数学;15.4《几何体的表面积》教案(1)(沪教版高三上)
15．4 几何体的表面积
上海市第二中学胡毅
一、教学内容分析
几何体的表面积是在学习多面体和旋转体的概念后，进一步学习直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积公式.课本通过将几何体的侧面展开成平面图形，将几何体侧面积的计算转化为平面图形面积的计算，并能通过公式求得直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积.它是对几何体进行研究的重要方面.
通过将几何体的侧面展开成平面图形计算几何体的侧面积，说明将空间图形转化为平面图形是立体几何中的有效方法.能通过观察和分析几何体，研究其展开图的性质，理解直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积公式的推导过程，并会计算它们的表面积.会用球的表面积公式计算球的表面积.
二、教学目标设计
会通过将几何体的侧面展开成平面图形计算几何体的侧面积，进而计算几何体的表面积.理解直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的侧面展开图，并会计算直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积.会计算球的表面积.
三、教学重点及难点
将空间图形转化为平面图形的方法；直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积公式.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、情景引入
1．复习和回顾多面体和旋转体的定义
2．提出课题：
（1）如何计算柱体（棱柱和圆柱）、锥体（棱锥和圆锥）的表面积？
将表面积分为底面和侧面两个部分分别加以计算，其中关于侧面积的计算，常用的方法是将该几何体的侧面展开成平面图形，转化为计算平面图形的面积.
（2）如何展开？
将它们的侧面沿着一条侧棱或母线展开.
二、学习新课
1、直柱体的侧面积
（1）实物演示直棱柱的侧面展开图，提出问题：
①直棱柱的侧面展开图是什么图形？为什么？
②它的长和宽分别和直棱柱有什么关系？
③由此直棱柱的侧面积和表面积该如何计算？
④一般棱柱侧面积可否用这个侧面积计算公式？为什么？
（2）实物演示圆柱的侧面展开图，提出问题：
①圆柱的侧面展开图是什么图形？为什么？
②圆柱的的侧面积和表面积计算公式与直棱柱能统一起来吗？
2、锥体的侧面积
实物演示正棱锥和圆锥的侧面展开图，提出问题：
（1）正棱锥的侧面展开图有什么特点？
（2）正棱锥的侧面积和表面积应如何计算？
（3）圆锥的侧面展开图是什么图形？为什么？
（4）圆锥的侧面积和表面积应如何计算？
（5）正棱锥和圆锥的侧面积和表面积计算公式能统一起来吗？
例题选讲
例1 已知正三棱锥的底面边长为2cm ，体高为1cm.求该三棱锥的表面积.（结果精确到0.1cm 2）
[说明]应先求出正棱锥的斜高，在解答过程中，应当作图，并注意解题格式的规范书写. 例2 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm.制作该容器需要多少面积的铁皮？（衔接部分忽略不计，结果精确到0.1cm 2）
[说明]应先求出该容器底面面积，应注意本题中容器无盖，只需求侧面积.
3、球的表面积
球不能像柱体和锥体那样展开成平面图形，球的表面积计算公式为24r S π=，其中r 是球的半径.
三、巩固练习
1、已知正棱锥的底面是边长为4的正方形，求分别满足下列条件时该正棱锥的表面积.
（1）侧面与底面夹角为60°；
（2）侧棱与底面夹角为60°.
2、已知正圆锥的母线cm l 10=，母线与旋转轴的夹角ο30=α.求该正圆锥的表面积.
四、课堂小结
1、将空间图形转化为平面图形的方法；
2、直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积公式.
五、作业布置
课本习题.
