武昌区2018届高三年级元月调研考试数学(文)试卷及答案
湖北省武汉市武昌区高三数学元月调考试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|x≤0}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|0≤x＜2} D．∅2．（5分）如果复数（a+i）（1﹣i）的模为，则实数a的值为（）A．2 B．C．±2D．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．40 D．724．（5分）根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则b的值为（）A．1.4 B．﹣1.4 C．1.2 D．﹣1.25．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A．0 B．1 C．2 D．46．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定7．（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A．1 B．﹣C．1，﹣D．1，8．（5分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=（）A．B．C．2 D．49．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．310．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：年级人数近视率小学3500 10%初中4500 30%高中2000 50%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为；抽取的高中生中，近视人数为．12．（5分）=．13．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，则x﹣y的取值范围是．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为．15．（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程为．16．（5分）给出以下数对序列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）…记第i行的第j个数对为a ij，如a43=（3，2），则（Ⅰ）a54=；（Ⅱ）a nm=．17．（5分）已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率是．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，B=，c=8，cosC=﹣．求：（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n；数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}为等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．21．（14分）已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|x≤0}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|0≤x＜2} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算得答案．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B={x|x≤0}∩{x|﹣1＜x＜2}={x|﹣1＜x≤0}．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）如果复数（a+i）（1﹣i）的模为，则实数a的值为（）A．2 B．C．±2D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵复数（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i的模为，∴=，化为a2=4，解得a=±2．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．40 D．72考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用棱锥和长方体的体积公式，可得答案．解答：解：由三视图得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥和长方体的组合体，长方体的长宽高分别为3，4，2，故长方体的体积为3×4×2=24，四棱锥的底面积为：3×4=12，高为6﹣2=4，故四棱锥的体积为：×12×4=16，故组合体的体积V=24+16=40，故选：C点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决．4．（5分）根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则b的值为（）A．1.4 B．﹣1.4 C．1.2 D．﹣1.2考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：利用公式求出b，a，即可得出结论．解答：解：样本平均数=5，=1.9，∵样本数据中心点必在回归直线上，将=5，=1.9，代入得：1.9=5b+7.9，解得：b=﹣1.2，故选：D点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．5．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A．0 B．1 C．2 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的加减运算及向量垂直的条件，即为数量积为0，即可得到所求值．解答：解：=（）•（）=（+）•（﹣）=﹣﹣=﹣﹣0=0，故选A．点评：本题考查平面向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．解答：解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：B点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．7．（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A．1 B．﹣C．1，﹣D．1，考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：由分段函数的解析式容易得出，f（1）=e1﹣1=1，∴f（a）=1，然后在每一段上求函数的值为1时对应的a的值即可．解答：解：由题意知，当﹣1＜x＜0时，f（x）=sin（πx2）；当x≥0时，f（x）=e x﹣1；∴f（1）=e1﹣1=1．若f（1）+f（a）=2，则f（a）=1；当a≥0时，e a﹣1=1，∴a=1；当﹣1＜a＜0时，sin（πx2）=1，∴，x=（不满足条件，舍去），或x=．所以a的所有可能值为：1，．故答案为：C点评：本题考查分段函数中由函数值求对应的自变量的值的问题，需要在每一段上讨论函数的解析式，然后求出对应的自变量的值．8．（5分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=（）A．B．C．2 D．4考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，sin（ω•）=，故有ω•=，从而求得ω 的值．解答：解：由题意可得y=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，∴sin（ω•）=，ω•=，ω=，故选：B．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，属于基础题．9．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．3考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两根分别为﹣c，c．则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求．解答：解：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，可得，（b2﹣a2）x2﹣a2tx﹣a2t2﹣a2b2=0，由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则有上式的两根分别为﹣c，c．则t=0，即有（b2﹣a2）c2=a2b2，由于b2=c2﹣a2，则有2c4﹣5a2c2+2a4=0，由e=，则2e4﹣5e2+2=0，解得e2=2（舍去），则e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：可采用数形结合的方法解决问题，因为f（x）﹣是奇函数，只需判断a≥0时的满足题意的a的范围，然后即可解决问题．解答：解：y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），即函数y=f（x）与y=g（x）=的图象在[﹣10，10]上有10个不同的交点．先研究a≥0时的情况，如图，当a=0时，g（x）=恰好与y=f（x）产生10个交点；当a＞0时，y=的图象是将y=向上平移a个单位，则在y轴右边，当g（9）＜1时，右边产生4个交点；同时y轴左边满足g（﹣10）≤0时，左边产生6个交点．这样共产生10个交点，即，解得0≤a≤．同理，根据函数图象的对称性可知，当a＜0时，只需时满足题意．综上，当时，函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同）．故选C点评：本题考查了数形结合的方法研究函数的零点个数的问题，要注意参数变化时函数图象的变化规律．属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：年级人数近视率小学3500 10%初中4500 30%高中2000 50%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为200；抽取的高中生中，近视人数为20．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出学生总人数，利用抽样比求出样本容量．（Ⅱ）利用学生的近视率直接求解高中学生近视人数．解答：解：由题意可知学生总人数为：3500+4500+2000=10000，（Ⅰ）样本容量为：10000×2%=200；（Ⅱ）2000×2%=40．40×50%=20．故答案为：200；20．点评：本题考查分层抽样的实际应用，基本知识的考查．12．（5分）=4．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：由已知可得，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果．