勾股定理公开课
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探索勾股定理(公开课课件)
数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。
勾股定理公开课课件
在解析几何中，勾股定理常用于解决与直角三角形相关的问题，如求长 度、面积等。
在物理学中，勾股定理用于描述弹性杆在受力时的弯曲程度，以及电磁 波的传播方向和强度。
在经济学中，勾股定理可用于评估投资组合的风险和回报，以及预测股 票市场的波动。
THANKS
感谢观看
勾股定理的发展历程
欧几里德在《几何原本》中证明勾股 定理的方法是构造两个直角三角形， 通过比较它们的边长来证明勾股定理 。
20世纪以来，勾股定理的应用范围不 断扩大，涉及物理学、工程学、经济 学等多个领域。
18世纪，欧拉证明了勾股定理的一个 更为简洁的证明方法，该方法基于三 角形的余弦定理。
勾股定理在现代数学中的应用
勾股定理在复数域的应用
总结词
勾股定理在复数域的应用展示了复数和三角函数之间的密切联系，为解决复杂的数学问题提供了新的 思路和方法。
详细描述
在复数域中，勾股定理可以应用于复数和三角函数之间的关系，揭示了它们之间的密切联系。这种应 用为解决复杂的数学问题提供了新的思路和方法，有助于深入理解和掌握复数和三角函数的基本性质 和应用。
勾股定理的表述方式是“勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方 ”。
03
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中一种是利用相似三角形的性质来证明
，另一种是利用代数方法来证明。
勾股定理的重要性
在几何学中的应用
勾股定理是几何学中一个重要的定理，它在解决 与直角三角形相关的问题时非常有用。例如，在 计算直角三角形的角度、边长等问题时，勾股定 理都是必不可少的工具。
在工程学中的应用
在工程学中，勾股定理也是非常重要的工具。例 如，在计算建筑物的稳定性、机械运动等问题时 ，都需要用到勾股定理。
在物理学中，勾股定理用于描述弹性杆在受力时的弯曲程度，以及电磁 波的传播方向和强度。
在经济学中，勾股定理可用于评估投资组合的风险和回报，以及预测股 票市场的波动。
THANKS
感谢观看
勾股定理的发展历程
欧几里德在《几何原本》中证明勾股 定理的方法是构造两个直角三角形， 通过比较它们的边长来证明勾股定理 。
20世纪以来，勾股定理的应用范围不 断扩大，涉及物理学、工程学、经济 学等多个领域。
18世纪，欧拉证明了勾股定理的一个 更为简洁的证明方法，该方法基于三 角形的余弦定理。
勾股定理在现代数学中的应用
勾股定理在复数域的应用
总结词
勾股定理在复数域的应用展示了复数和三角函数之间的密切联系，为解决复杂的数学问题提供了新的 思路和方法。
详细描述
在复数域中，勾股定理可以应用于复数和三角函数之间的关系，揭示了它们之间的密切联系。这种应 用为解决复杂的数学问题提供了新的思路和方法，有助于深入理解和掌握复数和三角函数的基本性质 和应用。
勾股定理的表述方式是“勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方 ”。
03
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中一种是利用相似三角形的性质来证明
，另一种是利用代数方法来证明。
勾股定理的重要性
在几何学中的应用
勾股定理是几何学中一个重要的定理，它在解决 与直角三角形相关的问题时非常有用。例如，在 计算直角三角形的角度、边长等问题时，勾股定 理都是必不可少的工具。
在工程学中的应用
在工程学中，勾股定理也是非常重要的工具。例 如，在计算建筑物的稳定性、机械运动等问题时 ，都需要用到勾股定理。
勾股定理课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
第3页
知识讲解
★ 勾股定理认识及验证
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发觉他 朋友家用等腰三角形砖铺成地面（如图）：
问题1： 正方形A、B、C面积有什么关系？
小正方形A、B面积之和等于大正方形C面积， 即
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
第4页
问题2 ： 图中由正方形A、B、C边长组成等腰直角三角形三 边之间有怎样特殊关系？
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2，
所以 a2+b2=c2.
温馨提醒：上述这种验证勾股定理方法是用面积法.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学钻研精神和聪明才智，它是我国古代数 学骄傲.因为，这个图案被选为在北京召开国际数学大会会徽.
第11页
证法2 ： 毕达哥拉斯证法，将四个全等直角三角形按图示进 行拼图，然后分析其面积关系后证实.