六、教学设计说明
将空间图形转化为平面图形是本节内容的核心方法，侧面展开图的实物演示可以提供直观的图形，同时注意逻辑推理，即回答为什么直柱体的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.在具体解题过程中还需注意区分表面积和侧面积两个概念.球的表面积教材并未展开，只要会应用公式求球的表面积即可.。
高三数学上册 15.5《几何体的体积》教案(1) 沪教版
高三数学上册 15.5《几何体的体积》教案（1） 沪教版一、教学内容分析在前一章研究空间的直线与平面，和本章前面棱柱的定义、基本性质、画法的基础上，来研究柱体的体积，在这里点到平面的距离得到了具体的应用：体现在求柱体的高上.通过求体积的几种方法提高学生空间想象能力和解决实际问题的能力. 二、教学目标设计1、知道祖暅原理；2、掌握柱体的体积公式. 三、教学重点与难点柱体的体积公式；应用体积公式进行计算. 四、教学流程设计引出祖暅原理⇒导出柱体体积公式⇒例题讲解⇒巩固练习⇒作业布置 五、教学过程设计（一）、祖暅原理1、在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积.2、介绍我国古代劳动人民对几何体的体积研究的成果.（1）到公元1世纪《九章算术》成书时，已经有了各种几何体的体积公式. （2）祖暅的介绍. 3、祖暅原理：祖暅原理的功能：从一种几何体的体积公式，推导另一种几何体的体积. （二）、利用祖暅原理推柱体的体积公式 1、复习长方体的体积公式：V=sh. 2、用祖暅原理推导棱柱的体积公式：V=sh.3、用祖暅原理推圆柱体的体积公式：V=sh 或h r V 2π=. （三）、例题讲解例1：已知三棱柱'''C B A ABC -的底面为直角三角形，两直角边AC 与BC 的长分别为4cm 与3cm ，侧棱'AA 的长为10cm ，求满足下列条件的三棱柱的体积：（1）侧棱'AA 垂直于底面；（2）侧棱'AA 与底面所成角为︒60.Ａ＇Ａ BCB ＇C ＇H 1241000AＣ＇Ｂ＇A ＇BCD Ｄ＇o解：（1）因为侧棱'AA ⊥底面ABC ，所以三棱柱的高h 等于侧棱'AA 的长， 而底面三角形ABC 的面积)(6212cm BC AC S =⋅=， 于是三棱柱的体积)(601063cm Sh V =⨯==.（2）如图，过'A 作平面ABC 的垂线，垂足为H ，H A '为三棱柱的高.因为侧棱'AA 与底面所成的角为︒60，所以60'=∠AH A ，可计算得)(3560sin ''cm AA H A ==.由（1）知底面三角形的面积)(6212cm BC AC S =⋅=，故三棱柱的体积).(3303563'cm H A S V =⨯=⋅=（四）、巩固练习：1、在修铁路时，路基需要用碎石铺垫.已知路基的形状尺寸如图所示（单位：m ），纹每修建1千米铁路需要碎石多少立方米.(分析：将路基看作是一个底面为等腰梯形的直四棱柱 )2、求底面半径为5cm ，高为10cm 的圆柱体的体积.3、平行六面体的所有的面的边长都为a 、锐角为︒60的全等菱形，求其体积.解：如图，过'A 作平面ABCD 的垂线，垂足为Ｏ，O A '为四棱柱的高. 因为D A B A AA '''==所以'A 在平面ABCD 的射影Ｏ为正ABD ∆的中心．在D AA Rt '∆中，由a AA a AO ==',33，可得a O A 36'=． 故四棱柱的体积.2236)3(213'a a a a O A S V =⨯⨯=⋅=（五）、课堂小结：（1）祖暅原理：从一种几何体的体积公式，推导另一种几何体的体积.（2）柱体的体积公式：V=sh.（3）在应用体积公式之前，应运用直线与平面的有关知识作出高，然后进行运算. （六）、作业布置. 略。
上海教育版高中数学三上15.4《几何体的表面积》word教案
15．4 几何体的表面积一、教学内容分析几何体的表面积是在学习多面体和旋转体的概念后，进一步学习直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积公式.课本通过将几何体的侧面展开成平面图形，将几何体侧面积的计算转化为平面图形面积的计算，并能通过公式求得直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积.它是对几何体进行研究的重要方面.通过将几何体的侧面展开成平面图形计算几何体的侧面积，说明将空间图形转化为平面图形是立体几何中的有效方法.能通过观察和分析几何体，研究其展开图的性质，理解直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积公式的推导过程，并会计算它们的表面积.会用球的表面积公式计算球的表面积.二、教学目标设计会通过将几何体的侧面展开成平面图形计算几何体的侧面积，进而计算几何体的表面积.理解直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的侧面展开图，并会计算直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积.