果 存在正实数 2 1 0,使得下式成立 0 1 I Q(t ) 2 I , t t 0 引理：设系统是一致渐 近稳定的， (t , t 0 )为其状态转移 矩阵，Q(t )为一致有界和一致正定 的矩阵，则积分 P(t ) T ( , t ) Q( ) ( , t )d
研究运动稳定性问题时 ，常限于研究无外作用 的系统 自治系统。 f (x, t ), x x(t0 ) x 0 , t t0 若系统为定常系统，则 状态方程中不显含时间 t。 若系统为线性， f (,)为x的线性向量函数。 A(t )x, x x(t0 ) x 0 , t t0 若状态方程满足解的存 在唯一性条件，初始状 态引起的运动为： x(t ) (t , x 0 , t0 ), 若 e f (x e , t ) 0, x t t0 t t0
定理：（ 1 ）系统稳定的充要条件 是A的所有特征值均具 有非正实部，且其具有 零实部的特征值为其最 小多项式 的单根。 （2）系统渐进稳定的充要 条件是A的所有特征值均具有 负实部。 定义：设A R nn，则 （ 1 ）A称为Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都有负 实部。 （2）A称为临界Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都 有非正实部，且零实部 根为其最小多项式的单 根。
|| x||
线性系统理论 系统的运动稳定性 10
定义10： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x)是定义在上的一个标量函数，若 (1)V (x)关于x的所有分量均具有一阶 连续偏导 (2)V (0) 0 (3)对于x 0有V (x) 0, 则称V (x)为定义在上的一个 时不变正定函数。 若 lim V (x) , 则称正定函数V (x)具有无穷大性质。
4.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理
定义9： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x, t )是定义在[t 0 , ) 上的一个标量函数，若 (1)V (x, t )关于x和t均具有一阶连续偏导 (2)V (0, t ) 0 (3)V (x, t )有限正定，即存在两个 连续的非减的标量函数
第四章 系统的运动稳定性
Lyapunov意义下的运动稳定性 线性时变系统的稳定性判定 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
1
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性
4.2 线性时变系统的稳定性判定 4.3 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
2
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性 4.1.1 系统的运动与平衡点
线性系统理论 系统的运动稳定性 14
4.2.2 直接判据
定理：设 (t , t 0 )为系统的状态转移矩阵 ，则系统为 (1)稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即存在 正常数k (t 0 ), 使得： || (t , t 0 ) || k (t 0 ) , t t 0 (2)一致稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即 存在正常数k , 使得： || (t , t 0 ) || k , t t 0 (3)渐近稳定的充要条件是 ： lim || (t , t 0 ) || 0
线性系统理论
系统的运动稳定性
8
定义7： [指数稳定的定义 ] 使得满足
设x e为系统的平衡状态，若
对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( )和 0, || x 0 x e || ( , t 0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t 0 ) x e || e (t t0 ) , t t 0 则称x e为指数稳定的。 定义8： [全局指数稳定的定义 ] 设x e为系统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 k ( ) 0和
称x e为系统的一个平衡点或 平衡状态 系统的常数解或静止运 动。
线性系统理论 系统的运动稳定性 3
4.1.2
Lyapunov意义下的运动稳定性含义
定义1： [ Lyapunov 意义下的稳定性 ] 设x e为系统的一个平衡状态 ，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( , t0 ), 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t0 ) x e || , t t0 则称x e为Lyapunov 意义下稳定的。
t
定义6： [ Lyapunov 意义下的不稳定定义 ] 设x e为系统的平 衡状态，若对于不管多 大的有限实数 0, 都不可能找到 相应的实数 ( , t0 ), 使得由满足|| x 0 x e || ( , t0 )的任一 x 0出发的运动满足不等式 || (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 ， 称x e为不稳定的。
0
有唯一的实对称、一致 有界和一致正定的矩阵 解P(t )。 推论：设A(t )为[t 0 , )上的一致有界分段连续 矩阵，且
[ A(t ) AT (t )] 0
则系统一致渐近稳定。
线性系统理论
系统的运动稳定性
17
4.3 线性定常系统的稳定性 4.3.1 直接判据与Hurwitz定理
7
定义5： [ Lyapunov 意义下的大范围渐近稳 定性] 设x e为系 统的平衡状态，若以状 态空间中任一有限点 x 0为初态的 受扰运动 (t；x 0 , t0 )都是有界的，且满足 lim (t；x 0 , t0 ) x e 则称x e是大范围渐近稳定的 全局渐近稳定。
不稳定示意图
|| x||
V (x, t )沿系统的全导数 dV V V f (x, t ) dt x t
线性系统理论 系统的运动稳定性 11
定理1： 若存在包含原点的某邻 域 R n 和定义在 [t 0 , ) 上的一个有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的 全导数在[t 0 , ) 上为有界半负定的（或 负定的）， 则系统的零平衡状态是 一致稳定的（或一致渐 近 稳定的）。 定理2： 若存在一个具有无穷大 性质的定义在 [t 0 , ) R n 上的有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的全导 数在[t 0 , ) R n 上一致有界一致负定， 则系统的零平 衡点为全局一致渐近稳 定的。
稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
4
定义2： [ Lyapunov 意义下的一致稳定性 ] 在上述Lyapunov 意义下的稳定性定义中 ， 若的选取只依赖于 而与初始时刻t0的 选取无关，则进一步称 平衡状态x e是 一致稳定的。
一致稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
5
定义3： [ Lyapunov 意义下的渐近稳定性 ] 系统的一个平 衡状态x e 称为渐近稳定的，如果 (1)x e是Lyapunov 意义下稳定性的 (2)对 ( , t0 )和任意给定的实数 0, 对应地存在实数 T ( , , t0 ) 0, 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 )的任一初 态x 0出发的受扰运动同时满 足 | (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 T ( , , t0 )
线性系统理论 系统的运动稳定性 12
定理3： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为半负定的（或负定 的）， 则系统的零平衡状态为 局部稳定的（或渐近稳 定的）。 定理4： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), (x)在 它沿系统的全导数在 内为半负定的，但在 中V 系统的非零解上非零， 则系统的零平衡状态渐 近稳定。 定理5： 若在R n 上存在一个具有无穷大 性质的正定函 数V (x),它沿系统的全导数在 R n上为负定的，则系统的 零平衡状态为全局渐近 稳定的。 定理6： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为正定，则零平衡点 不稳定的。
S(δ )
S (ε )
渐近稳定示意图
线性系统理论 系统的运动稳定性 6
定义4： [ Lyapunov 意义下的一致渐近稳定 性] 在上述 Lyapunov 意义下的渐近稳定性定 义中，若和T的选取 不依赖于初始时刻 t0，则称平衡状态 x e是一致渐近稳定的。
一致渐近稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
(|| x ||)和 (|| x ||)满足： (0) (0) 0，并使得对任何
t t 0 和x 0有 0 (|| x || V (x, t ) (|| x ||) 则称V (x, t )为定义在[t 0 , ) 上的一个正定函数。 若 lim (|| x ||) , 则称正定函数V (x, t )具有无穷大性质。
Hurwitz定理：给定实系数多项 式 f ( s ) s n a1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 其所有根均s平面左半平面的充要条 件是 a1 a3 i a5 a 2i 1 1 a2 a4 a 2i 0 a1 a3 1 a2 0 , i 1,2, , n ai
t
(4)一致渐近稳定的充要条 件是存在正常数 k１和k２, 使得： || (t , t 0 ) || k１e k２(t t0 ) , t t 0
线性系统理论 系统的运动稳定性 15
4.2.3 Lyapunov定理
定义：设Q(t )为定义在[t 0 , )上的一个分段连续的实 对 称矩阵函数，它称为是 一致有界和一致正定的 ，如果 存在正实数 2 1 0,使得下式成立 0 1 I Q(t ) 2 I , t t 0 引理：设系统是一致渐 近稳定的， (t , t 0 )为其状态转移 矩阵，Q(t )为一致有界和一致正定 的矩阵，则积分 P(t ) T ( , t ) Q( ) ( , t )d
研究运动稳定性问题时 ，常限于研究无外作用 的系统 自治系统。 f (x, t ), x x(t0 ) x 0 , t t0 若系统为定常系统，则 状态方程中不显含时间 t。 若系统为线性， f (,)为x的线性向量函数。 A(t )x, x x(t0 ) x 0 , t t0 若状态方程满足解的存 在唯一性条件，初始状 态引起的运动为： x(t ) (t , x 0 , t0 ), 若 e f (x e , t ) 0, x t t0 t t0
定理：（ 1 ）系统稳定的充要条件 是A的所有特征值均具 有非正实部，且其具有 零实部的特征值为其最 小多项式 的单根。 （2）系统渐进稳定的充要 条件是A的所有特征值均具有 负实部。 定义：设A R nn，则 （ 1 ）A称为Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都有负 实部。 （2）A称为临界Hurwitz稳定的，如果A的所有特征值都 有非正实部，且零实部 根为其最小多项式的单 根。
|| x||
线性系统理论 系统的运动稳定性 10
定义10： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x)是定义在上的一个标量函数，若 (1)V (x)关于x的所有分量均具有一阶 连续偏导 (2)V (0) 0 (3)对于x 0有V (x) 0, 则称V (x)为定义在上的一个 时不变正定函数。 若 lim V (x) , 则称正定函数V (x)具有无穷大性质。
4.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理
定义9： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x, t )是定义在[t 0 , ) 上的一个标量函数，若 (1)V (x, t )关于x和t均具有一阶连续偏导 (2)V (0, t ) 0 (3)V (x, t )有限正定，即存在两个 连续的非减的标量函数
第四章 系统的运动稳定性
Lyapunov意义下的运动稳定性 线性时变系统的稳定性判定 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
1
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性
4.2 线性时变系统的稳定性判定 4.3 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
2
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性 4.1.1 系统的运动与平衡点
线性系统理论 系统的运动稳定性 14
4.2.2 直接判据