第19页
5.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对边分别为a， b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c． 解：在△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2 . ∵c﹣a=4，b=12，∴c=a+4，∴a2+122=（a+4）2 . ∴a=16，∴c=20，即a=16，c=20.
第20页
当BC为斜边时，如图， BC 42 32 5. B
B
4
3 C 图 A
4
A
3 图
C
归纳：当直角三角形中所给两条边没有指明是斜边或直角边时，
其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定
要进行分类讨论，不然轻易丢解.
第16页
例3 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD长.
知识讲解
★ 勾股定理认识及验证
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发觉他 朋友家用等腰三角形砖铺成地面（如图）：
问题1： 正方形A、B、C面积有什么关系？
小正方形A、B面积之和等于大正方形C面积， 即
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
第4页
问题2 ： 图中由正方形A、B、C边长组成等腰直角三角形三 边之间有怎样特殊关系？
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2，
所以 a2+b2=c2.
温馨提醒：上述这种验证勾股定理方法是用面积法.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学钻研精神和聪明才智，它是我国古代数 学骄傲.因为，这个图案被选为在北京召开国际数学大会会徽.
第11页
证法2 ： 毕达哥拉斯证法，将四个全等直角三角形按图示进 行拼图，然后分析其面积关系后证实.
第19页
5.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对边分别为a， b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c． 解：在△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2 . ∵c﹣a=4，b=12，∴c=a+4，∴a2+122=（a+4）2 . ∴a=16，∴c=20，即a=16，c=20.
第20页
当BC为斜边时，如图， BC 42 32 5. B
B
4
3 C 图 A
4
A
3 图
C
归纳：当直角三角形中所给两条边没有指明是斜边或直角边时，
其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定
要进行分类讨论，不然轻易丢解.
第16页
例3 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD长.
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
17.1勾股定理(第二课时)市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
a
c
30°
C
b
B
a :b:c 1: 3 :2
c=6cm时,求b=？a=？
3/34
3.勾股小常识：勾股数又名毕氏三元数.勾股数就是能够 组成一个直角三角形三边一组正整数
（1）基本勾股数如：大家一定要熟记
（2）假如a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc
（k为正整数）也是一组勾股数， 如：6、8、10 ； 9、12、15
52 42 41 ∴这两点之间距离是 41 .
11/34
【点评】
画图
实
几何模型
数
际
学
问
问
题
题
勾股定理
12/34
生活中一些实际问题经常经过构建数学模型(直 角三角形)来求解，勾股定理在生活中应用面广，建立 模型有时并不是已知两边求第三边，而只是告诉了 其中一些关系，普通可设未知数，用未知数表示它 们之间关系，然后依据勾股定理列方程处理问题．
种方式，先依据勾股定理求出每一个方式下蚂蚁爬行最短旅程， 从而可知蚂蚁经过最短旅程． （2）最长路线应该是依次经过长为5cm，4cm ，5cm ，4cm ， 3cm ，4cm ，5 cm棱．
24/34
解：（1）将长方体与顶点A，B相关两个面展开，共有三
种方式，如图所表示．若蚂蚁沿侧面爬行，如图①
， 则爬行最短旅程为
26/34
【点评】 几何体表面上两点间最短旅程问题处理方法
是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题， 然后利用“两点之间，线段最短”去确定路线，最终利 用勾股定理计算．
27/34
练一练
1. (·东营)如图，一只蚂蚁沿着棱长为2正方 体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，假如它 运动路径是最短，则AC长为________．
探索勾股定理(公开课课件)
解：由勾股定理，可得:
AB２+BC２ =AC２
∴ AC= √ AB２+BC２
= √ 62 + 82=10
1、求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 由勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
推广:一般的直角三角形,上述结论成立吗？
1 a
2b c
3
a2 b2？ c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
转换结论
C Aac
b
B
由正方形的面积公式得： SA=a2 , SB=b2 , SC =c2 SA＋SB=SC
a2+b2=c2
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
55
考 一 考:
1 求下列图中表示的未知数x、y、z的值.
2X25 81
144
5
3
5
144
169
4z
①
②
③
2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形
的周长为 30 .
3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，
那么△ABC的面积是 24 .