会计算球的表面积.三、教学重点及难点将空间图形转化为平面图形的方法；直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积公式.四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入1．复习和回顾多面体和旋转体的定义2．提出课题：（1）如何计算柱体（棱柱和圆柱）、锥体（棱锥和圆锥）的表面积？将表面积分为底面和侧面两个部分分别加以计算，其中关于侧面积的计算，常用的方法是将该几何体的侧面展开成平面图形，转化为计算平面图形的面积.（2）如何展开？将它们的侧面沿着一条侧棱或母线展开.二、学习新课1、直柱体的侧面积（1）实物演示直棱柱的侧面展开图，提出问题：①直棱柱的侧面展开图是什么图形？为什么？②它的长和宽分别和直棱柱有什么关系？③由此直棱柱的侧面积和表面积该如何计算？④一般棱柱侧面积可否用这个侧面积计算公式？为什么？（2）实物演示圆柱的侧面展开图，提出问题：①圆柱的侧面展开图是什么图形？为什么？②圆柱的的侧面积和表面积计算公式与直棱柱能统一起来吗？2、锥体的侧面积实物演示正棱锥和圆锥的侧面展开图，提出问题：（1）正棱锥的侧面展开图有什么特点？（2）正棱锥的侧面积和表面积应如何计算？（3）圆锥的侧面展开图是什么图形？为什么？（4）圆锥的侧面积和表面积应如何计算？（5）正棱锥和圆锥的侧面积和表面积计算公式能统一起来吗？ 例题选讲例1 已知正三棱锥的底面边长为2cm ，体高为1cm.求该三棱锥的表面积.（结果精确到0.1cm 2）[说明]应先求出正棱锥的斜高，在解答过程中，应当作图，并注意解题格式的规范书写.例 2 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm.制作该容器需要多少面积的铁皮？（衔接部分忽略不计，结果精确到0.1cm 2）[说明]应先求出该容器底面面积，应注意本题中容器无盖，只需求侧面积.3、球的表面积球不能像柱体和锥体那样展开成平面图形，球的表面积计算公式为24r S π=，其中r 是球的半径.三、巩固练习1、已知正棱锥的底面是边长为4的正方形，求分别满足下列条件时该正棱锥的表面积.（1）侧面与底面夹角为60°；（2）侧棱与底面夹角为60°.2、已知正圆锥的母线cm l 10=，母线与旋转轴的夹角 30=α.求该正圆锥的表面积.四、课堂小结1、将空间图形转化为平面图形的方法；2、直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积公式.五、作业布置课本习题.六、教学设计说明将空间图形转化为平面图形是本节内容的核心方法，侧面展开图的实物演示可以提供直观的图形，同时注意逻辑推理，即回答为什么直柱体的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.在具体解题过程中还需注意区分表面积和侧面积两个概念.球的表面积教材并未展开，只要会应用公式求球的表面积即可.。
几何体表面积教案5篇
几何体表面积教案5篇第一篇：几何体表面积教案15.4几何体的表面积教学目标：通过展开柱、圆锥的侧面进一步认识柱、锥；；理解掌握柱锥的表面积的计算公式，培养学生数形结合的思想。
教学重点：旋转体表面积的计算公式及其应用教学难点：公式的记忆和理解教学过程：一、创设情境已知ABB'A'是圆柱的轴截面，AA'=a,AB=求小虫爬过的最短路程。
3a,P是BB'的中点，一小虫沿圆柱的侧面从A'爬到P4二、引入课题问题：1、多面体的侧面积及表面积？2、旋转体的侧面积及表面积？三、探究1、直棱柱、棱锥的表面积2、圆柱、圆锥体的表面积3、球的表面积四、例题讲解例题1、在正三棱锥P-ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的表面积．BACP例题2、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，如图已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？四、巩固练习1、已知正三棱锥的底面边长为2cm，高为1cm，求该三棱锥的表面积。
π，斜边AB=4，D是AB的中点．现将Rt△AOB6以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且A ∠BOC=90︒，求：2、如图，在Rt△AOB中，∠OAB=（1）圆锥的侧面积；（2）直线CD与平面BOC所成的角的大小．（用反三角函数表示）DOB C第二篇：空间几何体的表面积与体积教案空间几何体的表面积与体积教学任务分析:根据柱，锥，台的结构特征，并结合它们的展开图，推导它们的表面积的计算公式，从度量的角度认识空间几何体；用极限思想推导球的体积公式和表面公式，使学生初步了解利用极限思想解决问题的基本步骤，体会极限思想的基本内涵。
与此同时，培养学生积极探索的科学精神，培养学生的思维能力，空间想象能力。
