概率论 第一章D
概率论第1章(第一节)
本学期的研究内容
教材中的第一章---第四章 教材中的第一章---第四章 ---
第一章 随机事件与概率
随机事件及其运算 事件的概率 条件概率 事件的独立性
1.1 随机事件及其运算
一、基本概念：随机试验、样本空间、随机事件 基本概念：随机试验、样本空间、 概念 1、随机试验（简称“试验”） 、随机试验（简称“试验” 如果试验（或观察）具有下面三个特点： 如果试验（或观察）具有下面三个特点： (1)重复性：试验可以在相同条件下重复进行； 重复性：试验可以在相同条件下重复进行； 预知性：试验的全部可能结果不止一个， (2)预知性：试验的全部可能结果不止一个，但都是 可以预知的； 可以预知的； 随机性：每次试验前, (3)随机性 ： 每次试验前 ,不能确定会出现哪一种结 果。 这样的试验（或观察）称为随机试验，一般记为 。 这样的试验（或观察）称为随机试验，一般记为E。
二、事件的关系 事件的包含与相等 事件的和（并） 事件的积（交） 事件的差 互斥事件（互件的包含与相等 事件的包含与相等
若事件A发生必导致事件B发生 称事件A包 若事件 发生必导致事件 发生，称事件 包 发生必导致事件 发生， 含于事件B， 包含A，记为A⊂ ，也称A是 的 含于事件 ，或B包含 ，记为 ⊂B，也称 是B的 包含 子事件。 子事件。
记作B = A ，称为A的对立事件 易见A − B = AB ;
A与B对立： 对立：
事件A 与B 既不能同 时发生， 时发生，又不能同时 不发生。 不发生。即在每次试 验中， 验中，A 与B 有且仅 有一个发生。 有一个发生。
注：对立事件必为互斥事件，但互斥事件 对立事件必为互斥事件， 未必是对立事件。 未必是对立事件。
概率论的发展
1657年，荷兰的数学家惠根斯 年 荷兰的数学家惠根斯(1629-1695)亦用自己的方法 惠根斯 亦用自己的方法 解决了上述问题，更写成了《论赌博中的计算》一书， 解决了上述问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这 就是概率论最早的论著。并由此奠定了古典概率论的基础。 就是概率论最早的论著。并由此奠定了古典概率论的基础。 世纪到19 世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、 从 17 世纪到 世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、 泊松、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰 泊松、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰 出的贡献。 出的贡献。 1933 年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫发表了著名的《概率论 苏联数学家柯尔莫哥洛夫发表了著名的《 柯尔莫哥洛夫发表了著名的 的基本概念》，用公理化结构， 》，用公理化结构 的基本概念》，用公理化结构，为概率论确定严密的理论 是概率论发展史上的一个里程碑， 基础 ，是概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论 的迅速发展奠定了基础。 到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支， 到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，将概率论 应用到不同范畴，开展了不同学科。因此， 应用到不同范畴，开展了不同学科。因此，现代概率论已 经成为一个非常庞大的数学分支。 经成为一个非常庞大的数学分支。
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
第1章 概率论基础知识
1.1.2 条件概率与概率乘法公式
1 条件概率
例 1.1.1 一个包装箱里有6件产品。假设其中有4件是一级品， 2件为二级品。若随机实验E是“从包装箱中随机抽取1件产 品”，则明显地，抽到二级品的概率是1/3。 若事件A是“第一次抽取并抽到二级品”，事件B是“第二 次抽取并抽到二级品”，那么在事件A发生的条件下，再从 剩下的5件产品中抽取1件，事件B发生即“第二次抽到二级 品”的概率就是1/5。 我们称这样的概率为“事件A发生的条件下，事件B发生的 概率”，简称为“事件B的条件概率”，记为P{B|A}. 本例中P{B|A}=1/5。
2 基本事件
一次随机实验的可能结果，称为基本事件或基本随机事件。
3 样本空间
所有基本事件组成的集合，称为样本空间或基本空间。
4 随机事件
随机事件简称事件，是指基本事件的集合。
5 相容事件与不相容事件
在一次随机实验中不可能同时发生的事件，称为不相容事件， 反之称为相容事件。
6.概率（Probability）
为对比条件概率与非条件概率的区别，现在来看上例中P(B) 等于多少？ 由于B指的是“第二次抽到二级品” 的事件，而这时A可能发 生，也可能不发生（即A的对立事件Ac发生）。这样事件B就 可以表示成：B=AB+AcB。注意到AB与AcB是互不相容的。 因此 2 1 4 2 1 c P( B) P( AB ) P( A B) 6 5 6 5 3 注意到事件A的概率也是P(A)=1/3. 于是有如下的表达式：
P{B | A} P( AB) P{ A | B}P( B) P( A) P( B) P( B) P( A) P( A) P( A)
2. 相互独立事件的概率乘法公式
概率论第一讲D
四、事件间的关系与事件的运算
1.事件间的关系 1.事件间的关系
1 A⊂ B ⊂
。
B B A
2 A = B ⇔ A⊂ B且 ⊂ A B
。
3 AU B
。
n
A
B
( A+ B)
k=1
UA k
11
4 AI B
。
A
B
n k=1
IA k
AB （ ）
5 B− A
。
A
B
6 AI B=Φ
。
A
B
A与 互 相 (互 ) B 不 容互 斥
掷出奇数点} 事件 B={掷出奇数点 掷出奇数点
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两个特殊事件
样本空间S， 在每次试验中必定发生， 样本空间 ， 在每次试验中必定发生，
空集Φ， 在每次试验中都不可能发生， 空集 ， 在每次试验中都不可能发生，
例如，在掷骰子试验中， 例如，在掷骰子试验中， “掷出点数小于 是必然事件 掷出点数小于7”是必然事件 掷出点数小于 是必然事件; 则是不可能事件. 掷出点数 则是不可能事件 而“掷出点率
在相同的条件下， 次试验， 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件 发生的次数 称为事件A发生 次试验中，事件A发生的次数fA 称为事件 发生 称为事件A发生的频率 记为R 发生的频率.记为 的频数. 的频数 fA/n 称为事件 发生的频率 记为 n(A). 性质 1. 0 ≤ Rn(A) ≤ 1 2. Rn(S)=1 3.设A, B 是互不相容的事件，则 设 是互不相容的事件，
23