解答：解：=故答案为：4点评：本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简．13．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，则x﹣y的取值范围是[﹣3，4]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（4，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，此时z max=4，当直线经过点A（0，3）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z min=0﹣3=﹣3．∴﹣3≤z≤4，故答案为：[﹣3，4]点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为﹣5050．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002的值，∵S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002=（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（99﹣100）（99+100）=﹣（1+2+3+4+…+99+100）=﹣=﹣5050，故答案为：﹣5050点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：以（1，3）为圆心，与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程的半径r等于圆心到直线的距离d，由此能求出圆的方程．解答：解：以（1，3）为圆心，与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程的半径r等于圆心到直线的距离d，∴r=d==3，∴圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．点评：本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．16．（5分）给出以下数对序列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）…记第i行的第j个数对为a ij，如a43=（3，2），则（Ⅰ）a54=（4，2）；（Ⅱ）a nm=（m，n﹣m+1）．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由前4行得到，每一行的第一个数对是（1，n），n为行数，接着的每一个数对前一个数是连续的自然数，后一个是依次减1的数，由此推出第n行的数对，即可得到（Ⅰ）、（Ⅱ）的结论，注意每一行中，第一个数是列数，两个数之和减1是行数．解答：解：由前4行的特点，归纳可得：若a nm=（a，b），则a=m，b=n﹣m+1，∴a54=（4，5﹣4+1）=（4，2），a nm=（m，n﹣m+1），故答案为：（Ⅰ）（4，2）；（Ⅱ）（m，n﹣m+1）点评：本题主要考查归纳推理的思想方法，注意观察和分析数对的特点，是解决该类问题的关键．17．（5分）已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：函数f（x）在R上是增函数转化为f'（x）≥0恒成立，即△≤0解得a，b的一个关系式，一一列举出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：f'（x）=x2﹣2（a﹣1）x+b2若函数f（x）在R上是增函数，则对于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．所以，△=4（a﹣1）2﹣4b2≤0，即（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）≤0因为a+b﹣1≥1，所以a﹣b﹣1≤0，即a﹣b≤1，则满足的条件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，3），（3，2），（4，3）9个基本事件，总的基本事件有12种．故函数f（x）在R上是增函数的概率P==．故答案为：．点评：考查利用导数研究函数的单调性，转化为恒成立问题求解，是导数与古典概型相结合的题目，新颖，体现了数形结合的思想，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，B=，c=8，cosC=﹣．求：（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）首先，求解sinC=，然后，根据正弦定理，求解b的值即可；（2）首先，求解sinA，然后，利用三角形的面积公式求解即可．解答：解：（1）∵cosC=﹣，∴sinC===，∴sinC=，根据正弦定理，得，∴b===7，∴b的值为7．（2）∵sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==，∴sinA=，∴S=bcsinA==6．∴△ABC的面积6．点评：本题重点考查了余弦定理、正弦定理和三角形的面积公式等知识综合应用，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n；数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}为等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是首项a1=1，公比q=2的等比数列，数列{b n﹣a n}的公差为d=2，由此能求出数列{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）由，利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是首项a1=1，公比q=2的等比数列，所以；因为b1﹣a1=2，b2﹣a2=4，所以数列{b n﹣a n}的公差为d=2．所以b n﹣a n=（b1﹣a1）+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．所以．…（6分）（Ⅱ）∵，∴T n=b1+b2+b3+…+b n=（2+4+6+…+2n）+（1+2+4+…+2n﹣1）==n（n+1）+2n﹣1．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．20．（13分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．解答：解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵A C⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．点评：本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．解答：解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对∀n∈N*，不等式恒成立．点评：此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．（ⅱ）T点的坐标为（3，﹣m）．，|PQ|=．由此能求出当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，解得a2=6，b2=2．所以椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．于是．设M为PQ的中点，则M点的坐标为．因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），此时直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标为代入，得．解得t=3．（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，﹣m）．于是，====．所以==．当且仅当，即m=±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用．。
武昌区2018届高三年级元月调研考试(理数答案)
武昌区2018届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则二、填空题：13. 2 14. 180 15.3416. 100 三、解答题： 17．（12分） 解析：（1）由正弦定理，知C A C B sin sin 2cos sin 2+=， 由π=++C B A ，得C C B C B sin )sin(2cos sin 2++=，化简，得C C B C B C B sin )sin cos cos (sin 2cos sin 2++=，即0sin sin cos 2=+C C B . 因为0sin ≠C ，所以21cos -=B .因为π<<B 0，所以32π=B . ......................................6分 （2）由余弦定理，得B ac c a b cos 2222-+=，即B ac ac c a b cos 22)(22--+=， 因为2=b ，5=+c a ，所以，32cos22)5(222πac ac --=，即1=ac . 所以，4323121sin 21=⨯⨯==∆B ac S ABC . ......................................12分 18．（12分） 解析：（1）取AC 的中点O ，连接BO ，PO .因为ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO =3.因为P A ⊥PC ，所以PO =121=AC .因为PB =2，所以OP 2+OB 2==PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ，OP 为相交直线，所以BO ⊥平面P AC .又OB ⊂平面ABC ，所以平面P AB ⊥平面ABC ． ......................................6分 （2）因为P A =PB ，BA =BC ，所以PAB ∆≌PCB ∆. 过点A 作PB AD ⊥于D ，则PB CD ⊥.所以ADC ∠为所求二面角A ﹣PB ﹣C 的平面角. 因为P A =PC ，P A ⊥PC ，AC =2，所以2==PC PA . 在PAB ∆中，求得27=AD ，同理27=CD . P AC在ADC ∆中，由余弦定理，得712cos 222-=⋅-+=∠CD AD AC CD AD ADC .所以，二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为71-． ......................................12分 19．（12分）解析：（1）由计算可得2K 的观测值为416.836362844)2028816(722≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ．因为005.0)879.7(2≈≥K P ，而789.7416.8>所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.......................................4分 （2）ξ的取值为0，1，2.18995)0(28220===C C P ξ，18980)1(2812018===C C C P ξ，272)2(2828===C C P ξ. ξ的分布列为ξ的数学期望为742722189801189950=⨯+⨯+⨯=ξE . ......................................12分20．（12分）解析：（1）由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,22,141122ac b a 考虑到222c b a +=，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.1,222b a所以，所求椭圆C 的方程为1222=+y x . ......................................4分（2）设直线l 的方程为m kx y +=，代入椭圆方程1222=+y x ，整理得0)1(24)21(222=-+++m kmx x k .由0)1)(21(8)4(222>-+-=∆m k km ，得1222->m k . ① 设),(11y x A ，),(22y x B ，则221214k km x x +-=+，222121)1(2k m x x +-=.因为)0,1(-F ，所以1111+=x yk AF ，1221+=x y k AF .因为1122211+++=x y x y k ，且m kx y +=11，m kx y +=22，所以0)2)((21=++-x x k m .因为直线AB ：m kx y +=不过焦点)0,1(-F ，所以0≠-k m ， 所以0221=++x x ，从而02414=++-k km ，即kk m 21+=. ② 由①②得1)21(222-+>k k k ，化简得22||>k . ③ 焦点)0,1(2F 到直线l ：m kx y +=的距离112121|212|1||222++=++=++=k k k k k km k d . 令112+=k t ，由22||>k 知)3,1(∈t . 于是)3(21232tt t t d +=+=.考虑到函数)3(21)(tt t f +=在]3,1[上单调递减，所以)1()3(f d f <<，解得23<<d . ......................................12分 21．（12分）解析：（1）a x f x -='-2e )(.当0≤a 时，0)(≥'x f ，函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递增； 当0>a 时，由0e )(2=-='-a x f x ，得a x ln 2+=.若a x ln 2+>，则0)(>'x f ，函数)(x f 在),ln 2(+∞+a 上单调递增；若a x ln 2+<，则0)(<'x f ，函数)(x f 在)ln 2,(a +-∞上单调递减. .........................4分 （2）（ⅰ）由（1）知，当0≤a 时，)(x f 单调递增，没有两个不同的零点. 当0>a 时，)(x f 在a x ln 2+=处取得极小值. 由0)ln 2(e )ln 2(ln <+-=+a a a f a ，得ea 1>. 所以a 的取值范围为),1(+∞e.（ⅱ）由0e 2=--ax x ，得x a ax x ln ln )ln(2+==-，即a x x ln ln 2=--. 所以a x x x x ln ln 2ln 22211=--=--.令x x x g ln 2)(--=，则xx g 11)(-='. 当1>x 时，0)(>'x g ；当10<<x 时，0)(<'x g .所以)(x g 在)1,0(递减，在),1(+∞递增，所以2110x x <<<. 要证221>+x x ，只需证1212>->x x .因为)(x g 在),1(+∞递增，所以只需证)2()(12x g x g ->.因为)()(21x g x g =，只需证)2()(11x g x g ->，即证0)2()(11>--x g x g . 令)2()()(x g x g x h --=，10<<x ，则)211(2)2()()(xx x g x g x h -+-=-'-'='.因为2)211)](2([21211≥-+-+=-+xx x x x x ，所以0)(≤'x h ，即)(x h 在)1,0(上单调递减. 所以0)1()(=>h x h ，即0)2()(11>--x g x g ，所以221>+x x 成立. ......................................12分 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 解析：（1）∵ρsin 2α﹣2cos α=0，∴ρ2sin 2α=4ρcos α， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ． 由⎩⎨⎧=+=,2,12t y t x 消去t ，得1+=y x .∴直线l 的直角坐标方程为01=--y x ． ......................................5分 （2）点M （1，0）在直线l 上，设直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,22,221t y t x （t 为参数），A ，B 对应的参数为t 1，t 2．将l 的参数方程代入y 2=4x ，得08242=--t t . 于是2421=+t t ，821-=t t .∴8||||||21==⋅t t MB MA . ......................................10分 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）解析：（1）由题意知03|||2|≥-++-a x x 恒成立. 因为|2||)()2(||||2|+=+--≥++-a a x x a x x ，所以3|2|≥+a ，解得5-≤a 或1≥a . ......................................5分 （2）因为2=+n m （)0,0>>n m ，所以)322(21)32(21)12(212+≥++=+⋅+=+n m m n n m n m n m ，即n m 12+的取值范围为),232[+∞+． ......................................10分。
最新-湖北省武昌区2018届高三数学元月调研测试 文 精
湖北省武昌区2018届高三年级元月调研测试数学试题（文）本试卷共150分，考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．本卷1一10题为选择题，共50分；1l 一21题为非选择题，共100分，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回．2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考征号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置．3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．4．非选择题的作答：用0．5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内．答在指定区域外无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）P （B ）． 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）．台体的体积公式1()3V S S h =++下上，其中S 上、S 下分别是台体的上、下底面面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，C U B={l ，3}，则集合B=（ ） A ．{2，4，5，6，7，8} B ．{4，5，6，7，8} C ．{2，5，6，7，8} D ．{5，6，7，8} 2．复数21ii+的共轭复数为（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．函数()y f x =的图象如图所示，给出以下说法：①函数()y f x =的定义域是[一l ，5]； ②函数()y f x =的值域是（一∞，0]∪[2，4]； ③函数()y f x =在定义域内是增函数； ④函数()y f x =在定义域内的导数()0.f x '> 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④4．若24log 3,(22)x x x -=-=则（ ）A．9 4B．5 4C．10 3D．4 35．执行右边的程序框图，那么输出的S的值是（）A．2 450B．2 550C．5 180D．4 9006．一个几何体的正视图、侧视图是两个边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的正方形俯视图是边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（）A．6B．2+C．3+D．4+7．通过随机询问1 10名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，算得22110(40302020)~7.8.60506050K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D．仵犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”8．“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．给出以下4个命题： ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈；③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象； ④函数sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]π上是减函数． 其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为 （ ）A ．22+ B ．12+ C ．22- D ．12- 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB=4，BD=1，则A B A D ⋅= 。
最新-湖北武汉武昌区2018届高三元月调考数学文科试题精品
D1 A1
D A 6 分）
C1 B1 E
C B
（Ⅱ）
V V EB B1 A1D 1E
， E A1 B1 D1
1
平面 A1 B1C1D1 ，
VE A1 B1 D1
1 3 S A1B1D1 EB1 .
1
1
2
S A1 B1 D1
A1B1 A1D1 2
1，
VE A1B 1 D1
EB1 3
.
3
EB1 2 .
13 分）
1 ln x
21.解：（Ⅰ） f ( x) 的定义域为 (0, ) ， f ( x)
x2 ，
由 f ( x)
1 ln x x2
0 ，得 x
e.
当0
x
e 时， f ( x)
1 ln x x2
0 ；当 x
e时， f ( x)
1 ln x x2
0.