教学重点：柱体，锥体，台体的表面积和体积的计算公式。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积一、教学目标：1. 让学生掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的空间想象力。
二、教学内容：1. 立方体、立方体的表面积和体积计算。
2. 圆柱体、圆柱体的表面积和体积计算。
3. 球体、球体的表面积和体积计算。
4. 锥体、锥体的表面积和体积计算。
5. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：重点：掌握常见空间几何体的表面积和体积计算公式。
难点：空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
3. 通过实例分析，让学生学会将空间几何知识应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾平面几何知识，引出空间几何体的概念。
2. 讲解立方体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
3. 讲解圆柱体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
4. 讲解球体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
5. 讲解锥体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
6. 分析空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用，让学生尝试解决实际问题。
7. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
9. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学评价：1. 通过课堂问答、练习题和课后作业，评估学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握情况。
2. 观察学生在解决实际问题时是否能灵活运用所学知识，评价其运用能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度、合作精神和创新能力进行评价。
七、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
2. 练习题：用于巩固学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握。
高中数学高三第一学期15.4几何体的表面积_导学案1-沪教版
几何体的表面积【学习目标】1．了解柱体、锥体、球的表面积计算公式。
2．能运用柱、锥、球的表面积公式进行计算和解决有关实际问题。
3．培养应用意识，提高空间想象能力，几何直观能力及计算能力，体会空间图形展开成平面图形这种转化的思想方法。
【学习重难点】重点：柱体、锥体、球的表面积的计算。
难点：表面积公式的推导与应用。
【学习过程】一、独立思考并尝试回答下列问题1．什么几何体的表面积？________________________________________________。
2．棱柱、棱锥，它们的展开图分别是什么？如何计算它们的表面积？________________________________________________。
3．圆柱、圆锥的侧面展开图是什么平面图形？，如何求它们的侧面积和表面积？________________________________________________。
二、问题引入在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，它们的展开图面积就等于其表面积。
正方体及其展开图（1）长方体及其展开图（2）三、新课探究1．探究活动一：问题：棱柱、棱锥也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？六棱柱五棱锥2．探究活动二：棱柱、棱锥表面积公式的应用。
3．做一做：已知棱长为a，各面均为等边三角形的三棱锥S-ABC，求它的表面积。
4．变式练习。
已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积。
5．探究活动三。
问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的底面都是圆面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面面积？它们的侧面展开图是什么图形？推导它们表面积的计算公式：h'（1）设圆柱的底面半径为r，母线长为l，写出它的侧面积和表面积公式。
（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，写出它的侧面积和表面积公式。