六、概率的公理化定义
“公理”就是一些不加证明而公认的前提. 公理”就是一些不加证明而公认的前提 1933年，前苏联数学家柯 年 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义. 化定义 即通过规定概率应具备的 基本性质来定义概率. 基本性质来定义概率 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且 极为简单， 极为简单， 但在此基础上建立起了概率论 的宏伟大厦. 的宏伟大厦
大学概率论第一章答案
习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ).(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ).(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C =I U ,本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数.解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10}.|0,1,2,n n +=L 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件：(1) 仅有A 发生；(2) A , B , C 中至少有一个发生;(3) A , B , C 中恰有一个发生;(4) A , B , C 中最多有一个发生;(5) A , B , C 都不发生;(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生.解 (1) ABC ; (2) ; (3) A B C U U ABC ABC ABC U U ; (4) ABC ABC ABC ABC U U U ; (5) ABC ; (6) ()A B C U .4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：(1) A 1∪A 2; (2)A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2A A U 3； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题(1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B −=−. (B)()()()P A B P A P B =+U .(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0.解 本题答案应选(C).2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =−=−−+=U ,故. 于是()()1P A P B +=()1.P B p =−3. 已知()0.4P A =,,()0.3P B =()0P A B .4=U , 求()P AB .解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+−U 知()0.P AB 3=. 于是()()()0.1P AB P A P AB =−=..34. 设A , B 为随机事件,,()0.7P A =()0P A B −=, 求()P AB .解 由公式()()(P A B P A P AB )−=−可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.解 因为,所以=0, 即有=0.ABC AB ⊂0()P ABC P AB ≤≤（）()P ABC 由概率一般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++−−−+=U U 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==−U U U U =.习题1-41. 选择题 在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为113225C C C ×, 没有一等品的概率为023225C C C ×, 将两者加起即为0.7.答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C . 3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道29C 24C 1154C C (1) 两球都是白球的概率是2924C C ; (2) 两球中一黑一白的概率是115429C C C ; (3) 至少有一个黑球的概率是12924C C −. 习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件.(C) AB B =. (D)()(P AB P B )=.解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()P A 1<<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若((P AB P A =), 则A , B 互斥.(B) 若()P B A 1=, 则()0P AB =.(C) 若()()P AB P AB +1=, 则A , B 为对立事件.(D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}.解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813. 3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则表示“恰有i 发击中目标”. (0,1,2,3i B i =)i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中目标概率为,0()0.60.50.30.09P B =××=恰有一发击中目标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =××+××+××=,恰有两发击中目标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =××+××+××=,恰有三发击中目标概率为3()0.40.50.70.14P B =××=.又已知 012(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B 3====,所以由全概率公式得到30()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.i i i P A P B P A B ===×+×+×=∑4. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.