所以函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增，在 [e, ) 上单调递减 . ………………………（ 4 分）
ac sin B
38
6 3 .…………………………………………（
2
2
2
12 分）
19.解 ：（Ⅰ）由题意知数列 an 是首项 a1 1 ，公比 q 2 的等比数列，
所以 an 2n 1 ；
因为 b1 a1 2 ， b2 a2 4 ， 所以数列 bn a n 的公差为 d 2 .
所以 bn 所以 bn
S=0， k=1
k≤ n 是
k 是偶数 是
SБайду номын сангаасS- k2
否
否 S=S+k2
输出 S
k=k+1
湖北省武汉市达标名校2018年高考一月调研数学试卷含解析
湖北省武汉市达标名校2018年高考一月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=+-+-，不等式()22(4)50f a x f x +++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦2．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．17B ．27C ．13D ．18353．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．255．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+6．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．2827．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A ．2B ．2C ．10D ．108．ABC 是边长为23的等边三角形，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．53B ．33C ．6 D ．369．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．247-B ．1731-C ．247D ．173110．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．3211．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤12．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市武昌区2018届高三1月调研考试文数试题 含答案
武昌区2018届元月调研考试（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={}05A x N x =∈≤≤，{}20B x x =-<，则()R AC B =（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 2.在复平面内，复数12iz i-+=-（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．-3B ．12 C ．1 D ．324. 执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的2017x =，则输出的i =（ ）A.2 B ． 3 C ．4 D ．55.设公比为()0q q >的等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2232S a =+，4432S a =+，则1a =（ ）A ．-2B ．-1 C.12 D ．236. 已知函数()23f x ax a =-+，若()01,1x ∃∈-，()00f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),31,-∞-+∞ B ．(),3-∞- C. ()3,1- D ．()1,+∞7.在平行四边形ABCD 中，点,M N 分别在边,BC CD 上，且满足3BC MC =，4DC NC = ，若4AB = ，3AD =，则AN MN ⋅=( )A ．B ． D ．78. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．1.2B ．1.6 C. 1.8 D ．2.49. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲 B ．乙 C.丙 D ．丁10. 已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．()222x f x x -=B ．()2cos xf x x = C. ()2cos x f x x =-D ．()cos xf x x=11.已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）A ．6B ．D12.若()cos 2cos 2f x x a x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)2,-+∞B ．()2,-+∞ C. (),4-∞- D ．(],4-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知直线l 将圆22:210C x y x y ++-+=平分，且与直线230x y ++=垂直，则l 的方程为 ．14.已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 1893 7140 9857 1847 4373 8636 6947 1417 4698 1871 6233 2616 8185 6011 3661 9597 7424 7610 4281 据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为 ．15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前9项和为 ．16.在矩形ABCD 中，AB BC <，现将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos 2cos a C c A =,1tan 2C =, （Ⅰ）求B ;（Ⅱ）若5b =，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD =中，//AB CD ,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形，2AB BC ==,1CD SD ==.（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ； （Ⅱ）求四棱锥S ABCD -的高.19. （本小题满分12分）（本小题满分12分）我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x （吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，…，[]4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由；20. （本小题满分12分）已知直线()2y k x =-与抛物线21:2y x Γ=相交于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N . （Ⅰ）证明：抛物线Γ在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB ⋅=?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分12分）已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设0a <，若对12,x x ∀()0,∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()223f x x x =-+- ，记()1f x ≤-的解集为M . （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M ∈时,证明：()()220x f x x f x -≤⎡⎤⎣⎦.试卷答案一、选择题1-5: DCCBB 6-10:ABBBD 11、A 12：D二、填空题13. 220x y -+= 14.0.75 15. 19- 16.②三、解答题17.（Ⅰ）由题设条件及正弦定理，得3sin cos 2sin cos A C C A =,2tan tan 3A C ∴=; 1tan 2C = ,1tan 3A ∴= ,()()tan tan tan tan tan 11tan tan A CB AC A C A Cπ+∴=-+=-+=-=-⎡⎤⎣⎦- ,30,4B B ππ<<∴= .（Ⅱ）在ABC ∆中，由1tan 3A =，1tan 2C =得sin A =sin C =53sin 4π=，解得a =，115sin 5222ABC S ab C ∆===. 18. （Ⅰ） 解：如下图，取AB 的中点E ，连结DE ，SE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ∴==AD ∴== ,侧面SAB 为等边三角形，2AB =,2SA SB AB ∴===,且SE =又1SD = ,222SA SD AD ∴+=,222SB SD BD += , ,SD SA SD SB ∴⊥⊥,SD ∴⊥平面SAB.（Ⅱ）设四棱锥S ABCD -的高为h ，则h 也是三棱锥S ABD - 的高， 由（Ⅰ）知，SD ⊥平面SAB , 由S ABD D SAB V V --=,得11,33SABABD SAB ABDS SD S h S SD h S ∆∆∆∆⋅⋅=⋅∴= , 又1122222ABD S AB DE ∆=⋅=⨯⨯=,222SAB S AB ∆=== ,1SD =, SAB ABD S SD h S ∆∆⋅∴===故四棱锥S ABCD -另解：连结SE ，过S 作SH DE ⊥于H ，则SH 为所求的高. 19. （Ⅰ）由频率分布直方图，可得()0.080.160.400.520.120.080.040.51a a ++++++++⨯=，解得0.30a =.（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为()0.120.080.040.50.12++⨯= ，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为8000000.1296000⨯= .(Ⅲ)前6组的频率之和为()0.080.160.300.400.520.300.50.880.85+++++⨯=> ，而前5组的频率之和为()0.080.160.300.400.520.50.730.85++++⨯=< ，2.53x ∴≤<由()0.3 2.50.850.73x ⨯-=- ，解得 2.9x =，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.20.（Ⅰ）由()2212y k x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 消去x 并整理，得()222228180k x k x k -++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212281,42k x x x x k++==， 21228124M x x k x k ++∴== ，()228112244M M k y k x k k k⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭， 由题设条件可知，14N M y y k ==，22128N N x y k ==，211,84N k k ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为21148y m x k k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ， 将22x y =代入上式，得2212048mmy y k k-+-=， 直线l 与抛物线Γ相切，()22221142048m k m m k k k -⎛⎫∴∆=-⨯⨯-== ⎪⎝⎭， m k ∴=，即//l AB .