11章回归分析
定量分析方法(11-1)
第十一章 回 归 分 析本章以一元线性回归模型为重点介绍回归分析方法，对于一元线性回归模型所建立的理论与方法作适当的修改便可推广到多元线性回归模型。
§1 回归的概念一、变量之间的关系现实中，各种变量相互依赖、相互影响，存在着某种关系。
如：价格与需求量、利率与投资、收入与消费，等等。
大致可以归纳为两类关系：确定性关系（函数关系），非确定性关系（统计关系）。
1. 确定性关系：变量之间存在着某种完全确定的关系。
如：总收益Y 与产量X 之间的关系：X P Y ⋅=当价格一定时，Y 由X 完全确定。
表现在图形上，()Y X ,的所有点位于一条直线上。
一般地：()n X X X f Y ,,21= （多元函数）2. 非确定性关系：变量之间由于受到某些随机因素的影响而呈现出一种不确定的关系。
如：农业产量主要受到降雨量、施肥量、温度等的影响，但决定产量的并非完全是这些因素，还要受到许多其它因素的影响，如冰雹、蝗灾等自然灾害。
非确定性关系可以分为两大类：1) 相关关系：两个变量处于完全对等的位置，且两个变量皆为随机变量，常用相关系数来度量。
如：计量经济学成绩与统计学成绩，物价水平和股票价格，等等。
2) 回归关系：一个变量的变化是另一个变量变化的原因，而不是相反。
如：消费量Y 与可支配收入X 之间便是一种回归关系。
一般来讲，随着可支配收入的增加，消费增加，可支配收入是影响消费的主要因素，但并非唯一的因XYPX Y =素，影响消费的因素还有消费习惯、地区差异、年龄构成、宗教信仰等等。
同样收入的家庭，有的支出多，有的支出少，即使是同一家庭，其每个月的收入相同的话，各个月的支出也不会完全一样。
这样，对应于一个X 的值，Y 有多个不同的值相对应，X 与Y 呈现出不确定性的关系。
此时：()u X f Y += （u 为随机影响）表现在图形上，()Y X ,的点不是完全处于一条直线（或曲线）上，而是围绕在一条理论线的两旁变化。
第11章回归分析习题解答
B． 是随机变量，且有 y0 N (β0 + β1x0 ,σ 2 ) ．
C． 当 β0 ， β1 确知时等于 β0 + β1x0 ．
D． 等于 βˆ0 + βˆ1x0 ．
6． 在回归分析中，检验线性相关显著性常用的三种检验方法，不包含(
A． 相关系数显著性检验法．
B． t 检验法．
； 若 新 保 单 数 x0 = 1000 ， 给 出 Y 的 估 计 值 为
yˆ0 = 0.118129 + 0.003585×1000 = 3.703129 .
16． 下表是 16 只公益股票某年的每股帐面价值 x 和当年红利 y ，利用 Excel 的数据分
析功能得到的统计分析结果如下：
方差分析
过 10 周时间，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目， x 为每周签发的新保
单数目，Y 为每周加班工作时间（小时）.利用 Excel 的数据分析功能得到统计分析如下表.