解 (1)以A 表示“取得球是白球”，表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. i H 则P ()=i H 13, i =1,2,3, 1211(|),(|),(|)52P A H P A H P A H ==358=. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P ()=2|H A 222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A == 5. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，,.12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==3(|)0.05P A B =(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.050.0384.=×+×+×=. (2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ×===, 222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ×===, 333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ×===. 习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件.解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()((P AB P A P B =). (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).(3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0<P (B )<1, 则下列说法错误的是( ).(A) . (B) (|)()P A B P A =()()()P AB P A P B =.(C) A 与B 一定互斥. (D).()()()()()P A B P A P B P A P B =+−U 解 因事件A 与B 独立, 故A B 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =U U ,求.()P A 解 根据一般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++−−−+U U . 由题设可知 A , B 和C 两两相互独立, ,ABC =∅ 1()()()2P A P B P C ==<,因此有 2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====∅= 从而 29()3()3[()]16P A B C P A P A =−=U U , 于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =. 3. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率；(3) 目标被命中的概率.解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==×= (2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=×+×=(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+−=+−=U总 习 题 一1. 选择题：设是三个相互独立的随机事件, 且0(,,A B C )P C 1<<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)A B U 与C . (B)AC 与C . (C) A B −与C . (D) AB 与C .解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为9551910099396×=×. (1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为95559519.10099198×+×=× 3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有21的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产41. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A ={取到的产品是次品}, B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B ∅1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004, 由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221×+×+×=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=×+×=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ×====. 5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====. 由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。
第1章 概率论的基本概念
确定概率的常用方法有： （1）频率方法(统计方法) （2）古典方法 （3）几何方法 （4）公理化方法 （5）主观方法
古典概率
(1) 古典概率的假想世界是不存在的 .对于那些极其罕见的， 定义 1.2.5 如果试验满足下面两个特征，则称其 但并非不可能发生的事情，古典概率不予考虑.如硬币落地后 为古典概型(或有限等可能概型)： 恰好站立，一次课堂讨论时突然着火等. （1 ）有限性：样本点的个数有限； (2) 古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均等的 .而在 （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相同 . 实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的 .
(3) 如果AiAj= (1 i < j k)，则
fn(A1∪A2∪ … ∪Ak ) = fn(A1 ) +fn(A2 ) + … +fn(Ak 着事件在一次试验中发生的可能性就 大，反之亦然. 人们长期的实践表明：随着试验重复次数n的增加， 频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频 率的稳定值.这个稳定值就是我们所说的(统计)概率.