定理：设 (t , t 0 )为系统的状态转移矩阵 ，则系统为 (1)稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即存在 正常数k (t 0 ), 使得： || (t , t 0 ) || k (t 0 ) , t t 0 (2)一致稳定的充要条件是 (t , t 0 )在[t 0 , )上有界，即 存在正常数k , 使得： || (t , t 0 ) || k , t t 0 (3)渐近稳定的充要条件是 ： lim || (t , t 0 ) || 0
线性系统理论
系统的运动稳定性
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定义7： [指数稳定的定义 ] 使得满足
设x e为系统的平衡状态，若
对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( )和 0, || x 0 x e || ( , t 0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t 0 ) x e || e (t t0 ) , t t 0 则称x e为指数稳定的。 定义8： [全局指数稳定的定义 ] 设x e为系统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 k ( ) 0和
称x e为系统的一个平衡点或 平衡状态 系统的常数解或静止运 动。
线性系统理论 系统的运动稳定性 3
4.1.2
Lyapunov意义下的运动稳定性含义
定义1： [ Lyapunov 意义下的稳定性 ] 设x e为系统的一个平衡状态 ，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( , t0 ), 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 ) 的任一初态x 0出发的受扰运动都满足 不等式 || (t , x 0 , t0 ) x e || , t t0 则称x e为Lyapunov 意义下稳定的。
t
定义6： [ Lyapunov 意义下的不稳定定义 ] 设x e为系统的平 衡状态，若对于不管多 大的有限实数 0, 都不可能找到 相应的实数 ( , t0 ), 使得由满足|| x 0 x e || ( , t0 )的任一 x 0出发的运动满足不等式 || (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 ， 称x e为不稳定的。
0
有唯一的实对称、一致 有界和一致正定的矩阵 解P(t )。 推论：设A(t )为[t 0 , )上的一致有界分段连续 矩阵，且
[ A(t ) AT (t )] 0
则系统一致渐近稳定。
线性系统理论
系统的运动稳定性
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4.3 线性定常系统的稳定性 4.3.1 直接判据与Hurwitz定理
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定义5： [ Lyapunov 意义下的大范围渐近稳 定性] 设x e为系 统的平衡状态，若以状 态空间中任一有限点 x 0为初态的 受扰运动 (t；x 0 , t0 )都是有界的，且满足 lim (t；x 0 , t0 ) x e 则称x e是大范围渐近稳定的 全局渐近稳定。
不稳定示意图
|| x||
V (x, t )沿系统的全导数 dV V V f (x, t ) dt x t
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定理1： 若存在包含原点的某邻 域 R n 和定义在 [t 0 , ) 上的一个有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的 全导数在[t 0 , ) 上为有界半负定的（或 负定的）， 则系统的零平衡状态是 一致稳定的（或一致渐 近 稳定的）。 定理2： 若存在一个具有无穷大 性质的定义在 [t 0 , ) R n 上的有界正定函数 V (x, t ),它沿系统的全导 数在[t 0 , ) R n 上一致有界一致负定， 则系统的零平 衡点为全局一致渐近稳 定的。
稳定示意图
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定义2： [ Lyapunov 意义下的一致稳定性 ] 在上述Lyapunov 意义下的稳定性定义中 ， 若的选取只依赖于 而与初始时刻t0的 选取无关，则进一步称 平衡状态x e是 一致稳定的。
一致稳定示意图
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定义3： [ Lyapunov 意义下的渐近稳定性 ] 系统的一个平 衡状态x e 称为渐近稳定的，如果 (1)x e是Lyapunov 意义下稳定性的 (2)对 ( , t0 )和任意给定的实数 0, 对应地存在实数 T ( , , t0 ) 0, 使得满足 || x 0 x e || ( , t0 )的任一初 态x 0出发的受扰运动同时满 足 | (t；x 0 , t0 ) x e || , t t0 T ( , , t0 )
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定理3： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为半负定的（或负定 的）， 则系统的零平衡状态为 局部稳定的（或渐近稳 定的）。 定理4： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), (x)在 它沿系统的全导数在 内为半负定的，但在 中V 系统的非零解上非零， 则系统的零平衡状态渐 近稳定。 定理5： 若在R n 上存在一个具有无穷大 性质的正定函 数V (x),它沿系统的全导数在 R n上为负定的，则系统的 零平衡状态为全局渐近 稳定的。 定理6： 若原点的某邻域 内存在一个正定函数 V (x), 它沿系统的全导数在 内为正定，则零平衡点 不稳定的。
S(δ )
S (ε )
渐近稳定示意图
线性系统理论 系统的运动稳定性 6
定义4： [ Lyapunov 意义下的一致渐近稳定 性] 在上述 Lyapunov 意义下的渐近稳定性定 义中，若和T的选取 不依赖于初始时刻 t0，则称平衡状态 x e是一致渐近稳定的。
一致渐近稳定示意图
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系统的运动稳定性
(|| x ||)和 (|| x ||)满足： (0) (0) 0，并使得对任何
t t 0 和x 0有 0 (|| x || V (x, t ) (|| x ||) 则称V (x, t )为定义在[t 0 , ) 上的一个正定函数。 若 lim (|| x ||) , 则称正定函数V (x, t )具有无穷大性质。