欧拉积分及其应用

欧拉积分应用

以外),其图象如图19-2所示.
0 , 1, 2 ,
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5.
( s ) 的其他形式
在应用上, ( s ) 也常以如下形式出现,
如令 x y ,
2
则有
(s)

x
0
s 1
e
x
dx 2

y
0
2 s 1
e
y
2
dy (s 0) .
令x
py ,
s 0
上连续.
s
用上述相同的方法考察积分

0

x
s 1
e
x

dx

x
0
s 1
e
x
ln x d x .
它在任何区间 [ a , b ]( a
0 ) 上一致收敛.
于是由定理
19.10得到 ( s ) 在[ a , b ] 上可导, 由a, b的任意性, ( s )
, p p0 , q q0 ,
而积分
x
0
p0 1
(1 x )
q0 1
收敛, 故由 M 判别法知
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B ( p , q ) 在 p0 p , q0 q
上一致收敛. 因
而推得 B ( p , q ) 在
p 0 , q 0 内连续.
2. 对称性 B ( p , q ) 作变换
x 1 y ,得
B (q , p )
B ( p, q)

1
x
0 1 0
p 1
(1 x )
p 1
q 1

欧拉积分与其简单应用引言: 我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具, 利用它我们可以构造出处处连续而处处不可微的函数, 还可以构造出能填满正方形的连续曲线（参见常庚哲、史济怀著《数学分析教程》第三册第17章§17.8）含参量积分是构造新函数的另一重要工具, 欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。

它虽身为含参量积分的一种特例, 被教科书编用于加深对含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。

但本身也是许多积分的抽象概括, 能为相关积分的计算带来方便。

欧拉积分包括:伽马（Gamma ）函数: Γ(s)= , s>0.-----------（1）贝塔（Beta ）函数：B(p, q)= , p>0, q>0-------------（2）下面我们分别讨论这两个函数的性质:一、B 函数…………………Euler 第一积分1、定义域：B(p, q)= = + = +对1I = ⎰---21011)1(dx x x q p 当x →0时. .= . 其收敛须p>0 对2I =⎰---12111)1(dx x x q p.当x →1... = ,令.1-x=t= . 其收敛须.q>0.2、 B(p, q) 定义域为p>0,q>0.3、连续性4、因为对 p 。

>0, q 。

>0有 ≤ p ≥p 。

,q ≥q 。

而收敛, 故由魏尔斯特拉斯M 判别法知B(p, q)在p 。

≤p<+∞,q 。

≤q<+∞, 上一致收敛, 因而推得B(p, q)在p>0,q>0内连续。

对称性B(p, q)=B(p, q)作变换 x=1-y, 得5、B(p, q)= = = B(q, p)6、递推公式B(p, q)= B(p, q-1)(p>0,q>1) (1)B(p, q)= B(p-1 , q)(p>1,q>0) (2)B(p, q)= B(p-1, q-1)(p>1,q>1) (3)B(p , q)=B(p+1, q)+ B(p, q+1)(p>-1,q>-1) (4)下面只证明(1)；(2)可由对称性与公式(1)推出；(3 )、(4)可由公式(1).、(2.推得；当P>0,q>1时, 有B(p, q)= = =101|)1(px x q p --+⎰---102)1(1dx x x p q q p =⎰-------10211)1)](1([1dx x x x x pq q p p =⎰----1021)1(1dx x x p q q p −⎰----1011)1(1dx x x pq q p = B(p, q −1) − B(p, q)移项并整理得(1)B(p, q)的其他形式a,令x=t 2cos则B(p, q)=2特别的当p=q= , B(p, q) =B( , )=b.令x=t+11 当 x:0→1 有 t :+∞→0 B(p, q)= = = + 考察⎰∞++-+01)1(dt t t q p q ,令t=y 1, 则有⎰∞++-+11)1(dt t t q p p =−⎰+-+011)1(dt t t q p q =⎰+-+101)1(dt t t q p q . ∴B(p, q) =二、Γ函数………………Euler 第二积分1.定义域Γ(s)=⎰+∞--01dx e x x s =⎰--101dx e x x s +⎰+∞--11dx e x x s = 1I + 2I 其中1I = ⎰--101dx e x x s ,当s ≥1时是正常积分；当0<s<1时是收敛的无界函数反常积分（可用柯西判别法推得） 2I =⎰+∞--11dx e x x s ,当s>0时是收敛的无穷限反常积分（也可用柯西判别法推得）；所以, Γ函数在s>0时收敛, 即定义域为s>0.2.连续性在任何闭区间[a, b](a>0)上,对 , 当0<x ≤1时有 ≤由于收敛, 从而在[a, b]上一致收敛;对于 , 当1≤x<+∞时, 有 ≤ ,由于收敛,从而在[a, b]上也一致收敛, 于是Γ(s)在s>0上连续3.可微性= = （利用狄利克雷判别法）它在任何闭区间[a, b](a>0)上一致收敛.∴Γ(s)在[a, b]上可导.由a, b 的任意性, Γ(s)在s>0上可导, 且Γ’(s)=⎰+∞--01ln xdx e x x s s>0.依照上面的方法, 还可推得Γ(s) 在s>0上存在任意阶导数: (s)= .s>0.4.递推公式 Γ(s+1)=s Γ(s)证: 分部积分法 ⎰-Ax s dx e x 0=A x s e x 0|--+⎰--A x s dx e x s 01=A s e A --+⎰--Ax s dx e x s 01 设A →+∞, 就得到Γ(s)的递推公式:Γ(s+1)=s Γ(s)设n<s ≤n+1, 即0<s −n ≤1, 应用递推公式n 次可得到Γ(s+1)=s Γ(s)=s(s-1)Γ(s-1)=………….=s(s-1)(s-2)……(s-n)Γ(s-n)因Γ（1）=⎰+∞-0dx e x =1（2）若s 为正整数n+1, 则Γ(n+2)=(n+1)n ……..2Γ(1)=(n+1)！（3）从上可以看出: .Γ函数是阶乘的推广（x ）！（2）．如果已知Γ（s ）在0<s ≤1上的值, 那么在其他范围内的函数值可由它计算出来, 即可做出一个Γ函数值表三、Γ函数与Β函数之间的关系当m, n 为正整数时, 反复应用Β函数的递推公式可得:Β(m,n)=11-+-n m n Β(m,n-1)=11......2211+⋅-+-⋅-+-m n m n n m n Β(m,1) 又由于Β(m,1)= ,所以Β(m,n)= 11......2211+⋅-+-⋅-+-m n m n n m n )!1()!1(1--⋅⋅m m m =)!1()!1()!1(-+--n m m n 即Β(m, n)=一般地, 对于任何正实数p 、q 也有相同的关系：Β(p,q)= )()()(q p q p +ΓΓΓ 证: 对于Γ函数, 令x= , 则 , 于是⎰⎰+∞--+∞--==Γ0120122)(du e u dx e x p u p x p ，从而 =ΓΓ)()(q p 4⎰+∞--0122dx e x x p ⎰+∞--0122dy e y y q =lim +∞→R 4⎰--R x p dx e x 0122⎰--R y q dy e y 0122令 , 由二重积分化为累次积分计算公式有⎰⎰+---R D y x q p d ey x σ)(121222=⎰--R x p dx e x 0122⎰--R y q dy e y 0122, 所以 =ΓΓ)()(q p lim +∞→R 4⎰⎰+---RD y xq p d e y x σ)(121222 =4⎰⎰+---D y xq p d e y x σ)(121222 (4)这里D 为平面上第一象限部分。

