第二章 矩阵的数值运算4课时
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
MATLAB中的矩阵的输入
第一节 MATLAB 中的矩阵的输入§1 直接输入一、直接在工作窗中输入：A=[2, 4, 6, 8;1 3 5 7; 0 0 0 0;1,0,1,0]其意义是定义了矩阵 ,0101000075318642⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 二、如果矩阵中的元素是等步长的，可以用下面的方法A=[1:0.2:2;1:6;2:2:12]A=[1:5]' “'”号在这里表示为转置，而 1:5 中间少了一个循环步长，此时将步长自动取为 1 。
§2 增删改设已经定义 A=[1 2 3 4 5；10 8 6 4 2]; B=[0 1;1 0]; C=[1 2;2 4]，即已定义A= B= C= 1 2 3 4 5 0 1 1 2 10 8 6 4 2 1 0 2 4 则命令：A=[[A(:,1:4);[C ,B]],[0 2 0 4]'] 将 A 定义成：A= 而 A(:,3)=[]； 将删除 A 的第三列 ，得1 2 3 4 0 A= 1 2 4 0 10 8 6 4 2 10 8 4 2 1 2 0 1 0 1 2 1 0 2 4 1 0 4 2 4 0 4§3 命令生成使用 MATLAB 命令生成矩阵一般使用下面的命令 １ 命令 linspace ，它有两个格式：a1=linspace(1,100)%生成一个从1到100的有100 个元素的向量 a2=linspace(0,1)%仍然是有 100 个元素但是是从 0 到 1 的向量 a3=linspace(0,-1) %请与上一个向量进行比较上面是第一种格式 linspace(a,b)，它是将 a 到 b 等分成 100份形成的向量。
第二种格式 linspace(a,b,n) 中的 n 为一个正整数，表示是从 a 到 b 等分成 n 份后形成的向量。
例如a4=linspace(1,100,11)%从1 到100 但只形成11 个元素的向量a5=linspace(1,100,10) %自己体会这个命令作用a6=linspace(0,1,11)'%加上了“'”表示转置a7=linspace(0,-1,10) %自己体会这个命令作用2 命令ones,zeros 分别形成元素全为1或全为零的矩阵它也有两种格式。
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
4
1 取对应于1=4的基础解向量 P1 1 则对应于1=4的全部特征向量为：kP1 (k 0)
（2）2=2 将1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0
3 2 1 x1 1 3 2 x 0 2
总可以用 Xi 的线性组合来表示： V(0)=1X1+ 2X2+...+ nXn（其中10） 取 V(1)=AV(0) V(2)=AV(1)=A2V(0) ……
10
V(k+1)=AV(k) =Ak+1V(0) 以构成向量迭代序列。 由矩阵特征值的定义有： AXi=iXi （i=1,2,...,n） 则有
k 1 1
i [ 1 X 1 i i2 1
n
k 1
Xi ]
11
V 同理可得：
(k )
i [ 1 X 1 i X i ] i2 1
n k 1 n k 1
k
V(k+1)的第j个分量：
16
（二）按模最大特征值是互为反号的实根 设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量 Xi ， 其对应的特征值为i （i=1,2,...,n)，且满足： |1| = |2|>|3| … |n|，设其中1>0, 1=- 2
由迭代变换： V ( k ) Ak V ( 0 )
3 1 求矩阵 A 1 3 的特征值与特征向量
3
解：计算特征多项式方程，即 3 1 A E ( 3 )2 1 0 1 3 解得A的两个特征值：1=4， 2=2。 （1）1=4 将1=4代入 (A-E)X=0得(A-4E)X=0
高考数学总复习矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵矩阵的特征值4-2
选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)189～191页)1. 设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1012，求MN . 解：MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01210. 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a，求a 、b 的值．解：由题意，知MM－1＝E ，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3.3. 求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12－12的特征多项式． 解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[ 1 6－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8， 当λ1＝－3时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1；当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，故特征值λ2＝8的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1 求逆矩阵与逆变换例1 用解方程组的方法求下列矩阵M 的逆矩阵．(1) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101； (2) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221. 解：(1) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－10 1. (2) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝23，d ＝－13，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 23 23－13. 备选变式（教师专享） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)．题型2 求特征值与特征向量 例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.变式训练已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤17，计算M 5β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2) ＝4(λ51α1)－3(λ52α2) ＝4×35⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤975969. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， (1) 求e 1和e 2对应的特征值； (2) 对向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1916， M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，求M 100α→.解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1， 又Me 1→＝λ1e 1→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2→＝λ2e 2→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝x e 1→＋y e 2→，所以M 100α→＝M 100(x e 1→＋y·e 2→)＝xM 100e 1→＋yM 100e 2→＝xλ1001e 1→＋yλ2100e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2100x y .1. 求函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cosx sinx －1的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx ＝－2－12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.2. 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，求矩阵A 的特征值．解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，∴ A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321.∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.∴ 矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，∴ A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 0 3. 4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝[]axbx ＋y，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y.因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上， 所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1， 依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1，而由a>0可得a ＝b ＝1.(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－21. 1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－8，得a ＋1＝－8， 所以a ＝－9. (2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－91，则矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N .解：(解法1)设X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，据题意有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1，所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221.所以X ＝M－1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. 3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－40，∴ 2－2a ＝－4a ＝3.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4. 当λ＝－1时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120013.(2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .(2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc. 若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD，y ＝DyD .请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3PPT课件
