对象机理数学模型
数学建模之机理模型建立的平衡原理
k x1 +1 = 1.22×1011n/(1.22×1011 + n)
得到迭代关系 X k+1 = Φ(X k ) 稳定性条件||J(x)||<1 是迭代函数的Jacobi矩阵。 ||J(x)||<1。 Jacobi矩阵 稳定性条件||J(x)||<1。J是迭代函数的Jacobi矩阵。 总的捕鱼量为
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤ 1
0 x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 0 3 x4e 3 e
不考虑新生鱼， 不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
1 0 x1 = x1 e−r1 x = x e
1 2
0 −r2 2
x =x e
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤1
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3≤ t ≤1
x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 3 x4e 3 e
例3：棒球球棒的SWEETSPOT的确定
问题：
由盐的数量守恒得到
p (t + ∆t )V (t + ∆t ) − p(t )V (t ) = ∫
等式两端同除以△ 等式两端同除以△t取极限得到
t + ∆t
t
pi (τ )ri (τ )dτ − ∫
t + ∆t
t
po (τ )ro (τ )dτ
d p(t )V (t ) = pi (t )ri (t ) − po (t )ro (t ) dt
1 3Байду номын сангаас
r 0.84 E4 − 3 − 0 3 3 3
机理模型
§3.3 平衡原理与机理模型一. 平衡原理自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。
二. 机理模型在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述。
三. 微分方程模型微元法：在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系, 再利用微分学的思想进一步处理它, 得到以微分方程的形式描述的数学模型。
例1. 人口的自然增长.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。
即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
假设1. 人群个体同质。
令N(t)表示t时刻的人口数。
假设2. 群体规模大。
N(t) 连续可微.假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。
平衡关系：人口数在区间[t，t+ ❒t ]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。
令B(t, ❒t, N), D(t, ❒t , N) 分别表示在时间区间[t，t+ ❒t ]内生育数和死亡数, 则有N(t+∆t)-N(t)=B(t, ∆ t,N)-D(t, ∆ t,N)假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。
（生育率和死亡率）生育率b(t, ❒t, N) = B(t, ❒t, N)/N, 死亡率d(t, ❒t, N) = D(t, ❒t, N)/N记增长率为 R(t, ∆ t,N)= b(t, ∆ t,N)-d(t, ∆ t,N) 则有 N(t+∆t)-N(t)=R(t, ∆ t,N)N 将R(t, ❒t,N)关于❒t展开. 由于R(t, h, N)|h=0=0，所以两边除以❒t, 并令❒t →0, 得到 dN/dt=r(t, N)N假设5. 群体增长恒定。
（r与 t 无关） dN/dt=r(N) N假设6. 个体增长独立。
（r 与 N 无关） dN/dt=r N给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus 模型) N(t)=N0e rt在离散时间点k=0, 1, 2, …, 上有 N(k+1) = e r N(k )Maithus: “若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资料的能量的。
机理分析模型
1 16 ln 10 结果 ：T(10)=18+42e 3 21 =25.870，
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不 变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 建立有关变量间的相互关系. 续例2.3 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的 影响.
(1)
r1 r2 h(t) h+Δh
在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为 ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
记
令Δt
0, 得
r 100 (100 h) 200h h
模型建立： 设 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数； 假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战 斗， x(t)与y(t)都是连续变量.
2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队 b 名士兵； {Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数} 平衡式
改写模型
假设1*
dS A( t ) p ( M S ( t )) S ( t ) dt M
假设2*
市场余 额 销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制.
dT k (T m ), dt T (0) 60.