（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB ⋅=，则NA NB ⊥,M 是AB 的中点，12MN AB ∴=, 由（Ⅰ）得==MN y ⊥轴，22222811161488M N k k MN x x k k k ++∴=-=-=，221618k k +∴=，解得12k =±， 故存在12k =±，使0NA NB ⋅=. 21. （Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞ ，求导数，得()()()()2111x a x a x x a a f x x a x x x+--+-'=+--== ， 若0a ≤ ，则()0f x '>，此时()f x 在()0,+∞上单调递增，若0a > ，则由()0f x '=得x a =，当0x a <<时，()0f x '< ，当x a >时，()0f x '> ， 此时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.（Ⅱ）不妨设12x x ≤，而0a <，由（Ⅰ）知，()f x 在()0,+∞上单调递增，()()12f x f x ∴≤ 从而()()()121212,0,,4x x f x f x x x ∀∈+∞-≥- 等价于()()()121122,0,,44x x x f x x f x ∀∈+∞-≥- ①令()()4g x x f x =-，则()()4413a ag x f x x a x a x x⎛⎫''=-=-+--=-++ ⎪⎝⎭， 因此，①等价于()g x 在()0,+∞上单调递减，()30ag x x a x'∴=-++≤对()0,x ∀∈+∞恒成立， 231x xa x -∴≤+对()0,x ∀∈+∞恒成立，2min31x x a x ⎛⎫-∴≤ ⎪+⎝⎭ ，又234155111x x x x x -=++-≥=-++，当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立.1a ∴≤- ，故a 的取值范围为(],1-∞-.22.（Ⅰ）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin ρθρθ-=-)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=. 依题意，设()2cos ,2sin P t t ，则P 到直线l的距离2cos 4d t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 2d =-. 故点P 到直线l的距离的最小值为2-. （Ⅱ）曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∴对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，()4t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a的取值范围为(0,.23.（Ⅰ）由已知，得()135x f x x -⎧=⎨-⎩ 22x x ≤> ，当2x ≤时，由()11f x x =-≤-，解得，0x ≤，此时0x ≤. 当2x >时，由()351f x x =-≤-，解得43x ≤，显然不成立， 故()1f x ≤-的解集为{}0M x x =≤.（Ⅱ）当x M ∈时，()1f x x =- ， 于是()()()()222222111124x f x x f x x x x x x x x ⎛⎫-=---=-+=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ， 函数()21124g x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在(],0-∞上是增函数，()()00g x g ∴≤= ， 故()()220x f x x f x -≤⎡⎤⎣⎦.。
湖北省武汉市武昌区高三数学元月调考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，若，则|z|=（）A．1 B．C．D．22．（5分）已知，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，“存在点P∈A”是“P∈B”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件3．（5分）若的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位5．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是（）A．24+和40 B．24+和72 C．64+和40 D．50+和72 7．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣18．（5分）如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线x=1对称，且f（x）=x（0＜x≤1）．若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣，）C．[﹣，] D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11-14题）11．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=．12．（5分）根据如图框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是．13．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是．14．（5分）“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）．（Ⅰ）共有个五位“渐升数”（用数字作答）；（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）（选修4-1：几何证明选讲）15．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=．（选修4-4：坐标系与参数方程）16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数，a为实数常数），曲线C2的参数方程是（t为参数，b为实数常数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程是ρ=1．若C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，则a2+b2=．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（11分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x﹣sin2x+a的在区间[0，]上的最小值为0．（Ⅰ）求常数a的值；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求使f（x）≥0成立的x的集合．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记T n为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得T n＜？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；（Ⅱ）当三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值时，求二面角B1﹣EF﹣B的正切值．20．（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x 0≤x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x＜20 20≤x＜25 x≥25频率0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．21．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当x＞0时，e x＞x2+1；（Ⅲ）证明：当n∈N*时，．湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，若，则|z|=（）A．1 B．C．D．2考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数模的运算性质，将已知关系式等号两端取模，即可即可求得答案解答：解：∵，∴|||z|=||，即2|z|=2，∴|z|=1，故选：A．点评：本题考查了复数求模、熟练应用模的运算性质是关键，属于基础题．2．（5分）已知，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，“存在点P∈A”是“P∈B”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：首先，化简集合A的元素满足的特征，然后，根据集合B的元素构成，得到相应的结果．解答：解：根据，得x，y满足条件为：，根据B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，得x，y满足的条件为：以（1，1）为圆心，1为半径的圆及其内部，显然，（x，y）在B中，那么它必然在A中，反之不正确，故“存在点P∈A”是“P∈B”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题重点考查了充分条件、必要条件、充要条件的判断方法和判断标准，属于中档题．3．（5分）若的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：二项式定理的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用；二项式定理．分析：运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再由条件得到方程，求出r=3，进而得到ab=1，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可得到最小值．解答：解：的展开式的通项公式为T r+1==，由于x3项的系数为20，则12﹣3r=3，解得，r=3，即有=20，即有ab=1，则a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b，取得最小值2．故选B．点评：本题考查二项式定理和通项公式的运用，考查重要不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．4．（5分）根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先，根据所给数据，计算样本中心点（5，0.9），然后，将改点代人回归方程，得到b=﹣1.4，从而得到答案．解答：解：设变量x，y的平均值为：，，∴==5，=0.9，∴样本中心点（5，0.9），∴0.9=5×b+7.9∴b=﹣1.4，∴x每增加1个单位，y就减少1.4．故选：B．点评：本题重点考查了回归直线方程的特征、回归直线方程中回归系数的意义等知识，属于中档题．5．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．