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一次函数之面积问题 (讲义及答案)
一次函数之面积问题（讲义）➢课前预习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，2)，B(3，5)，C(6，3)，求△ABC的面积．2.如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2：362y x=-与x轴交于点B，直线l1，l2相交于点C．在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP 与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标．➢知识点睛1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，通常有以下三种思路：①__________________（规则图形）；②__________________（分割求和、补形作差）；③__________________（例：同底等高）．2.坐标系中面积问题的处理方法举例①割补求面积（铅垂法）：B1()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△②转化求面积：l1l2如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，则△AOB的面积为___________．2.如图，直线y=-x+4与x轴、y S△PAB=___________．第2题图第3题图3.如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=4.5，则k的值为__________．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，求四边形OABC的面积．5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1，l2相交于点A(2，1)，点B(8，4)在l1上，l2的表达式为y=2x-3．C为l2上的一个动点，且在点A的右侧，若△ABC的面积为9，求点C的坐标．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=-2x+3相交于点A，点B在直线l1上，且横坐标为4．C为l2上的一个动点，且在点A的左侧，若△ABC的面积为9，则点C的坐标为_____________．7.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(1，2)，则坐标轴上是否存在点P，使S△ABP =S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，以A为直角顶点，线段AB为腰在第一象限内作等腰Rt△ABC，P为直线x=1上的动点，若△ABP 的面积与△ABC的面积相等，则点P的坐标为______________．【参考答案】➢ 课前预习1.1322. P (6，3) ➢ 知识点睛 1. 横平竖直①公式法；②割补法；③转化法 ➢ 精讲精练 1. 72 2. 8 3. 52 4. 245.C (4，5)6. (-1，5)7. 存在，点P 的坐标为51(0)(50)(0)(10)22--，，，，，或， 8. (13)(12)-，或，。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--设L: y= kx11113232BOC AOB S OB C D S ∆∆=⋅⋅==所以1C D =1，C1(-1 , y ) ,代入y=x+3 ， y = 2所以C1(-1 , 2 ) 同理：C2(-2 , 1)3、如图,已知直线PA ：)0(>+=n n x y 与x 轴交于A,与y 轴交于Q,另一条直线x n m m x y 与)(2>+-=轴交于B,与直线PA 交于P 求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n 表示)(2)若AB=2,且S 四边形PQOB=65,求两个函数的解析式.主要练习用字母表示其它的量，建立方程的思想。
两点间的距离公式： AB=A B x x -或 AB=A By y -AB=A Bx x -=()2mn --=2再根据四边形面积公式建立等式。
求解m ，n4、已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线 b kx y +=)0(≠k 经过点)0,1(C ，且把AOB ∆分成两部分 （1）若AOB ∆被分成的两部分面积相等，则k 和b 的值（2）若AOB ∆被分成的两部分面积比为1：5，则k 和b 的值答案：（1）2,2=-=b k （2）①32,32=-=b k ②2,2-==b k5、已知一次函数332y x =-+的图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，直线y kx b =+经过OA 上的三分之一点D ，且交x 轴的负半轴于点C ，如果AOB DOC S S ∆∆=，求直线y kx b =+的解析式．二、利用解析式求面积1、直线b kx y +=过点A （－1，5）和点)5,(-m B 且平行于直线x y -=，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积.2、 如图，所示，一次函数b kx y +=的图像经过A ，B 两点，与x 轴交于C 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOC ∆的面积3、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C 的坐标;(2)求△ABC 的面积.(3)在直线BC 上能否找到点P,使得S △APC =6， 若能，请求出点P 的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与X轴交于点B (- 6 , 0),交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与X轴、y轴分别交于A B两点，直线a经过原点与线段AB 交于。
，把厶ABO勺面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m (m>n>0的图像，(1) 用m n表示A、B、P的坐标(2) 四边形PQoB勺面积是'，AB=2求点P的坐标4、A AOB的顶点0( 0, 0) A (2, 1)、B (10, 1),直线CDL X 轴且△ AOB面积二等分，若D (m, 0),求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2, 0)、0(0, 0),A ABo 的面积为2,求点B的坐标。