欧拉积分

e − x x s −1dx 中，作代换 x = u 2， u 2 s −1du.
e
注意到结果 ∫ 特殊值
+∞
0
e dx =
− x2
π
2 ,
得 Γ (s ) 的一个
+∞ π 1 −t2 Γ = 2 ∫ e dt = 2 ⋅ = 0 2 2 +∞
π ≈ 1.772454
+
例 2 计算积分 ∫0
间 ( 0 , + ∞ ) 内闭一致收敛.于是可得如下结论: Γ(s ) 的连续性: Γ(s) 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内连续 .
Γ (s ) 的可导性 : Γ (s ) 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内可导 ,
.
且
Γ′(s) = ∫
+∞
0
同理可得:
+∞ ∂ s−1 −x s −1 − x ( x e )dx = ∫ x e ln xdx 0 ∂s
Γ ( n + 1) = n Γ ( n ) = n ( n − 1) Γ ( n − 1) = ⋯ = n ! Z + 上, Γ (s ) 正是正整数阶乘的表达式 . 可见,在
5. Γ − 函数的延拓
Γ(s +1) s > 0 时, Γ(s +1) = sΓ(s), ⇒ Γ(s) = s .
该式右端在 − 1 < s < 0 时也有意义 .
∫
当
1
0
x
p −1
(1 − x )
q −1
dx
(p>0, q>0 )
为Euler第一型积分第一型积分. 第一型积分

欧拉运动方程及其积分详解

傅里叶变换法
将欧拉运动方程中的时间和空间变量进行傅里叶变换，通过求解变换后的常微分方程得到解析解。
近似积分方法
泰勒级数法
将欧拉运动方程中的非线性项进行泰勒级数展开，通过求解近似线性化的常微分方程得到近似解。
多项式拟合法
利用已知的初值条件和时间步长，通过多项式拟合的方法逼近物体的运动轨迹，得到近似解。
发展历程
随着科学技术的不断进步，欧拉运动方程在理论和应用方面得到了不断发展和完善，对于推动力学和其他学科的发展起到了重要作用。
02
欧拉运动方程的数学表达
位置和速度的表示
位置表示
在二维平面中，物体的位置可以用二维向量表示，例如$r = (x, y)$。在三维空间中，物体的位置可以用三维向量表示，例如$r = (x, y, z)$。
速度表示
速度是位置对时间的导数，可以用向量表示为$vec{v} = frac{dvec{r}}{dt}$。在二维平面中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y)$；在三维空间中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$。
力和加速度的表示
力表示
力是作用在物体上的外力，可以用向量表示为$vec{F}$。在二维平面中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y)$；在三维空间中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$。
04
欧拉运动方程的应用实例
在物理中的应用
01
02
03
刚体动力学
欧拉运动方程可以描述刚体的旋转和直线运动，是刚体动力学的基本方程之一。
陀螺仪
欧拉运动方程在陀螺仪的应用中非常重要，用于描述陀螺仪的旋转运动和进动。