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件
钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
【课堂新坐标】（教师用书）2021学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵教案 苏教版选修4-2(1)
2.4 逆变换与逆矩阵2． 4.1逆矩阵的概念课标解读1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件．2．会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质． 3．会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.1二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′)．反过来，若是已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原先的(x ，y )，咱们称它为原变换的逆变换．2．逆矩阵关于二阶矩阵A ，B ，假设AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B . 3．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，那么逆矩阵是惟一的．(2)假设二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，那么AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，假设矩阵A 存在逆矩阵，那么B ＝C . 4．逆矩阵的求法一样地，关于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bcaad －bc . 1．2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？什么缘故？【提示】 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射．2．是不是每一个二阶矩阵都可逆？【提示】 不是，只有当⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 0不可逆． 3．假设二阶矩阵A ，B ，C 都是可逆矩阵，如何求(ACB )－1? 【提示】 依照逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得： (ACB )－1＝[]AC B－1＝B －1(AC )－1＝B －1C －1A －1.利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵从几何变换的观点判定以下矩阵是不是存在逆矩阵，假设存在，请把它求出来；假设不存在，请说明理由．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1； (3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12；(4)D ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 0.【思路探讨】 矩阵→对应的几何变换→判定是不是存在逆变换→假设存在写出逆变换→逆矩阵【自主解答】 (1)矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标维持不变，纵坐标沿y 轴方向紧缩为原先的12，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标维持不变，纵坐标沿y 轴方向伸长为原先的2倍，所对应的变换矩阵记为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (2)矩阵B 对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标维持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )．它存在逆变换：将平面内点的纵坐标维持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )，所对应的变换矩阵记为B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1. (3)矩阵C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y ＝x 上，它不是一一映射，在那个变换下，直线y ＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y ＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C 不存在逆矩阵．(4)矩阵D 对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0. 用几何变换的观点判定矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一样思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)依照逆变换的概念判定该变换是不是具有逆变换；(3)假设有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵．假设将本例中矩阵变成以下矩阵，情形如何？(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －1212 32；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 0； (3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1；(4)D ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. 【解】 (1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 30° －sin 30°sin 30° cos 30°，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 12－12 32. (2)矩阵B 表示的是将平面内所有点垂直投影到x 轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，因此不存在逆变换，故不存在逆矩阵．(3)矩阵C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y y 的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标维持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －y y 的切变变换，故C －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1. (4)矩阵D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向拉伸为原先2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向紧缩为原先的12的伸压变换，故D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12. 求矩阵A 的逆矩阵求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵．【思路探讨】 思路一：设出A －1，利用AA －1＝E ，构建方程组求解．思路二：利用公式A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bca ad －bc 求解． 【自主解答】 法一 设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 因此⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153 －23. 法二 注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3－3－3－5－32－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153 －23. 求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，经常使用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，依照逆矩阵的概念AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的概念列方程组求解，假设方程组有解，即可求出其逆矩阵，假设方程组无解，那么说明此矩阵不可逆，此种方式称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ：①若ad －bc ＝0，那么A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，那么A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bcaad －bc . 求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5. 【解】 法一 利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 31 －11－2111＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－2 1.(2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2－3－2－4－22－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1. 法二 利用待定系数法．(1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1. 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1.从而A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1. 故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.求矩阵AB 的逆矩阵已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1，求矩阵AB 的逆矩阵．