八年级上册数学北师大版第一章勾股定理第三节 勾股定理的应用ppt(共26张)
解：在Rt△BCD中 由勾股定理得： 因为CD2＝B距地面有12＋2.2＝14.2米
答：火灾的窗口距地面有14.2米
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最
近？并求出最近距离．
20
解：将图形平面展开得：
B
20
B
3
2
A
A
1.3.勾股定理的应用
上一次我们学习了勾股定理，一起来复习一下！
c
a
b
如果直__角__三__角__形__两直_角___边分别为a，b，斜边为c，那么
_a_2_+__b_2_=__c_2 即_直_角__三__角__形__两_直__角__边__的__平_方__和__等__于__斜_边__的__平__方__。
本节课学习目标：
✓ 1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． ✓ 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解
决问题的能力及渗透数学建模的思想． ✓ 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实
用性． ✓ 4.利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆
A
(1)：由勾股定理得：
AB2=152+252=225+625=850 ∵ 850 29.15 ∴AB≈29.15
(2)：由勾股定理得：
AB2=202+202=400+400=800 ∵ 800 28.28 ∴AB≈28.28
∵28.28<29.15
∴最短距离为28.28
答：最短距离为28.28
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路 线长为多少？
如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯 底 4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 多少厘米？
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长 为AD=AB=（x+1）尺
在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2 即 52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1 2x=24 ∴ x=12， x+1=13
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺
D
C
B
A
如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶 上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米.飞机每 小时飞行多少千米？
2
AB2 152 202 625 252 AB 25
答：AB为最近距离，为25。
3.如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一 只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
解：将图形平面展开得：
B
B
C
CB
20cm
A 15cm
解：设小船实际行驶了xm 由勾股定理得：
x2=122+52=144+25=169=132
∴x=13，即：小船实际行驶了13m 答：小船实际行驶了13m。
王之涣大诗人在《登鹤雀楼》中写到“欲穷千里目，更上一层 楼”，本节课已经学完了，让我们来闯一闯
初级版1
初级版2
提高版
终极版
超人版1
超人版2
带*号题
解：设大树原来有x m,则树顶到折断部分为（x-3）m。
由勾股定理得： 32+42=(x-3)2 9+16=(x-3)2
25=(x-3)2 ∴x-3=5 ∴ x=8 答：大树原来有8m.
3m
4m
兵临城下
一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南 方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m， 则小船实际行驶多少米？
（2）如图 1-14 所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点 A 到点 B 的最 短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从点 A 出发，想吃到点 B 上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路 程是多少？
B
B
你来试一试！
A
A
Try！
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB， 但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD 边垂直于AB边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
B
B
B
A
A
A
B
B
A
A
Cr
B
C
B
h
侧面展开图
A
A
即，AB为蚂蚁走得最短的路径
如图 1-13 所示，有一个圆柱，它的高等于 12 cm，底面上圆的周长等于 18 cm．在圆柱下底面的点 A 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）自己做一个圆柱，尝试从点 A 到点 B 沿圆柱侧面画出几条路线，你觉 得哪条路线最短呢？
一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm， 吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm，问吸 管要做多长？
You must have a try!
一棵与地面垂直的大树，在台风中咔嗒一下，从树中间折断了，树 断后，断了的部分到地面为3m,树根所处地到树顶为4m，问：大树 原来多高？
A E
CD
B
班长小蕾气场超强，所过之处万物颤抖，寸草不生，有一根1m长的拖把，本来 是斜立在墙边，拖把头离地面0.8m，蕾姐走过后，可怜的拖把颤抖着，顶部出 溜滑了下去了0.3m，那么拖把底部也滑下去了0.3m吗？如果不是，请计算一下 到底滑下去了多少米？
0.3m 0.8m
体育课蕾姐开始巡视方阵，离她20m之内的人会受到她霸王场面的影响，然后 会不由自主的哆嗦，颤抖着，蕾姐气场是半径20m的圆，李狗蛋开始坐在离蕾 姐开始坐的位置的右边32m，蕾姐的行动轨迹是右往上偏30°，速度是2m/s. 问：李狗蛋会受到蕾姐的气场影响吗？若会，李狗蛋颤抖的时间是多少秒呢？
（2）解： AD2 AB2 302 402
2500
又 BD2 2500
AD2 AB2 BD2 AD和AB垂直
临阵磨刀
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上 午10：00，甲、乙两人相距多远？
解：设飞机行驶了xm
则由勾股定理得：
x2+40002=50002 x2+16000000=25000000
x2=9000000
x=3000 即飞机行驶了3000m
∵∵∴3tv0飞飞0机机0行m=驶3==÷3k213m0s==913kmh /h
4000
5000
答：飞机每小时飞行9km.