(整理)欧拉积分及其应用

欧拉积分及其应用摘要: Beta 函数与Gamma 函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta 函数、Gamma 函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma 函数；Beta 函数；含参量积分Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral引言欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta 函数、Gamma 函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.1111(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q ---=->>⎰称为贝塔（Beta ）函数，（或写作B 函数）.()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰称为格马（Gamma ）函数，（或写作Γ函数）.贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1. B 函数及其相关性质1.1 B 函数的定义域 (,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰，当1p <时0=x 为瑕点，当1<q 时1=x 为瑕点，定义域为.0,0>>q p任何0,000>>q p ，在0,00≥≥q p p 内，1110(1)p q x x ---⎰一致收敛，故B 函数在定义域0,0>>q p 内连续. 1.2 B 函数的性质性质1.2.1 (对称性)(,)(,)B p q B q p =.作变换y x -=1，),(q p B =1110(1)p q x x ---⎰=1110(1)p q y y dy ---⎰=),(p q B .性质1.2.2 （递推公式）(,)B p q =1(,1)1q B p q p q --+-,(1,0>>q p )，（1）1(,)(1,)1q B p q B p q p q -=-+-，)0,1(>>q p ，（2）(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+-，)1,1(>>q p . （3）当1,0>>q p 时，有(,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰=110(1)p q x x P --+1201(1)p q q x x dx P---⎰ =11121[(1)](1)p p q q x x x x dx P -------⎰ =1112110011(1)(1)p q p q q q x x dx x x dx P P ---------⎰⎰ =11(,1)(,)q q B p q B p q p p----，移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式）在应用上， ),(q p B 也常以如下形式出现 (1) 令2cos x ϕ=，则有(,)B p q =111(1)p q xx ---⎰=2121202sin cos q p d πϕϕϕ--⎰；(2) 令1y x y =+111x y -=+2(1)dydx y =+,则有 (,)B p q =1110(1)p q xx ---⎰=1(1)p p qy dy y -+∞++⎰；(3) 考察11(1)p p qy dy y -+∞++⎰.令1y t =，则有 =10(1)p p qy dy y -+∞++⎰=1110(1)p q p q y y dy y --+++⎰(,)B p q .2. Γ函数及其相关性质2.1 Γ函数的定义域()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰，1、积分区间为无穷；2、当10s -<时，0x =为瑕点；3、当0s >时，)(s Γ收敛. 写Γ函数为如下两积分之和：()1s xs xed x -+∞-Γ=⎰=1111s s xx x e dx x e dx --+∞--+⎰⎰)()(x J x I +=，其中110()s xI s x e dx --=⎰，11()s x J s x e dx -+∞-=⎰.当1s >时，)(s I 为正常积分；当01s <<时，)(s I 为收敛的无界函数反常积分.)(s J 对任何实数s ，都是收敛的，特别是0s >时收敛.所以，Γ函数()1s x s x e dx -+∞-Γ=⎰在0s >时收敛.2.2 Γ函数的性质性质2.2.1 对任意0s >，()0s Γ>且(1)1Γ=.性质2.2.2 (1)()s s s Γ+=Γ对任意0s >成立. 证明有分部积分法得：(1)s Γ+=0sxx e dx +∞-⎰=0s x x e-+∞-+1s x s x e dx -+∞-⎰=()s s Γ.性质2.2.3 l o g ()s Γ是(0,)+∞上的凸函数. 证明只要证明对[1,)p ∈+∞，11p q+=1，1s ，2s (0,)∈+∞有不等式 12log ()s s p q Γ+≤11log ()s p Γ+21log ()s qΓ. 事实上，由Holder 不等式即得12()s s p qΓ+=12(1)0s s p q xxe dx +-+∞-⎰=12110()()s s x xpp q qx e xe dx ----+∞⎰1211110()()s s x x pqx e dx x e dx +∞+∞----≤⎰⎰=1211()()s s pqΓΓ，性质得证.出乎意料的是，Γ函数的以上三条性质完全确定了Γ函数.这就是说，任意定义在(0,)+∞上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是Γ函数.这个意想不到的结果是由Bohr 和Mollerup 首先发现的. 性质2.2.4（图像）设1+≤<n s n ，即10≤-<n s ，应用性质2可得到=-Γ-=Γ=+Γ)1()1()()1(s s s s s s).()()1(n s n s s s -Γ--= （1）若s 为正整数1+n ，则（1）式可以写成!!)1(12)1()1(0n dx n n n n ex==Γ⋅+=+Γ⎰+∞- . （2）对一切0s >，()s Γ和''()s Γ恒大于0，因此()s Γ的图形位于x 轴上方，且是向下凸的.因为(1)(2)1Γ=Γ=，所以()s Γ在0s >上存在唯一的极小点0x 且0(0,2)x ∈.又()s Γ在0(0,)x 内严格减；在0,()x +∞内严格增.由于()s Γ=()s s sΓ=(1)s s Γ+ （0s >）及0l i m (1)(1)1s s +→Γ+=Γ=，故有0(1)lim ()lim s s s s s++→→Γ+Γ==+∞. 由（2）式及()s Γ在0(,)x +∞上严格增可推得lim ()s s →+∞Γ=+∞.综上所述，Γ函数的图像如下图0>s 部分所示.