【思路探讨】【自主解答】 法一因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 且1×12－0＝12≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎥⎤1212 012012112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2，同理B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1. 因此(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 2. 法二因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1， ∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1. ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×01×1＋0×10×1＋12×0 0×1＋12×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 112. 且1×12－0×1＝12≠0，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎥⎤1212 －112012 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－20 2. 已知矩阵A ，B ，求矩阵AB 的逆矩阵的一样思路： 先求A －1，B －1，再求(AB )－1＝B －1A －1或先求AB ，再求 (AB )－1.已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10－2 1，试求出 (AB )－1.【解】 反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1， (AB )－1＝B －1A －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 454535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25115. (教材第65页习题2.4第5题)已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，试求A －1.(2021·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .【命题用意】 考查逆矩阵、矩阵的乘法，和考查运算求解能力．【解】 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12， 因此A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 1．对任意的二阶非零矩阵A ，B ，C ，考察以下说法： ①(AB )－1＝B －1A －1； ②A (BC )＝(AB )C ； ③若AB ＝AC ，那么B ＝C . 其中正确的选项是________．【解析】 ①中只有当A ，B 都可逆方可，对任意的非零矩阵不必然成立，故①不正确． ②为矩阵乘法的结合律故正确．③中只有当A 存在逆矩阵方可，故③不正确． 【答案】 ②2．矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 b 0 d 可逆的条件是________．【解析】 当1×d －0×b ＝d ≠0时可逆． 【答案】 d ≠03．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0k 1(k ≠0)，那么A －1等于________．【解析】 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0k 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a b ak ＋c bk ＋d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，k ＋c ＝0，d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－k ，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－k 1. 【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－k 14．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 1 2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤213－1 13，那么x ＋y ＝________. 【解析】 ∵AA －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 213－1 13 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －y13x ＋13y 0 1＝E ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，13x ＋13y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－13.∴x ＋y ＝0.【答案】 0n1．已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求那个变换的逆变换的矩阵．【解】 那个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos －π4 －sin －π4sin －π4cos －π4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －22－22 －22. 2．求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1的逆矩阵．【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 1 0. 法二 A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 1中，0×1－1×1＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1－1－1－1－10－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 1 0.3．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．【证明】 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－1 1，因此AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，BA ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 11 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 因此B 是A 的逆矩阵．4．已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵．【解】 因为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 因此MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12.设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2 d 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c2＝0，d2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 0 2.5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)别离变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判定变换矩阵A 是不是可逆，若是可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．【解】(1)设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，依题意，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.因此A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 1－1 2.(2)变换矩阵A 是可逆的．设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，那么由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 6．设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 a b 1.若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1.【解】 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 1， 因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，因此x 1＋2x 2＝1,3x 1＋x 2＝0，y 1＋2y 2＝0,3y 1＋y 2＝1， 即x 1＝－15，y 1＝25，x 2＝35，y 2＝－15，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 25 35－15. 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1，求知足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－4 3，因此A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，因此A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，因此(A －1A )X ＝A －1B ，因此X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－1 5 －1. 教师备选8．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)别离变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下取得了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－2，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.因此M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，因此2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.2． 4.2二阶矩阵与二元一次方程组课标解读1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义．2．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性．3．