互不相容与对立区别 随机事件间的关系与运算
（1）事件A与事件B对立 AB= , A∪B= . （2）事件 A与事件B互不相容 AB= . 关系 运算 包含 相等 互不相容 并 交 差 补
如果属于A的样本点一定 由在 中而不在事件 A 中的样本点 , B没有相同的样本点， 如果事件 A 由事件 如果 A A 与事件 B ，且 A B 中所共有的样本 B，那么 A=B. A中而不在事件B中的样 中所有的样本点 由在事件 属于B，则称 A 包含于 B ， BB.B 组成的新事件，也叫 A的对立 B A A A 则称互不相容 . 记作 A ∩ B= . 点组成的新事件 即B包含 A=B A B, A B A. . 组成的新事件 .记作 A记作 ∪ B.BA 本点组成的新事件 .记作 A-B. 或 A. 记作 B. .
第一章 概率论的基本概念
• 答案：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的 拿这个钱的1／4。
• 假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。 若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了， 即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在， A赢、输的可能性都是1／2,所以，他拿的钱 应该是（1／2）×1＋（1／2）×（1／2）＝ 3／4,当然，B就应该得1／4。
24
0.4614
• “分赌本”问题 两个人决定赌若干局，事先约 定谁先赢得5局便算赢家。如果在一个人赢4 局，另一人赢3局时因故终止赌博，应如何分 赌本？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4 份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早 说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分 一半呢？
• 法国数学家帕斯卡接受了这个问题，并与另一 位法国数学家费尔马进行讨论，后来荷兰科学 家惠更斯也参与了研究，并把解法写入了《论 赌博中的计算》（1657年）。
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)
事件间的关系
包含：A B或B A，称事件B包含事件A，即事
件A发生必然导致事件B发生。
相等： A B且B A，即A B，称事件A与事件B
相等。
n
和： A，B表示A、B二事件中至少有一个发生；k1 Ak
ABC ABC ABC
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
A B C或
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习 证明下列等式：
1A B A B A 2A B B A AB AB 3B A AB AB
解 1 A B A B A B A A
证明(3):由于A1，A2 ，… ，Ak是两两互不相 容，在n次试验中A1∪A2∪…∪Ak的频数
概率论基础(复旦版)李贤平第一章
➢ 样本空间 Def 随机试验基本事件的全体所形成的集合称为该随
机试验的样本空间，一般用字母表示。
样本空间是由所要研究的问题及其该问题所涉及的随 机试验确定的，它是研讨问题的论域。
例如：
例1.1的样本空间 1,2, ,6，其中1表示朝上面
的点数为1，2 表示朝上面的点数为2，其余记号类似。
例1.2的样本空间 (WW ), (WB), (BW ), (BB) ，其中W
700 639 0.893
确定该批小麦种子的发芽率。
解：从表内的资料可看出，随着做试验种子粒数的增加，种
子发芽的频率在0.9附近摆动，参与发芽试验的种子粒数愈大
附近摆动愈小，所以，这批小麦种子的发芽率大概应在0.9这
个数值上。
注意：概率的统计定义只给出了确定事件概率近似方法。
请大家思考概率的统计定义与下列极限过程有何区别？也即
第一章 随机事件与概率
1.1 随机现象与统计规律性 1.2 随机事件关系与运算 1.3 古典概率 1.4 几何概率 1.5 概率空间 1.6 小结与综合练习
1.1 随机现象与统计规律性
➢ 随机现象 Def 在一定条件下，因不可控因素而导致实验或观察结 果不唯一的现象成为随机现象。客观世界存在大量的随 机现象。 ➢ 随机试验 Def 为研究随机现象而进行的观察和实验统称为随机试验。 随机试验必具备以下特点： （1）至少有两个以上可能结果； （2）试验的所有可能结果由试验条件明确已知，但每次 具体试验之前不可预测本次试验将要出现的结果； （3）试验可在相同条件下多次重复。
概率的统计定义能否理解为下式成立：lim n
fn (A)
p
1.2 随机事件关系与运算
显然，样本空间是一基本事件为元素的集合，复合事件 是样本空间的真子集，必然事件就是样本空间，不可能 事件是样本空间的空子集；如果再规定基本事件就是一 个单点集，那么，随机事件就可以用集合来表示，但事 件与集合又有所不同。所谓一个事件发生时指表达该事 件的集合中的一个元素在试验中出现了。
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（全概公式）
例题
例8 且坏灯泡的个数从0到5时等可能的。求从 1000个灯泡中任取100个全是好灯泡的概率
并不是说 就是5个 已知在1000个灯泡袋子，各袋中装球的情况如下： （1）两个袋子中各装有2个白球与4个黑球； （2）三个袋子中各装有3个白球与3个黑球； （3）五个袋子中各装有4个白球与2个黑球. 任选一个袋子，并从其中任取2个球，求取出的2个球 都是白球的概率.