性质2.2.5 （延拓）改写递推公式(1)()s s s Γ+=Γ为(1)()s s sΓ+Γ=. 当10s -<<时，(1)s sΓ+有意义，于是可应用它来定义左端函数()s Γ在(1,0)-内的值，并且可推得这时()s Γ0<.用同样的方法，利用()s Γ已在(1,0)-内有定义这一事实，由(1)()s s sΓ+Γ=又可定义()s Γ在(2,1)--内的值，而且这时()0s Γ>.依此下去可把()s Γ延拓到整个数轴（除0,1,2,3s =以外），其图像如上图所示.性质2.2.6 （其他形式）在应用上， ()s Γ也常以如下形式出现 (1) 令2x y =，则有=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=dx e x x s 2122--⎰ (0)s >；(2) 令py x =，可得=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=10ss py py e dy +∞--⎰(0,0)s p >>.3. B 函数与Γ函数的关系当,m n 为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+.又由于1101(,1)m B m x dx m-==⎰，所以 1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+1n-2111m+n-2m+1mn m n -=⋅⋅⋅+-(1)!(1)!(1)!n m m n --=+-，即()()(,)()n m B m n n m ΓΓ=Γ+.对于任何实数0,0>>q p 也有关系式：()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+.4. 欧拉积分的应用4.1 欧拉积分在定积分中的应用例 1 计算积分dx xk x x cos 11sin cos 10++⎰π，)10(<<k .分析这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解令2tan 112tanx k k t +-=，则有2tan 112tan t k k x -+=. 利用三角恒等式可得t k k t x cos 1cos cos --=，tk k x k cos 11cos 12--=+，dt t k k dx cos 112--=.将其代入原式得dx x k x x cos 11sin cos 10++⎰πdt tk k k t k t k k cos 111cos 12cos 112204----+-=⎰πdt t t k k 2cos 2sin)1()1(210214341⎰-+-=πtdt t k k 2120214341cos sin )1()1(2⎰-+-=π)43,41(21)1()1(24341B k k ⋅+-=)4341()411()41(21)1()1(24341+Γ-ΓΓ⋅+-=k k 4sin 21)1()1(24341ππ⋅+-=k k4341)1(2)1(k k +-=π.4.2 欧拉积分在级数计算中的应用例 2 计算级数012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的和. 分析这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解 012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=111!!(1)!!(2)!(2)!n n n n n n n n n ∞∞==-=∑∑ =11()(1)(,1)(21)n n n n B n n n ∞∞==ΓΓ+=+Γ+∑∑=1101(1)n n n t t dt ∞-=-∑⎰由于当01t ≤≤时，10(1)4t t ≤-≤，所以 1110(1)()4n n n t t --≤-≤因而级数11(1)n n n t t ∞-=-∑在[0,1]上一致收敛，于是有201n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=110(1)n n t t dt --⎰=1101((1))n n t t t dt ∞-=-∑⎰ =101(1)tdt t t --⎰=1201t dt t t -+⎰=33π. 4.3 欧拉积分在概率和数理统计中的应用例 3 设)(~2n X χ，求EX .分析这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令t x=2，将其转化为欧拉积分.解 dxe x n x dx x xf EX xn n21220)2()21()(--∞+∞-∞+⋅⋅Γ⋅==⎰⎰ dt e t n t nn t-∞+=⋅⋅Γ=−−→−⎰0222x )2(2)2()21(令dt e t n t n n n -∞+-+⋅Γ⋅⋅=⎰011222)()2(22)21( )12()2(2+ΓΓ=n n )2(2)2(2n n n Γ⋅⋅Γ==n .例 4 证明概率积分22π=⎰∞+-dx e x .分析我们知道，著名的概率积分dx e x ⎰+∞-02及其推广形式dx e x x n ⎰+∞-022的计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令2x y =，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果.解令2x y =，则dy y dx y x 212121,-==，所以dy y edx eyx 21212-∞+-∞+-⎰⎰= 2)21(21π=Γ=. 结束语通过以上对B 函数Γ函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对B 函数Γ函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，B 函数与Γ函数是两个非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了B 函数和Γ函数表.在以后的学习中我们将继续研究Γ函数B 函数的重要性质,这次就简单介绍到这里.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[2] 毛信实,董延新. 数学分析.[M]. 北京:北京师范大学出版社,1900.[3] 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1900.[4] 北京大学数学系 .数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1986.[5] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.[M]. 江苏:江苏教育出版社,1998.[6] 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.[M]. 北京: 高等教育出版社,1983.[7] 沐定夷. 数学分析.[M]. 上海:上海交通大学出版社,1993.。