解答：解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：B点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是（）A．24+和40 B．24+和72 C．64+和40 D．50+和72考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断：几何体下部分为长方体，上部分为四棱锥．运用体积面积公式求解即可判断．解答：解：根据三视图判断：几何体下部分为长方体，上部分为四棱锥．几何体如下；∴体积：3×4×2+=24+16=40，该几何体的表面积：3×4+2（3+4）×2+4×4=64，故选：C点评：本题考查了空间几何体的性质，三视图的运用恢复立体图形，确定线段长度即可求解面积，体积，属于中档题．7．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．8．（5分）如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．解答：解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=1﹣（﹣）=1+；又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选B．点评：本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．9．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：A．点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线x=1对称，且f（x）=x（0＜x≤1）．若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣，）C．[﹣，] D．（﹣，）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）的图象关于x=1对称得f（1+x）=f（1﹣x），由f（x）是R上的奇函数求出函数的周期，再画出f（x）和y=的图象（第一象限部分），由图得函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点的条件，列出不等式组求出实数a的取值范围．解答：解：因为f（x）的图象关于x=1对称，所以f（1+x）=f（1﹣x）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）=﹣f（x﹣1）．所以f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．则f（x）是周期为4的函数，由f（x）=x（0＜x≤1）画出f（x）和y=的图象（第一象限部分）：．因为函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点，所以y=f（x）与y=+a在区间[﹣10，10]上有10个不同的交点，因为y=f（x）与y=是奇函数，所研究第一象限的部分交点问题即可，而y=+a的图象是由y=的图象上下平移得到，由图得，向上平移时保证图象第三象限的部分在x轴的下方，则第一象限的部分有4个交点，第三象限的部分有6个交点，同理向下平移时保证图象第一象限的部分在x轴的上方，则第一象限的部分有6个交点，第三象限的部分有4个交点，即，解得，故选：C．点评：本题考查函数的周期性、奇偶性、对称性的综合应用，图象平移问题，以及反比列函数的图象，考查数形结合，数形结合是2015届高考中常用的方法，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11-14题）11．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=0．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：建立平面直角坐标系，结合正方形的边长，可求，，进而可求解答：解：如图所示，建立平面直角坐标系则A（0，0）B（2，0），C（2，2），D（0，2）∵E为CD的中点，F为AD的中点∴E（（1，2），F（0，1）∴=（1，2），=（﹣2，1）则=1×（﹣2）+2×1=0故答案为：0点评：本题主要考查了向量数量积的求解，建立坐标可以简化基本运算12．（5分）根据如图框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是a n=2n．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．解答：解：由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴a n=2n．故答案为：a n=2n．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键，属于基础题．13．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两根分别为﹣c，c．则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求．解答：解：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，可得，（b2﹣a2）x2﹣a2tx﹣a2t2﹣a2b2=0，由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则有上式的两根分别为﹣c，c．则t=0，即有（b2﹣a2）c2=a2b2，由于b2=c2﹣a2，则有2c4﹣5a2c2+2a4=0，由e=，则2e4﹣5e2+2=0，解得e2=2（舍去），则e=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）．（Ⅰ）共有126个五位“渐升数”（用数字作答）；（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是34579．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：（Ⅰ）分析可得“渐升数”中不能有0，则可以在其他9个数字中任取5个，按从小到大的顺序排成一列，即可以组成一个“渐升数”，即每种取法对应一个“渐升数”，由组合数公式计算C95即可得答案，（Ⅱ），先计算1和2，3在首位的“渐升数”的个数，可得第100个“渐升数”的首位是3，进而计算3在首位，第二位是4，第三位是5的“渐升数”的个数，即可分析可得第1111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589，继而求出第110个解答：解：（Ⅰ）根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，则共有“渐升数”C95=126个，（Ⅱ）对于这些“渐升数”，1在首位的有C84=70个，2在首位的有C74=35个，3在首位的有C64=15个，对于3在首位的“渐升数”中，第二位是4的有C53=10个，第三位是5的有C42=6，∵70+35+10+6=111，所以则第111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589则第110个“渐升数”即34579；故答案为126，34579；点评：本题考查排列、组合的应用，关键是理解“渐升数”的含义，其次要注意0不能在首位，即“渐升数”中不能有0．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）（选修4-1：几何证明选讲）15．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题；立体几何．分析：由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．解答：解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4．点评：本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．（选修4-4：坐标系与参数方程）16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数，a为实数常数），曲线C2的参数方程是（t为参数，b为实数常数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程是ρ=1．若C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，则a2+b2=2．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由题意将参数方程、极坐标方程化为普通方程，再由题意判断出直线与圆相交截得的弦长所对的圆心角是90°，利用点到直线的距离公式求出a、b，代入a2+b2求值．解答：解：由题意得，C1的普通方程：y=x+a，C2的普通方程：y=x+b，因为曲线C3的极坐标方程是ρ=1，化为直角坐标方程为x2+y2=1，因为C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，所以直线y=x+a、y=x+b与圆x2+y2=1相交截得的弦长所对的圆心角是90°，则圆心到直线的距离d=，即=，解得a=±1，即不妨令a=1、b=﹣1，所以a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与圆相交的问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（11分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x﹣sin2x+a的在区间[0，]上的最小值为0．（Ⅰ）求常数a的值；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求使f（x）≥0成立的x的集合．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数式化简f（x）为一个角的一个三角函数的形式，然后解答．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x﹣sin2x+a=+cos2x+a，所以，所以．因为时，，所以x=时，f（x）的取得最小值f（）=﹣1+a．依题意，﹣1+a=0，所以a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．要使f（x）≥0，即．所以，即．当k=0时，；当k=1时，．又x∈[0，π]，故使f（x）≥0成立的x的集合是．点评：本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用化简三角函数解析式为最简形式，然后解答相关问题；关键是正确化简．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记T n为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得T n＜？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，利用S1，S2，S4成等比数列，求出公差，然后求出通项公式．（Ⅱ）利用a n=1时，T n=n≥1，此时不存在正整数n，使得；当a n=2n﹣1时，利用裂项法求出T n，通过，解得n＜1007．得到n的最大值．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，1，2+d，4+6d成等比数列，所以（2+d）2=4+6d，即d2﹣2d=0，所以d=0或d=2．因此，当d=0时，a n=1；当d=2时，a n=2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）当a n=1时，T n=n≥1，此时不存在正整数n，使得；当a n=2n﹣1时，==．