例题
例7 仓库中有10箱同类产品，其中甲厂生产的有
5箱，乙厂生产的有3箱，丙厂生产的有2箱， 三个厂的产品次品率分别为1/10，1/15，1/20。 现从这10箱中任取一件产品。求恰好取得正品 的概率。
能不能直接简单地用加法公式和乘法公式来计 算呢？或者利用古典概率和几何概率的定义来 计算呢？
不能!
全概公式和贝叶斯公式
假设导致事件A发生的“原因”有 Bi(i=1,2,…,n)。它们互不相容，现已知事件 A确已经发生了，若要估计它是由“原 因”Bi所导致的概率，则可用Bayes公式求 出.即可从结果分析原因.
全概率
各原因下条件概率已知
求事件发生概率 事件已发生
求是某种原因造成得概率
贝叶斯
贝叶斯公式
P(A) P10 (k )
k 6
10
＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
6 7 8 9 C10 0.860.24 C10 0.870.23 C10 0.880.22 C10 0.890.2 0.810
0.97
而正好有8人治愈的概率为
=0.142
再由Bayes公式分别可以算得
同理可得
可见，P(B1|A)=0.5172最大,即他是坐火车来的可能性最 大.
例题
例4：临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症 具有如下的效果，对癌症患者进行试验结果呈阳 性反应者占95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴 性反应者占96%。现在用这种试验对某市居民进 行癌症普查,如果该市癌症患者数约占居民总数的 0.4%，求: (1) 试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌 症的概率； (2) 试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌 症的概率.
即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。
甲最终获胜的概率为 P4(2)+P4(3)+P4(4)
1 11 21 1 31 1 C4 C4 2 2 2 2 2 16 5 乙胜的概率为 ，赌注应按11：5的比例分配。 16
当P(B/A)= P(B)时，说明事件A是否发生 并不影响事件B的发生，则称B对A是独 立的
事件的独立性
定义1 设A与B是两个事件,若 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立,简称A、B独立
事件的独立性
定义2 设A，B，C，是三个事件，若满足等 式： P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C相互独立,简称A,B,C独立
事件的独立性
若A与B相互独立则有以下性质
（1 ）设有两个事件A与B,且P(B)>0,若A与B相互 独立,则P(A|B)=P(A),反之亦然
（2 ）若四对事件
A，B；A，B； Ā ，B； Ā ，B中有一对独立， 则另外三对也独立
事件的独立性
(3)事件A与B独立的充分必要条件是 P(AB)=P(A)P(B)
应用之一
分类预测 思考…..