积分法)欧拉积分,余元公式

欧拉积分的运用及余元公式的证明王国俊 01211071徐州师范大学数学系徐州 221116摘要欧拉积分的应用十分广泛，本文着重讲了欧拉积分及其变形在积分计算中的运用,并给出了余元公式的一种新的证明方法,而且意外得到了欧拉积分的一种新的变形. 关键词欧拉积分；Gamma 函数；Beta 函数；余元公式现在我们很多时候解决问题的工具还是用初等函数来解决问题，这给我们研究带来很多不便.利用含参变量积分是引进非初等函数的一个重要途径.所谓欧拉积分正是如此.下面先介绍点预备知识：在一般的数学教材中，欧拉积分定义如下：)0,0()1(),()0()(111010>>-⎰=B >⎰=Γ----+∞q p dx x xq p dxe x q p x ααα两者分别称为Gamma 函数和Beta 函数,简称为函数函数和B Γ.欧拉积分的几个基本变形：函数Γ)1(令2y x =, 就有)0(2)(212010>⎰=⎰=Γ--+∞--+∞ααααdy e y dx e x y x令py x =, 则有)0,0()(1010>>⎰=⎰=Γ--+∞--+∞p dy e y p dx e x py x ααααα特别地当21=α时，由华东师范大学编的数学分析第20章第二节例七有π=Γ)21(并且有)()1(αααΓ=+Γ函数B )2(令ϕ2cos =x 就有ϕϕϕπd q p p q 121220cos sin 2),(--⎰=B令yyx +=1，则有 dyy y q p qp p +-∞++⎰=B )1(),(1欧拉积分间的联系：)()()(),(q p q p q p +ΓΓΓ=B )0,0(>>q p以上介绍了欧拉积分的定义及相关变形，那么如何利用欧拉积分解决数学中某些积分运算呢?一欧拉积分在求解积分中的运用1．通过式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，再利用欧拉积分的相关性质，计算出该积分的值.例1 求积分dx x x 21-⎰解原式=8)3()23()23()23,23()1(212110π=ΓΓΓ=B =-⎰dx x x 例2 求积分dx xx 4211-⎰解原式=421421431)1()(41dx x x x--⎰ =421421443410)1()()(41dx x x x ---⎰ =)21,43(41B 2.利用换元法将未知积分化为欧拉积分，然后再进行计算.例3 求积分dx x x240)1(+⎰∞+解令t x x =+1则有 ttx -=1 从而有 dt t dx 2)1(1-=带入原式有 224sin 41)43()41(41)2()43()45()43,45()1()1(414110240πππ==ΓΓ=ΓΓΓ=B =-⎰=+⎰-∞+dt t t dx x x 例4 求xdxx qp cos sin 20π⎰解原式=)(sin )sin 1()(sin 21)sin 1()(sin 221221220222220x d x x dx x x q p q p ---⎰=-⎰ππ令x u 2sin =得, 10<<u上式=)21,21(21)1(21212110++Γ=-⎰--q p du u uq p 3.在很多时候我们解决问题时，需要综合运用以上的两种方法. 例5 求积分dx e x x n 220-+∞⎰解原式=)2(21202x d exx n --∞+⎰ 2120221dx e x x n --∞+⎰=令2,(0)t x x x ==>则则上式=)212(21212120+Γ=⎰--∞+n dt e tt n =πnn 2!)!12(-例6 求xdx cos 30-⎰π解原式=2sin 121)2cos 1(222x dx xdx +⎰=-+⎰ππ令2sin2x u =得上式=du u u du u u 2121210212110)1(21)1()1(21-----⎰=-+⎰令t u =2得上式=dt t tdt t t 12114310432110)1(221)1(221-----⎰=-⎰)21,41(221B =注在利用欧拉积分进行积分计算时一定要注意欧拉积分的上下限及等价变形.二余元公式的相关证明在几乎所有的数学分析教材中都对余元公式进行了介绍，但没有给出相应的证明，笔者查了很多资料，同时也有了自己对其证明的一种新的证明想法. 下面先介绍一种我所查到的余元公式的一种简单证明. 我们知道余元公式的表达式是)sin()1,(ππa a a =-B对dt t t a a B a a a a a 110)1()1,()1()(,10---⎰=-=-ΓΓ<< 令xt +=11，则 x xdx x x x x dt t t a a a a a +⎰=+++⎰-=-⎰-∞--∞--1)1(1)1()11()1(1210110 dx xx dx x x a a +⎰++⎰=-∞-111111当10<<x 时，由幂级数理论可得()10111-+∞=-∑-=+k a kk a x x x 此级数在[]t ,ε其中10<<<t ε上一致收敛，故可在[]t ,ε上逐项积分，从而dx x dx xk a k k tk a k kt101)1()1(-+∞=-+∞=∑∑-⎰=-⎰εε=()()k a k a kk t ka ++∞=-+-∑ε110 ()()k a kk k a k k k a t k a +∞=+∞=+--+-=∑∑ε111100 （1）因级数()ka kk t ka +∞=+-∑110的收敛半径为1，且1,0=t 时级数均收敛，由阿贝尔定理知： ()ka kk t ka +∞=+-∑110在[]1,0上一致收敛，故有 ()()ka kk kk t +-=-∑∑∞=∞=→111lim 001同理有()011lim 0=+-+∞=→∑+k a kk ka εε在（1）式中，令+→→0,1εt 便有:=+⎰-dx xx a 1110()ka kk +-∑∞=110对得令t x dx xx a 1,111=+⎰-∞+dx x x a +⎰-∞+111==+⎰--dt tta 11)1(10()ak kk -+-∑∞=1110综上可得：=-ΓΓ)1()(a a dx x x a +⎰-∞+110=dx xxdx x x a a +⎰++⎰-∞+-1111110 ()k a k k +-=∑∞=110+()a k kk -+-∑∞=1110=+a 1 )11()1(0k a k a k k--+-∑∞= （2）再由)cos(ax 在],[ππ-的Fourier 级数展式有)cos(ax =+aax 1[sin π())11(11k a k a kk -++-∑∞=)]cos(kx , ],[ππ-∈x令0=x 可得+=aa 1)sin(ππ())11(11ka k a kk -++-∑∞= (3) 从而由（2），（3）知余元公式成立.在查资料的过程中，我还发现了余元公式的另两种证明方法：一种是利用复变函数中的留数定理来证明；另一种是利用Γ函数的另一种定义来证明，下面是我利用二重积分对该问题的加以的讨论.dy e y dx e x p p p p y p x p --+∞--+∞⎰⎰=-ΓΓ=-B 010)1()()1,(dxdy e y e x y p x Dp ----⎰⎰=1其中D={G y R x y x ≤≤≤≤ελ,),(} ,先考虑dxdy e y e xy p D xp ----⎰⎰11 , 221:{(,),0,0}D x y x y R x y λ=≤+≤>>从此出发有两条路径：一种是利用格林公式的逆运用把此二重积分化为第一型曲线积分，再进行计算，最后令∞→→R ,0λ即可，其理由是因为有人已经使用留数定理证明过了，而复变函数的留数定理与数学分析中的第一型曲线积分相通.所以该方法有很大可行性.但是这个过程需要偏微分方程的知识，以我现在的知识储备解决不了. 另一种方法是换元，我进行的过程如下：令θθsin ,cos r y r x ==，则有则积分变为dxdy e y e xyp D xp ----⎰⎰11 =θθθθθλπd rdre r e r r p r p R))sin ()cos ((sin cos 120----⎰⎰=θθθθθλπd dre e r p r p R))(sin )(cos (sin cos 120----⎰⎰θθθθθλθθθθπd e e R p p ][)(sin )(cos )cos (sin )cos (sin 1)cos (sin 120+-+---+--⎰=令0,→∞→λR 得有)cos (sin )cos (sin θθλθθ+-+--e eR 1-→从而θθθθθθθλθθπd dre e R p p ][)(sin )(cos )cos (sin 1)cos (sin )cos (sin 120+-+----+-⎰=θθθθθπd p p --+⎰)(sin )(cos cos sin 112令sin ,arcsin (0)2t t πθθθ==<<有上式=dt tt t t pp 2122111)1(111---+⎰--=dt t t t p p ----+⎰2221)1(111=dt t t t p p 222210)1)(11(------⎰=dt tt p p 22210)1(----⎰dt t t p p 21210)1(----⎰-令sin ,arcsin t w w t ==则上式=wdw w w wdw w w p p p p cos )(sin )(cos cos )(sin )(cos 21202220------⎰-⎰ππ=dw w w dw w w p p p p 2202120)(sin )(cos )(sin )(cos -----⎰-⎰ππ=)]21,21()2,21([21+--B ---B p p p p即有=-B )1,(p p )]21,21()2,21([21+--B ---B p p p p 证明进行到此，发现用换元这条路行不通了，但意外得到了欧拉积分关于余元公式的一种新的变形，在查了很多资料后没发现这个变形公式，想必在知识储备越来越多的情况下第一种方法还是可行的欧拉积分和一些应用Gamma 函数: Gamma 函数定义为.有递推公式,特别地.Beta 函数: Beta 函数定义为.两个函数之间有关系.利用这个可以计算很多积分.例如旧贴里面有一题(卧龙先生): 解: 作变量代换,原积分化为而其中.又如计算. 解:作变量代换,则原积分化为.容易计算得当时,.时,（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