6．微思考：求圆柱、圆锥的表面积时，要求的关键量分别是什么？__________________________________________________________。
数学;15.5《几何体的体积》教案(2)(沪教版高三上)
15.5几何体的体积(2)锥体的体积上海市第二中学 赵磊一、教学内容分析锥体的体积是学习祖暅原理与柱体体积之后，对几何体体积的进一步探索.其中三棱锥体积在这之中又尤为重要，起着承上启下的作用.推导三棱锥的体积要用到前一课时的内容；同时，n 棱锥乃至圆锥的体积公式又是建立在三棱锥体积之上的.所以处理好三棱锥的体积问题，是这堂课的重中之重.二、教学目标设计学生通过具体实验感知三棱锥体积公式，通过严谨证明确认三棱锥体积公式，通过对新知识的应用推广得到n 棱锥的体积公式，通过具体实例初步应用锥体体积公式.能应用割补法求体积以及体积法求点到面的距离，在这个过程中，提高分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力.三、教学重点及难点三棱锥体积公式及其探求.四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入1、复习祖暅原理：体积可看成是有面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等. 2、柱体体积公式：V 棱柱=Sh3、问题：锥体的体积公式是什么？会不会和柱体的体积有什么联系？实验：如图取一个三棱锥教具（无底面ABC ），一个与之同底等高的三棱柱教具（无底面ABC ）（教具可用硬板纸制作），以及黄沙若干.用三棱锥盛满黄沙，倒入三棱柱容器中，发现倒三次正好把三棱柱容器填满. 从这个实验中，学生猜想三棱锥的体积公式为V 三棱锥=13Sh 这个实验的结果到底是一个美丽的巧合还是一个必然的结果？ 二、学习新课问题1：从猜想的三棱锥体积公式为V三棱锥=13Sh 看，体积只和三棱锥底面积和高有关，而与底面三角形的形状无关.那么，上述实验中的三棱柱不变，三棱锥变成与原三棱锥O-ABC 等底等高的三棱锥P-DEF ，结果是否会不变呢？解决此问题，即要证明等底等高的三棱锥的体积相等. 已知三棱锥O-ABC 和P-DEF 的底面积都是S ，高都是h. 求证：三棱锥O-ABC 和P-DEF 的体积相等.证明：把两个三棱锥的底面都放在平面α上，任意作平面//βα，设平面β截三棱锥O-ABC 所得的截线为三角形A ’B ’C ’，其面积为S 1；平面β截三棱锥P-DEF 所得的截线为三角形D ’E ’F ’，其面积为S 2.如果三棱锥的顶点O 和P 与平面β的距离为h 1，那么推得：1'''h OA OB OC OA OB OC h ===和1''''''h A B B C C A AB BC CA h===，于是得'''A B C ABC ∆∆:，相似比是1h h ，同理可得'''D E F DEF ∆∆:，相似比也是1h h .由相似形的性质得211()S h S h=，B C A OBCA OPQ222()S h S h =.即2112()hS S S h==. 因为任意平行于底面的平面截两个三棱锥时，所得的截面面积相等，所以由祖暅原理得三棱锥O-ABC 和P-DEF 的体积相等，即等底等高的三棱锥的体积相等.问题2：为什么三棱锥的体积公式恰巧为V 三棱锥=13Sh ，而不是11,24Sh Sh ？ 观察实验中的三棱锥O-ABC ，正好含在三棱柱OPQ-ABC 中，于是我们通过连接OB ，OC 把三棱柱OPQ-ABC 中的三棱锥O-ABC 找出来，发现三棱柱OPQ-ABC 是由三棱锥O-ABC 和四棱锥O-BCQP 组成的.进一步的，连接BQ ，那么此时比较明显的有：V OPQ-ABC =V O-ABC +V B-OPQ +V O-BCQ由于等底等高的三棱锥的体积相等，故有： V O-ABC =V B-OPQ =V O-BPQ =V O-BCQ因此，V 三棱锥=13Sh 请学生叙述如果连接PC ，怎样证明？平面几何中求面积时，我们经常会用到割补法.同样的，立体几何求体积也会用到此法.上述的证明方法，本质上就是把一个三棱锥补成三棱柱后，再加以证明，是求体积的“补”法.推广1：四棱锥的体积公式呢？如果也采用三棱锥探求体积的方法，是否可行？ 三棱锥体积的证明中用到了一个三棱锥非常个性化的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点.这是其它任何棱锥所不具备的特征.BCA OPQBC A OPABCD那么，我们已经知道，并且证明了三棱锥的体积，四棱锥中有没有三棱锥呢？ 通过连接AC ，可得: V P-ABCD =V P-ABC +V P-ACD =13( S ΔABC +S ΔACD )h=13S ABCD h 其中h 是P 到底面ABCD 的距离，即四棱锥的高.推广2：n 棱锥的体积公式呢？基本上可由学生自行完成.课本P39也讲述的非常清楚.总结：V 棱锥=13Sh三、巩固应用例：在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，已知棱长为a ，求:(1)三棱锥B ′-ABC 的体积；(2)这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几； (3)B 到平面AB ′C 的距离?