北师大版勾股定理的应用
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理勾股定理的应用课件
解：在Rt△ABO中， ∵AB＝25 m，AO＝24 m， ∴OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49. ∴OB＝7 m. 同理，在Rt△COD中， DO2＝CD2－CO2＝252－202＝152， ∴DO＝15 m， ∴BD＝OD－OB＝15－7＝8(m)． 故梯子的底部B在水平方向滑动了8 m.
A. 9
B. 13
C. 14
D. 25
3. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直
角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ D ）
A. x2＋y2＝49
B. x－y＝2
C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
9. 如图，一次“台风”过后，一根旗杆被 台风从离地面9 m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在 离旗杆底部12 m处，那么这根旗杆被吹断前有多 高？
解：如下图所示，
∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角 形，
∴BC2＝AB2＋AC2＝225，∴BC＝15 m. ∴旗杆的高＝AB＋BC＝9＋15＝24 (m)， 故这根旗杆被吹断前有24 m高．
1. 一根竹竿插到水池中离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，
若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问
水池的深度为（ A ）
A. 2m
B. 2.5m
C. 2.25 m
D. 3m
2. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，则斜边长
为( C )
A. 4
B. 8
1.3 勾股定理的应用 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册
破 设 AE 为 x km，则 BE=（25-x） km，所以 x2+102=（
25-x）2+152，
解得 x=15，所以 E 站应建在距A 地 15 km 处．
1.3 勾股定理的应用
重 思路点拨 难 题 型 突 破
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1.3 勾股定理的应用
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重 解题通法
难 题
键.
型
突
破
利用勾股定理列方程是解决此类型题的关
原理 两点之间线段最短
1.3 勾股定理的应用
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考
对点典例剖析
点 清
典例1 如图所示的是一个长方体盒子，其长、宽、高分
单 解
别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点
A，B
处，不计线
读 头，求细线的最短长度.
1.3 勾股定理的应用
考 ［解题思路］ 点 清 单 解 读
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1.3 勾股定理的应用
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考 ［答案］ 解：如图，连接 AB′，则 AB′
点
清 即为所用的最短细线长，AA′=4+2+4+2=12，
单 解
A′B′=AB=9，
由勾股定理，
读
得 AB′2=AA′2+A′B′2=122+92=225，则AB′=15，即细
线的最短长度为 15．
1.3 勾股定理的应用
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考 ■考点二 勾股定理的实际应用
单 解
一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边时，可设未知
读 数，根据勾股定理建立方程，通过解方程回目录
考
对点典例剖析
点 清
典例2 如图，台风过后，一棵白杨树在某处折断，白杨
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用说课课件
说课人：
说课内容：教材分析、学情分析、教法学法分析、教学过程分析
1
教材分析
2
学情分析
3
教法学法分析
44
教学过程分析
一、教材分析
提供了直角三角形三边间的数量关系与判断三角形是否 地位与作用 属于直角三角形的根据
提高学生质疑、发现、解决问题的能力
教学目标 知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
教学过程 第1 二环节：合作交流，探索新知
例2、在一个圆柱石凳上，若 小明在吃东西时留下了一点食 物在B处，恰好一只在A处讨论的交流 蚂蚁捕捉到这一信息，于是它 想从A 处爬向B处，你们想一 想，蚂蚁怎么走最近？
得出结论或解决问题
探索发现
教学过程
(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆 柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？
增强学生探索的信心
使学生运用知识、解决问题的能力得到 提高
三、教法学法分析
学法分析
自主学习 探究学习 练习巩固
激发学生原有的认知结构
使得学生学会发现问题
检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及 其差距
四、教学过程分析
1
一、创设情 境，导入新
2课
3
4二、合作交
流，探索新 知
5
三、迁移 训练，学 以致用
四、总结反 思，拓展升 华
教学过程
第2 一环节：创设情境，导入新课
例1、学校有一块长方形的 花圃，经勾常股有定同理学为了少 走几步而走捷径，于是在 草坪上开辟了一条“新路”， 他们这样走少走了几步？ (每两步约为1米）
勾股定理逆定理
4m 3m
设计意图：由简单的实际问题激发学生的探求愿望，通过 探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型，体会勾股定 理在生活中无处不在。激发和点燃学生学习的兴趣。
1.3 勾股定理的应用 北师大版数学八年级上册
1.3 勾股定理的应用
北师大版八年级（初中解决实际问题. 体会把立体图形转化为 平面图形，解决“最短路径”的问题. 2.会根据勾股定理的逆定理解决实际问题. 3.利用数学中的建模思想构造直角三角形解决实际问题.