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为 (ba)2 4 1 agb
2
c a
b
∵
c2=
(ba)2
4
AB２+BC２ =AC２
∴ AC= √ AB２+BC２
= √ 62 + 82=10
1、求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 由勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
推广:一般的直角三角形,上述结论成立吗？
1 a
2b c
3
a2 b2？ c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
转换结论
C Aac
b
B
由正方形的面积公式得： SA=a2 , SB=b2 , SC =c2 SA＋SB=SC
a2+b2=c2
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
55
考 一 考:
1 求下列图中表示的未知数x、y、z的值.
2X25 81
144
5
3
5
144
169
4z
①
②
③
2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形
的周长为 30 .
3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，
那么△ABC的面积是 24 .
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为 (ba)2 4 1 agb
2
c a
b
∵
c2=
(ba)2
4
勾股定理微课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
D1 A1 D
A
4
C1
1 B1 C
2 B
假如长方形长、宽、高分别是a、b、c（a ＞b＞c），你能求出蚂蚁从顶点A到C1最短 路径吗？
从A到C1最短路径是
a 2 (b c)2
第8页
例1、如图，长方体长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C距离为5cm，一只蚂蚁假如要沿着 长方体表面从A点爬到B点，需要爬行最短距离是多 少？
B C 20
分析 依据题意分析蚂蚁爬行路线有两 种情况(如图①② ),由勾股定理可求得 图1中AB最短.
15 A 10
①
5B
20
B
5
②
20
A 10 15
A 10 15
AB =√202+152 =√625
AB =√102+252 =√725
第9页
台阶中最值问题
例2、如图，是一个三级台阶，它每一级长、宽和高分 别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶两个相正确 端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口食物.请你 想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点， 最短线路是多少？
B 1
6
3
2
A
8
第12页
小溪边长着两棵树，正好隔岸相望，一棵树高 30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间距离是 50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同 时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以 同样速度飞去抓鱼，结果同时到达目的。问这 条鱼出现在两树之间何处？
第13页
如图，等边三角形边长是2。
A
第16页
已知，一轮船以16海里/时速度从港口A出发 向西北方向航行，另一轮船以12海里/时速度 同时从港口A出发向东北方向航行，离开港口 2小时后，则两船相距（ ）
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
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a2
a2 c2
b2
a2 + b2 = c2 勾股定理公开课
证 法 4： 加菲尔德的“总统”证法
∟
∟
b ac
c b
a
1 2
(a
+
b)(b
+
a)
=
1 2
1
c2 + 2( 2
ab )
1 2
a2
+
ab
1
+2
b2
=
1 2
c2 + ab
a2 + b2 = c2
勾股定理公开课
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做 定理。
那么它的宽是（ B ）A 2 5 ㎝ B 5 ㎝ C 5 ㎝ D 5 ㎝
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则
A
ａ2 +b2 =c2
常用的勾股数：3，4，5； 6，8，10；
5，12，13；
C
B
7，24，25。
勾股定理公开课
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 “勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直 角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现 的，所以人们称这个勾定股定理理公为开课毕达哥拉斯定理。
证 法a 二
b
b
a
b
c c
(a+b)2 =c2 4 1 ab
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
c
a 可得: a2 + b2 = c2
a
b
大正方形的面积该怎样表示?
勾股定理公开课
证 法 3： 毕达哥拉斯证法
勾
股
勾
弦
股
勾股定理公开课
在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的 对边分别为a 、b 、c ,则:
c22=a22+b22 a2=c2-b2 b2=c2-a2
c= a2 b2 a= c2 b2 b= c2 a2
勾股定理公开课
数学史话
商高
《周髀算经》
毕勾达股定哥理公拉开课斯 《勾股圆方图》
朱实
黄实。加差实，亦
成弦实。
朱实
1 C2=2 × (2× 2
ab）+ (a-b)2
= a2+b2
勾股定理公开课
“赵爽弦图’表现了 我国古代人对数学的钻研 精神和聪明才智，它是我 国古代数学的骄傲，因此， 这个图案被选为2002年在 北京召开的国际数学家大 会的会徽。取材于我国古 代数学著作《勾股圆方图》
那么a2+b2=c2.