6直线y=- x+1与X轴y轴分别交点A B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC N BAC=90 ,点P( a,])在第二象限，△ ABP勺面积与△ ABC7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与X轴交于A、B两点，这两直线的交点为P(1)求点P的坐标(2)求厶PAB的面积8、已知直线y=ax+b (b>0)与y轴交于点N,与X轴交于点A且与直线y=kx交于点M (2, 3)，如图它们与y轴围成的厶MoN勺面积为5,求(1)这两条直线的函数关系式(2)它们与X轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x(1)求出它们的交点A的坐标(2)求出这两条直线与X轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A B两点，直线I经过原点，与线段AB 交于点。
，把厶AoB的面积分为2：1的两部分，求直线I的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A B（1）求两直线交点C的坐标（2）求厶ABe的面积（3）在直线BC上能否找到点P,使得△ APC的面积為6,求出点P的坐标,12、已知直线y=-x+2与X轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b（k≠ 0）经过点C（1，0）,且把△ AOB分为两部分，（1）若厶AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若厶AOB被分成的两部分面积为1：5,求k和b的值13、直线y=- x+3交X, y坐标轴分别为点A B,交直线y=2x-1于点P,直线-Iy=2x-1交X, y坐标轴分别为C。
一次函数面积问题
一次函数面积问题(共5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一次函数面积问题知识点睛1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，通常有以下三种思路： ①公式法；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：借助平行线转化）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例（1）割补法——铅垂法求面积：x B -x Ax B -x ABMPPM B1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ （2）转化法——借助平行线转化：hh l 1l 2ABC如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (2，3)，B (4，2)，则△AOB 的面积为___________．xyOBACO ABxy第1题图 第2题图2. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________．3. 如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点P 的坐标为(-2，2)，则S △PAB =___________．OBy APxPDOB yA Cx第3题图 第44. 如图，直线AB ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD ：y =kx -2与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，直线AB 与直线CD 交于点P ．若S △APD =，则k 的值为__________．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (2，4)，B (10，5)，C (8，2)，则四边形OABC 的面积为___________．x CAyOB6. 如图，直线y =-x +3上两点A (4，m )，B (-1，n )，若点P 的坐标为(6，2)，则S△ABP=_____．第7题图7.如图，已知点A(2，1)，点B(8，4)，点C是直线AB上方任意一点，且△ABC的面积为36，若C点坐标为(m，2m-3)，则m=________．8.如图，直线l1：y=x与直线l2：y=-2x+3相交于点A，点B在直线l1上，且横坐标为4．C为l2上的一个动点，且在点A的左侧，若△ABC的面积为9，则点C的坐标为__________．9.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(1，2)，点P为坐标轴上一点，若S△ABP=S△ABC，则点P的坐标为_____________________．10.如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+4的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且M为线段OB的中点．若点P是直线AM上一点，使得S△ABP=S△AOB，则点P的坐标为______________．11.已知直线332y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，以A为直角顶点，线段AB为腰在第一象限内作等腰Rt△ABC，P为直线x=1上的动点，若S△ABP=S△ABC，则点P的坐标为___________________．【参考答案】知识点睛1.横平竖直精讲精练1.42.9 23.84.5.256.7.108.(-1，5)9.52⎛⎫⎪⎝⎭，，(5，0)，(-1，0)，12⎛⎫-⎪⎝⎭，10.(2，4)，(-6，-4)11.(1，8)，(1，-5)。
一次函数与面积问题
一次函数常与三角形或四边形的面积相结合进行考查，两种类型的题目比较常见：（1）由函数图像求面积；（2）由面积求点坐标。
遇到第一种类型题目时，找准三角形的底和高是解题的关键，特别是遇到钝角三角形。
如果无法直接求解，可以利用割补法、铅锤法等方法进行转化。
遇到第二种类型题目时，要特别注意，很容易出错，不要忘记使用绝对值。