（用2种方法答） 解：(1)由正方体棱长为a ，得S ΔABC =21a 2，高h=a. 所以V B ′-ABC =31S ΔABC ·h=31·21a 2·a=61a 3. (2)因为V 正方体=a 3，所以V B ′-ABC ∶V 正方体=61. (3)方法一:如图，过B 作BO ⊥面AB ′C 于O ，则O 必为ΔAB ′C 的重心.连AO 并延长交B ′C 于M ， 因为 AB ′=B ′C=CA=2a, 所以 AM=23·2a=26a,OA=32AM=36a. 在Rt ΔAOB 中，BO=22OA AB -=a a a 333222=-，即B 到面AB ′C 的距离为33a. 方法二:设B 到面AB ′C 距离为h,因为 AB ′=B ′C=CA=2a ， 所以 S ΔAB ′C=43 (2a)2=23a 2，因此31·23a 2·h=V B-AB ′C = V B ′-ABC =31·21a 2·a=61a 3，故h=33a 即B 到面AB ′C 的距离为33a. 方法二充分运用了三棱锥的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点.这为我们求解顶点到底面的距离提供了捷径，称之为体积法.四、课堂小结 1、割补法求体积 2、V 棱锥=13Sh 3、体积法求点到面的距离五、作业布置 课本P41练习15.5(2)六、教学设计说明数学是源于生活的.选用实际的实验操作能使学生对V 棱锥=13Sh 有一个形象的、具体化的认识.数学是严谨的.发现规律之后，需要的是严格的证明，证明的两个层次，老师要加以把关.证明过程中有使用了很多已学的立体几何知识，是一个很好的回顾与应用的过程；学生的空间想象能力也能在证明的过程中得以提高.数学是发展的.在三棱锥的基础上，继续对广，四棱锥、n 棱锥的体积公式，对比探求体积的“补”法与“割”法.数学是为生活服务的.应用棱锥公式，解决实际问题.。
沪教版(上海)数学高三上册-15.5 几何体的体积(1)教案
几何体的体积（1） 学习目标1、理解祖暅原理，并能推导出棱柱的体积公式；2、有关棱柱体积、侧面积公式的简单应用。
课前导学【材料阅读】阅读课本第37页（15.5几何体的体积）课堂交流【知识梳理】1、祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个空间几何体，被 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积 ，那么这两个空间几何体的体积 。
2、棱柱的体积对于任何一个棱柱，都可以做出一个和它 的长方体。
由祖暅原理可知，棱柱的体积与长方体一样，等于底面积与高的积，即=V 棱柱 【练习】1. 正四棱柱的对角线长为，全面积为2144cm ，求它的体积。
2. 正六棱柱的侧棱长为4cm ，底面边长为2cm ，求它的表面积与体积。
【典例分析】【例1】已知三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，两直角边4AC cm =，3BC cm =，侧棱长110AA cm =，且1AA ⊥底面ABC ，求此棱柱的体积。
变式：1AA 与底面所成的角为60︒，求此棱柱的体积。
【例2】计划修建一条水渠，渠道长1.5km ，渠道断面是梯形，梯形两底分别是1.8m 和0.8m ，高是0.6m ，如果每人每天挖土32m ，完成这条渠道需要多少工？（每人每天的工作量称为1工）【例3】已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，4AB =，2AD =，若BD BC ⊥，1B D 与平面ABCD 所成的角为30︒，求此平行六面体的体积。
【例4】斜四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是正方形，8AB =，侧棱长为12，棱柱的顶点1A 到下底面各顶点间的距离相等，求棱柱的侧面积和体积。
【提炼总结】1.祖暅原理2.棱柱的体积公式。
沪教版——15.4几何体的表面积
例2.用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥 的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为 10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（衔接部 分忽略不计）
O
45°
10cm
练习2.已知正三棱锥的底面边长为2cm，高为1cm，
23
斜高为 3 cm，求该三棱锥的侧面积和表面积. O
S侧 2 3cm2
S表 3 3cm2
B
A
D
O′
C
3.球的表面积
S 4 r2 （其中r为球半径）
球的表面积是大圆面积的4倍
练习3.已知球O1和球O2的表面积之比为S1 : S2 16 : 9， 求半径之比R1 : R2.