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.1将矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 两边的“[ ]”改成“| |”，把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc . 2．二阶行列式与二元一次方程组关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，那么当D ≠0时方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xDy ＝D yD.3．二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .(1)逆矩阵与二元一次方程组令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 为系数矩阵，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为待求向量，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n 是经A 将X 变换后的向量，那么上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AX ＝B ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n . 当A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A －1，那么有X ＝A －1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bca ad －bc . (2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解那个方程组事实上确实是已知变换矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 和变换后的象⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n ，去求在那个变换的作用下的原象．1．二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 与二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 的要紧区别是什么？【提示】 二阶矩阵对应的是变换，是4个数组成的数的方阵，而行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 那么是一个数．写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示．二阶矩阵反映的是变换，二阶行列式是用来判定矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 是不是可逆的．2．二元一次方程组的系数矩阵知足什么条件时，方程组有惟一解？【提示】 当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 是可逆的，那么方程组有惟一解⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n . 3．结合上一节试总结求逆矩阵的经常使用方式有哪几种？【提示】 (1)待定矩阵法：利用AA －1＝E 取得方程组，再用行列式法解方程组即可．(2)行列式法：假设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，且det(A )≠0，则A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ddet A－b detA －c det Aa detA. 利用行列式解方程组利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.【思路探讨】 将方程化成一样形式→求出D ，D x 、D y →求解 【自主解答】 先将方程组改写成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝－2≠0，此方程组存在惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 1 4＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4，因此x ＝D x D＝3，y ＝D y D＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用行列式解方程组的一样思路：先将方程组化成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .再别离求出D ，D x ，D y 然后用求解公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xDy ＝DyD求解．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y －1＝0，－x ＋4y －3＝0.【解】 先将方程组写成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组有惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.因此x ＝D x D＝139，y ＝D y D＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.利用行列式知识求矩阵的逆矩阵利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －11 2的逆矩阵A －1.【思路探讨】 思路一：(待定矩阵法)设待求矩阵→ 利用AA －1＝E 构建二元一次方程组→用行列式解方程组 →A －1思路二：(用行列式法)计算Det(A )→A －1 【自主解答】 法一 (待定矩阵法) 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4a －c 4b －d a ＋2c b ＋2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧4a －c ＝1，a ＋2c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4b －d ＝0，b ＋2d ＝1.先将a ，c 看成未知数，那么D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 －11 2＝9≠0. D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －10 2＝2，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 11 0＝－1， 因此a ＝29，c ＝－19，同理可得：b ＝19，d ＝49，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 29 19－1949. 法二 (用行列式法求逆矩阵)∵det(A )＝4×2－1×(－1)＝9≠0，∴A 可逆，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 29 19－1949. 利用行列式知识求逆矩阵，有两种情形，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A )时用．判定以下矩阵是不是有逆矩阵，假设有，求出逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 14 3；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 31 1. 【解】 (1)∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 14 3＝2×3－4×1＝2，∴A 存在逆矩阵，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32－12－21. (2)∵det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 31 1＝a －3，当a ＝3时，B 不存在逆矩阵； 当a ≠3时，B 存在逆矩阵，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －3－3a －3－1a －3a a －3. 利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例1中的方程组．【思路探讨】 找到A ，X ，B →对应矩阵方程AX ＝B →A －1→X ＝A －1B →得解【自主解答】 令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1，AX ＝B ，因为： A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12， 因此X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用逆矩阵的知识解方程组一样思路；先由方程组找到A ，X ，B ，找到其对应的矩阵方程AX ＝B ，再求出A －1然后由X ＝A －1B ，求出x ，y 即可．利用逆矩阵知识解变式1中的方程组．【解】 令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －3－1 4，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，AX ＝B ，因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 131913， 因此X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49131913⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤139109.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.从几何变换的角度研究方程组解的情况已知二元一次方程组AX ＝B ，A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，试从几何变换的角度研究方程组解的情形．【思路探讨】 找到矩阵A 对应的几何变换→ 判定几何变换的逆变换情形→方程组解的存在情形【自主解答】 对方程AX ＝B ，由于A 对应的是将平面上的点(向量)维持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )的切变变换，2分因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)维持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x－2y ，y )的切变变换，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1，于是原方程组的解X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32在变换矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1对应的变换作用以后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2，故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.