一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的A点处，升起云梯到发 火的窗口点C.已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米，问发生 火灾的窗口距地面有多少米？
解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，
10:00甲到达B点，乙到达C点．则:
AB=2×6=12（km）
C
AC=1×5=5（km）
在Rt△ABC中:
BC2 AC2 AB2 5 12 132
∴BC=13 （km）． 即甲乙两人相距13 km．
A
B
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题 的意思是有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池中央有 一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉到岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各 是多少？
32m
如图11，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长 方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半 圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果 取整数）
如图，有一张直角三角形状纸片ABC，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重 合，你能求出CD的长吗？
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现 将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合， 求CD的长．
定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点．
一、师生互动，情景引入(1) 如图，从二教楼到综合楼怎样走最近？运用什么定理。
综合楼
二 教
草坪
楼
两点之间,线段最短．
一、师生互动，情景引入(2)
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一 只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，想一想，蚂蚁怎 么走最近？
答：火灾的窗口距地面有14.2米
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最
近？并求出最近距离．
20
解：将图形平面展开得：
B
20
B
3
2
A
A
1.3.勾股定理的应用
上一次我们学习了勾股定理，一起来复习一下！
c
a
b
如果直__角__三__角__形__两直_角___边分别为a，b，斜边为c，那么
_a_2_+__b_2_=__c_2 即_直_角__三__角__形__两_直__角__边__的__平_方__和__等__于__斜_边__的__平__方__。
本节课学习目标：
✓ 1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． ✓ 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解
决问题的能力及渗透数学建模的思想． ✓ 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实
用性． ✓ 4.利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆
A
(1)：由勾股定理得：
AB2=152+252=225+625=850 ∵ 850 29.15 ∴AB≈29.15
(2)：由勾股定理得：
AB2=202+202=400+400=800 ∵ 800 28.28 ∴AB≈28.28
∵28.28<29.15
∴最短距离为28.28
答：最短距离为28.28
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路 线长为多少？
如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯 底 4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 多少厘米？
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长 为AD=AB=（x+1）尺
在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2 即 52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1 2x=24 ∴ x=12， x+1=13
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺
D
C
B
A
如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶 上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米.飞机每 小时飞行多少千米？
2
AB2 152 202 625 252 AB 25
答：AB为最近距离，为25。
3.如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一 只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
解：将图形平面展开得：
B
B
C
CB
20cm
A 15cm
解：设小船实际行驶了xm 由勾股定理得：
x2=122+52=144+25=169=132
∴x=13，即：小船实际行驶了13m 答：小船实际行驶了13m。
王之涣大诗人在《登鹤雀楼》中写到“欲穷千里目，更上一层 楼”，本节课已经学完了，让我们来闯一闯
初级版1
初级版2
提高版
终极版
超人版1
超人版2
带*号题
解：设大树原来有x m,则树顶到折断部分为（x-3）m。
由勾股定理得： 32+42=(x-3)2 9+16=(x-3)2
25=(x-3)2 ∴x-3=5 ∴ x=8 答：大树原来有8m.
3m
4m
兵临城下
一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南 方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m， 则小船实际行驶多少米？
（2）如图 1-14 所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点 A 到点 B 的最 短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从点 A 出发，想吃到点 B 上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路 程是多少？
B
B
你来试一试！
A
A
Try！
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB， 但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD 边垂直于AB边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
B
B
B
A
A
A
B
B
A
A
Cr
B
C
B
h
侧面展开图
A
A
即，AB为蚂蚁走得最短的路径
如图 1-13 所示，有一个圆柱，它的高等于 12 cm，底面上圆的周长等于 18 cm．在圆柱下底面的点 A 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）自己做一个圆柱，尝试从点 A 到点 B 沿圆柱侧面画出几条路线，你觉 得哪条路线最短呢？
一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm， 吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm，问吸 管要做多长？
You must have a try!