第18章第2节欧拉积分

有x
s 1 x
e x e ,
a 1 x
而积分

1
0
x
a 1
e
x
dx 收敛.
判天地之美析万物之理 ,
7
2015年9月8日星期二
§18.五.欧拉 (Euler)积分
对积分 I 2 1 x e dx ,
s 1 x

x e x e ,
s 1 x
b 1 x
§18.五.欧拉 (Euler)积分
二. Beta 函数 B( p, q) ——Euler 第一型积分 1．Beta函数及其连续性称( 含有两个参数的 )含参积分
为Euler第一型积分. 它确定一个二元函数,
称该函数为 Beta 函数, 记为 B( p, q) , 即
p 1 q 1 x ( 1 x ) dx B( p, q) = 0 1
§18.五.欧拉 (Euler)积分
5. －函数的其它形式 x pt ( p 0) , 代入有 1）令 s 1 x s s 1 pt x e dx p t e dt ( s ) = 0 0

因此,
2)．在 ( s) e x x s1dx 中，作代换 x u 2，
得 ( s ) 的一个
.
16
判天地之美析万物之理 ,
§18.五.欧拉 (Euler)积分
例 2 计算积分 0
t x2

x e
2n
x2
dx ,其中 n Z
解
1 1 1 t I t e dt (n ) 2 0 2 2 1 1 1 1 1 (n 1) (n )(n ) 2 2 2 2 2