由，得，解得n＜1007．故n的最大值为1006．…（12分）点评：本题考查数列求和，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；（Ⅱ）当三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值时，求二面角B1﹣EF﹣B的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：设AE=BF=x．以D为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标（Ⅰ）通过计算，证明A1F⊥C1E．（Ⅱ）判断当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．求出平面B1EF的法向量，底面ABCD的法向量，设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，利用空间向量的数量积求出，然后求解二面角B1﹣EF﹣B的正切值．解答：解：设AE=BF=x．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A （2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．（Ⅰ）因为，，所以．所以A1F⊥C1E．…（4分）（Ⅱ）因为，所以当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．因为，所以当x=1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）．设平面B1EF的法向量为，则得取a=2，b=2，c=﹣1，得．显然底面ABCD的法向量为．设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，由题意知θ为锐角．因为，所以，于是．所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值为．…（12分）点评：本题考查空间向量在立体几何值的应用，直线与直线的垂直，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x 0≤x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x＜20 20≤x＜25 x≥25频率0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．直接求出概率即可．（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，求出相应的概率，写出X的分布列，即可求出E（X）．解答：解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P（A1）=0.35+0.25+0.10=0.70，P（A2）=0.05，所以P（B）=0.7×0.7×0.05×2=0.049．（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为，，，．X的分布列为X 0 1 2 3P 0.027 0.189 0.441 0.343因为X～B（3，0.7），所以期望E（X）=3×0.7=2.1．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望与方差，考查计算能力．21．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．（ⅱ）T点的坐标为（3，﹣m）．，|PQ|=．由此能求出当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，解得a2=6，b2=2．所以椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．于是．设M为PQ的中点，则M点的坐标为．因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），此时直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标为代入，得．解得t=3．（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，﹣m）．于是，====．所以==．当且仅当，即m=±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为﹣1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当x＞0时，e x＞x2+1；（Ⅲ）证明：当n∈N*时，．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的f′（x）=e x﹣a．通过f′（x）=e x﹣2＞0，即可求解函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．（Ⅱ）求出f（x）的最小值，化简f（x）≥1﹣ln4．构造g（x）=e x﹣x2﹣1，通过g′（x）＞0．判断g（x）在（0，+∞）上单调递增，得到g（x）＞g（0），推出结果．（Ⅲ）首先证明：当x＞0时，恒有．令，则h′（x）=e x﹣x2．推出h（x）在（0，+∞）上单调递增，得到x+ln3＞3lnx．利用累加法推出．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e x﹣ax﹣1，得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，所以a=2．所以f（x）=e x﹣2x﹣1，f′（x）=e x﹣2．由f'（x）=e x﹣2＞0，得x＞ln2．所以函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．…（4分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知．。
武昌区2018届高三1月调研考试文科综合(含答案)
39（26分）（1）①有高度的文化自觉和文化自信，能坚信传统文化的价值与生命力；（3分）②立足社会实践，推动传统文化在传承中创新。（3分）③充分尊重人民群众的主体地位，广泛征求观众和文物收藏者建议。（2分）④运用现代科技手段，打造成集多种艺术形态于一体的全新模式。（2分）
（3）加大科技投入，改良品种；延长产业链，提高市场竞争力和深加工能力；走集约化经营的道路,提高营销水平；科学预测市场需求，协调种植面积。(每点2分，任意3点可得6分，共6分)
37.（1）靠近台湾海峡，地处我国沿海和远洋航线要道，出行便利；纬度位置低，不冻港；海岸线曲折多港湾，避风港；海湾广阔，且有大河流的丰富水量注入，港阔水深。（每点2分，共8分）。
武昌区2018届高三元月调考文综政治试题参考答案
题号
12
13
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答案
D
B
C
A
B
A
D
C
B
A
D
C
38（26分）
（1）信息：材料一表明2012～2016年中国新能源汽车产销量逐年增长；由于2013年国家开始出台新能源汽车产业补贴政策，从2014年开始新能源汽车产销量大幅增加。（4分）
（2）①坚持正确的价值观取向，贯彻落实党的十九大弘扬中华优秀传统文化的精神；（3分）②遵循文化传承与发展的客观规律，继承传统，推陈出新；（3分）③自觉站在最广大人民的立场上，满足人民日益增长的美好文化生活需要；（3分）④全面提高个人素质，不断提升节目制作水平。（3分）
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武昌区2018届高三年级元月调研考试文科数学本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷答题卡相应位置上.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={﹣1，0，1，2，3}，B ={x |x 2﹣3x ＜0}，则A ∩B = A ．}1{- B ．}2,1{ C ．}3,2,1{ D ．}3,1,0{-2.已知复数z 满足i 1||+=+z z ，则=zA ．i -B ．iC ．i -1D ．i 1+ 3. 奇函数)(x f 在()-∞+∞，单调递增，若1)1(=f ，则满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围是A ．]2,2[-B ．]1,1[-C ．]4,0[D ．]3,1[4.设实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-,01,01,01y x y y x 那么y x -2的最大值为A ．3-B ．2-C ．1D ．25.函数)cos()(ϕω+=x A x f 的部分图像如图所示，给出以下结论： ①)(x f 的周期为2；②)(x f 的一条对称轴为21-=x ；③)(x f 在)432,412(+-k k ，Z ∈k 上是减函数；④)(x f 的最大值为A .则正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ．46.执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时， 输出的s 为17，那么在框中，可以填入开始 输入ax =2,n =2,k =0,s =0输出s 结束是 否s =sx +a k =k +1A. n k >？B. n k <？C. n k ≤？D. n k ≥？7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A ．121 B ．49 C ．29D ．38. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且c a C b +=2cos 2，则=B A ．6π B ．4π C ．3π D ．3π2 9.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上，x PF ⊥轴（其中F 为双曲线的焦点），点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为31，则该双曲线的离心率为A.332 B.3 C.552 D. 510.已知底面半径为1，高为3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，则此球的表面积为 A.27π323 B. π4 C. 3π16 D. π1211.过抛物线C ：x y 42=的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与其准线交于点M ，且FP FM 3=，则=||FP A ．32 B ．34 C ．31D ．1 12.已知函数kx xxx f -=ln )(在区间]e ,e [41上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 A ．)e 21,e 41[B ．)e21,e 41( C ．]e 41,e 1[2 D ．]e 1,e 1[2PABC第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若31tan =α，则=ααcos sin ． 14.设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则a ，b ，c 的大小关系是__________. 15.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则5个剩余分数的方差为 ．16.在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1.