Coefficients
标准误差
Intercept X Variable 1
0.118129 0.003585
0.355148 0.000421
15.1
15.1
228.01
228.01
18
15.1
14.5
228.01
210.25
列和
270.1
265
计算可得：
4149.39
3996.14
∑ Syy =
y2 i
−
ny 2
=94.75
∑ Sxx =
x2 i
−
nx 2
=96.39
∑ Sxy = xi yi − nxy = 95.24
《SPSS统计分析》第11章 回归分析
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多元逻辑斯谛回归
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多元逻辑斯谛回归的概念
回归模型
log( P(event) ) 1 P(event)
b0
b1 x1
b2 x2
bp xp
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多元逻辑斯谛回归过程
主对话框
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多元逻辑斯谛回归过程
参考类别对话框
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多元逻辑斯谛回归过程
收敛条件选择对话框
创建和选择模型对话框
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曲线估计
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曲线回归概述
1. 一般概念 线性回归不能解决所有的问题。尽管有可能通过一些函数
的转换，在一定范围内将因、自变量之间的关系转换为线性关 系，但这种转换有可能导致更为复杂的计算或失真。 SPSS提供了11种不同的曲线回归模型中。如果线性模型不能确 定哪一种为最佳模型，可以试试选择曲线拟合的方法建立一个 简单而又比较合适的模型。 2. 数据要求
线性回归分析实例1输出结果2
方差分析
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线性回归分析实例1输出结果3
逐步回归过程中不在方程中的变量
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线性回归分析实例1输出结果4
各步回归过程中的统计量
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线性回归分析实例1输出结果5
当前工资变量的异常值表
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线性回归分析实例1输出结果6
残差统计量
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线性回归分析实例1输出结果7
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习题2答案
使用线性回归中的逐步法，可得下面的预测商品流通费用率的回归系数表：
将1999年该商场商品零售额为36.33亿元代入回归方程可得1999年该商场 商品流通费用为：1574.117-7.89*1999+0.2*36.33=4.17亿元。
管理统计学习题参考答案第十一章
十一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
概率论与数理统计_回归分析
概率论与数理统计_回归分析第11章回归分析设x 为普通变量，Y 为随机变量。
如果当x 变化时，Y 随着x 的变化⼤体上按某种趋势变化，则称x 与Y 之间存在相关关系，即),0(~,)(2σεεN x f Y +=例如，某地⼈均收⼊x 与某种商品的消费量Y 之间的关系；森林中树⽊的断⾯直径x 与⾼度Y 之间的关系；某种商品的价格x与销售量Y 之间的关系；施⽤氮肥、磷肥、钾肥数量1x ，2x ，3x 与某种农作物产量Y 之间的关系。
在⽣产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的⼀批离散样点，要求由此建⽴变量之间的近似函数关系或得到样点之外的数据。
我们确定的函数要求在某种距离意义下的误差达到最⼩（通常⽤最⼩⼆乘法，即考虑使各数据点误差平⽅和最⼩）。
由⼀个（或⼏个）普通变量来估计或预测某个随机变量的取值时，所建⽴的数学模型及所进⾏的统计分析称为回归分析。
§11.1 ⼀元线性回归假设有⼀批关于x 与Y 的离散样点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x集中在⼀条直线附近，说明x 与Y 之间呈线性相关关系，即),0(~,2σεεN bx a Y ++=称为⼀元线性回归模型。
⼀、模型中的参数估计 1、b a ,的估计⾸先引进记号∑∑∑∑∑=====-=-=-===ni i i xy ni i yy ni i xx ni ini iyx n y x S y n y S x n x S y n y x n x 11221221111按最⼩⼆乘法可得到xxxy S S b =? x b y a ??-= 称x b a y+=为Y 关于x 的⼀元线性回归⽅程。
2、2σ的估计)?(21?22xxyy S b S n --=σ求出关于的⼀元线性回归⽅程。
解：先画出散点图如下计算出 3985193282503.6714510======xy yy xx S S S y x n483.0?==xxxy S S b 735.2??-=-=x b y a 所求的回归⽅程是x y483.0735.2?+-=。