一棵与地面垂直的大树，在台风中咔嗒一下，从树中间折断了，树 断后，断了的部分到地面为3m,树根所处地到树顶为4m，问：大树 原来多高？
A E
CD
B
班长小蕾气场超强，所过之处万物颤抖，寸草不生，有一根1m长的拖把，本来 是斜立在墙边，拖把头离地面0.8m，蕾姐走过后，可怜的拖把颤抖着，顶部出 溜滑了下去了0.3m，那么拖把底部也滑下去了0.3m吗？如果不是，请计算一下 到底滑下去了多少米？
0.3m 0.8m
体育课蕾姐开始巡视方阵，离她20m之内的人会受到她霸王场面的影响，然后 会不由自主的哆嗦，颤抖着，蕾姐气场是半径20m的圆，李狗蛋开始坐在离蕾 姐开始坐的位置的右边32m，蕾姐的行动轨迹是右往上偏30°，速度是2m/s. 问：李狗蛋会受到蕾姐的气场影响吗？若会，李狗蛋颤抖的时间是多少秒呢？
（2）解： AD2 AB2 302 402
2500
又 BD2 2500
AD2 AB2 BD2 AD和AB垂直
临阵磨刀
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上 午10：00，甲、乙两人相距多远？
解：设飞机行驶了xm
则由勾股定理得：
x2+40002=50002 x2+16000000=25000000
x2=9000000
x=3000 即飞机行驶了3000m
∵∵∴3tv0飞飞0机机0行m=驶3==÷3k213m0s==913kmh /h
4000
5000
答：飞机每小时飞行9km.
一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的A点处，升起云梯到发 火的窗口点C.已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米，问发生 火灾的窗口距地面有多少米？
解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，
10:00甲到达B点，乙到达C点．则:
AB=2×6=12（km）
C
AC=1×5=5（km）
在Rt△ABC中:
BC2 AC2 AB2 5 12 132
∴BC=13 （km）． 即甲乙两人相距13 km．
A
B
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题 的意思是有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池中央有 一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉到岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各 是多少？
32m
如图11，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长 方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半 圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果 取整数）
如图，有一张直角三角形状纸片ABC，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重 合，你能求出CD的长吗？
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现 将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合， 求CD的长．
定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点．
一、师生互动，情景引入(1) 如图，从二教楼到综合楼怎样走最近？运用什么定理。
综合楼
二 教
草坪
楼
两点之间,线段最短．
一、师生互动，情景引入(2)
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一 只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，想一想，蚂蚁怎 么走最近？
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北师大版数学八年级上册 1.3勾股定理的应用 课件(共20张PPT)
1.3 勾股定理的应用
教学目标
知识与技能：1能正确运用勾股定理及直角三角形的判别 方法解决简单的实际问题。2学会选择适当的数学模型解 决实际问题。
过程与方法：通过问题情景的设立，使学生体会数学来 源于生活，又应用于生活：积累利用数学知识解决日常 生活中实际问题的经验和方法。
情感、态度与价值观：敢于面对数学学习中的困难，增 加遇到困难是选择其他方法的经验，进一步体会数学的 应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极 参与数学活动的意识。
巩固练习
4、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池的正中 央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问：这个水池的深度和 这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度 为（x+1）尺。 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²+BC²=AB² 即：x²+5²=（x+1）²
AD2+AB2=BD2
AD⊥AB
合作交流
Ⅱ、李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和 BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了 卷尺。 (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺， 他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC 边与AB边呢？
新知归纳 数学思想：
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 实际问题
转化 建模
数学问题
新知归纳 数学思想：
(1) 立体图形
转化 展开
平面图形
这是一个滑梯示意图若将滑道AC水平放平刚好与AB一样长， 已知滑梯的高度=3m，CD=1m,试求滑道AC的长。
解：设滑道AC的长度为x米，则AB的 长度也为x米，AE的长度为（x-1）米。
教学目标
知识与技能：1能正确运用勾股定理及直角三角形的判别 方法解决简单的实际问题。2学会选择适当的数学模型解 决实际问题。
过程与方法：通过问题情景的设立，使学生体会数学来 源于生活，又应用于生活：积累利用数学知识解决日常 生活中实际问题的经验和方法。
情感、态度与价值观：敢于面对数学学习中的困难，增 加遇到困难是选择其他方法的经验，进一步体会数学的 应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极 参与数学活动的意识。
巩固练习
4、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池的正中 央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问：这个水池的深度和 这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度 为（x+1）尺。 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²+BC²=AB² 即：x²+5²=（x+1）²
AD2+AB2=BD2
AD⊥AB
合作交流
Ⅱ、李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和 BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了 卷尺。 (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺， 他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC 边与AB边呢？
新知归纳 数学思想：
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 实际问题
转化 建模
数学问题
新知归纳 数学思想：
(1) 立体图形
转化 展开
平面图形
这是一个滑梯示意图若将滑道AC水平放平刚好与AB一样长， 已知滑梯的高度=3m，CD=1m,试求滑道AC的长。
解：设滑道AC的长度为x米，则AB的 长度也为x米，AE的长度为（x-1）米。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理勾股定理的应用课件
果梯子的顶端A沿墙下滑了4m，那么梯子的底部B在水平方向上也滑动了4m吗？
解：在Rt△ABO中， ∵AB＝25 m，AO＝24 m， ∴OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49. ∴OB＝7 m. 同理，在Rt△COD中， DO2＝CD2－CO2＝252－202＝152， ∴DO＝15 m， ∴BD＝OD－OB＝15－7＝8(m)． 故梯子的底部B在水平方向滑动了8 m.