有如图所示的气候训练样本集，其中决策属性有：天气、气温、 湿度和风，类别属性有“运动”，类别属性的取值有：适合和 不适合
特征 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天气 晴 晴 多云 雨 雨 雨 多云 晴 晴 雨 晴 多云 多云 雨 气温 热 热 热 适中 冷 冷 冷 适中 冷 适中 适中 适中 热 适中 湿度 高 高 高 高 正常 正常 正常 高 正常 正常 正常 高 正常 高 风 无风 有风 无风 无风 无风 有风 有风 无风 无风 无风 有风 有风 无风 有风 运动 不适合 不适合 适合 适合 适合 不适合 适合 不适合 适合 适合 适合 适合 适合 不适合
(1-p)4=0.41 1-p=0.8 p=0.2 A至多出现一次的概率为：
故
P4(0)+P4(1) (1 p)4 C1 p(1 p)3 4
0.84 C1 0.2 0.83=0.82 4
例10 (分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？ 解法一： 每局双方获胜的可能性均为 1 。 2 应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。
13
14
使用朴素贝叶斯分类预测类标志，我们希 望确定其类别属性值的数据对象是：
X={天气=“雨”，气温=“热”，湿度=“高”，风 =“有风”}
事件的独立性
引例：袋中有5个白球与3个黑球，从袋中 有放回的陆续取出两个球，设A={第一次取 出白球}，B={第二次取出白球}。求P(B), P(B/A)
解：设B1={他坐火车来},B2={他坐船来},B3={他坐汽车 来},B4={坐飞机来},A={他迟到}. 则 P(B1)=0.3, P(B2)=0.2,P(B3)=0.1,P(B4)=0.4, P(A|B1)=0.25, P(A|B2)=0.3,P(A|B3)=0.1,P(A|B4)=0. 由全概率公式得
全概公式和贝叶斯公式
定义 1-6 若事件组A1,A2,…An满足： （1） A1+A2+…+An=Ω （2） AiAj =Φ(i ≠ j,i,j=1,2…n) 则称该事件组为完备事件组。 定理1-7 如果A1,A2,…An是一完备事件组；且 B A1+A2+…+An则有
P( B) P( Ai ) P( B / Ai )
这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为 Pn (k ) Ck p k q n k ,(k 0,1,..., n ) n 其中q 1 p
贝努里概型
进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性 都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次 试验是相互独立的。 在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序 列概型。
若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次 试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事 件A发生的概率都是p(0<p<1)。
事件的独立性
定义3 对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任 意两个事件独立,就称这一组事件是两两独 立的 如果从中任取k个事件(2≤k ≤n)都有 P(Ai1Ai2… Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(AiK), 其中,k个整数i1 ,, i2, … ik 满足: 1≤ i1≤ i1≤… ik ≤ n,则称A1,A2,…,An相互 独立
2
2
3
4
解法二： 一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。 甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为
1 1 P( B3 ) 2 4 甲方在第四局结束赌博获胜的概率为 C1 1 1 1 1 P(B4 ) 2 2 2 2 4 甲方在第五局结束赌博获胜的概率为
1 1 1 2 1 3 P(B5 ) C3 2 2 2 16 故甲方最终获胜的概率为 11 P(B3+B4+B5) =P(B3)+P(B4)+P(B5) 16 赌注应按11：5的比例分配。
2
例11 (赛制的选择)在体育比赛中，若甲选手对乙选 手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两 种赛制中，选择哪个对自己更有利。
P(BA1 )
×
贝叶斯公式
定理1-8如果A1,A2,…An是一完备事件组；且
B A1+A2+…+An，则有：
P( Aj ) P( B / Aj )
P( Aj / B)
P( A ) P( B / A )
i 1 i i
n
（贝叶斯公式）
证明.
例题
例3：有朋友自远方来,他坐火车、坐船、坐汽车、 坐飞机的概率分别是0.3、0.2、0.1和0.4,而他坐 火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是 0.25、0.3、0.1和0,实际上他迟到了,请推测他坐 哪种交通工具来的可能性最大.
P(A B) 1 P(A)P(B)
=1-0.1×0.2 =0.98
例题
例2 有4张卡片，其上分别写有2，3，5，30. 从4张卡片中任取一张，设A1表示“取到卡片 上的数字为2的整数倍” A2表示“取到卡片上 的数字为3的整数倍” A3表示“取到卡片上的 数字为5的整数倍”。试问A1 A2 A3是否两两 独立？是否相互独立？
例7 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现 在检查了10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设B表示至少有两件一级品
P( B) P10 ( k )＝1-P10(0)-P10(1)
k 2
10
1 0.410 C1 0.6 0.49 0.998 10
例8 某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的 病人中至少有6人治愈的概率。 解：设A表示至少有6人治愈。
8 P10 (8) C10 0.880.22 =0.302
例9 在四次独立试验中，A至少出现一次的概率 为0.59，求A至多出现一次的概率。 解：设在一次试验中A出现的概率为p 则A至少出现一次的概率为