小结
1.直柱体的侧面积： S侧 ch 表面积： S全 ch 2S底
其中圆柱的侧面积：S侧 2 rh
表面积：S全 2 rh 2 r 2
2.锥体的侧面积： 表面积：
S侧
1 2
ch
S全
1 ch 2
S底
其中圆锥的侧面积： S侧 rh
表面积： S全 rh r2
3.球的表面积公式：S 4 r2
例5.已知球面上过三点A、B、C的截面和球心的
距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求 此球的表面积。
15.4 几何体的表面积
常用的方法： 将几何体的侧面展开成平面图形， 转化为计算平面图形的面积
直柱体
直柱体的表面积
h h
c 直棱柱的侧面积：S侧 ch
直棱柱的表面积：S全 ch 2S底
h
r
h
c
圆柱的侧面积：S侧 2 rh 圆柱的表面积：S全 2 rh 2 r 2
2.锥体的表面积
例6.如图，PA、PB是圆锥PO的两条母线，O是底面圆的 圆心，底面圆的半径为10，C是PB中点，∠AOB=60°， AC与底面所成角为45°，求圆锥的侧面积。
简单几何体的表面积与体积教案
6
6
解得 h＝ 3a. 3
[规律方法]
求几何体体积的常用方法
（1）公式法：直接代入公式求解．
（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积
和高都易求的形式即可．
（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成
棱锥等．
（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
表面积．
【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a＝ 2x，由题意 2R
则中截面半径为 4x，设上台体的母线长为 l， 则下台体的母线长也为 l，上台体侧面积 S1＝π（3x＋4x）l＝7πxl，下台体侧
面积 S2＝π（4x＋5x）l＝9πxl，所以 S1∶S2＝7∶9. 答案：7∶9 4.如图，三棱台 ABC A1B1C1 中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱
锥 A1 ABC，三棱锥 B A1B1C，三棱锥 C A1B1C1 的体积之比． 解：设棱台的高为 h，S△ABC＝S，则 S△A1B1C1＝4S. 所以 VA1 ABC＝13S△ABC·h＝13Sh， VC A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝43Sh. 又 V 台＝13h（S＋4S＋2S）＝73Sh， 所以 VB A1B1C＝V 台－VA1 ABC－VC A1B1C1 ＝7Sh－Sh－4Sh＝2Sh， 3 3 33 所以体积比为 1∶2∶4.
D.2 048π cm3 3
【解析】如图，作出球的一个截面，则 MC＝8－6＝2（cm）， BM＝1AB＝1×8＝4（cm）．
22
设球的半径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2 ＝（R－2）2＋42，
所以 R＝5， 所以 V 球＝43π×53＝5030π （cm3）．
高三数学上;15.5《几何体的体积》教案(2)(沪教版)
15.5几何体的体积(2)锥体的体积一、教学内容分析锥体的体积是学习祖暅原理与柱体体积之后，对几何体体积的进一步探索.其中三棱锥体积在这之中又尤为重要，起着承上启下的作用.推导三棱锥的体积要用到前一课时的内容；同时，n 棱锥乃至圆锥的体积公式又是建立在三棱锥体积之上的.所以处理好三棱锥的体积问题，是这堂课的重中之重.二、教学目标设计学生通过具体实验感知三棱锥体积公式，通过严谨证明确认三棱锥体积公式，通过对新知识的应用推广得到n 棱锥的体积公式，通过具体实例初步应用锥体体积公式.能应用割补法求体积以及体积法求点到面的距离，在这个过程中，提高分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力.三、教学重点及难点三棱锥体积公式及其探求.四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入1、复习祖暅原理：体积可看成是有面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等.2、柱体体积公式：V 棱柱=Sh3、问题：锥体的体积公式是什么？会不会和柱体的体积有什么联系？实验：如图取一个三棱锥教具（无底面ABC ），一个与之同底等高的三棱柱教具（无底面ABC ）（教具可用硬板纸制作），以及黄沙若干.用三棱锥盛满黄沙，倒入三棱柱容器中，发现倒三次正好把三棱柱容器填满. 从这个实验中，学生猜想三棱锥的体积公式为V 三棱锥=13Sh 这个实验的结果到底是一个美丽的巧合还是一个必然的结果？ 二、学习新课问题1：从猜想的三棱锥体积公式为V三棱锥=13Sh 看，体积只和三棱锥底面积和高有关，而与底面三角形的形状无关.那么，上述实验中的三棱柱不变，三棱锥变成与原三棱锥O-ABC 等底等高的三棱锥P-DEF ，结果是否会不变呢？