边DC 上（包含D 、C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足||||BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分. 17.（12分）已知数列}{n a 的前n 项和22-=n n a S . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令n n n a a b 2log ⋅=，求数列}{n b 的前n 项和n T . 18．（12分）如图，三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB =2． （1）求证：平面P AC ⊥平面ABC ；（2）若PC PA =，求三棱锥P ﹣ABC 的体积．19.（12分）在对人们的休闲方式的一次调查中，用简单随机抽样方法调查了125人，其中女性70人，男性55人.女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动. （1）根据以上数据建立一个22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为性别与休闲方式有关系?（3）在休闲方式为看电视的人中按分层抽样方法抽取6人参加某机构组织的健康讲座，讲座结束后再从这6人中抽取2人作反馈交流，求参加交流的恰好为2位女性的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.（12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 经过点)22,1(P ，且离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：m x y +=与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，求OAB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．21.（12分）已知函数xax x f +=ln )(，R ∈a . （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）当0>a 时，证明aa x f 12)(-≥．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
做答时请写清题号。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2α﹣4cos α=0．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=,2,12t y t x （t 为参数），点M 的直角坐标为)0,1(.（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||MB MA ⋅.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）（1）已知函数3|||2|)(-++-=a x x x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若正实数m ，n 满足2=+n m ，求nm 12+的取值范围．PACO武昌区2018届高三年级元月调研考试文科数学参考答案及评分细则一、选择题：二、填空题： 13.103 14. 6 15.c b a >> 16.43 三、解答题： 17．（12分） 解析：（1）当1=n 时，2211-=a a ，所以21=a . 当2≥n 时，2211-=--n n a S .于是)22()22(11---=---n n n n a a S S ，即12-=n n a a .所以数列}{n a 是以21=a 为首项，公式2=q 的等比数列. 所以n n a 2=. .................................................4分 （2）因为n n n n n b 22log 22⋅==，所以n n n n n T 22)1(2322211321⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=- ， 于是143222)1(2322212+⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=n n n n n T ， 两式相减，得132122222+⨯-+++=-n n n n T ，于是22)1(1+⋅-=+n n n T . .................................................12分 18．（12分） 解析：（1）取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO =3.因为P A ⊥PC ，所以PO =121=AC .因为PB =2，所以OP 2+OB 2=PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ，OP 为相交直线，所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ，所以平面P AB ⊥平面ABC ．.................................................6分 （2）因为P A =PC ，P A ⊥PC ，AC =2，所以2==PC PA . 由（1）知BO ⊥平面P AC .所以33)21(3131=⋅⋅⋅=⋅=∆BO PC PA BO S V PAC . .................................................12分19．（12分）解析：22⨯.................................................2分（2）假设“休闲方式与性别无关”，计算328.565605570)20303540(1252≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ．因为024.5>k ，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“休闲方式与性别有关”. .................................................6分（3）休闲方式为看电视的共60人，按分层抽样方法抽取6人，则男性有2人，可记为A 、B ，女性4人，可记为c ，d ，e 、f .现从6人中抽取2人，基本事件是AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Bc 、Bd 、Be 、Bf 、cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共15种不同的方法，恰是2女性的有cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共6种不同的方法，故所求概率为4.052156===p ． ................................................12分 20．（12分）解析：（1）由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,22,141122ac b a 考虑到222c b a +=，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.1,222b a所以，所求椭圆C 的方程为1222=+y x . .................................................4分（2）设直线l 的方程为m x y +=，代入椭圆方程1222=+y x ，整理得0)1(24322=-++m mx x .由0)1(24)4(22>--=∆m m ，得32<m . ①设),(11y x A ，),(22y x B ，则3421m x x -=+，3)1(2221-=m x x .于是212212124)(2||1||x x x x x x k AB -+⋅=-+=2222334982423)1(24)34(2m m m m -=-⋅=-⋅--⋅=.又原点O )0,0(到直线AB ：0=+-m y x 的距离2||m d =.所以)3(322||33421||21222m m m m d AB S OAB -=⋅-⋅=⋅=∆. 因为49)23()3(22222=-+≤-m m m m ，当仅且当223m m -=，即232=m 时取等号.所以222332=⨯≤∆OAB S ，即OAB ∆面积的最大值为22. ..............................12分 21．（12分）解析：（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且221)(xax x a x x f -=-='. 当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上单调递增；当0>a 时，若a x >时，则0)(>'x f ，函数)(x f 在),(+∞a 上单调递增；若a x <<0时，则0)(<'x f ，函数)(x f 在),0(a 上单调递减. .................................................4分（2）由（1）知，当0>a 时，1ln )()(min +==a a f x f . 要证a a x f 12)(-≥，只需证a a a 121ln -≥+， 即只需证011ln ≥-+aa 构造函数11ln )(-+=a a a g ，则22111)(aa a a a g -=-='. 所以)(a g 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增.所以0)1()(min ==g a g . 所以011ln ≥-+aa 恒成立， 所以aa x f 12)(-≥. .................................................12分 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 解析：（1）∵ρsin 2α﹣2cos α=0，∴ρ2sin 2α=4ρcos α， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ． 由⎩⎨⎧=+=,2,12t y t x 消去t ，得1+=y x .∴直线l 的直角坐标方程为01=--y x ．.................................................5分 （2）点M （1，0）在直线l 上，设直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,22,221t y t x （t 为参数），A ，B 对应的参数为t 1，t 2．将l 的参数方程代入y 2=4x ，得08242=--t t . 于是2421=+t t ，821-=t t .∴8||||||21==⋅t t MB MA . .................................................10分 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）解析：（1）由题意知03|||2|≥-++-a x x 恒成立. 因为|2||)()2(||||2|+=+--≥++-a a x x a x x ，所以3|2|≥+a ，解得5-≤a 或1≥a . .................................................5分 （2）因为2=+n m （)0,0>>n m ， 所以)322(21)32(21)12(212+≥++=+⋅+=+n m m n n m n m n m ， 即n m 12+的取值范围为),232[+∞+． .................................................10分。