华师版八年级141勾股定理公开课
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最新华师版八年级数学上第14章《勾股定理》小结与复习ppt公开课优质课件
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°．
方法总结 勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想 . 勾股定理是 由图形的特征（三角形中有一个角是直角）得到数量之间的关 系（三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2+b2=c2 ） ; 勾股定理的逆定
理由数量之间的关系（a2+b2=c2）得到图形的特征（以a，b，c
第14章 勾股定理
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1．勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别 为a、b，斜边为c ，那么一定有 a2＋b2＝c2 . 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， .a 2 c a 2 b2 , a c 2 b2 , b c 2 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a、 b(且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝_________ a 2 b2 ； a 2 b2 . 当a是斜边时，第三边c＝_________ [注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要 分清直角边和斜边．
解：①在 Rt△ABC1 中， 2 2 2 2 2 AC2 1 ＝AB ＋ BC 1＝4 ＋ 3 ＝5 ， ∴AC1 ＝ 25. ②在 Rt△ACC1 中， 2 2 2 2 AC2 1 ＝ AC ＋ CC 1＝6 ＋1 ＝37， ∴AC1 ＝ 37. ③在 Rt△AB1 C1 中， 2 2 2 2 AC2 1 ＝ AB 1＋ B1 C1 ＝5 ＋2 ＝29， ∴AC1 ＝ 29. ∵25＜29＜37， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长是 5.
1 ∴4× 2ab＋(b－a)2＝c2，
华师大版八年级数学上册《勾股定理在数学中的应用》公开课课件
新知梳理
► 知识点一 常规计算型 在直角三角形中，已知任意两边长，利用勾股定理可求
第三边长．有时不是已知直角三角形的两边长，而是已知一 边长和另两边长的关系，或者已知三边长的关系要求每一条 边长，则常需要设未知数，再结合勾股定理列方程．
► 知识点二 综合型
把勾股定理与平方差公式、两数和(差)的平方公式、方 程和轴对称等相结合，运用数形结合思想可以解决许多难度 较大的综合型题目，在几何图形中，创造条件，把非直角三 角形转化为直角三角形则是解决问题之根本．
14.2.2 勾股定理在数学中的应用
[归纳总结] 解答折叠问题的关键在于抓住折叠过程中保持 不变的量，寻找直角三角形，运用勾股定理求解，有时还需要运 用方程思想．
A2＋B2，A2＝C2－B2＝(C＋B)(C－B)，C2＝A2＋B2＝(A＋ B)2－2AB，C2＝A2＋B2＝(A－B)2＋2AB 等．
14.2.2 勾股定理在数学中的应用
探究问题二 折叠计算 例 2 如图 14－2－7，在长方形纸片 ABCD 中，AB＝8 cm， 把长方形纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于 点 F，若 AF＝245 cm，则 AD 的长为( C )
14.2.2 勾股定理在数学中的Байду номын сангаас用
活动2 教材导学 应用勾股定理解决数学问题 完成下列填空，想一想：什么情况下考虑运用勾股定理？ 如图 14－2－5，网格中每个小正方形的边长均为 1，
△ABC 为格点三角形．在判定△ABC 是不是直角三角形时， 首先由___勾__股___定理，得 AB＝________，BC＝__________， AC ＝ __________ ． 因 为 AB2 ＋ AC2 ＝ ___3_0____ ， BC2 ＝ ___3_4____，所以
► 知识点一 常规计算型 在直角三角形中，已知任意两边长，利用勾股定理可求
第三边长．有时不是已知直角三角形的两边长，而是已知一 边长和另两边长的关系，或者已知三边长的关系要求每一条 边长，则常需要设未知数，再结合勾股定理列方程．
► 知识点二 综合型
把勾股定理与平方差公式、两数和(差)的平方公式、方 程和轴对称等相结合，运用数形结合思想可以解决许多难度 较大的综合型题目，在几何图形中，创造条件，把非直角三 角形转化为直角三角形则是解决问题之根本．
14.2.2 勾股定理在数学中的应用
[归纳总结] 解答折叠问题的关键在于抓住折叠过程中保持 不变的量，寻找直角三角形，运用勾股定理求解，有时还需要运 用方程思想．
A2＋B2，A2＝C2－B2＝(C＋B)(C－B)，C2＝A2＋B2＝(A＋ B)2－2AB，C2＝A2＋B2＝(A－B)2＋2AB 等．
14.2.2 勾股定理在数学中的应用
探究问题二 折叠计算 例 2 如图 14－2－7，在长方形纸片 ABCD 中，AB＝8 cm， 把长方形纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于 点 F，若 AF＝245 cm，则 AD 的长为( C )
14.2.2 勾股定理在数学中的Байду номын сангаас用
活动2 教材导学 应用勾股定理解决数学问题 完成下列填空，想一想：什么情况下考虑运用勾股定理？ 如图 14－2－5，网格中每个小正方形的边长均为 1，
△ABC 为格点三角形．在判定△ABC 是不是直角三角形时， 首先由___勾__股___定理，得 AB＝________，BC＝__________， AC ＝ __________ ． 因 为 AB2 ＋ AC2 ＝ ___3_0____ ， BC2 ＝ ___3_4____，所以
八年级上华东师大版14.1勾股定理课件
勾股定理的逆定理指出：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这 个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。
新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_2
8、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?
