《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
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第四章 线性系统的根轨迹法-4-2——【南航 自动控制原理】
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程，有
m
n
K (s zi )+ (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹起点 K =0 s pi , i 1, , n n个开环有限极点
由根轨迹方程，又有
m
n
(s zi )+(K )1 (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹终点 K s zi , i 1, , m m个开环有限零点
a
(2k 1)
nm
， k 0, 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
=
(a1 n
b1 m
)
由多项式的根与系数关系
n
n
a1 pi b1 zi
i 1
i 1
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
例4.2-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为
K G(s)
s(s 3) (s )2 2
0, 0
试分析开环极点参数变化时渐近线。
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
分离点处相邻两条根 轨分迹离分点支处切一线共之有间多的少
夹条角根等轨于迹分支/？l
分离点处根轨迹的分离角d 为
d (2k 1) / l k 0,1,
分离点处，根轨迹进
侧的开环实有限零极点数为奇数。
系统的开环零极点分为 两类：实数零极点和复数 零极点，且复数零点或复 数极点必共轭成对。
系统开环零极点的分布为
图示，取实轴任一点 s=s1
·对复共轭开环极点
p4 j, p5 p4 j,
(s1 j)+(s1 +j)=2
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理
L(s)的相角
单位反馈系统的 开环传递函数 一个开环极点 负实轴上点 s1 s2=-1-j
G (s) =
K s
P1=0
∑ ∠( s − z ) −∑ ∠(s − p ) | = −∠s
i =1 i i =1 i
m
n
1
− p1 = −180o
负实轴上都是根轨迹上的点！
∑ ∠( s − z ) −∑ ∠( s − p ) | = −∠s
3.
根轨迹法
一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年 一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年， 由 W. R. Evans在 “ 控制系统的图解分析 ” 一文 Evans 在 控制系统的图解分析” 中提出） 中提出）。 已知开环零极点分布， 已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化 对闭环极点位置的影响， 对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的 性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等） 性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。 以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用 MATLAB非常方便。 MATLAB非常方便。
根 轨 迹
K : 开环增益 K*: 根轨迹增益
C ( s) K* Φ( s ) = = 2 R( s ) s + 2 s + K *
D( s ) = s 2 + 2 s + K * = 0
λ1, 2 = −1 ± 1 − K *
(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2 闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4 表示
1 + G (s) H (s) = 0
G (s)H (s) = −1
将上式改写成
G ( s) H (s) e
j ∠G ( s ) H ( s )
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
第4章 线性系统的根轨迹法(《自动控制原理》课件)
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹 将会非常不方 人们利用前面介绍的几个式子, 便. 人们利用前面介绍的几个式子 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 利用导出的法则 可方便地绘制出根轨迹的大至形状 叫概略根 轨迹, 轨迹 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随 的增大而增大 另 的增大而增大, 时 一个根的绝对值随K的增大而增大 一个根的绝对值随K的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而减小, 一个根的绝对值随 的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ -2 -1.5 -1 0