01类型一：由函数图像求图形面积例题1：如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，-1.5），并与直线l2交于点D．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ABD的面积.分析：求l2的函数解析式，利用待定系数法，已知点B（4，0）、点C （3，-1.5），代入解析式中求出K、b得值即可得到一次函数解析式。
求△ABD的面积，三角形有一边在x轴上，求三角形的面积可直接利用三角形的面积公式，选择x轴上的线段AB为底，那么点D纵坐标的绝对值即为三角形的高，因此需要求出点B坐标。
点B是两直线的交点，联立方程组即可求得点B坐标。
本题主要是有函数图像求得三角形的面积，属于基础题。
02类型二：由面积求点坐标例题2：如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC 的面积是△OAC的面积的14？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求△AOC的面积，由题可知该三角形可选OC作为底，点A的横坐标的绝对值即为该三角形的高，点A与点C坐标已知，可通过三角形的面积公式直接求出。
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的1/4时，根据面积公式即可求得M的横坐标的绝对值，然后代入解析式即可求得M的坐标．由面积求点坐标时，一定要注意绝对值的使用，注意分情况进行讨论。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题（专题）例1：已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.（针对性训练1）已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.例2：若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为4，求该直线的解析式.（针对性训练2）若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为6，求该直线的解析式.例3：已知一次函数图像经过（0，2）且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求一次函数的 解析式.（针对性训练3）已知一次函数图像经过（0，-2）且与两坐标轴围成的三角形面积为3， 求一次函数的解析式.4、如图所示一次函数 的图象经过A（2，4）和B （0，2）两点，且与x 轴相交于C 点，连接AO 。
（1）求此一次函数的解析式；（2）求AOC ∆的面积.b kx y +=121+-=x y b x y +=2231-=x y b x y --=321-5、已知直线 和直线 相交于点P ，且直线分别交x 轴、 轴于点A ，B ，直线 交 轴于点C ，如图所示（1）求点P 的坐标；（2）求PCA ∆的面积.6、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 分别与x 轴、y 轴和直线4=x 交于点A ，B ，C ，直线4=x 与x 轴交于点D ，梯形OBCD （O 为坐标原点）的面积为10，若点A 的横坐标为 ，求这个一次函数的解析式.7、直线 过点A （0，2），B （2，0），直线 ： 过点C （1，0），且把分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式.643+-=x y 243-=x y 643+-=x y 243-=x y y y bkx y +=1l 2l bmx y +=AOB ∆。
一次函数中的面积问题(1)-基本面积求法
一次函数中的面积问题（1）
姓名：
例1：一次函数图像过A （-2，-1），B （1,3），交x 轴于点C ，交y 轴于点D ,求S ∆COD , S ∆COB , S ∆AOD , S ∆AOB
练习：
1、已知直线42+=x y 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，点(1,6)D 、)2,3(--E 在这条直线上，O 为坐标原点．（1）BOD S ∆= ，BOE S ∆= ， DOE S ∆= ；
（2）若点F 是直线AB 上一点，且2BOF S ∆=，求点F 的坐标．
变式1：一次函数b x y +=2图象与坐标轴围成的三角形面积为8，求直线解析式。
变式2：如图，已知直线1l 经过点)1,0()0,2(B A 与点，另一条直线2l 经过点B ，且与x 轴相交于点P(a,0)，若APB ∆的面积为3，求直线OP 的解析式。
备用图
变式3：已知一次函数的图像过点B （0，4）且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？
例2：已知一次函数22-=x y 、32
1+-=x y （1）求两函数图象与x 轴围成的三角形面积；（2）求两直线与y 轴围成的三角形面积
练习：
变式1：已知，直线y=2x+3与y轴交于点A，直线y= - 2x-1与x轴交于点B
（1）求两直线交点C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△ABP的面积是△ABC面积的2倍，求直线CP的解析式。
(完整word版)一次函数与面积专题
一次函数与面积专题一、知识点睛1.思考策略：数形结合和化不规则为规则图形；2.处理面积问题的几种思路：①割补法（分割求和、补形作差）；②等积转换（例：同底等高）；③面积比转化为线段比（等高不等底）二、精讲精练（1）割补法1.如图，直线53y kx=+经过点A（-2，m），B（1，3）．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积．（有一边在坐标轴上的三角形）2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，求四边形OABC的面积．（四边形面积常转化为可求图形面积之和或差）巩固练习：3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB 的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m ，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；CO ABxy6.如图，直线112y x=+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC的面积．（转化为平行于坐标轴的三角形）（2）等积转换7.已知直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以A 为直角顶点，线段AB 为腰在第一象限内作等腰Rt △ABC ，P 为直线x=1上的动点，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等． （1）求△ABC 的面积； （2）求点P 的坐标．OAxCB y巩固练习：、8.直线31y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ΔABC ，∠BAC=90° ，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且ΔABP 的面积与ΔABC 的面积相等，求a 的值。
