直线与椭圆的位置关系、弦长公式
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
《直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题》xx年xx月xx日•直线与椭圆的位置关系•弦长公式•弦中点问题•应用实例目录01直线与椭圆的位置关系直线与椭圆在平面上有三种位置关系：相离、相切和相交。
定义椭圆的离心率e决定了直线与椭圆的位置关系。
e越大，直线与椭圆越远离；e越小，直线与椭圆越接近。
当e=0时，直线与椭圆相切；当0<e<1时，直线与椭圆相离；当e=1时，直线与椭圆相交。
性质定义与性质分类根据直线与椭圆的交点个数，可以分为三类：无交点、一个交点和两个交点。
判定使用代数方法（如解方程）或几何方法（如画图）来判断直线与椭圆的交点个数。
分类与判定方法解决直线与椭圆的问题主要采用代入法、坐标法、参数法等。
技巧根据题目条件选择合适的方法，注意数形结合，转化已知条件为数学方程，通过解方程得到结果。
解题方法与技巧02弦长公式定义与性质弦长公式定义弦长公式是指连接椭圆上两点的线段的长度。
在直角坐标系中，设椭圆上两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，则弦AB的长度为$|AB|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$。
性质弦长公式具有普遍性，可以用于计算任何连接椭圆上两点的线段的长度。
直线与椭圆的三种位置关系：相交、相切、相离。
判定方法：利用直线方程和椭圆方程联立，消去其中一个变量，得到关于另一个变量的二次方程，通过判断二次方程的根的情况来确定直线与椭圆的位置关系。
分类与判定解题方法利用弦长公式直接计算。
解题技巧对于较复杂的题目，可能需要先化简，再代入数值进行计算。
解题方法与技巧03弦中点问题定义弦中点问题是指关于直线与椭圆交汇点以及中点的问题。
性质弦中点问题涉及直线与椭圆的相交、平行、中点等性质，以及弦长、中点坐标等计算。
定义与性质根据直线与椭圆的位置关系，弦中点问题可分为相交型、平行型和中点型三种类型。
分类判定弦中点问题主要依据直线与椭圆的交点坐标、中点坐标计算公式以及相关的几何性质。
第40讲 直线和椭圆的位置关系学生
第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。
双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系)
例2. 直线 y=kx+1与双曲线3x2- y2 =1相交于A、B两点． 且以AB为直径的圆经过坐标原点，求该圆的面积. 解： y kx 1
2 2 3 k x 2kx 2 0 2 2 3 x y 1
设 A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) ，则由以AB为直径的圆经过坐标原点，
2
x1 x2
2
4 x1 x2
2 2 1 k 2 k
2 2k 1 k 2 4 2 2 1 k 1 k
2
1 k
2 2
依题意得 2
4
2 2 1 k 2 k
1 k
2 2
6 3
2 1 － 3 k ≠0， Δ＝361－k2>0，
6 2k 3 xA＋xB＝1－3k2<0，解得 3 <k<1. xAxB＝ －9 2>0， 1－3k
3 ∴当 3 <k<1 时，l 与双曲线左支有两个交点．
(3)由(2)得：xA＋xB＝
6 2k ， 1－3k2
∴yA＋yB＝(kxA＋ 2)＋(kxB＋ 2) ＝k(xA＋xB)＋2 2＝ 2 2 . 1－3k2
x2 y2 解析：(1)设双曲线 C 的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． 由已知得：a＝ 3，c＝2，再由 a2＋b2＝c2， x2 2 得 b ＝1，∴双曲线 C 的方程为 3 －y ＝1.