(整理)欧拉积分及其应用

欧拉积分及其应用摘要: Beta 函数与Gamma 函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta 函数、Gamma 函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma 函数；Beta 函数；含参量积分Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral引言欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta 函数、Gamma 函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.1111(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q ---=->>⎰称为贝塔（Beta ）函数，（或写作B 函数）.()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰称为格马（Gamma ）函数，（或写作Γ函数）.贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1. B 函数及其相关性质1.1 B 函数的定义域 (,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰，当1p <时0=x 为瑕点，当1<q 时1=x 为瑕点，定义域为.0,0>>q p任何0,000>>q p ，在0,00≥≥q p p 内，1110(1)p q x x ---⎰一致收敛，故B 函数在定义域0,0>>q p 内连续. 1.2 B 函数的性质性质1.2.1 (对称性)(,)(,)B p q B q p =.作变换y x -=1，),(q p B =1110(1)p q x x ---⎰=1110(1)p q y y dy ---⎰=),(p q B .性质1.2.2 （递推公式）(,)B p q =1(,1)1q B p q p q --+-,(1,0>>q p )，（1）1(,)(1,)1q B p q B p q p q -=-+-，)0,1(>>q p ，（2）(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+-，)1,1(>>q p . （3）当1,0>>q p 时，有(,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰=110(1)p q x x P --+1201(1)p q q x x dx P---⎰ =11121[(1)](1)p p q q x x x x dx P -------⎰ =1112110011(1)(1)p q p q q q x x dx x x dx P P ---------⎰⎰ =11(,1)(,)q q B p q B p q p p----，移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式）在应用上， ),(q p B 也常以如下形式出现 (1) 令2cos x ϕ=，则有(,)B p q =111(1)p q xx ---⎰=2121202sin cos q p d πϕϕϕ--⎰；(2) 令1y x y =+111x y -=+2(1)dydx y =+,则有 (,)B p q =1110(1)p q xx ---⎰=1(1)p p qy dy y -+∞++⎰；(3) 考察11(1)p p qy dy y -+∞++⎰.令1y t =，则有 =10(1)p p qy dy y -+∞++⎰=1110(1)p q p q y y dy y --+++⎰(,)B p q .2. Γ函数及其相关性质2.1 Γ函数的定义域()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰，1、积分区间为无穷；2、当10s -<时，0x =为瑕点；3、当0s >时，)(s Γ收敛. 写Γ函数为如下两积分之和：()1s xs xed x -+∞-Γ=⎰=1111s s xx x e dx x e dx --+∞--+⎰⎰)()(x J x I +=，其中110()s xI s x e dx --=⎰，11()s x J s x e dx -+∞-=⎰.当1s >时，)(s I 为正常积分；当01s <<时，)(s I 为收敛的无界函数反常积分.)(s J 对任何实数s ，都是收敛的，特别是0s >时收敛.所以，Γ函数()1s x s x e dx -+∞-Γ=⎰在0s >时收敛.2.2 Γ函数的性质性质2.2.1 对任意0s >，()0s Γ>且(1)1Γ=.性质2.2.2 (1)()s s s Γ+=Γ对任意0s >成立. 证明有分部积分法得：(1)s Γ+=0sxx e dx +∞-⎰=0s x x e-+∞-+1s x s x e dx -+∞-⎰=()s s Γ.性质2.2.3 l o g ()s Γ是(0,)+∞上的凸函数. 证明只要证明对[1,)p ∈+∞，11p q+=1，1s ，2s (0,)∈+∞有不等式 12log ()s s p q Γ+≤11log ()s p Γ+21log ()s qΓ. 事实上，由Holder 不等式即得12()s s p qΓ+=12(1)0s s p q xxe dx +-+∞-⎰=12110()()s s x xpp q qx e xe dx ----+∞⎰1211110()()s s x x pqx e dx x e dx +∞+∞----≤⎰⎰=1211()()s s pqΓΓ，性质得证.出乎意料的是，Γ函数的以上三条性质完全确定了Γ函数.这就是说，任意定义在(0,)+∞上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是Γ函数.这个意想不到的结果是由Bohr 和Mollerup 首先发现的. 性质2.2.4（图像）设1+≤<n s n ，即10≤-<n s ，应用性质2可得到=-Γ-=Γ=+Γ)1()1()()1(s s s s s s).()()1(n s n s s s -Γ--= （1）若s 为正整数1+n ，则（1）式可以写成!!)1(12)1()1(0n dx n n n n ex==Γ⋅+=+Γ⎰+∞- . （2）对一切0s >，()s Γ和''()s Γ恒大于0，因此()s Γ的图形位于x 轴上方，且是向下凸的.因为(1)(2)1Γ=Γ=，所以()s Γ在0s >上存在唯一的极小点0x 且0(0,2)x ∈.又()s Γ在0(0,)x 内严格减；在0,()x +∞内严格增.由于()s Γ=()s s sΓ=(1)s s Γ+ （0s >）及0l i m (1)(1)1s s +→Γ+=Γ=，故有0(1)lim ()lim s s s s s++→→Γ+Γ==+∞. 由（2）式及()s Γ在0(,)x +∞上严格增可推得lim ()s s →+∞Γ=+∞.综上所述，Γ函数的图像如下图0>s 部分所示.