当K=0.25时, 两根相等 均为 时 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根 且其实部均为 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 +∞ 虚部的绝对值随K的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而增大, 虚部的绝对值随 的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 本节通过一个例子 介绍绘制根轨迹的七条法则 但对法则 不予推导和证明. 不予推导和证明 需指出的是, 需指出的是 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量 为参变量. 传递函数的零点和极点的具体数值 一般以 为参变量 某闭环系统的开环传递函数为: 例: 某闭环系统的开环传递函数为
阶数. 阶数 K叫开环系统的增益 K’叫开环系统的根轨迹增益 叫开环系统的增益, 叫开环系统的根轨迹增益, 叫开环系统的增益 叫开环系统的根轨迹增益 K与K’的本质相同 仅它们间的值有一系数关系, 即: 与 的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系 的本质相同
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s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
交角为 的一组渐近线，趋向无穷远处。
n
m
pi z j
根轨迹方程第二种形式： j1 n
1
(s pi )
i 1
1.幅值条件： 或
m
K * | s z j |
j 1 n
1
| s pi |
i 1
n
| s pi |
K*
i 1 m
| s zj |
j 1
作用：确定根轨迹上各点对应的K*值。
2.相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
s3 1 2 0
s2 3 k* 0
s1
6 k*
3
s0
k*
k* 6 s j 2
38
方法二：
1
k*
0
j( j 1)( j 2)
(k * 32 ) j(2 3) 0
(k * 32 ) 0
(2
3
)
0
k* 6
2
39
Matlab仿真结果
40
法则八：闭环极点之和
当n m 2时：
K 0 0.1 0.25 0.5
…
∞
s1 0 -0.11 -0.5 -0.5+j0.5 … s2 -1 -0.89 -0.5 -0.5-j0.5 …
-0.5+j∞ -0.5-j∞
6
7
根轨迹的定义 根轨迹是指系统中某个参数由0→∞变 化时，闭环特征根在s 平面上变化的 曲线。
8
1948年，Evans提出根轨迹法： 1. 在[s]，由系统 开环传递函数绘出闭环
j1 d p j
d 2.3
•分离角
d
2
54
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（6）根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程：s4 5s3 8s2 6s k* 0 s j
(4 82 k*) j(53 6) 0
0
k* 0
或k*
1.1 8.16
55
G0 ( s)
s(s
(
s
)
1
Байду номын сангаас
G(s) G(s)H
(
s)
15
闭环特征方程： 1 G(s)H(s) 0
G(s)H (s) 1
根轨迹方程
16
将开环传函写成零极点形式：
m
G(s)H (s)
M (s) N (s)
K* (s zj )
j 1
n
(s pi )
i 1
K* ：开环(根轨迹)增益
m
K * (s z j )
a
i 1
j 1
nm
a
(2k 1)
nm
(k 0,1,，n m 1)
23
结论 渐近线以（σa，0）为出发点的一组射线； 射线条数是n-m,且均分360。
24
法则四：实轴上的根轨迹的分布
若s1右侧实轴上的开环零、极点数目之和 为奇数，则s1所在的区域是根轨迹。 找一测试点s1
25
例：已知单位负反馈系统开环传递函数
根轨迹。 2.根据闭环极点的分布对系统性能分析。
9
引例系统分析
• 稳定性分析
条件：闭环特征根都位于[s]的左半平面。
当开环增益K： 0→∞时，根轨迹均在[s]平面的 左半部，因此，系统对所有的K值都是稳定的。
• 动态分析 当0 ≤ K < 0.25时 闭环特征根：两个不等实根 系统呈过阻尼状态 系统对阶跃输入的动态响应过程
j 1
i 1
结论：相角条件是确定[S]根轨迹的充要条件
说明：
此根轨迹方程决定的根轨迹称为常规根轨迹 （或180。根轨迹）
4.3 根轨迹的绘制法则
20