从几何变换的角度研究方程组解的情形，关键是找到系数矩阵A 对应的几何变换，将方程组解的情形转化为判定几何变换的逆变换的存在情形研究．假设将本例中A 变成⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，情形如何？ 【解】 矩阵A 对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线y ＝x 上．于是，该方程组的求解就转化为已知投影变换的象B ，试求它的原象，注意到当B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32时，它不在直线y ＝x 上，故它没有原象，也即方程组无解．(教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，4x ＋5y －6＝0.(2021·徐州模拟)利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【命题用意】 此题要紧考查逆矩阵的求法及运算求解能力．【解】 方程组可写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 14 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 14 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32， 因此原方程组的解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝－5，那么x 的值为________．【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝2x －(－3x )＝5x ＝－5， ∴x ＝－1. 【答案】 －12．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝32x －y ＝1的解是________．【解析】 二元一次方程组改写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －32 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31，设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －32 －1.那么det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －32 －1＝5，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－2515. ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1535－25 15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－1. ∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＝3，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－13．假设二阶矩阵X ，知足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 2－1 1则X ＝________.【解析】 因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 2－1 1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 1＝7≠0，因此X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －23 1－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 27－37 17⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57.【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －574．已知某点在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2对应的变换作用下取得点(2,1)，那么该点坐标为________．【解析】 设该点的坐标为(x ，y )，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 00 2＝2≠0，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2可逆，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝错误!)，因此所求点的坐标为错误!. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，121．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.【解】 先将方程组改写成一样形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 3＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 24 3＝1×3－2×4＝－5， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 4＝1×4－2×1＝2， 因此x ＝D x D＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2， 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2．利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵．【解】 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么由AA －1＝E 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋3c 2b ＋3d 5a ＋6c 5b ＋6d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 因此⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，5a ＋6c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3d ＝0，5b ＋6d ＝1. 先将a ，c 看成未知数，那么D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 35 6＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 30 6＝6， D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 15 0＝－5，因此a ＝D a D ＝－2，c ＝D c D ＝53， 同理可得b ＝1，d ＝－23，故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53 －23.3．假设关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x－2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值范围．【解】 该二元一次方程组的一样形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m 2 －3≠0，解得m ≠－32.4．利用逆矩阵解以下方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5.【解】 (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11.令A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11， 因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝4－6＝－2≠0，那么矩阵A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－21－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12， 如此，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.(2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 2 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05.同(1)，能够计算⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 2 3的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 2515， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3515 25 15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11， 即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5．设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B . 【解】 ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，因此矩阵A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110310， ∴Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11.6．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00. 【证明】 因为A 是可逆矩阵，那么原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，因此Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的． 7．试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情形，那个地址A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 1，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35.【解】 由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35在A －1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－1 1作用以后的向量， 即Z ＝A －1B . 因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有 Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.