课
堂
小 结
这节课我们学到了什么？
布置作业 114 页 1、2、3 题
118 页 4、5 题
板书设计
1.勾股定理的逆定理： 2.例
教学反思
教学内容 知识部分
操作部分
1. 如果线段 a,b,c 能组成直角三角形, 则它们的比可能是
(
)
A. 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5
2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是()
A. 是直角三角形;
B. 可能是锐角三角形;
C.可能是钝角三角形;
(2) 一个直角三角形的三边长为 5,12,13. 如果将这三边同时扩大 3 倍, 那么得到的三 生
角形还是直角三角形吗?
互 2.例.一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角,工人师
动 傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,你说这个零件符号要求吗?
C
师指名
D
口答
A
B
教学过程：
主 (2) 分别以每组数为三边作出三角形, 用量角器量一量.
学
它们都是直角三角形吗?
习 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2 ,
那么这个三角形是直角三角形.
那么这个 三角形是 直角三角 形.
满足 a2+b2=c2 的三个整数,称为勾股数
满
足
a2+b2=c2 的三个整
数,称为勾 股数
学生独立完成师指名
5. 以∆ABC 的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面是
口答
反
初中数学华师版八年级数学上册优秀教学课件PPT 第14章 勾股定理14.1.3 反证法
(2) 由勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与
已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾；
bc
(3) 因此假设不成立，即它不是一个直角
三角形.
Ca B
探究发现 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： (1) 先假设结论的反面是正确的； (2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定 理、定义或已知条件相矛盾； (3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
5.否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ D ） A. a，b，c 都是奇数 B. a，b，c 都是偶数 C. a，b，c 中至少有两个偶数 D. a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数
6.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面 是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 等于 是
以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小
于或等于 60°. 已知：△ABC.
点拨：至少的反面是没有！
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设 △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° ，
即 ∴
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°
理的逆定理可知∠C = 90°，这个三角
bc
形一定是直角三角形.