2
(2)设 A(xA，yA)、B(xB，yB)， x2 2 将 y＝kx＋ 2代入 3 －y ＝1， 得，(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0. 由题意知
a＝2， c 2 解析： (1)由题意得 ＝ ， a 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c ， 解得 b＝ 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1. y＝kx－1， 2 2 (2)由x y ＋ 2 ＝1 4 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
直线与椭圆的位置关系弦长公式
9b2 10
9
| AB |
2
18b 2 10
4 9b2 9 10
92 5
解得 : b 1,直线AB的方程为y x 1
10 x2 18bx 9b2 9 0,
所以切线方程为 : y x 10
36(10 b2 ),则
所以椭圆上存在一点,
当 0,即 10 b 10时,相交; 即切线y x 10上的切点,
当 0,即b 10时,相切;
它到直线y x 4的距离最小,
当 0,即b 10或b 10时,相离; d | 4 10 | 2 2 5 2
练习: 若斜率为1的直线与椭圆x2 9 y2 9交于
A, B两点,且 | AB | 9 2,求直线l的方程. 5
解 : 设直线为 : y x b,代入椭圆方程并整理得
10 x2 18bx 9b2 9 0,
设A( x1,
y1), B( x2 ,
y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,则x1
x2
18b 10
,
x1 x2
解 :由已知可得,右焦点C(2 2,0),直线AB为 : y 3 ( x 2 2), 3
代入椭圆方程并整理得 : 4x2 12 2x 15 0,
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ),则x1 x2 3
15 2, x1x2 4
2
| AB |
1
3 3
(3 2 )2 4 15 2 4
例1.倾斜角为450的直线何时与椭圆x2 9 y2 9 相交, 相切, 相离 ?
练习: 椭圆x2 9y2 9上是否存在一点,它到直线 l : x y 4 0的距离最小,最小距离是多少?
例1,解 : 设直线为 : y x b,
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的弦长公式
直线与椭圆的弦长公式
1.椭圆与直线的关系
椭圆是一种闭合曲线，可以由一组参数来表示。
椭圆与一般的直线是可以关联的，可以根据一定的关系，通过椭圆的参数来求解椭圆与直线的弦长。
2.根据给定参数公式求解椭圆与直线的弦长
当椭圆的参数为$(h,k),a,b$时，其与直线的交点可以求得。
而这条直线与椭圆相切时对应的弦长，可以用下面的公式来计算：
\begin{equation}
S=2a\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{\frac{1+(2hx+b^2-a^2)^2}{4a^2(x-h)^2+b^2}} \, \mathrm{d}x
\end{equation}
其中，$x_{0}$和$x_{1}$是椭圆最高点$(-h,k+b)$和最低点$(-h,k-b)$的横坐标，即$x |_{0}=-h+\frac{a^2-b^2}{2h}$，$x |_{1}=-h-\frac{a^2-
b^2}{2h}$。
3.应用
椭圆与直线的弦长公式，可以应用在多种场景中，其中最常见的就是利用椭圆与直线的弦长关系来求解数学问题。
比如，根据已知的线段长度得出直线与椭圆的弦长，从而可以解决许多古代测地学、运动学和结构学中的问题。
椭圆与直线的弦长公式，也可以用来解决有关扇形、正多边形、椭圆形和抛物线的许多问题。
新高考 核心考点与题型 圆锥曲线 第4讲 直线与圆锥曲线相交 - 解析
第4讲 直线与圆锥曲线相交基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b+=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b-=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨-=⎩，消元代入后可得： ()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。
所以要分情况进行讨论 当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。
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解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
y2
（适用于任何曲线）
： 2、弦长公式
作业
P48 练习 6、7题 P49 A组 8 题
3、弦中点问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
练习：
1、如果椭圆被
x2 36
y2 1 9
的弦被（4，2）平分，那
么这弦所在直线方程为（ D ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆
x2 5
y2 m
1 恰有公共点，则m的范围
（C ）
A、（0，1） B、（0，5 ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
通法
1直线与椭圆的位置关系
练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2 x2
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方所得的弦的弦长是多少？
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2(x1 x2)2
2
3、过椭圆 x2+2y2=146 的左焦点作倾斜角为300的直线， 则弦长 |AB|= ___5____ ,
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
y2
（适用于任何曲线）