教师备选8．试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性．【解】 设A ＝错误!)，X ＝错误!，B ＝错误!，那么AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 1，因此方程组的解X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32在变换矩阵A －1作用以后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝ 2.逆变换与逆矩阵初等变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵可逆矩阵与二元一次方程组综合应用一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方式有两种： 方式一：用代数方式：即待定矩阵法和行列式法求解； 方式二：从几何变换的角度求解．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 5－1 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3 1，求(AB )－1.【解】 法一 ∵AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 5－1 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×4＋5×3 2×4＋5×1－1×－1＋3×3 －1×2＋3×1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 1310 1， ∴det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪11 1310 1＝11－130＝－119.∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11191311910119－11119. 法二 ∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 5－1 3，∴det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4 5－1 3＝12＋5＝17，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117417； 又∵B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3 1，∴det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 3 1＝－1－6＝－7.∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17 27 3717. ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17 27 3717⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17×317＋27×117 －17×－517＋27×417 37×317＋17×117 37×－517＋17×417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11191311910119 －11119. 二、二元一次方程组的解的情形的判定及求解方式 1．二元一次方程组的解的情形的判定．经常使用两种方式：法一：利用Det(A )与0的大小情形判定． 法二：从几何变换的角度判定．2．二元一次方程组的求解经常使用两种方式： (1)用行列式法求解记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n ，于是方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ，y ＝DyD .(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么det(A )＝ad －bc ，假设det(A )＝0，判定方程组解的情形；假设det(A )≠0，方程组有惟一解，求出A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ddet A－b detA －c det Aa detA，令⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤αβ＝A－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n ，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝β.即为方程组的解．解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，2x ＋3y ＝6.【解】 法一 方程组可写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤76.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0， 因此方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1－2 1. 因此原方程组的解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －1－2 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤76＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3×7－1×6－2×7＋1×6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 15－8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.法二 记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 16 3＝7×3－6×1＝15， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 72 6＝1×6－2×7＝－8. ∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程表现了函数方程思想的普遍应用．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －11 1，求A －1.【解】 法一 设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －z y －w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝1，y －w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1.解得x ＝12，y ＝12，z ＝－12，w ＝12，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 12－1212. 法二 矩阵A 表示的变换为线性变换，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′知足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ， 因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′＋12y ′，y ＝－12x ′＋12y ′，因此逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 12－1212. 综合检测(四)1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3；(2)B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5. 【解】 法一 (1)∵|A |＝1×3－2＝1， ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －1－2 1. (2)∵|B |＝2×5－4×3＝－2，∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2－1.法二 (1)设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么AA －1＝E ， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，2a ＋3c ＝0，2b ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，c ＝－2，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1－2 1. 同理求出B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5232 2 －1.2．试从代数和几何角度别离求矩阵的乘积⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0的逆矩阵． 【解】 代数角度：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 11 0＝－1，∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 0－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －2， ∴(⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －2. 几何角度：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x ，y )→(x ＋2y ，y )，又切变变换的逆变换为切变变换．∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x ，y )→(x －2y ，y )，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1.矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0对应的变换为关于直线y ＝x 的反射变换，其逆变换为其本身， 故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0. ∴(⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －2. 3．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－3232 12，求A －1.【解】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12， ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－321－32. 4．用矩阵方式求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．