A. 9
B. 13
C. 14
D. 25
3. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直
角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ D ）
A. x2＋y2＝49
B. x－y＝2
C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
9. 如图，一次“台风”过后，一根旗杆被 台风从离地面9 m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在 离旗杆底部12 m处，那么这根旗杆被吹断前有多 高？
解：如下图所示，
∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角 形，
∴BC2＝AB2＋AC2＝225，∴BC＝15 m. ∴旗杆的高＝AB＋BC＝9＋15＝24 (m)， 故这根旗杆被吹断前有24 m高．
1. 一根竹竿插到水池中离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，
若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问
水池的深度为（ A ）
A. 2m
B. 2.5m
C. 2.25 m
D. 3m
2. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，则斜边长
为( C )
A. 4
B. 8
解：在Rt△ABO中， ∵AB＝25 m，AO＝24 m， ∴OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49. ∴OB＝7 m. 同理，在Rt△COD中， DO2＝CD2－CO2＝252－202＝152， ∴DO＝15 m， ∴BD＝OD－OB＝15－7＝8(m)． 故梯子的底部B在水平方向滑动了8 m.
A. 9
B. 13
C. 14
D. 25
3. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直
角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ D ）
A. x2＋y2＝49
B. x－y＝2
C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
9. 如图，一次“台风”过后，一根旗杆被 台风从离地面9 m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在 离旗杆底部12 m处，那么这根旗杆被吹断前有多 高？
解：如下图所示，
∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角 形，
∴BC2＝AB2＋AC2＝225，∴BC＝15 m. ∴旗杆的高＝AB＋BC＝9＋15＝24 (m)， 故这根旗杆被吹断前有24 m高．
1. 一根竹竿插到水池中离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，
若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问
水池的深度为（ A ）
A. 2m
B. 2.5m
C. 2.25 m
D. 3m
2. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，则斜边长
为( C )
A. 4
B. 8
1.3勾股定理的应用 课件 北师大版数学八年级上册(共39张PPT)
若能，请计算出AC的长；若不能，请说明理由．
解：能．设AC＝x，则AB＝x＋1.
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝5，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，
即(x＋1)2＝x2＋52.解得x＝12.
答：AC的长为12 m．
2.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风
筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2
数学（BS）版八年级上册
第一章 勾股定理
第4课
勾股定理的应用
新课学习
几何体表面上两点之间的最短距离
例1 如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2 m，高AB是5
m，要以点A环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A的正上方的点B
处，问梯子最短需多少米？(π取3)
解：圆柱形油罐的侧面展开图如图，则AB′的长为梯子的最短长度．
立体图形展开成平面图形；(2)确定最短路线；(3)确定直角三角形；(4)根
据直角三角形的边长，利用勾股定理求解．
利用方程思想解决实际问题
例2 【教材P15习题T6变式】如图所示，小强想知道学校旗杆的高
度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m
后(即BC＝5 m)，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高度吗？
且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围250米内不得进入，
在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
解：公路AB段需要暂时封锁．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝400，AC＝300，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝3002＋4002＝5002.