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为 ln(T－m)=－k t+c,
机理模型和数据模型
机理模型和数据模型在科学研究的过程中，人们往往需要建立一些模型来帮助理解和解释现象。
这些模型一般分为两类：机理模型和数据模型。
机理模型是基于已知的物理、化学或生物学原理，通过数学推导和实验验证，建立出来的描述现象的模型。
而数据模型则是基于观测到的数据，通过统计学方法，建立出来的描述现象的模型。
本文将对这两种模型进行详细的介绍和比较。
一、机理模型机理模型是指基于已知的物理、化学或生物学原理，通过数学推导和实验验证，建立出来的描述现象的模型。
机理模型的建立需要有深入的科学知识和严格的科学方法。
机理模型可以帮助人们深入理解现象的本质和内在规律，并可以用来预测和控制现象的发展趋势。
机理模型的优点是可以提供更加准确和可靠的预测和解释，但是建立和验证机理模型需要大量的实验和理论研究，成本较高。
机理模型的一个例子是气候模型。
气候模型是基于大气物理学、海洋学、地球化学等多学科知识，通过数学模型和计算机模拟，模拟出全球气候的变化趋势。
气候模型可以预测未来气候变化的趋势，为人们制定应对气候变化的政策提供科学依据。
二、数据模型数据模型是指基于观测到的数据，通过统计学方法，建立出来的描述现象的模型。
数据模型的建立需要有大量的数据和统计学知识，可以通过对数据的处理和分析，发现数据背后的规律和趋势。
数据模型的优点是建立和验证成本较低，可以快速的得到结果，但是数据模型的结果可能受到数据的限制和偏差的影响，预测结果的可靠性较低。
数据模型的一个例子是股票价格预测模型。
股票价格预测模型是基于历史股票价格数据，通过统计学方法，建立出来的预测股票价格的模型。
股票价格预测模型可以帮助人们制定股票交易策略，但是预测结果可能受到市场变化和其他因素的影响，预测结果的可靠性较低。
三、机理模型和数据模型的比较机理模型和数据模型各有优缺点，如何选择合适的模型取决于研究的目的和研究对象的特点。
下面是机理模型和数据模型的比较：1. 建立成本：机理模型的建立和验证需要大量的实验和理论研究，成本较高；而数据模型的建立和验证成本较低，只需要有足够的数据和统计学知识。
过程控制 第二章(过程建模与过程特性)
因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。
例1.液体储罐的动态模型 1.液体储罐（一阶对象） 干扰作用 Q1 h
液体储罐的 动态模型？ ？
控制作用
水槽
Q2
列写微分方程式的依据可表示为： 对象物料蓄存量变化率＝单位时间内（流入对象物料—流出对象物料）
假定t＜0时，Q1=Q10，Q2= Q20, 且Q10= Q20， h =h0, 当t≥0时，Q1= Q10+ΔQ1，Q2= Q20+ΔQ2，h = h0+Δh, 则在很短一段时间d t内，由物料平衡关系可得：
u(t ) u1 (t ) u1 (t t )
其中
u 2 (t ) u1 (t t )
假定对象无明显非线性，则矩形脉冲 响应就是两个阶跃响应之和，即
y(t ) y1 (t ) y1 (t t )
Rs
Rs
将此关系式代入上式，便有：
(Q1 h )d t Adh Rs
AR S dh h RS Q1 dt
移项整理后可得：
令
T ARS
K RS
代入上式得：
THale Waihona Puke dh h KQ1 dt
上式是用来描述简单的水槽对象特性的一阶常系数微分方 程式。式中T称时间常数，K称放大系数。
传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
过程控制系统第三版课后答案戴连奎
过程控制系统第三版课后答案戴连奎1什么是对象特性？为什么要研究对象特性？答：研究对象特性是设计控制系统的基础；为了能使控制系统能安全投运并进行必要的调试；优化操作。
2什么是对象的数学模型？静态数学模型与动态数学模型有什么区别？答：对对象特性的数学描述就叫数学模型。
静态：在输入变量和输出变量达到平稳状态下的情况。
动态：输出变量和状态变量在输入变量影响下的变化情况。
3建立对象的数学模型有什么意义？答：1,控制系统的方案设计；2控制系统的调试和调节器参数的确定；3制定工业过程操作优化方案；4新型控制方案及控制策略的确定；5计算机仿真与过程培训系统；6设计工业过程的故障检测与诊断系统。
4建立对象的数学模型有哪两种方法？答：机理建模和实验建模。