复习回顾
1. 勾股定理的内容是什么？ A
展开
勾股定理
立体图形
平面图形
直角三角形模型
立体图形上的最短路程 1. 圆柱
立体图形上的最短路程 2. 棱柱（以长方体为例）
立体图形上的最短路程 3. 台阶问题
课堂练习
【教材P14 习题1.4 第1题】
1. 如图，阴影长方形的面积是多少？
解：设直角三角形斜边长（长方形
的长）为x cm，由勾股定理得
B 12cm A 8cm 8cm
解：最短线路如 图所示，最短路 程为 20 cm.
【教材P15 习题1.4 第5题】
5．在我国古代数学著作《九章算术》中记载
了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一
个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在
水 池 正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1
尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端
如图所示，有一个圆柱，它的高等于 12 cm，底面 上圆的周长等于 18 cm. 在圆柱下底面的点 A 有一只蚂 蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，沿 圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）自己做一个圆柱，尝试从点 A 到点 B 沿圆柱侧面 画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形， 从点 A 到点 B 的最短路线是什么？你画对了吗？
恰好到达岸边的水面，请问：这个水池水的深
度和这根芦苇的长度各是多少?
北师大勾股定理的应用课件
探讨与交流
A
图（1）
C
ห้องสมุดไป่ตู้
B
图（2）
试一试：
小明想知道学校旗杆的高度，但又不 能把旗杆放倒测量，但他发现旗杆顶端 的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子 下端拉开5米后，绳子刚好斜着拉直下 端接触地面，你能帮小明算算旗杆的高 度吗？
解：设旗杆高AB=x米，则绳子长AC=(x+1) 米，在Rt ABC中，由勾股定理得：
以小组为单位,研究蚂蚁爬行
B
的最短路线．
A
路线1
A’
d
B
路线2
A’
B
A
路线3
O
B
蚂蚁A→B的路线
A 路线4
B
A
A
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3， 则: AB=？
A 3O
B
’
A’ 3π
B
12
侧面展开图 12
A
A
解：在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得:
AB2 AA2 A' B2
AB2 + BC2 = AC2 X2 + 52 = (X+1)2 X = 12
答：旗杆的高度为12米。
A
X
X+1
B
5
C
平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面。 忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃。 湖面之上不复见，入秋渔翁始发现。 残花离根二尺远，试问水深尺若干。
小露一手：
在平静的湖面上直立着一支荷花，高出水面
方程思想是解决数学问题常用的重要思想
课后作业
1．课本P(14) 习题1.4 第1，2，3题．
20
A
做一做
八年级数学上册第1章勾股定理3勾股定理的应用新版北师大版
A. 1 cm
B. 2 cm
C. 3 cm
D. 不能确定
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B )
10
3. 某小区入口上方 A 处装有红外线激光测温仪(如图)，测温
仪离地面的距离 AB ＝2.4米，当人体进入感应范围内时，
测温仪就会自动测温并显示人体体温.当身高
为1.8米的居民 CD 正对门缓慢走到离门0.8米
＋BD2＝(5＋12)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以A点到B
点的表面最短距离是如图①所示
的情况.此时AB≈18 cm.故A点
到B点的表面最短距离约为18 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. 如图所示， A ， B 两块试验田相距200 m， C 为水源地，
AC ＝160 m， BC ＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方
①所示，连接AB. 根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(5
＋9)2＝340；将长方形ACDF与长方形DCEB在同一平面上展
开，如图②所示，连接AB. 根据勾股定理，得AB2＝BE2＋AE2
＝52＋(12＋9)2＝466；将长方形AHGF与长方形FDBG在同一平
面上展开，如图③所示，连接AB.根据勾股定理，得AB2＝AD2
么，建好桥后从 A 村到 B 村比原来减少的路程为(
A. 2 km
B. 4 km
C. 10 km
D. 14 km
1
2
3
4
5
6
7
8
9
北师大八年级数学上册《勾股定理的应用》课件(24张PPT)
B
① A′
②
B′
A
B A′
③Aຫໍສະໝຸດ （2）路线①，②，③中最短路线是哪条？
③
3
B
① A′
B
A′
12
③
B′ ②
AA
（3）若圆柱的高为12，底面半径为3时,3条路线分别多 长？（π取3）
做一做
Br
① A′
B
A′
h
③
B′②
h=12，r=3 h=3.75，r=3 h=2.625，r=3
A A
路线① 路线② 路线③ 最短
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一 只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬 到B？
B
A
B B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足 AB2=202+102=500＞400，所以不能在20 s内从A爬 到B.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
数学是无穷的科学.
