北师大版勾股定理的应用(4)PPT
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勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
勾股定理的应用 课件 2022—2023学年北师大版数学八年级上册
2x 1 1
图1
2z 3y
x2 1 1
图2
3.学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐 角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们 仅花仅草少。走4了 步路（假设2步为1米），却踩伤了
C
4
B
“路” 5
3
芳草青青，足下留情!
A
4.受台风影响，一棵9米高的大树在离地面4米的 地方断裂，树的前面4米处停放一辆小汽车，这 棵树折断后会砸中小汽车吗？
是 圆柱的高 ,它的另一边长是 底面圆的周长 .
3.有一个圆柱,它的高为12cm,
B
底面半径为3cm, 在圆柱下底
面上的A点有一只蚂蚁,它想从
点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱
侧面爬行的最短路程是多少?
(π的值取3)
A
我怎么走 会最近呢?
B C 9cm B
高
12cm
A
A 长18cm (π的值取3)
解:将圆柱如图侧面展开.在 Rt△ABC中,根据勾股定理
两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢，至少飞了
（）
A.7m
B.8m
C.9m
A
D.10m
8m
C
B
2m
8m
8. 一种盛饮料的圆柱形杯（如图）， 测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝， 吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝， 问吸管要做多长？
C
A
B
练习二
1.两点之间， 线段最短！ 2.一个圆柱体的侧面展开图是长方形,它的一边长
C６
B
8
８
A
A
5.如图，已知长方体的长、宽、高分 别为4cm、3cm、12cm，求BD’的长。
勾股定理的应用教学课件
12
随堂练习
4．如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在
4
花园内走出了一条“路”，仅仅少走了______步路，却踩伤了花草．（假
设1米为2步）
C
4m
“路”
B
3m
A
随堂练习
5． 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 m，宽1.6 m，要开进厂门形状如图所示
的某工厂（上方半圆，下方长方形） ，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.
在适当的直角三角形中应用勾股
定理进行计算或建立等量关系，
根据题意，画出图形
1
列出方程，解决问题
2
பைடு நூலகம்
分析题目中的数量关系，数形结合，正确
标图，将已知条件体现到图形中
3
新知小结
勾股定理应用的常见类型
1．已知直角三角形的任意两边求第三边；
2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4．求解几何体表面上的最短路径问题；
5．构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、
生活中的实际问题．
随堂练习
1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3 cm ，高是8 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱
爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ B ）
B
A．（3 ＋8）cm
B．10 cm
C．14 cm
D．无法确定
这节课我们就来学习用勾股定理来解决这一实际问题．
合作探究
上面的问题可以归结为：如图，AC 长为 0.5 尺，BC 长为 2 尺，OA＝OB，求
OC 长为几尺．请你解答这个问题．
解：OA＝OB＝OC＋0.5，
在 Rt△OBC 中，根据勾股定理，
随堂练习
4．如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在
4
花园内走出了一条“路”，仅仅少走了______步路，却踩伤了花草．（假
设1米为2步）
C
4m
“路”
B
3m
A
随堂练习
5． 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 m，宽1.6 m，要开进厂门形状如图所示
的某工厂（上方半圆，下方长方形） ，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.
在适当的直角三角形中应用勾股
定理进行计算或建立等量关系，
根据题意，画出图形
1
列出方程，解决问题
2
பைடு நூலகம்
分析题目中的数量关系，数形结合，正确
标图，将已知条件体现到图形中
3
新知小结
勾股定理应用的常见类型
1．已知直角三角形的任意两边求第三边；
2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4．求解几何体表面上的最短路径问题；
5．构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、
生活中的实际问题．
随堂练习
1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3 cm ，高是8 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱
爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ B ）
B
A．（3 ＋8）cm
B．10 cm
C．14 cm
D．无法确定
这节课我们就来学习用勾股定理来解决这一实际问题．
合作探究
上面的问题可以归结为：如图，AC 长为 0.5 尺，BC 长为 2 尺，OA＝OB，求
OC 长为几尺．请你解答这个问题．
解：OA＝OB＝OC＋0.5，
在 Rt△OBC 中，根据勾股定理，
勾股定理的应用-课件
02
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
勾股定理的应用ppt
勾股定理公式
勾股定理的公式是 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边长度，c 是斜边长度。
勾股定理的历史背景
毕达哥拉斯学派