即 ：直角三角形两直角边的平方
和等于斜边的平方．
弦
c
勾a
勾股定理公开课
b股
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点都 在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9和 12的直角三角形,并测量出这三个直角三角形 的斜边长,然后验证你的猜想！
a b c c 2 a2 b2
1 6 8 10 100 100
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝ ，那么直角三角形的其它两边长是（ A ）
A 1， 3 B 1 ，பைடு நூலகம் C 1， 5 D 1 ,5
⑵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,
A
∠B=45°,AC=1,则AB=( C )
A2
B1
C2 D 3 C
B
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，
★ 公元前11世纪，周公与商高的对话（记录于公元前1世纪《周髀算经》） 中提出“勾三、股四、弦五”。——勾股定理、商高定理 ★ 《周髀算经》中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次 提到勾股定理。——陈子定理 ★ 公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名 为“毕达哥拉斯定理” （百牛定理），而且给出了证明。 ★ 古巴比仑人在公元前19世纪也发现此定理。
17.1勾股定理（1）
勾股定理公开课
勾股定理 外星人
勾股定理有着悠久的 历史，几乎所有具有古代 文化的民族和国家都对勾 股定理有所了解，它来源 于人们生产实践之中，对 人类发展起着十分重要的 作用。
我国著名数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理 的图形到宇宙中，如果宇宙有人的话，他们一定会认 识这种语言的。这条建议得到许多科学家的赞同。
★ 定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密斯 搜集整理的《毕达哥拉斯》一书中就给出370种不同证法。
勾股定理公开课
一 填空题：
1、在RT△ABC中∠C=90°, ⑴若a=4,b=3,则c=___5_ ⑵若c=13,b=5,则a=__1_2_ ⑶ 若 c=17,a=8,则b=_1_5__
2 5 12 13 169 169 3 9 12 15 225 225
可见存在a2 b2 c2这
样的关系， 那么又该如
何给出一般说明呢？勾股定理公开课
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角
分别为a，b， 斜边c）；你能用这四个直角三角形拼成一个正方
吗？拼一拼试试看
b
C
(1)
B B
图1—1
图1—2
图1-1 图1-2
A、B、C面积关系
A的面积 （单位面积）
9
B的面积 （单位面积）
16
16
36
s +s =s 勾股定理公开课
ABC
C的面积 （单位面积）
25 52
Aa
C c b B
SA=a2 SB=b2 SC=c2
c2=a2+b2
勾股定理公开课
命题1 如果直角三角形的两条
直角边长分别为a,b，斜边长为c，
a
c
c
(4)
证
法
(a-b)2 (3)
一
(2)
(2)
c
c
(3)
(a-b)2 = C2－4× 1 ab
2
a2+b2－2ab = c2－2ab
可得：a2 + b2 = c2
(4)
勾股定理公开课
赵爽弦图
赵爽指出：按 弦图，又可以勾股 相乘为朱实二，倍 之为朱实四，以勾
aB
c
a 朱实
b c
C
b
A
朱实
股之差自相乘为中
2、 在Rt△ABC∠C=90°,BC:AC=3:4,AB=10,则 AC= 8 ,BC= 6
勾股定理公开课
3、等边三角形的边长为12，则它的高为______
4、等腰直角△ABC中,斜边长为2,则直角边长为
5、在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另 一边为___5_或_____
勾股定理公开课
二 选择题：
勾股定理公开课
勾股树
勾股定理公开课
活动2、 探索勾股定理
数学家毕达哥拉斯的故事
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
等腰直角三角形三边有什么关 系？
两直角边的平方勾和股定等理公于开课斜边的平方
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？ 探究：你会求出下列图形的面积吗？
C A
C A
a2 c2
b2
a2 + b2 = c2 勾股定理公开课
证 法 4： 加菲尔德的“总统”证法
∟
∟
b ac
c b
a
1 2
(a
+
b)(b
+
a)
=
1 2
1
c2 + 2( 2
ab )
1 2
a2
+
ab
1
+2
b2
=
1 2
c2 + ab
a2 + b2 = c2
勾股定理公开课
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做 定理。
那么它的宽是（ B ）A 2 5 ㎝ B 5 ㎝ C 5 ㎝ D 5 ㎝
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则
A
ａ2 +b2 =c2
常用的勾股数：3，4，5； 6，8，10；
5，12，13；
C
B
7，24，25。
勾股定理公开课
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 “勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直 角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现 的，所以人们称这个勾定股定理理公为开课毕达哥拉斯定理。
证 法a 二
b
b
a
b
c c
(a+b)2 =c2 4 1 ab
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
c
a 可得: a2 + b2 = c2
a
b
大正方形的面积该怎样表示?