解：能．设AC＝x，则AB＝x＋1.
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝5，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，
即(x＋1)2＝x2＋52.解得x＝12.
答：AC的长为12 m．
2.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风
筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2
数学（BS）版八年级上册
第一章 勾股定理
第4课
勾股定理的应用
新课学习
几何体表面上两点之间的最短距离
例1 如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2 m，高AB是5
m，要以点A环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A的正上方的点B
处，问梯子最短需多少米？(π取3)
解：圆柱形油罐的侧面展开图如图，则AB′的长为梯子的最短长度．
立体图形展开成平面图形；(2)确定最短路线；(3)确定直角三角形；(4)根
据直角三角形的边长，利用勾股定理求解．
利用方程思想解决实际问题
例2 【教材P15习题T6变式】如图所示，小强想知道学校旗杆的高
度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m
后(即BC＝5 m)，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高度吗？
且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围250米内不得进入，
在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
解：公路AB段需要暂时封锁．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝400，AC＝300，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝3002＋4002＝5002.
北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用课件(共33张PPT)
成任务的最短路程吗？
例 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm， 如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向
点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积. 若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则:
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长 方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC ＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合 格？
解：因为AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， 所以AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又因为AC2＝92＝81， 所以AB2＋BC2≠AC2，∠ABC≠90°， 所以该农民挖的不合格．
探究新知
知识点 1 利用勾股定理解答最短路径问题 以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行 到B点的问题.
讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？
2 .有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？
B
我要从A点沿侧面
爬行到B点，怎么
爬呢？大家快帮我
想想呀！
A
探究新知
蚂蚁A→B的路线
A'
d
B A'
B
O
B
B
A
A
A
A
想一想 蚂蚁走哪一条路线最近？
探究新知
若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18
cm，则: AB2=122+(18÷2)2 所以
北师大版八年级上册1.3勾股定理应用课件(共18张PPT)
如图为一圆柱体工艺品,其底面周长为60cm,高为25cm,从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B,则该装饰线最短长为
A B A A A 'B cm.
2
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容，
2
2
5如, 果2,小3;明只B有. 一个其20c中m 的A尺A子’是，思圆考又柱该如体何验的证A高D垂,直AA’BB？是底面圆周长的一半
第一章 勾股定理
§1.3 勾股定理的应用
学习目标
1、会用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题； 2、能用勾股定理和逆定理，结合方程思想解决实际应用问题.
自主自研
（一）温故知新
1、平面内，两点之间 线段 最短；
2、圆的周长公式 C=2πR；圆的面积公式 S=πR2 ； 3、圆柱侧面的展开图是__矩__形____。
；
如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面上圆的周长等于18厘米，在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点
相对如的B图点B为处的一食物圆，需柱要爬体行的工最短艺路程品是多,少其？ 底面周长为60cm,高为25cm,
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容，
从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B,则该 一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的 线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？（自己动手试一试）
若设滑道AC长为x米，
研读课本P13 “做一做”。
A 因为△ACE是直角三角形，所以AE2+CE2 AC2,
(3)如下图，将圆柱侧面过点A剪开并展开，则侧面展开图是
A
，CB= cm，AC= cm.
A B A A A 'B cm.
2
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容，
2
2
5如, 果2,小3;明只B有. 一个其20c中m 的A尺A子’是，思圆考又柱该如体何验的证A高D垂,直AA’BB？是底面圆周长的一半
第一章 勾股定理
§1.3 勾股定理的应用
学习目标
1、会用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题； 2、能用勾股定理和逆定理，结合方程思想解决实际应用问题.
自主自研
（一）温故知新
1、平面内，两点之间 线段 最短；
2、圆的周长公式 C=2πR；圆的面积公式 S=πR2 ； 3、圆柱侧面的展开图是__矩__形____。
；
如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面上圆的周长等于18厘米，在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点
相对如的B图点B为处的一食物圆，需柱要爬体行的工最短艺路程品是多,少其？ 底面周长为60cm,高为25cm,
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容，
从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B,则该 一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的 线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？（自己动手试一试）
若设滑道AC长为x米，
研读课本P13 “做一做”。
A 因为△ACE是直角三角形，所以AE2+CE2 AC2,
(3)如下图，将圆柱侧面过点A剪开并展开，则侧面展开图是
A
，CB= cm，AC= cm.