欧几里得
勾股定理最早可以追溯到公元前6世 纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派通 过观察和实验发现了这一关系。
古希腊数学家欧几里得在《几何原本》 中详细证明了勾股定理，并给出了多 种证明方法。
勾股定理在社会科学领域的应用
城市规划
在城市规划领域，勾股定理可以用于城市布 局和道路交通规划，例如在城市道路网规划 中，通过勾股定理计算道路之间的距离和角 度，优化城市交通网络布局。
建筑学
在建筑学领域，勾股定理可以用于建筑设计、 结构和美学等方面，例如在建筑设计时，通 过勾股定理计算建筑物的比例和角度，实现 建筑的美学和功能性统一。
游戏开发
在游戏开发中，勾股定理可用于实现物理引擎，如计算物体的碰撞、重力加速度等参数。
05
勾股定理的扩展应用
勾股定理在金融领域的应用
金融投资
勾股定理可以用于金融投资领域，通过分析股票、债券等金融产品的价格波动和相关性，预测市场走势，制定投 资策略。
风险管理
在金融风险管理方面，勾股定理可以用于评估投资组合的风险，通过计算不同资产之间的相关性，合理配置资产， 降低投资风险。
勾股定理在信息科学领域的应用
数据处理
在信息科学领域，勾股定理可以用于数据处理和分析，例如在图像处理中，通过勾股定理计算像素之 间的距离和角度，实现图像的缩放、旋转和平移等操作。
通信技术
在通信技术领域，勾股定理可以用于信号传输和数据处理，例如在无线通信中，通过勾股定理计算信 号的传播距离和衰减程度，优化信号传输质量和覆盖范围。
勾股定理的公式是 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边长度，c 是斜边长度。
勾股定理的历史背景
毕达哥拉斯学派
欧几里得
勾股定理最早可以追溯到公元前6世 纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派通 过观察和实验发现了这一关系。
古希腊数学家欧几里得在《几何原本》 中详细证明了勾股定理，并给出了多 种证明方法。
勾股定理在社会科学领域的应用
城市规划
在城市规划领域，勾股定理可以用于城市布 局和道路交通规划，例如在城市道路网规划 中，通过勾股定理计算道路之间的距离和角 度，优化城市交通网络布局。
建筑学
在建筑学领域，勾股定理可以用于建筑设计、 结构和美学等方面，例如在建筑设计时，通 过勾股定理计算建筑物的比例和角度，实现 建筑的美学和功能性统一。
游戏开发
在游戏开发中，勾股定理可用于实现物理引擎，如计算物体的碰撞、重力加速度等参数。
05
勾股定理的扩展应用
勾股定理在金融领域的应用
金融投资
勾股定理可以用于金融投资领域，通过分析股票、债券等金融产品的价格波动和相关性，预测市场走势，制定投 资策略。
风险管理
在金融风险管理方面，勾股定理可以用于评估投资组合的风险，通过计算不同资产之间的相关性，合理配置资产， 降低投资风险。
勾股定理在信息科学领域的应用
数据处理
在信息科学领域，勾股定理可以用于数据处理和分析，例如在图像处理中，通过勾股定理计算像素之 间的距离和角度，实现图像的缩放、旋转和平移等操作。
通信技术
在通信技术领域，勾股定理可以用于信号传输和数据处理，例如在无线通信中，通过勾股定理计算信 号的传播距离和衰减程度，优化信号传输质量和覆盖范围。
勾股定理的应用课件
利用勾股定理确定卫星轨 道参数，提高卫星通信的 覆盖范围和信号质量。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用课件(共33张PPT)
成任务的最短路程吗？
例 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm， 如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向
点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积. 若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则:
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长 方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC ＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合 格？
解：因为AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， 所以AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又因为AC2＝92＝81， 所以AB2＋BC2≠AC2，∠ABC≠90°， 所以该农民挖的不合格．
探究新知
知识点 1 利用勾股定理解答最短路径问题 以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行 到B点的问题.
讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？
2 .有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？
B
我要从A点沿侧面
爬行到B点，怎么
爬呢？大家快帮我
想想呀！
A
探究新知
蚂蚁A→B的路线
A'
d
B A'
B
O
B
B
A
A
A
A
想一想 蚂蚁走哪一条路线最近？
探究新知
若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18
cm，则: AB2=122+(18÷2)2 所以
北师大八年级数学上册《勾股定理的应用》课件(24张PPT)
B
① A′
②
B′
A
B A′
③Aຫໍສະໝຸດ （2）路线①，②，③中最短路线是哪条？
③
3
B
① A′
B
A′
12
③
B′ ②
AA
（3）若圆柱的高为12，底面半径为3时,3条路线分别多 长？（π取3）
做一做
Br
① A′
B
A′
h
③
B′②
h=12，r=3 h=3.75，r=3 h=2.625，r=3
A A
路线① 路线② 路线③ 最短
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一 只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬 到B？
B
A
B B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足 AB2=202+102=500＞400，所以不能在20 s内从A爬 到B.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
数学是无穷的科学.