勾股定理公开课
证 法 3： 毕达哥拉斯证法
勾
股
勾
弦
股
勾股定理公开课
在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的 对边分别为a 、b 、c ,则:
c22=a22+b22 a2=c2-b2 b2=c2-a2
c= a2 b2 a= c2 b2 b= c2 a2
勾股定理公开课
数学史话
商高
《周髀算经》
毕勾达股定哥理公拉开课斯 《勾股圆方图》
朱实
黄实。加差实，亦
成弦实。
朱实
1 C2=2 × (2× 2
ab）+ (a-b)2
= a2+b2
勾股定理公开课
“赵爽弦图’表现了 我国古代人对数学的钻研 精神和聪明才智，它是我 国古代数学的骄傲，因此， 这个图案被选为2002年在 北京召开的国际数学家大 会的会徽。取材于我国古 代数学著作《勾股圆方图》
那么a2+b2=c2.
即 ：直角三角形两直角边的平方
和等于斜边的平方．
弦
c
勾a
勾股定理公开课
b股
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点都 在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9和 12的直角三角形,并测量出这三个直角三角形 的斜边长,然后验证你的猜想！
a b c c 2 a2 b2
1 6 8 10 100 100
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝ ，那么直角三角形的其它两边长是（ A ）
A 1， 3 B 1 ，பைடு நூலகம் C 1， 5 D 1 ,5
⑵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,
A
∠B=45°,AC=1,则AB=( C )
A2
B1
C2 D 3 C
B
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，
★ 公元前11世纪，周公与商高的对话（记录于公元前1世纪《周髀算经》） 中提出“勾三、股四、弦五”。——勾股定理、商高定理 ★ 《周髀算经》中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次 提到勾股定理。——陈子定理 ★ 公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名 为“毕达哥拉斯定理” （百牛定理），而且给出了证明。 ★ 古巴比仑人在公元前19世纪也发现此定理。
17.1勾股定理（1）
勾股定理公开课
勾股定理 外星人
勾股定理有着悠久的 历史，几乎所有具有古代 文化的民族和国家都对勾 股定理有所了解，它来源 于人们生产实践之中，对 人类发展起着十分重要的 作用。
我国著名数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理 的图形到宇宙中，如果宇宙有人的话，他们一定会认 识这种语言的。这条建议得到许多科学家的赞同。
★ 定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密斯 搜集整理的《毕达哥拉斯》一书中就给出370种不同证法。
勾股定理公开课
一 填空题：
1、在RT△ABC中∠C=90°, ⑴若a=4,b=3,则c=___5_ ⑵若c=13,b=5,则a=__1_2_ ⑶ 若 c=17,a=8,则b=_1_5__
2 5 12 13 169 169 3 9 12 15 225 225
可见存在a2 b2 c2这
样的关系， 那么又该如
何给出一般说明呢？勾股定理公开课
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角
分别为a，b， 斜边c）；你能用这四个直角三角形拼成一个正方
吗？拼一拼试试看
b
C
(1)
B B
图1—1
图1—2
图1-1 图1-2
A、B、C面积关系
A的面积 （单位面积）
9
B的面积 （单位面积）
16
16
36
s +s =s 勾股定理公开课
ABC
C的面积 （单位面积）
25 52
Aa
C c b B
SA=a2 SB=b2 SC=c2
c2=a2+b2
勾股定理公开课
命题1 如果直角三角形的两条
直角边长分别为a,b，斜边长为c，
a
c
c
(4)
证
法
(a-b)2 (3)
一
(2)
(2)
c
c
(3)
(a-b)2 = C2－4× 1 ab
2
a2+b2－2ab = c2－2ab
可得：a2 + b2 = c2
(4)
勾股定理公开课
赵爽弦图
赵爽指出：按 弦图，又可以勾股 相乘为朱实二，倍 之为朱实四，以勾
aB
c
a 朱实
b c
C
b
A
朱实
股之差自相乘为中
2、 在Rt△ABC∠C=90°,BC:AC=3:4,AB=10,则 AC= 8 ,BC= 6
勾股定理公开课
3、等边三角形的边长为12，则它的高为______
4、等腰直角△ABC中,斜边长为2,则直角边长为
5、在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另 一边为___5_或_____
勾股定理公开课
二 选择题：
勾股定理公开课
勾股树
勾股定理公开课
活动2、 探索勾股定理
数学家毕达哥拉斯的故事
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
等腰直角三角形三边有什么关 系？
两直角边的平方勾和股定等理公于开课斜边的平方
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？ 探究：你会求出下列图形的面积吗？
C A
C A