【解】 方程组可写为：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤46， 令M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －53 1，那么det(M )＝2×1－3×(－5)＝17，∴M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤117 517－317217， 因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤46＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.5．设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 2－2 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 4.(1)计算det(A )，det(B )；(2)判定矩阵AB 是不是可逆，假设可逆，求其逆矩阵，假设不可逆，说明理由． 【解】(1)det(A )＝1×3－2×(－2)＝7， det(B )＝1×4－2×2＝0. (2)矩阵AB 不可逆．理由如下：AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 2－2 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 104 8，det(AB )＝0， ∴AB 不可逆．6．利用行列式求M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1的逆矩阵．【解】 设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1的逆矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，由MN ＝E 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋2c b ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1. 先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 1＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 0＝－2， 因此a ＝－13，c ＝23，同理可得b ＝23，d ＝－13，故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323－13. 7．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．【解】 依题意，得det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －31 －1＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3－1 2，从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3－1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．8．m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 7－2 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 10 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 有惟一解？ 【解】 二元一次方程组即为⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋7y ＝2mx ＋my ，－2x ＋3y ＝－my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－2m x ＋7－m y ＝0，－2x ＋m ＋3y ＝0，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2m 7－m －2 m ＋3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－2m 7－m －2 m ＋3 ＝(－1－2m )(m ＋3)＋2(7－m ) ＝－2m 2－9m ＋11， 令－2m 2－9m ＋11＝0， 得m ＝1或m ＝－112，∴当m ≠1或m ≠－112时，方程组有惟一解．9．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －323212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200 1，求圆x 2＋y 2＝1在(AB )－1变换作用下的图形的方程． 【解】 (AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －323212－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－3212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 14 34－3212. 设圆x 2＋y 2＝1上任一点P ′(x ′，y ′)在(AB )－1作用下的点为P (x ，y )，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1434－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤ 1434－32 12－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －323 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －32y ，y ′＝3x ＋12y ，因为点P ′(x ′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，因此⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －32y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12y 2＝1，化简得4x 2＋y 2＝1.10．设a ，b ∈R ，假设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0－1b ，把直线l ：2x ＋y －7＝0变换为另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，求矩阵A 的逆矩阵．【解】 设P (x ，y )为直线2x ＋y －7＝0上任意一点，那么其对应点P ′(x ′，y ′)，且知足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ ax －x ＋by ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝－x ＋by ，∵P ′在直线l ′： 9x ＋y －91＝0上， ∴9ax －x ＋by －91＝0， 即(9a －1)x ＋by －91＝0. ∵9a －12＝b 1＝－91－7＝13，∴b ＝13，a ＝3，∴A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 0－1 13. ∵det(A )＝13×3－(－1)×0＝39，。
2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2
ax＋by＝m 2．方程组 写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝ ， B ＝ ，当 ________ A 可逆 时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1， －x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ， 所以矩阵可逆， 逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的． 矩阵 A 不是一个数， 而是 4 个数按顺序排列成的一个 数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵 可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解 ． 此方程组有_______
5．二阶矩阵 ＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d
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【例3-5】 reshape的使用演示 >>a=-4:4 a= -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 >>b=reshape(a, 3, 3) b= -4 -1 2 -3 0 3 -2 1 4
数组元素的排列顺序，从上到下按列排列，先
排第一列，然后第二列，… 要求数组的元素总数不变。
2.1.3、数组元素的标识与寻访
二维数组可以‚单下标‛方式或‚全下标‛方式访
问、赋值； ‚单下标‛方式赋值时，等号两边涉及的元素个数 必须相等； ‚全下标‛方式赋值时，等号右边数组的大小必须 等于原数组中涉及元素构成的子数组的大小。
【例4-3】二维数组元素与子数组的寻访与赋值 >>aa=zeros(2, 4) %创建2*4的全0数组 aa = 0 0 0 0 0 0 0 0 >>aa(:)=1:8 %全元素赋值法
例：利用矩阵除法求解线性方程：
3 2 1 x 5 5 0.7 2 y 2 7 4 3 z 7
>> A=[ 3 2 1;5 0.7 2;7 4 3];b=[5;2;7];X=A\b X= 2.2609 1.7391 -5.2609
二维数组变量的创建 数组元素的标识与寻访
2.1.1. 数组(array)的概念
数组定义：
按行(row)和列(column)顺序排列的实数或复数
的有序集，被称为数组。 数组中的任何一个数都被称为这个数组的元素， 由其所在的行和列标识，这个标识也称为数组 元素的下标或索引。Matlab将标量视为1×1的 数组。 1 2 3 4 5 对m行、n列的2维数组a： a= 2 22 23 24 25 计为m×n的数组a； 3 32 33 34 35 行标识、列标识均从1开始； 4 42 43 44 45 行标识从上到下递增； a(3, 4)=34 row is first 列标识从左到右递增。
用matlab函数创建矩阵
空阵 [ ] — matlab允许输入空阵，当一项操作无结果 时，返回空阵。 rand(1,N)— 产生[0 1]上均匀分布的随机序列，长度为N randn(1,N)— 产生均值为0，方差为 1的高斯随机序列， 即白噪声序列，长度N eye —— 单位矩阵 zeros ——全部元素都为0的矩阵 ones ——全部元素都为1的矩阵
-0.0000
5. 矩阵的其它运算
inv(A) —— 矩阵求逆
det(A) —— 矩阵A所对应的行列式的值 eig (A)—— 矩阵的特征值及特征向量 diag (A) —— 提取A对角元素或生成对角矩阵 sqrtm(A) ——矩阵A的平方根 logm(A) ——矩阵A的自然对数 expm（A） —— A的矩阵指数函数
>>aa(:,end-1)
ans = 1 1
>>aa ([4 6])=6:7
aa = 1 1 1 7 10 6 7 30
>>aa(:, end:-1:3)
ans = 7 1 30 1
>>aa(end,[2:end-1])
What is the result?