机理建模：由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构、参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，根据对象或生产过程的内部机理，经过合理的分析简化而建立起描述系统各物理量动静态性能的数学模型。
实验建模步骤：1确定输入变量与输出变量信号；2测试；3对数据进行回归分析。
5反应对象特性的参数有哪些？各有什么物理意义？他们对自动控制系统有什么影响？答：K—放大系数。
对象从新稳定后的输出变化量与输入变化量之比。
T—时间参数。
时间参数表示对象受到输入作用后，被控变量的变化快慢。
桃—停滞时间。
输入发生变化到输出发生变化之间的时间间隔。
评价控制系统动态性能的常用单项指标有哪些？各自的定义是什么？单项性能指标主要有：衰减比、超调量与最大动态偏差、静差、调节时间、振荡频率、上升时间和峰值时间等。
衰减比：等于两个相邻的同向波峰值之比n；过渡过程的最大动态偏差：对于定值控制系统，是指被控参数偏离设定值的最大值A；超调量：第一个波峰值y与最终稳态值y之比的百分数；残余偏差C：过渡过程结束后，被控参数所达到的新稳态Y与设定值之间的偏差调节时间：从过渡过程开始到过渡过程结束所需的时间；振荡频率：过渡过程中相邻两同向波峰之间的时间间隔叫振荡周期或工作周期，其倒数称为振荡频率；峰值时间：过渡过程开始至被控参数到达第一个波峰所需要的时间。
6.7被控对象的数学模型
L 0 v
从测量方面看，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等 原因也会造成传递滞后。下图为一个蒸汽直接加热器。输入量 蒸汽量；输出量 出口管道的溶液温度，测温点离槽的距离为 Ｌ
例子
相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度Ｔ要经过 时间τｏ后才开始变化
下图为有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线。X为输入量，y(t) 为无纯滞后时的输出量， yτ (t)为有纯滞后时的输出量
T:是当对象受到阶跃输入作用后，被控变量到达新稳定值的 63.2%所需的时间。显然，T越大，被控变量的变化越慢， 到达新稳定值所需的时间也越长。
下图中，四条曲线分别表示对象的时间常数为T1 、T2 、 T3、T4时，在相同的阶跃输入作用下被控变量的反应曲线。
小结
希望To适中 希望Tf大
（1）控制通道时间常数To对控制系统的影响 在相同的控制作用下，对象的时间常数To越大，被控变量 的变化越缓慢。 To越小，被控变量的变化越快,控制作用 及时。但To过小，响应过快，易引起震荡，使系统稳定性 下降。 （2）扰动通道时间常数Tf对控制系统的影响 对象的时间常数Tf 越大，被控变量对干扰的响应越迟缓， 越容易克服干扰而获得较高的控制质量。
a , a a a 及 b , b b b 分别为方程中的各项 数 n n 1 , , 1 , 0 m m 1 , , 1 , 0
在允许的范围内，多数化工对象可忽略输入项的导数 项，因此可表示为：
( n ) ( n 1 ) a y ( t ) a y ( t ) a y '( t ) a y ( t ) x ( t ) n n 1 1 0
此式称为被控变量过渡过程的函数表达式，表示对象在受到阶跃作 用 Q1=A 后，被控变量h随时间变化的规律。根据此式可画出 h～t 曲线，称为阶跃反应曲线或飞升曲线。
第二章_对象特性和建模
23
第二节 机理建模
举例
溶解槽及其 反应曲线
纯滞后时间
显然， 与皮带输送机的传送速度v和传送距 显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度 和传送距 L 有如下关系： 离L有如下关系： 有如下关系 τ = （2-16） ）
0
v
24
第二节 机理建模
x为输入量 为输入量
x (t − τ 0 ), y= 0, t ≥τ0 t ≤τ0
Y (s ) bm s m + bm −1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 s + b0 G (s ) = = X (s ) a n s n + a n−1 s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0