Ca B
讲授新课
反证法
问题探究 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c，
BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三
角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由. 探究： (1) 假设它是一个直角三角形； A
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新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_6
《14.1勾股定理2》学案
【学习目标】
1.会应用勾股定理来解决实际问题。(重点)
2.学会将实际问题转化为数学问题，体现“转化”的数学思想，并能从中构造出直角三角形求解。(难点)
【问题导学】
一、认真阅读课本P111中“例2”，完成下列问题：
1.在直角三角形ABC中，如图14.1.6，已知了哪条边的长度？另两条边的长度不知道，但它们之间有什么关系？
2.在解答中，它采用了数学中的什么思想？
二、认真阅读课本P111中“例3”，完成下列问题：
1.在构造成的直角三角形中，如图14.1.7，已知了哪些边？它们分别是直角三角形的什么边？所求的点A到点B的距离又是直角三角形的什么边？
2.在？
【课堂检测】
P112练习题1、2
【学习小结】
【活动预设】
导入：
一、自主学习
二、小组交流
三、展示点拨
四、课堂检测
归纳总结：方程思想
《14.1勾股定理》导学案
主备：审阅：
【学习目标】
1.会应用勾股定理来解决实际问题。(重点)
2.学会将实际问题转化为数学问题，体现“转化”的数学思想，并能从中构造出直角三角形求解。(难点)
【问题导学】
一、认真阅读课本P111中“例2”，完成下列问题：
1.在直角三角形ABC中，如图14.1.6，已知了哪条边的长度？另两条边的长度不知道，但它们之间有什么关系？
2.在解答中，它采用了数学中的什么思想？
二、认真阅读课本P111中“例3”，完成下列问题：
1.在构造成的直角三角形中，如图14.1.7，已知了哪些边？它们分别是直角三角形的什么边？所求的点A到点B的距离又是直角三角形的什么边？
2.在？
【课堂检测】
P112练习题1、2
【学习小结】
【活动预设】
导入：
一、自主学习
二、小组交流
三、展示点拨
四、课堂检测
归纳总结：方程思想
《14.1勾股定理》导学案
主备：审阅：
14.2 勾股定理的应用 第1课时 勾股定理的实际应用 华东师大版数学八年级上册课件
解：过点 B 作 BC 垂直于 A 所在水平直线于点 C，根据题意可得，点 A 与点 B 的 水平距离为 8－4＋1＝5(m)，竖直距离为 3＋9＝12(m)，∴AC＝5 m，BC＝12 m，∴AB ＝ 52＋122 ＝13(m)，∴A，B 两点之间的距离为 13 m
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角 的距离为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右 墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为( C )
A．10 cm B．12 cm C．15 cm D．17 cm
3．(例题 1 变式)如图所示，有一块砖高 AN＝5 cm，长 ND＝10 cm，CD 上的点 B 距点 D 的距离 BD＝8 cm，地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，需要爬行的最短路径 是多少？
解：将砖的右侧面展开与上面在同一平面内，最短路径为 AB＝ （5＋8）2＋102 ＝ 269 (cm)
A．50.5 寸 B．52 寸 C．101 寸 D．104 寸
10．如图，在离水面高度为 8 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的 长为 17 米，此人以 1 米/秒的速度收绳，7 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动 了多少米？(假设绳子是直的)
解：在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，BC＝17 米，AC＝8 米，∴AB＝ BC2－AC2 ＝ 15(米).由题意，得 CD＝17－1×7＝10(米).∴AD＝ CD2－AC2 ＝6(米).∴BD＝AB－AD ＝15－6＝9(米).答：船向岸边移动了 9 米
数学 八年级上册 华师版
14.2 勾股定理的应用 第1课时 勾股定理的实际应用
知识点❶ 立体图形中两点之间的最短距离 1．小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面， 如图所示，从点 A 攀爬到点 B 的最图，一圆柱体的底面周长为 24 cm，高 AB 为 9 cm，BC 是直径，一只蚂蚁从 点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是( C )
华东师大版八年级上册数学课件：14.1 勾股定理最新课件
锐角三角形
（，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据 勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点 勾股定理的逆定理：
所对的直角边是斜边的一半 ； (6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°。 反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
直角三角形的判定 X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
华师大版初中八年级数学上册第14章《勾股定理》PPT课件
D
A
B
图1
CD
13
C
5
4
12
A3 B
图2
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
例4 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于
1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条 边所对的角是直角？请说明理由
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
课堂小结
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第2课时
学习目标
情境引入
1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
A 2 E 2 D △FCB均为直角三角形. 1 F 由勾股定理，知
4
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
3 BF2=32+42=25，
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2. ∴ △BEF是直角三角形.
课堂小结
一定是直 角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的 三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）
有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆
八年级数学上册14.1勾股定理第1课时教学课件新版华东师大版
弦 勾 股
图1-1
赵爽弦图
c a b
b-a
证明： S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形
1 即 c =4× ab+(b-a)2, 2 c2=2ab+a2-2ab+b2 所以 a2+b2=c2
2
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002 年在北京召开的国际数学大会的会徽.
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结 合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
例： 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求
AC的长.