【例4-4】 size、length函数 >>a=ones(4,6)*6 >>m=size(a) >>len=length(a) >>b=1:5; size函数返回变量的大小，即 >>length(b) 变量数组的行列数 >>c=b‟ length函数返回变量数组的最 >>length(c) 大维数
2.1.2、创建一维数组变量
第一种方法：使用方括号‚[ ]”操作符 【例2-1】创建数组(行向量)a=[1 3 pi 3+5i]
>>a=[1 3 pi 3+5*i] %or a=[1, 3, pi, 3+5*i] a= 1.0000 3.0000 3.1416 3.0000 + 5.0000i 所有的向量元素必须在操作符‚[ ]”之内； 向量元素间用空格或英文的逗点‚,”分开。 第二种方法：使用冒号‚:”操作符 >>b=1:10 b=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数组的分类
一维数组，也称为向量(vector) 。 行向量(row vector)、列向量(column vector)。 二维数组(矩阵matrix)。 多维数组。
有效矩阵：每行元素的个数必须相同，每 列元素的个数也必须相同。
行向量 列向量 a(2,1)=3 a(1,2)=2 b(3)=3 c(2)=2
双下标到单下标的转换
【例4-5】 sub2ind函数-双下标转换为单下标 >>A = [17 24 1 8; 2 22 7 14; 4 6 13 20]; >>sub2ind(size(A),2,2) >>A(5) 单下标到双下标的转换 【例4-6】 ind2sub函数-单下标转换为双下标 >>b = zeros(3); >>b(:) = 1:9 >>IND = [3 4 5 6] >>[I,J] = ind2sub(size(b),IND)
第二章 MATLAB的数值计算
matlab 具有出色的数值计算能力，占 据世界上数值计算软件的主导地位
数值运算的功能
创建数组 矩阵运算 数值统计 多项式运算 线性方程组 微分方程的数值解 函数优化 插值计算
2.1
Matlab矩阵(数组)的表示
数组的概念
一维数组变量的创建
此外，还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范 德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。 Note：matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同 的变量。 matlab函数名必须小写。
2.2 矩阵运算
矩阵运算包括：矩阵的四则运算、特征根、奇异解的 求解等。
1. 矩阵加、减（＋,－）运算 规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列，两矩阵对应元 素相加减。 矩阵与标量的加减运算是标量与矩阵的所有元素分别进 行加减操作。 2. 矩阵乘（）运算 规则： A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘。
aa=
注意元素的排列顺序
1 3 5 7 2 4 6 8 >>aa([2 5 8]) %单下标方式寻访多个元素 ans = 2 5 8
某一维的末尾 元素下标
>>aa(:,end)
ans = 7 30
>>aa(end,:)
ans = 10 1
1 30
>>aa(end,[2:4])
ans = 1 1 30
同学们可以在实验时察看x= linspace(1,2)执行结果。
课外：利用函数logspace
2.1.3、创建二维数组变量
第一种方法：使用方括号‚[ ]”操作符 使用规则 数组元素必须在‚[ ]”内键入； 行与行之间须用分号‚;” 间隔； 行内元素用空格或逗号‚,”间隔。 【例3-1】键入并执行a2=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] a2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【例3-2】键入并执行a2=[1:3;4:6;7:9] %结果同上
【例3-3】由向量构成二维数组。 >>a=[1 2 3]; b=[2 3 4]; >>c=[a;b]; >>c1=[a b]; 第二种方法：函数方法 函数ones(生成全1矩阵)、zeros (生成全0矩阵) 、reshape
“help elmat”获得基本的矩阵生成和操作函数列表
【例3-4】创建全1的3x3数组。 >>ones(3) 【例3-5】创建全1的3x4数组。 >>ones(3,4)
4. 矩阵乘方—— a^n，a^p，p^a
a ^ p —— a 自乘p次幂 方阵 >1的整数
P＝0，结果为与a相同的矩阵，当p<0，只有在a的逆存在 时才可定义a ^ p ，其意义为inv（a） ^ （－ p ） 例： >> a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 36 66 81 42 96
Start表示新向量x的第一个元素；
新向量x的最后一个元素不能大于End ；
Increment可正可负，若负，则必须Start>End；若
正，则必须Start<End，否则创建的为空向量。
若Increment=1,则可简写为：x=Start:End。
第三种方法：利用函数linspace 函数linspace的基本语法 x= linspace(x1, x2, n) 该函数生成一个由n个元素组成的行向量； x1为其第一个元素； x2为其最后一个元素； x1、x2之间元素的间隔=(x2-x1)/(n-1)。 如果忽略参数n，则系统默认生成100个元素的行向 量。 【例2-4】键入并执行x= linspace(1,2,5) x=1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000
例：<<a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; b=[1;2;3]; c=a*b
c =14 32 23
例: << d=[-1;0;2]; f=pi*d f = -3.1416 0 6.2832
3. 乘除运算
在matlab中有两种矩阵除运算，矩阵左除和矩阵右除，\ 和/ 。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实 现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而 B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。