表示开环极点 表示开环零点 箭头 表示参数增加的方向
21
法则一：根轨迹的起点和终点
• 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
（有限零极点与无限零极点）
2)
（4）渐近线
3条
渐近线与实轴的夹角
a
3
5
3
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
3
pi
a
i 1
3
6.67
47
（5）分离点与分离角
G0 ( s)
s3
k 20s2
50s
1
1
1
0
d d 10 5 2 d 10 5 2
d 2 20d 50 d 2 (10 5 2 )d d 2 (10 5 2 )d
开环极点与开环零点之间，可能存在。
28
分离点坐标
n
1
m
1
i1 d pi j1 d z j
注：若无有限开环零点，令右端=0
29
2、分离角
分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与 离开分离点的切线方向的夹角。
d
1 (2k l
1)
(k 0,1,,l 1)
l：进入分离点的分支数
例： 开环传函
G(s)H (s) K*(s 4) s(s 2)
(2k 1)
4
p1 (2k 1) ( p1 z1) ( p1 pj )
j2 4
(2k 1) z1p1 pj p1 j2
34
起始角终止角计算公式
m
n
pi (2k 1) z j pi pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z jzi ) pjzi
d 3 20d 2 50d
0
3d 2 40d 50 0
d1 20 5 10 d 2 20 5 10 1.39
3
3
•分离角
d
2
48
G0 ( s)
s3
k 20s2
50s
（6）根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程：s3 20s2 50s k 0 s j
(k 202 ) j(50 3) 0
第四章 线性系统的根轨迹法
中国石油大学自动化系
第三章 时域分析法
输入信号
系统传递函数
输出信号
分析：动态性能 稳定性 稳态性能
2
主要内容
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 根轨迹方程 4.3 根轨迹的绘制法则 4.4 根轨迹绘制举例 4.5 广义根轨迹 4.6 系统性能分析 4.7 用Matlab绘制根轨迹
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
52
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.25
53
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（5）分离点与分离角
解析法：
4 1 0
1
根轨迹特征：半圆
半径： k*
负实轴
分离点： （ k*，0）
5)
（5）分离点与分离角
N(s) 1 N(s) 0
D(s) s2 (s 2)(s 5) D(s) 4s3 21s2 20s
N (s)D(s) N (s)D(s) 0
s1 0 s2 5 s3 4 4
•分离角
d
2
61
62
4.5 广义根轨迹
除了K*变化的常规根轨迹，其他情 况的根轨迹属于广义根轨迹。
n
n
pi si const
i1
i1
根轨迹重心 当增益Ｋ变化， 某些闭环极点在Ｓ平面上向左移动时， 则必有另一些极点向右移动。
4.4 根轨迹绘制举例
42
一、典型开环零极点分布及闭环根轨迹 (P159 图4-15)
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
交角为 的一组渐近线，趋向无穷远处。
n
m
pi z j
根轨迹方程第二种形式： j1 n
1
(s pi )
i 1
1.幅值条件： 或
m
K * | s z j |
j 1 n
1
| s pi |
i 1
n
| s pi |
K*
i 1 m
| s zj |
j 1
作用：确定根轨迹上各点对应的K*值。
2.相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
s3 1 2 0
s2 3 k* 0
s1
6 k*
3
s0
k*
k* 6 s j 2
38
方法二：
1
k*
0
j( j 1)( j 2)
(k * 32 ) j(2 3) 0
(k * 32 ) 0
(2
3
)
0
k* 6
2
39
Matlab仿真结果
40
法则八：闭环极点之和
当n m 2时：
K 0 0.1 0.25 0.5
…
∞
s1 0 -0.11 -0.5 -0.5+j0.5 … s2 -1 -0.89 -0.5 -0.5-j0.5 …
-0.5+j∞ -0.5-j∞
6
7
根轨迹的定义 根轨迹是指系统中某个参数由0→∞变 化时，闭环特征根在s 平面上变化的 曲线。
8
1948年，Evans提出根轨迹法： 1. 在[s]，由系统 开环传递函数绘出闭环
j1 d p j
d 2.3
•分离角
d
2
54
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（6）根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程：s4 5s3 8s2 6s k* 0 s j