解决此问题，即要证明等底等高的三棱锥的体积相等. 已知三棱锥O-ABC 和P-DEF 的底面积都是S ，高都是h. 求证：三棱锥O-ABC 和P-DEF 的体积相等.证明：把两个三棱锥的底面都放在平面α上，任意作平面//βα，设平面β截三棱锥O-ABC 所得的截线为三角形A ’B ’C ’，其面积为S 1；平面β截三棱锥P-DEF 所得的截线为三角形D ’E ’F ’，其面积为S 2.如果三棱锥的顶点O 和P 与平面β的距离为h 1，那么推得：1'''h OA OB OC OA OB OC h ===和1''''''h A B B C C A AB BC CA h===，于是得'''A B C ABC ∆∆，相似比是1h h ，同理可得'''D E F DEF ∆∆，相似比也是1h h .由相似形的性质得211()S h S h=，B C A OBCA OPQ222()S h S h =.即2112()hS S S h==. 因为任意平行于底面的平面截两个三棱锥时，所得的截面面积相等，所以由祖暅原理得三棱锥O-ABC 和P-DEF 的体积相等，即等底等高的三棱锥的体积相等.问题2：为什么三棱锥的体积公式恰巧为V 三棱锥=13Sh ，而不是11,24Sh Sh ？ 观察实验中的三棱锥O-ABC ，正好含在三棱柱OPQ-ABC 中，于是我们通过连接OB ，OC 把三棱柱OPQ-ABC 中的三棱锥O-ABC 找出来，发现三棱柱OPQ-ABC 是由三棱锥O-ABC 和四棱锥O-BCQP 组成的.进一步的，连接BQ ，那么此时比较明显的有：V OPQ-ABC =V O-ABC +V B-OPQ +V O-BCQ由于等底等高的三棱锥的体积相等，故有： V O-ABC =V B-OPQ =V O-BPQ =V O-BCQ因此，V 三棱锥=13Sh 请学生叙述如果连接PC ，怎样证明？平面几何中求面积时，我们经常会用到割补法.同样的，立体几何求体积也会用到此法.上述的证明方法，本质上就是把一个三棱锥补成三棱柱后，再加以证明，是求体积的“补”法.推广1：四棱锥的体积公式呢？如果也采用三棱锥探求体积的方法，是否可行？ 三棱锥体积的证明中用到了一个三棱锥非常个性化的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点.这是其它任何棱锥所不具备的特征.BCA OPQBC A OPAD那么，我们已经知道，并且证明了三棱锥的体积，四棱锥中有没有三棱锥呢？ 通过连接AC ，可得: V P-ABCD =V P-ABC +V P-ACD =13( S ΔABC +S ΔACD )h=13S ABCD h 其中h 是P 到底面ABCD 的距离，即四棱锥的高.推广2：n 棱锥的体积公式呢？基本上可由学生自行完成.课本P39也讲述的非常清楚.总结：V 棱锥=13Sh三、巩固应用例：在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，已知棱长为a ，求:(1)三棱锥B ′-ABC 的体积；(2)这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几； (3)B 到平面AB ′C 的距离?（用2种方法答） 解：(1)由正方体棱长为a ，得S ΔABC =21a 2，高h=a. 所以V B ′-ABC =31S ΔABC ·h=31·21a 2·a=61a 3. (2)因为V正方体=a 3，所以V B ′-ABC ∶V 正方体=61. (3)方法一:如图，过B 作BO ⊥面AB ′C 于O ，则O 必为ΔAB ′C 的重心.连AO 并延长交B ′C 于M ， 因为 AB ′=B ′C=CA=2a, 所以 AM=23·2a=26a,OA=32AM=36a. 在Rt ΔAOB 中，BO=22OA AB -=a a a 333222=-，即B 到面AB ′C 的距离为33a. 方法二:设B 到面AB ′C 距离为h,因为 AB ′=B ′C=CA=2a ， 所以 S ΔAB ′C=43 (2a)2=23a 2，因此31·23a 2·h=V B-AB ′C = V B ′-ABC =31·21a 2·a=61a 3，故h=33a 即B 到面AB ′C 的距离为33a. 方法二充分运用了三棱锥的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点.这为我们求解顶点到底面的距离提供了捷径，称之为体积法.四、课堂小结 1、割补法求体积 2、V 棱锥=13Sh 3、体积法求点到面的距离五、作业布置 课本P41练习15.5(2)六、教学设计说明数学是源于生活的.选用实际的实验操作能使学生对V 棱锥=13Sh 有一个形象的、具体化的认识.数学是严谨的.发现规律之后，需要的是严格的证明，证明的两个层次，老师要加以把关.证明过程中有使用了很多已学的立体几何知识，是一个很好的回顾与应用的过程；学生的空间想象能力也能在证明的过程中得以提高.数学是发展的.在三棱锥的基础上，继续对广，四棱锥、n 棱锥的体积公式，对比探求体积的“补”法与“割”法.数学是为生活服务的.应用棱锥公式，解决实际问题.。