性质2.2.5 （延拓）改写递推公式(1)()s s s Γ+=Γ为(1)()s s sΓ+Γ=. 当10s -<<时，(1)s sΓ+有意义，于是可应用它来定义左端函数()s Γ在(1,0)-内的值，并且可推得这时()s Γ0<.用同样的方法，利用()s Γ已在(1,0)-内有定义这一事实，由(1)()s s sΓ+Γ=又可定义()s Γ在(2,1)--内的值，而且这时()0s Γ>.依此下去可把()s Γ延拓到整个数轴（除0,1,2,3s =以外），其图像如上图所示.性质2.2.6 （其他形式）在应用上， ()s Γ也常以如下形式出现 (1) 令2x y =，则有=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=dx e x x s 2122--⎰ (0)s >；(2) 令py x =，可得=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=10ss py py e dy +∞--⎰(0,0)s p >>.3. B 函数与Γ函数的关系当,m n 为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+.又由于1101(,1)m B m x dx m-==⎰，所以 1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+1n-2111m+n-2m+1mn m n -=⋅⋅⋅+-(1)!(1)!(1)!n m m n --=+-，即()()(,)()n m B m n n m ΓΓ=Γ+.对于任何实数0,0>>q p 也有关系式：()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+.4. 欧拉积分的应用4.1 欧拉积分在定积分中的应用例 1 计算积分dx xk x x cos 11sin cos 10++⎰π，)10(<<k .分析这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解令2tan 112tanx k k t +-=，则有2tan 112tan t k k x -+=. 利用三角恒等式可得t k k t x cos 1cos cos --=，tk k x k cos 11cos 12--=+，dt t k k dx cos 112--=.将其代入原式得dx x k x x cos 11sin cos 10++⎰πdt tk k k t k t k k cos 111cos 12cos 112204----+-=⎰πdt t t k k 2cos 2sin)1()1(210214341⎰-+-=πtdt t k k 2120214341cos sin )1()1(2⎰-+-=π)43,41(21)1()1(24341B k k ⋅+-=)4341()411()41(21)1()1(24341+Γ-ΓΓ⋅+-=k k 4sin 21)1()1(24341ππ⋅+-=k k4341)1(2)1(k k +-=π.4.2 欧拉积分在级数计算中的应用例 2 计算级数012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的和. 分析这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解 012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=111!!(1)!!(2)!(2)!n n n n n n n n n ∞∞==-=∑∑ =11()(1)(,1)(21)n n n n B n n n ∞∞==ΓΓ+=+Γ+∑∑=1101(1)n n n t t dt ∞-=-∑⎰由于当01t ≤≤时，10(1)4t t ≤-≤，所以 1110(1)()4n n n t t --≤-≤因而级数11(1)n n n t t ∞-=-∑在[0,1]上一致收敛，于是有201n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=110(1)n n t t dt --⎰=1101((1))n n t t t dt ∞-=-∑⎰ =101(1)tdt t t --⎰=1201t dt t t -+⎰=33π. 4.3 欧拉积分在概率和数理统计中的应用例 3 设)(~2n X χ，求EX .分析这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令t x=2，将其转化为欧拉积分.解 dxe x n x dx x xf EX xn n21220)2()21()(--∞+∞-∞+⋅⋅Γ⋅==⎰⎰ dt e t n t nn t-∞+=⋅⋅Γ=−−→−⎰0222x )2(2)2()21(令dt e t n t n n n -∞+-+⋅Γ⋅⋅=⎰011222)()2(22)21( )12()2(2+ΓΓ=n n )2(2)2(2n n n Γ⋅⋅Γ==n .例 4 证明概率积分22π=⎰∞+-dx e x .分析我们知道，著名的概率积分dx e x ⎰+∞-02及其推广形式dx e x x n ⎰+∞-022的计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令2x y =，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果.解令2x y =，则dy y dx y x 212121,-==，所以dy y edx eyx 21212-∞+-∞+-⎰⎰= 2)21(21π=Γ=. 结束语通过以上对B 函数Γ函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对B 函数Γ函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，B 函数与Γ函数是两个非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了B 函数和Γ函数表.在以后的学习中我们将继续研究Γ函数B 函数的重要性质,这次就简单介绍到这里.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[2] 毛信实,董延新. 数学分析.[M]. 北京:北京师范大学出版社,1900.[3] 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1900.[4] 北京大学数学系 .数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1986.[5] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.[M]. 江苏:江苏教育出版社,1998.[6] 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.[M]. 北京: 高等教育出版社,1983.[7] 沐定夷. 数学分析.[M]. 上海:上海交通大学出版社,1993.。