——赫尔曼外尔
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
北师大版八年级上册数学1.3勾股定理的应用(教案)
在今天的课程中，我们探讨了勾股定理的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，关于导入新课环节，我通过提出一个与生活密切相关的问题来激发学生的兴趣，效果还是不错的。大部分同学都能够积极参与，表达自己的想法。但我也注意到，有些学生对这个问题还不够敏感，可能是因为他们对勾股定理还不够熟悉。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，尽量用简单易懂的语言和例子来引导他们。
-学生需掌握勾股定理的表述和证明，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
-学生需学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或确定直角三角形的形状。
-学生应能运用勾股定理推导出直角三角形的其他性质，如面积公式和周长计算。
-举例解释：例如，在解决实际问题中，学生需要能够识别直角三角形的结构，并应用勾股定理来计算斜边的长度。重点在于让学生理解勾股定理是解决这类问题的基本工具。
北师大版八年级上册数学1.3勾股定理的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级上册数学第1章第3节“勾股定理的应用”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解勾股定理的应用范围，掌握勾股定理在直角三角形中的运用；
2.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、确定直角三角形的形状等；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
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勾股定理的应用
知识梳理:
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．
题型一、关于路线最短问题
例1、有这样一个有趣的问题：如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm。
在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少（ 的值取3）
注：这个问题最终的解决，是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形，从而把曲面上的路线问题转化为平面上A、B两点间的路线问题。
像这种，将空间问题转化为平面问题的方法，对发展我们的空间观念是很有好处的。
牛刀小试：
1、一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗蚂蚁要爬行的最短行程是多少
B
12
8
A 8
题型二、测量实际距离（求线段长度）
例2、在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米。
今一只小鸟在其中一棵
树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少
小试牛刀：
.2.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险
课堂巩固：
1、有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1、BB 1为相对的两条母线。
在AA 1上有
一个蜘蛛Q ，QA =3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm 。
蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm 。
（π 3）
2. 如图是一个长方体长4、宽3、高12，则图 中阴影部分的三角形的周长为__________
3. 如图，一架米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向外移多少米
第2题 12 A
B 1 A 1 B
Q P
A
B
C
D
A 1
B A
课后练习：
一．选择题
1．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．6、8、10 、12、13 、18、22 、12、15
2.如图:正方形A 的面积为36,正方形B 的面积为64,则正方形C 的面积为（ ）
3.一个直角三角形的一条直角边长为12cm,斜边长为15cm,则此直角三角形的面积为（ ） cm
2
cm
2
cm
2
cm
2
4.将直角三角形的三条边同时扩大4倍后,得到的三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
5.等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为（ ）
6.如右图:已知AD 是△ABC 的高,AB=10,AD=8,BC=12,则△ABC 为（ ） A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
7.等边三角形的边长是10,它的高的平方等于（ ） 8.三角形三边长分别为a
2
－b
2
、2ab 、a
2
＋b
2
（a ＞b ＞0）,则这个三角形为（ ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不是直角三角形
9.已知：如图，在△ABC 中,D 是AC 的中点,∠C=90°,下列等式不成立的为（ ）
2
＋BC
2
=AB
2
2
＋BC
2
=BD
2
2
+BC
2
=BD
2
2
+BD
2
=AB
2
10. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则2
2
2
AB AC BC ++=______. 11 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .
12. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.
（第13题） （第14题） （第15题） 13. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵
树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
14. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 15. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.
16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2
.
二、解答题
1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。
某日早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向正东行走。
1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向正北行走。
上午10：00，甲、乙二人相距多远
2、如图所示，某地有A,B,C 三个村庄，C 村到B 村，A 村的距离分别为24千米，10千米，A,B 两村相距26千米，现要从C 村修一公路CD 到AB ，要求所修公路最短，请你在图上标出D 点的位置，并求出CD 的长。
A
B
D
E A B C D
第
16题图
7cm
3、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。