第11章多重线性回归分析思考与练习参考答案
0.674
5
0.795
0.809
1.734
1.715
0.549
0.654
6
0.787
0.779
1.509
1.474
0.782
0.571
7
0.933
0.880
1.695
1.656
0.737
0.803
8
0.799
0.851
1.740
1.777
0.618
0.682
9
0.945
0.876
1.811
三、计算题
为确定老年妇女进行体育锻炼还是增加营养会减缓骨骼损伤，一名研究者用光子吸收法测量了骨骼中无机物含量,对三根骨头主侧和非主侧记录了测量值，结果见教材表11-20。分别用两种桡骨测量结果作为反应变量对其他骨骼测量结果作多重线性回归分析，提出并拟合适当的回归模型，分析残差。
解：答案提示，需要对自变量进行筛选，而且要考虑是否存在多重共线性，如果存在，应进行适当的处理。
5.如何判断、分析自变量间的交互作用？
答：基于专业背景知识，构造可能的交互作用项，并检验交互作用项是否有统计学意义。
6.多重线性回归模型的基本假定有哪些？如何判断资料是否满足这些假定？如果资料不满足假定条件，常用的处理方法有哪些？
答：多重线性回归的前提条件是线性、独立性、正态性和等方差性，可以借助残差分析等方法判断资料是否满足条件。如果资料不满足前提条件，可以采用变量变换和非线性回归等方法处理。
19
0.856
0.786
1.390
1.324
0.578
0.610
20
0.890
0.950
2.187
第11章 多重线性回归分析思考与练习参考答案
第11章多重线性回归分析思考与练习参考答案一、最佳选择题1.逐步回归分析中，若增加自变量的个数，则（D）。
A.回归平方和与残差平方和均增大B.回归平方和与残差平方和均减小C.总平方和与回归平方和均增大D.回归平方和增大，残差平方和减小E.总平方和与回归平方和均减小2.下面关于自变量筛选的统计学标准中错误的是（E）。
A.残差平方和（SS残差）缩小B.确定系数（R）增大2C.残差的均方（MS残差）缩小D.调整确定系数（Rad）增大2E.Cp统计量增大3.多重线性回归分析中，能直接反映自变量解释因变量变异百分比的指标为（C）。
A.复相关系数B.简单相关系数C.确定系数D.偏回归系数E.偏相关系数4.多重线性回归分析中的共线性是指（E）。
A.Y关于各个自变量的回归系数相同B.Y关于各个自变量的回归系数与截距都相同C.Y变量与各个自变量的相关系数相同D.Y与自变量间有较高的复相关E.自变量间有较高的相关性5.多重线性回归分析中，若对某一自变量的值加上一个不为零的常数K,则有（D）。
A.截距和该偏回归系数值均不变B.该偏回归系数值为原有偏回归系数值的K 倍C.该偏回归系数值会改变，但无规律D.截距改变，但所有偏回归系数值均不改变E.所有偏回归系数值均不会改变二、思考题1.多重线性回归分析的用途有哪些？答：多重线性回归在生物医学研究中有广泛的应用，归纳起来，可以包括以下几个方面：定量地建立一个反应变量与多个解释变量之间的线性关系，筛选危险因素，通过较易测量的变量估计不易测量的变量，通过解释变量预测反应变量，通过反应变量控制解释变量。
2.多重线性回归模型中偏回归系数的含义是什么？答：偏回归系数的含义是：在控制其他自变量的水平不变的情况下，该自变量每改变一个单位，反应变量平均改变的单位数。
3.请解释用于多重线性回归参数估计的最小二乘法的含义。
答：最小二乘法的含义是：残差的平方和达到最小。
4.如何判断和处理多重共线性？答：如果自变量之间存在较强的相关，则存在多重共线性。
管理统计学习题参考答案第十一章
一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
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Liner：线性回归 Curve Estimation：曲线估计 Binary Logistic： 二分变量逻辑回归
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回归分析的过程
Multinomial Logistic：多分变量逻辑回归 Ordinal 序回归 Probit：概率单位回归 Nonlinear：非线性回归 Weight Estimation：加权估计 2-Stage Least squares：二段最小平方法 Optimal Scaling 最优编码回归
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多元线性回归分析中的自变量筛选
自变量筛选法 向前筛选法(forward)，是自变量不断进入回归
方程的过程. 向后筛选法(backward)，是自变量不断剔除出
回归方程的过程 逐步筛选法(stepwise)，是“向前法”和“向
后法”的结合 多元线性回归一般采用逐步回归方法-Stepwise
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奇异值（Casewise或Outliers)诊断
概念 奇异值指样本数据中远离均值的样本数据
点，会对回归方程的拟合产生较大偏差影响。 诊断标准
一般认为，如果某样本点对应的标准化残 差值超出了[-3，+3]的范围，就可以判定该 样本数据为奇异值。
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线性回归方程的预测
点估计 y0 区间估计
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逐步回归方法的基本思想