（2-8） ）
13
第一节 数学模型及描述方法
对于一阶对象,由式 (2-4)两端取拉氏变换,得 对于一阶对象, (2-4)两端取拉氏变换, 两端取拉氏变换
过程的输入、 图2-1 过程的输入、输出量
3
？
第一节 数学模型及描述方法
过程的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
特例
动态数学模型
4
第一节 数学模型及描述方法
用于控制的数学模型（ 、 ）与用于工艺设计与分析 工艺设计与分析的数学 用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学 控制的数学模型 模型（ ）不完全相同。 模型（c）不完全相同。 一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况， 情况 ， 研究过 程的输入变量 程的 输入变量 是如何影响输 出变量的。 出变量的。
对象可以用一阶微分方程式来描述, 对象可以用一阶微分方程式来描述, 但输入变量与 输出变量之间有一段时滞τ 输出变量之间有一段时滞 0
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（i）
上式就是描述储槽对象的一阶常系数微分方程，T称为时间常数，K称为放大系数 进行拉普拉斯变换，初始条件为零，得储槽对象的传递函数G(s)为 G(s）=
H (s) K 这是典型的一阶对象传递函数 Qi (s ) Ts 1
（2）二阶线性对象
当对象的动态特性可以用二阶线性微分方程式来描述时，称为二阶线性对象。 举例：图2-3为串联水槽对象 qi
dh(t ) h(t ) K q f (t ) dt
有纯滞后的混合槽的对象特性方程： T 将
q f (t ) qi (t )
dh(t ) h(t ) K qi (t ) dt
进行拉普拉斯变换，所以具有纯滞后的混合槽对象
的传递函数为
H (s) K s e Qi ( s) Ts 1
姓名：张蕾 学号：2013507012
对象的输入量是qi ，输出量是h2
根据物料平衡关系，在微小时间间隔dt内，每个储槽 内液体的改变量为： dh h A1 1 qi R1 q1
A2 h2
R2 q0
水槽2 ：
A2
dh2 q1 qo dt
(qo
h2 ) R2
2 整理得： A A R R d h2 ( R A R A ) dh2 h R q 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 i dt 2 dt
d 2 h2 dh2 T T ( T T ) h2 K qi 将 1 2 2 1 2 dt dt (T1 A1 R1 T2 A2 R2进行拉普 K R2 )
拉斯变换，令初始条件为零后得串联储槽对象的传递函数G(s)为
G(s)=
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
d 2 h2 dh2 T T ( T T ) h2 K qi 或写为： 1 2 dt 2 1 2 dt
(T1 A1 R1 T2 A2 R2 K R2 )
式中 T1——第一只储槽的时间常数 T2——第二只储槽的时间常数 K=R2——整个对象的放大系数
上面两式就是用来描述串联储槽对象的二阶常系数微分方程。
对象机理数学模型的建立
（1）一阶线性对象
当对象的动态特性可以用一阶线性微分方程来描述时，称为一阶线性对象。 qi 举例:图2-2水槽对象 水槽是被控对象，液位h是被控变量 A h 生产过程中，最基本关系：物料平衡和能量平衡
列出微分方程的依据： 对象物料储存量的变化率=单位时间流入对象 的物料—单位时间流出对象的物料
（3）纯滞后环节
有些对象在受到输入作用后，输出不是立即响应输入发生变化，而是要等 一段时间后才开始响应输入的作用，这种现象称为纯滞后。 举例：如图所示盐混合槽 qi 纯滞后关系可以表示为：
q f (t ) qi (t )
微分方程： T
qf
l /v
A, h
q0
无滞后的混合槽的对象特性的一阶线性
根据物料平衡关系，微小时间间隔dt内储槽内液体的变化量 Adh(t)=(qi-qo)dt h 近似认为流出储槽的流量与h和R的关系： qo R RAdh(t)/dt+h(t)=Rqi 令T=RA K=R得： dh
q0
T
dt
h K qi (T AR、K R)
（ i）
T
dh h K qi (T AR、K R) dt