——赫尔曼外尔
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
八年级数学上册1《勾股定理的应用》课件 2022年北师大版八上数学PPT+
9．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，
但他把这三个数据与其他的数据弄混了，请你帮助他找出来为( C )
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
10．如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以
长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，
思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分 线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).
第一章 三角形的证明 复习
回顾 思考1
“原名〞 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.
推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推 论可以当作定理使用.
第8题图
第9题图
15．(8分)在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 m的池塘，而另一只爬向树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距 离相等，问这棵树有多高？ 解：如图，点B为树顶，D处有两只猴子，那么AD＝10 m，C为池塘， 那么AC＝20 m．设BD的长为x m，那么树的高度为(10＋x) m．因为 AC＋AD＝BD＋BC，所以BC＝20＋10－x＝(30－x)m.在△ACB中， ∠A＝90°，所以AC2＋AB2＝BC2.即202＋(10＋x)2＝(30－x)2，解得 x＝5，所以x＋10＝5＋10＝15，即这棵树高为15 m
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半.
结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高.
第一章 勾股定理 思维图解+综合实践(课件)北师大版数学八年级上册
第一章 勾股定理
课标领航·核心素养学段目标
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单
的实际问题.
第一章 勾股定理
本章内容要点
1 个关键概念：勾股数
2 个重要定理：勾股定理，勾股定理的逆定理
1 个重要证明：勾股定理的证明
2 种重要应用：求几何体表面上的最短路线长，判定直
角三角形
4 个核心素养：抽象能力，运算能力，推理能力，模型
观念
第一章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方.如果用 a，b
和c 分别表示直角三角形的两
直角边和斜边，那么 a2+b2=c2
勾
股
定
理
勾
股
定
理
已知两边求第三边
基本
应用 已知一边和另两边的关系，求第三边
已知一边和一特殊角，求第三边
第一章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
方位角问题
勾
股
定
理
实
际
应
用
最短路线问题
折叠问题
其他问题
第一章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
勾
股
定
理
勾
股
定
理
的
逆
定
理
a，b，c满足
内容 如果三角形的三边长
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
实质
勾股数
应用
由“数”到“形”
满足 a2+b2=c2 的三个正整数称为
勾股数，每组勾股数的正整数倍
课标领航·核心素养学段目标
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单
的实际问题.
第一章 勾股定理
本章内容要点
1 个关键概念：勾股数
2 个重要定理：勾股定理，勾股定理的逆定理
1 个重要证明：勾股定理的证明
2 种重要应用：求几何体表面上的最短路线长，判定直
角三角形
4 个核心素养：抽象能力，运算能力，推理能力，模型
观念
第一章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方.如果用 a，b
和c 分别表示直角三角形的两
直角边和斜边，那么 a2+b2=c2
勾
股
定
理
勾
股
定
理
已知两边求第三边
基本
应用 已知一边和另两边的关系，求第三边
已知一边和一特殊角，求第三边
第一章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
方位角问题
勾
股
定
理
实
际
应
用
最短路线问题
折叠问题
其他问题
第一章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
勾
股
定
理
勾
股
定
理
的
逆
定
理
a，b，c满足
内容 如果三角形的三边长
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
实质
勾股数
应用
由“数”到“形”
满足 a2+b2=c2 的三个正整数称为
勾股数，每组勾股数的正整数倍
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? 2500
BD2 ? 2500
? AD2 ? AB2 ? BD2
∴AD和AB垂直．
做一做
（3）小明随身只有一个长 度为20 cm的刻度尺，他能 有办法检验 AD边是否垂直 于AB边吗？BC边与AB边呢？
小试牛刀
甲、乙两位探险者到沙漠进行探 险，某日早晨 8：00甲先出发，他以 6 km/h的速度向正东行走， 1小时后 乙出发，他以 5 km/h的速度向正北 行走．上午 10：00，甲、乙两人相 距多远？
第一章 勾股定理
3. 勾股定理的应用
从二教楼到综合楼怎样走最近？ 说明理由．
两点之间,线段最短．
问题情境
在一个圆柱石凳上，
B
若小明在吃东西时留下
了一点食物在B处，恰好
一只在A处的蚂蚁捕捉到
这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，
蚂蚁怎么走最近？
A
合作探究
B
以小组为单位,研究蚂 蚁爬行的最短路线．
A
A'
d
B
A'
B
A
A
蚂蚁 A→B 的路线
O
B
B
A
A
下一页>>
怎样计算AB？
A' r
O
B
A'
B
侧面展开图
h
A
A
在Rt△AA'B中，利用勾股定理可得:
AB2 ? AA?2 ? A?B2
其中AA'是圆柱体的高,A'B是底面圆周长的一 半(πr) ．
若已知圆柱体高为12 cm，底面半 径为3 cm，π取3，则:
B
B
A
小试牛刀
解:如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00 甲到达B点,乙到达C点．则：
AB=2×6=12(km) AC=1×5=5(km)
北
在Rt△ABC中
C
BA
B东
? 169 ? 132
∴BC=13(km) ．
即甲乙两人相距13 km.