对全部的自变量x1,x2,...,xp,按它们对Y贡献的大小进行 比较，并通过F检验法，选择偏回归平方和显著的变量进 入回归方程，每一步只引入一个变量，同时建立一个回 归方程。当一个变量被引入后，对原已引入回归方程的 变量，逐个检验他们的偏回归平方和。如果由于引入新 的变量而使得已进入方程的变量变为不显著时，则及时 从回归方程中剔除。在引入了两个自变量以后，便开始 考虑是否有需要剔除的变量。只有当回归方程中的所有 自变量对Y都有显著影响而不需要剔除时，在考虑从未选 入方程的自变量中，挑选对Y有显著影响的新的变量进入 方程。不论引入还是剔除一个变量都称为一步。不断重 复这一过程，直至无法剔除已引入的变量，也无法再引 入新的自变量时，逐步回归过程结束。
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线性回归分析中的共线性检测
共线性带来的主要问题 主要是会给自变量的偏回归系数的估计带来困 难。偏回归系数的估计方差会随着自变量相关 性的增大而不断增大，从而使偏回归系数的置 信区间不断增大，偏回归系数假设检验的结果 不显著等。
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回归分析的模型
基本的步骤：利用SPSS得到模型关系式， 是否是我们所要的，要看回归方程的显著 性检验（F检验）和回归系数b的显著性检 验(T检验)，还要看拟合程度R2 (相关系数 的平方,一元回归用R Square，多元回归 用Adjusted R Square)
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回归分析的过程
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回归方程
附：残差分析： • 残差序列的正态性分析
可以绘制标准化残差序列的带正态曲线的直方 图或累计概率图来分析；
• 残差序列的随机性分析 可以绘制残差序列和对应的预测值序列的散点 图。如果残差序列是随机的，那么残差序列 应与预测值序列无关，残差序列点将随机地 分布在经过零的一条直线上下；
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11.1 线性回归(Liner)
一元线性回归方程: y=a+bx a称为截距 b为回归直线的斜率 用R2判定系数判定一个线性回归直线的拟合
程度：用来说明用自变量解释因变量变异的 程度（所占比例）
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回归方程
回归方程的显著性检验 目的:检验自变量与因变量之间的线性关系是否 显著，是否可用线性模型来表示. 检验方法： t检验 F检验(一元回归中,F检验与t检验一致, 两种检 验可以相互替代）
回归分析的概念
寻求有关联（相关）的变量之间的关系 主要内容：
从一组样本数据出发，确定这些变量间的定 量关系式 对这些关系式的可信度进行各种统计检验 从影响某一变量的诸多变量中，判断哪些变 量的影响显著，哪些不显著 利用求得的关系式进行预测和控制
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回归分析的模型
按是否线性分：线性回归模型和非线性回 归模型 按自变量个数分：简单的一元回归，多元 回归
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线性回归(Liner)
多元线性回归方程: y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn b0为常数项 b1、b2、…、bn称为y对应于x1、x2、…、
xn的偏回归系数 用Adjusted R2调整判定系数判定一个多元
线性回归方程的拟合程度：用来说明用自变 量解释因变量变异的程度（所占比例）
95%的近似置信区间: [y02Sy,y0+2Sy]. x0为xi的均值时,预测区 间最小,精度最高.x0越远离均值,预测区 间越大,精度越低.
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线性回归(Liner)
一元线性回归模型的确定:一般先做散点 图(Graphs ->Scatter->Simple),以便 进行简单地观测（如：Salary与 Salbegin的关系) 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以 建立线性方程，若不呈线性分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，可建 立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来 确定一种最佳方程式（曲线估计）
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回归方程
残差序列的独立性分析
目的是分析残差序列是否存在后期值与前期值 相关的现象。如果存在相关现象，表示残差序 列中还存有一些规律性，回归方程没能较全面 地反映因变量的变化。
一般用D-W检验作残差序列的独立性分析。 D-W值=0：完全正自相关； D-W值=4：完 全负自相关；D-W值在0和2之间：正自相关； D-W值在2和4之间：负自相关。实际应用中， 接近2就可以认为残差序列具有独立性。
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多元线性回归分析中的自变量筛选
自变量筛选的目的
多元回归分析引入多个自变量. 如果引入 的自变量个数较少,则不能很好的说明因 变量的变化;
但并非自变量引入越多越好.原因: 有些 自变量可能对因变量的解释没有贡献， 自变量间可能存在较强的线性关系,即:多 重共线性. 因而不能全部引入回归方程.