北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理 课件(共20张PPT)
( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三 角形和一个小正方 形.
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小 正方形，图中两块红色 （或绿色）可拼成一个小 正方形.
填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计 算正方 形C的面 积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两 直角边为边长的小正方 形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的 面积.
勾股定理的应用课件(共26张PPT)
OB ________2_.7__5___1_._6_5_8_____.
C
在Rt△COD中， OD2 _C__D_2___O_C__2___3_2 __2_2___5___,
OD ________5_____2__.2__3_6_____.
O
B
D
BD _O_D_－__O_B__=__2_._2_3_6_－__1_._6_5_8__≈_0_._5_8___ .
(2)、(3)两题结果精确到0.1
ac
b
C
a2 b2 c2
A
小试身手 ：☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
小试身手 ：☞
如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
勾股定理的应用
知识回忆 ：☞
勾股定理及其数学语言表达式:
直角三角形两直角
边a、b的平方和等于斜
B
边c的平方。
ac
b
C
a2 b2 c2
A
知识回忆 ：☞
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= 6
;
(2)若a=5，b=10，则c = 11.2 ;
B
(3)若a=2，∠A=30° ，则 b = 3.5 ;
C
:BC
:AB=
1:1:√2 . 若AB=8则AC= 4 2 .
又若CD⊥AB于D,则CD= 4√2 .
B
D
北师大八年级数学上册《勾股定理的应用》课件(24张PPT)
B
① A′
②
B′
A
B A′
③Aຫໍສະໝຸດ （2）路线①，②，③中最短路线是哪条？
③
3
B
① A′
B
A′
12
③
B′ ②
AA
（3）若圆柱的高为12，底面半径为3时,3条路线分别多 长？（π取3）
做一做
Br
① A′
B
A′
h
③
B′②
h=12，r=3 h=3.75，r=3 h=2.625，r=3
A A
路线① 路线② 路线③ 最短
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一 只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬 到B？
B
A
B B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足 AB2=202+102=500＞400，所以不能在20 s内从A爬 到B.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
数学是无穷的科学.
——赫尔曼外尔
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
北师大版数学八年级上册1.3《勾股定理的应用》课件 (共19张PPT)
一、情景导入
从行政 楼A点走 到教学 楼B点怎 样走最 近？ 你能说出 这样走的 理由吗？
行政楼 A 教 学 楼
B
在同一平面内，两点之间,线段最短 在同一平面内，
在一个圆柱石凳上，若小明在
吃东西时留下了一点食物在B处，
恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一 信息，于是它想从A 处爬向B处， 你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
A
解：设水池的水深AC为x，则这根芦苇长AD=AB=（x+1），
在直角三角形ABC中，BC=5 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即
52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2 x=24，
∴ x=12， x+1=13 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他们把绳 子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮 他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴交流并回 答用的是什么方法.
AB 12 (3 3) AB 15
2 2 2
A
’
3
O
B
侧面展开图
A’
12
3π
B
12
A
A
你学会了吗?
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好A 点的正上方B点，问梯子最短需多少米?(已知：油罐的底面半 径是2 m，高AB是5 m，π 取3） B B B＇
A
A
A'
解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB＇为梯子的 最短距离.AA＇=12, A＇B＇=5,所以AB ＇=13.
B
A
B
从行政 楼A点走 到教学 楼B点怎 样走最 近？ 你能说出 这样走的 理由吗？
行政楼 A 教 学 楼
B
在同一平面内，两点之间,线段最短 在同一平面内，
在一个圆柱石凳上，若小明在
吃东西时留下了一点食物在B处，
恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一 信息，于是它想从A 处爬向B处， 你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
A
解：设水池的水深AC为x，则这根芦苇长AD=AB=（x+1），
在直角三角形ABC中，BC=5 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即
52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2 x=24，
∴ x=12， x+1=13 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他们把绳 子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮 他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴交流并回 答用的是什么方法.
AB 12 (3 3) AB 15
2 2 2
A
’
3
O
B
侧面展开图
A’
12
3π
B
12
A
A
你学会了吗?
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好A 点的正上方B点，问梯子最短需多少米?(已知：油罐的底面半 径是2 m，高AB是5 m，π 取3） B B B＇
A
A
A'
解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB＇为梯子的 最短距离.AA＇=12, A＇B＇=5,所以AB ＇=13.
B
A
B