举一反三
在我国古代数学著作《九章算 术》中记载了一道有趣的问题，这 个问题的意思是：有一个水池，水 面是一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦苇，它 高出水面1尺，如果把这根芦苇垂 直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸 边的水面，请问这个水池的深度和 这根芦苇的长度各是多少？
做一做
李叔叔想要检测雕塑 底座正面的AD边和BC边是否 分别垂直于底边AB，但他随 身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任 务吗？
做一做
（2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长 是40 cm，BD长是50 cm，AD边垂直于 AB边吗？为什么？ 解：? AD2 ? AB2 ? 302 ? 402
如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个 顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行， 已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持 不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
食物
B
A
如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个 顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行， 已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持 不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
中国古代人民 的聪明才智真 是令人赞叹 !
举一反三
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇 长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1)2 25+x2=x2+2x+1
2x=24， ∴ x=12， x+1=13 ．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
AB2 ? 122 ? (3? 3)2 ? AB? 15
A 3O
B
A' 3π
B
'
侧面展开图 12
12
A
A
方法提炼
用所学数学知识去解决实际问题的关键： 根据实际问题建立数学模型
具体步骤： 1. 审题——分析实际问题； 2. 建模——建立相应的数学模型； 3. 求解——运用勾股定理计算； 4. 检验——是否符合实际问题的真实性．
BD2 ? 2500
? AD2 ? AB2 ? BD2
∴AD和AB垂直．
做一做
（3）小明随身只有一个长 度为20 cm的刻度尺，他能 有办法检验 AD边是否垂直 于AB边吗？BC边与AB边呢？
小试牛刀
甲、乙两位探险者到沙漠进行探 险，某日早晨 8：00甲先出发，他以 6 km/h的速度向正东行走， 1小时后 乙出发，他以 5 km/h的速度向正北 行走．上午 10：00，甲、乙两人相 距多远？
第一章 勾股定理
3. 勾股定理的应用
从二教楼到综合楼怎样走最近？ 说明理由．
两点之间,线段最短．
问题情境
在一个圆柱石凳上，
B
若小明在吃东西时留下
了一点食物在B处，恰好
一只在A处的蚂蚁捕捉到
这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，
蚂蚁怎么走最近？
A
合作探究
B
以小组为单位,研究蚂 蚁爬行的最短路线．
A
A'
d
B
A'
B
A
A
蚂蚁 A→B 的路线
O
B
B
A
A
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怎样计算AB？
A' r
O
B
A'
B
侧面展开图
h
A
A
在Rt△AA'B中，利用勾股定理可得:
AB2 ? AA?2 ? A?B2
其中AA'是圆柱体的高,A'B是底面圆周长的一 半(πr) ．
若已知圆柱体高为12 cm，底面半 径为3 cm，π取3，则:
B
B
A
小试牛刀
解:如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00 甲到达B点,乙到达C点．则：
AB=2×6=12(km) AC=1×5=5(km)
北
在Rt△ABC中
C
BA
B东
? 169 ? 132
∴BC=13(km) ．
即甲乙两人相距13 km.
举一反三
在我国古代数学著作《九章算 术》中记载了一道有趣的问题，这 个问题的意思是：有一个水池，水 面是一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦苇，它 高出水面1尺，如果把这根芦苇垂 直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸 边的水面，请问这个水池的深度和 这根芦苇的长度各是多少？
做一做
李叔叔想要检测雕塑 底座正面的AD边和BC边是否 分别垂直于底边AB，但他随 身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任 务吗？
做一做
（2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长 是40 cm，BD长是50 cm，AD边垂直于 AB边吗？为什么？ 解：? AD2 ? AB2 ? 302 ? 402
如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个 顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行， 已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持 不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
食物
B
A
如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个 顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行， 已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持 不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
中国古代人民 的聪明才智真 是令人赞叹 !
举一反三
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇 长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1)2 25+x2=x2+2x+1
2x=24， ∴ x=12， x+1=13 ．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
AB2 ? 122 ? (3? 3)2 ? AB? 15
A 3O
B
A' 3π
B
'
侧面展开图 12
12
A
A
方法提炼
用所学数学知识去解决实际问题的关键： 根据实际问题建立数学模型
具体步骤： 1. 审题——分析实际问题； 2. 建模——建立相应的数学模型； 3. 求解——运用勾股定理计算； 4. 检验——是否符合实际问题的真实性．