解： 根据勾股定理，可得
AB BC
2
2
AC
2
所以
AC
AB BC
2
2
6 8
2
2
10
练一练
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上
利用勾股定理进行计算
做一做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，
你能否根据这一图形，证明勾股定理.
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ;
b a b
a
也可以表示为
c2 +4•ab/2
.
c c
a
c c
b
b a
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
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动手算: 3、4、5各自的平方有什么关系 ? 32 ? 42 ? 52
动脑猜： 任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗 ?
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点 都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9 和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角 形的斜边长,然后验证你的猜想！
ab 16 8 2 5 12 3 9 12
?⑴正方形P的面积为 cm2 ，
?正方形Q的面积为 cm2 ，
?正方形R的面积为 cm2 。
? ⑵正方形 P、Q、R的面积之
间的关系是什么？ ?⑶你能发现直角三角形三边
长度之间存在什么关系吗？
A R
Q
B
C
P
动手做： 画直角三角形 ABC ，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm ．
动手量 :如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是3cm和4cm ,则它的斜边长是多少 ? （5cm）
c a
b
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
c a c b ba
∵ c2= (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
=b2-2ab+a 2+ 2ab
c c 2 a2 ?b2
10 100 100 13 169 169 15 225 225
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为 a ，b ， 斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？ 4、你能否就你拼出的图说明
例1、如图，在Rt△ABC中，已知 ∠B=90°，AB=6,BC=8，求AC.
解：在Rt△ABC中
C
∵ ∠B=90°，AB=6,BC=8
∴AB2+BC2=AC2
即 62+82=AC2
所以AC= 82? 62 =10
B
A
拓展训练
1、如图，在Rt△ABC中，AB=c,
BC=a ,AC=b,∠C=90°.
b c
a 2+b 2=c2吗？
? 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A
b
1 E aB
∵ S梯 形 AB CD= 2 ?a+b?2
十任总统后来， 1
人们为了纪念他 = (a2+2ab+b 2)
对勾股定理直观、 2
简捷、易懂、明
又∵ S梯 形 AB CD=S AED+S EBC+S CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c 2)
2 2 22
“总统证法”． ? 比较上面二式得 c2=a2+b2
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么 a2+b2=c2
ac
b
即 ：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方．
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
作业快餐：
?1.完成课本习题１、 2。（必做） ?2.课后小实验：如图 ,分别以直角三角形的三边为直
径作三个半圆 ,这三个半圆的面积之间有什么关系 ?为 什么? （必做） ? 3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
观察下图正方形大小，图中每一小方格表示1
cm2，你能发现图中正方形P、Q、R的面积之
间有什么关系？从中你发现了什么？
⑴正方形P的面积为 cm2，
正方形Q 的面积为 cm2，
正方形R的面积为
cm2。
⑵你能发现图中正方形P、Q、
R的面积之间有什么关系？
从中你发现了什么？
A R
P CQB
?其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？ （你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再 确立研究方向）（图中每一小方格表示 1平方厘米）
a bb c
=a2+b2
a c
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
ab 4 ? ? C2
2
a bc
b
c
a ∵ (a+b) 2 = 4 ? ab ? C2 2
a2+2ab+b 2 = 2ab +c2
c a
cb
∴a2+b2=c2
b
a
证明3：
C
你能只用这两个 D 直角三角形说明 a c
弦 勾
股
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理.
弦 勾
勾股
股
数学史话
商高
《周髀算经》
毕达哥拉斯 《勾股圆方图》
(1)已知a=6,c=10,求b;
(2)已知a=24,c=25,求b.
C
ab
B cA 2、如果一个直角三角形的两边长分别是3厘米
和4厘米，那么这个三角形的周长是多少？
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？ ２.理解“勾股定理”应该注
意什么问题？ ３.你觉得“勾股定理”
有用吗？
教师寄语
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。 只有不断的思考，才会有新的发现；只 有量的变化，才会有质的进步。 其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我 们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探 索，等待我们去发现……
1 4. 1 勾 股 定 理
弦 图
同学们，在我们美丽的地球王国 上，原始森林，参天古树带给我们神 秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给 我们以美的享受。你知道吗？在古老 的数学王国，有一种树木它很奇妙， 生长速度大的惊人，它是什么呢？下 面让我们带着这个疑问一同到数学王 国去欣赏吧！
?1、勾股定理的内容 ?2、勾股定理的证明 ?3、勾股定理的运用
动脑猜： 任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗 ?
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点 都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9 和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角 形的斜边长,然后验证你的猜想！
ab 16 8 2 5 12 3 9 12
?⑴正方形P的面积为 cm2 ，
?正方形Q的面积为 cm2 ，
?正方形R的面积为 cm2 。
? ⑵正方形 P、Q、R的面积之
间的关系是什么？ ?⑶你能发现直角三角形三边
长度之间存在什么关系吗？
A R
Q
B
C
P
动手做： 画直角三角形 ABC ，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm ．
动手量 :如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是3cm和4cm ,则它的斜边长是多少 ? （5cm）
c a
b
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
c a c b ba
∵ c2= (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
=b2-2ab+a 2+ 2ab
c c 2 a2 ?b2
10 100 100 13 169 169 15 225 225
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为 a ，b ， 斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？ 4、你能否就你拼出的图说明
例1、如图，在Rt△ABC中，已知 ∠B=90°，AB=6,BC=8，求AC.
解：在Rt△ABC中
C
∵ ∠B=90°，AB=6,BC=8
∴AB2+BC2=AC2
即 62+82=AC2
所以AC= 82? 62 =10
B
A
拓展训练
1、如图，在Rt△ABC中，AB=c,
BC=a ,AC=b,∠C=90°.
b c
a 2+b 2=c2吗？
? 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A
b
1 E aB
∵ S梯 形 AB CD= 2 ?a+b?2
十任总统后来， 1
人们为了纪念他 = (a2+2ab+b 2)
对勾股定理直观、 2
简捷、易懂、明
又∵ S梯 形 AB CD=S AED+S EBC+S CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c 2)
2 2 22
“总统证法”． ? 比较上面二式得 c2=a2+b2
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么 a2+b2=c2
ac
b
即 ：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方．
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
作业快餐：
?1.完成课本习题１、 2。（必做） ?2.课后小实验：如图 ,分别以直角三角形的三边为直
径作三个半圆 ,这三个半圆的面积之间有什么关系 ?为 什么? （必做） ? 3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
观察下图正方形大小，图中每一小方格表示1
cm2，你能发现图中正方形P、Q、R的面积之
间有什么关系？从中你发现了什么？
⑴正方形P的面积为 cm2，
正方形Q 的面积为 cm2，
正方形R的面积为
cm2。
⑵你能发现图中正方形P、Q、
R的面积之间有什么关系？
从中你发现了什么？
A R
P CQB
?其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？ （你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再 确立研究方向）（图中每一小方格表示 1平方厘米）
a bb c
=a2+b2
a c
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
ab 4 ? ? C2
2
a bc
b
c
a ∵ (a+b) 2 = 4 ? ab ? C2 2
a2+2ab+b 2 = 2ab +c2
c a
cb
∴a2+b2=c2
b
a
证明3：
C
你能只用这两个 D 直角三角形说明 a c
弦 勾
股
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理.
弦 勾
勾股
股
数学史话
商高
《周髀算经》
毕达哥拉斯 《勾股圆方图》
(1)已知a=6,c=10,求b;
(2)已知a=24,c=25,求b.
C
ab
B cA 2、如果一个直角三角形的两边长分别是3厘米
和4厘米，那么这个三角形的周长是多少？
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？ ２.理解“勾股定理”应该注
意什么问题？ ３.你觉得“勾股定理”
有用吗？
教师寄语
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。 只有不断的思考，才会有新的发现；只 有量的变化，才会有质的进步。 其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我 们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探 索，等待我们去发现……
1 4. 1 勾 股 定 理
弦 图
同学们，在我们美丽的地球王国 上，原始森林，参天古树带给我们神 秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给 我们以美的享受。你知道吗？在古老 的数学王国，有一种树木它很奇妙， 生长速度大的惊人，它是什么呢？下 面让我们带着这个疑问一同到数学王 国去欣赏吧！
?1、勾股定理的内容 ?2、勾股定理的证明 ?3、勾股定理的运用