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专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题
课前准备：
1 、填空：一次函数
y=0.5x+2 的图像与 x
轴的交点
；与 y
轴的交
点 ；一次函数 y=-x-1 的图像与 x 轴的交点为 ；与 y 轴的交
点
；
2、直线 y=0.5x+2 与直线 y=-x-1 的交点 ；
3、过点（ 2，0）（ 0， 4）的直线解析式
；
． 、一次函数 y
=-2 x
+4 与 x
轴的交点坐标为 ，与 y 轴交点坐标是
4
5、若一次函数 y 2x 3b 的图像与 y 轴交点的纵坐标是 -6 ，则 b=。
6、已知一次函数 y
x 8 ，则它的图像与 y 轴交点的坐标为。
一次
函数 y x 2 ，则它的图像与 y 轴交点的坐标为
7、若直线 y=3x+6 与坐标轴围成的三角形的面积为 S ，则 S 等于（ ）．
A ．6
B ．12
C ． 3
D ．24
8、若一次函数 y=2x+b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是 9，则 b=_______．
学习目标一：根据解析式求直线与坐标轴围成的三角形面积 例 1：已知直线 y=3x-6，
1） 画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积 2） 求直线 y=-x-1 与 y 轴围成的三角形面积； 3） 求直线 y=-x-1 与 x 轴围成的三角形面积；
巩固练习
2、作业：直线 y=4x － 2 与直线 y=－ x+13 及 x 轴所围成的三角形的面积？
3、作业：求直线 y=2x － 7，直线 y
1 x 1 与 y 轴所围成三角形的面积．
2 2
学习目标二：根据图像与坐标轴围成的三角形面积求函数的解析式
例 2 已知一次函数的图像过点 B（ 0， 4）且与两坐标轴围成的三角形面积为 4，求此一次函数的解析式？
变形 1 ：已知直线y=kx-4 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式；
变形 2 ：已知一次函数的图像经过点A（ 2， 0），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？
例 3：一次函数图像交于 x 轴于点 A（6，0），与正比例函数图像交于点 B，且点 B 在第一象限，其横坐标是 4，若△ ABO 的面积等于 15，求这个正比例函数和一次函数的解析式？
巩固练习：已知已知直线 L1经过点 A（-1，0）与点 B（ 2，3），另一条直线 L2 经过点 B，且与 x 轴相交于点 p（ m，0）若△ APB的面积等于 3，求 m 值和 L1、 L2 的解析式？
Y
B
拓展延伸
直线 y=x+3 的图像与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点，直线 L 经过原点，与线段 AB 交于点 C，把
△AOB 的面积分成 1： 1 两部分，求直线 L 的解析式；
Y
C
X
变形：
直线 y=x+3 的图像与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点，直线 L 经过原点，与线段 AB 交于点 C，把
△AOB 的面积分成 2： 1 两部分，求直线 L 的解析式；
C
X
20、已知直线 m与直线 y=2x+1 的交点的横坐标为2，与直线 y=-x+2? 的交点的纵
坐标为 1，求直线 m的函数关系式．
21、已知一次函数的图象经过点A（-3 ， 2）、B（1，6）．
①求此函数的解析式，并画出图象．
②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积．
提高
已知一次函数y=kx+b 的图像经过M （-1， 1）和 B（ 0， 2）设该图像与x 轴交于点A，问在x 轴上是否存在点P，使△ ABP 为等腰三角形，若存在，求出符合条件得点P,若不存在说明理由。
1、在平面直角坐标系中，有A（0，5），B（ 5，0），C（0，3），D（ 3，0）且 AD 与 BC相交于点 E
求△ ABE的面积
3
x 1与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象2、直线y
3
限内作等腰 Rt ABC，∠ BAC=90°，如果在第二象限内有一点P（a，1
），且
ABP的面积与ABC的面积相等，求a的值。
2
1
3、如图，直线 L： y x 2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，在 y 轴上有一
2
点C（0，4） , 动点 M从 A 点以每秒 1 个单位的速度
沿 x 轴向左移动。
（ 1）求 A、B 两点的坐标；
（ 2）求△ COM的面积 S 与 M的移动时间 t 之间的函数
关系式；
（ 3）当 t 何值时△ COM≌△ AOB，并求此时 M点的坐
标。
（ 4）当 t 何值时 CM将△ AOB面积平分。
4、如图，已知直线y x 3 的图象与x轴和y轴交于A、B y
y x 3
两点。
直线 l 经过原点，与线段AB 交于点 C，把△ AOB的 B
面积分为 2：1 的两部分。
求直线l的解析式。
A O x
5、若直角坐标系内矩形 OABC位于第一象限， A（ 6，0），C（0，4），直线 l 过点D（0，6）
（1）若直线 l 将矩形 OABC面积平分，求 l 解析式。
（2）若直线 l 将矩形 OABC 面积分成 2：1 的两部分，求 l 解析式。
6、已知：如图，直线 PA 是一次函数 y＝ x＋ n(n＞ 0)的图象，
直线 PB 是一次函数 y＝－ 2x＋m(m＞ 0)的图象。
(1)用 m、 n 表示出 A 、B、P 点坐标
(2)若点 Q 是 PA 与 y 轴交点，且四边形 PQOB 的面积是5
， 6
AB ＝2，试求 P 点的坐标，并写出直线PA 与 PB 的解析式。