(4 82 k*) j(53 6) 0
0
k* 0
或k*
1.1 8.16
55
G0 ( s)
s(s
(
s
)
1
Байду номын сангаас
G(s) G(s)H
(
s)
15
闭环特征方程： 1 G(s)H(s) 0
G(s)H (s) 1
根轨迹方程
16
将开环传函写成零极点形式：
m
G(s)H (s)
M (s) N (s)
K* (s zj )
j 1
n
(s pi )
i 1
K* ：开环(根轨迹)增益
m
K * (s z j )
a
i 1
j 1
nm
a
(2k 1)
nm
(k 0,1,，n m 1)
23
结论 渐近线以（σa，0）为出发点的一组射线； 射线条数是n-m,且均分360。
24
法则四：实轴上的根轨迹的分布
若s1右侧实轴上的开环零、极点数目之和 为奇数，则s1所在的区域是根轨迹。 找一测试点s1
25
例：已知单位负反馈系统开环传递函数
根轨迹。 2.根据闭环极点的分布对系统性能分析。
9
引例系统分析
• 稳定性分析
条件：闭环特征根都位于[s]的左半平面。
当开环增益K： 0→∞时，根轨迹均在[s]平面的 左半部，因此，系统对所有的K值都是稳定的。
• 动态分析 当0 ≤ K < 0.25时 闭环特征根：两个不等实根 系统呈过阻尼状态 系统对阶跃输入的动态响应过程
j 1
i 1
结论：相角条件是确定[S]根轨迹的充要条件
说明：
此根轨迹方程决定的根轨迹称为常规根轨迹 （或180。根轨迹）
4.3 根轨迹的绘制法则
20
表示开环极点 表示开环零点 箭头 表示参数增加的方向
21
法则一：根轨迹的起点和终点
• 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
（有限零极点与无限零极点）
2)
（4）渐近线
3条
渐近线与实轴的夹角
a
3
5
3
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
3
pi
a
i 1
3
6.67
47
（5）分离点与分离角
G0 ( s)
s3
k 20s2
50s
1
1
1
0
d d 10 5 2 d 10 5 2
d 2 20d 50 d 2 (10 5 2 )d d 2 (10 5 2 )d
开环极点与开环零点之间，可能存在。
28
分离点坐标
n
1
m
1
i1 d pi j1 d z j
注：若无有限开环零点，令右端=0
29
2、分离角
分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与 离开分离点的切线方向的夹角。
d
1 (2k l
1)
(k 0,1,,l 1)
l：进入分离点的分支数
例： 开环传函
G(s)H (s) K*(s 4) s(s 2)
(2k 1)
4
p1 (2k 1) ( p1 z1) ( p1 pj )
j2 4
(2k 1) z1p1 pj p1 j2
34
起始角终止角计算公式
m
n
pi (2k 1) z j pi pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z jzi ) pjzi
d 3 20d 2 50d
0
3d 2 40d 50 0
d1 20 5 10 d 2 20 5 10 1.39
3
3
•分离角
d
2
48
G0 ( s)
s3
k 20s2
50s
（6）根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程：s3 20s2 50s k 0 s j
(k 202 ) j(50 3) 0
第四章 线性系统的根轨迹法
中国石油大学自动化系
第三章 时域分析法
输入信号
系统传递函数
输出信号
分析：动态性能 稳定性 稳态性能
2
主要内容
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 根轨迹方程 4.3 根轨迹的绘制法则 4.4 根轨迹绘制举例 4.5 广义根轨迹 4.6 系统性能分析 4.7 用Matlab绘制根轨迹
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
52
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.25
53
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（5）分离点与分离角
解析法：
4 1 0
1
根轨迹特征：半圆
半径： k*
负实轴
分离点： （ k*，0）
5)
（5）分离点与分离角
N(s) 1 N(s) 0
D(s) s2 (s 2)(s 5) D(s) 4s3 21s2 20s
N (s)D(s) N (s)D(s) 0
s1 0 s2 5 s3 4 4
•分离角
d
2
61
62
4.5 广义根轨迹
除了K*变化的常规根轨迹，其他情 况的根轨迹属于广义根轨迹。
n
n
pi si const
i1
i1
根轨迹重心 当增益Ｋ变化， 某些闭环极点在Ｓ平面上向左移动时， 则必有另一些极点向右移动。
4.4 根轨迹绘制举例
42
一、典型开环零极点分布及闭环根轨迹 (P159 图4-15)