中国剩余定理及应用
中国剩余定理（模板+详解）
中国剩余定理（模板+详解）问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：⼏个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
k[x]上中国剩余定理的证明及应用
![k[x]上中国剩余定理的证明及应用](https://img.taocdn.com/s3/m/b18bdc1d5f0e7cd1842536a1.png)
使得 一口（ ｏ ， 关 于模 ｍ 是 唯一 的 ， 中 ｒ ｄｍ ） 且 ｏ 其
ｍ ｍ ｌ ，ｍ ２ … ，ｍ ｋ ０
其 中ห้องสมุดไป่ตู้ｕ为展 开 式 中 提 出公 因 子 ｇ （ 第 一 项 １之 除
外） 后所 剩 的多 项 式 。利用 上 述 引 理 可 以类 似 地 得
到在 Ｋ ］ ［ 上的中国剩余定理 。
ｑ ） 唯一 的 。 （ 是
２
［ 上的中 国剩余定理 ］
引理 设 ｑ （ ， ） … ， ） Ｋ［ 内互 。 ） ｑ （ ， ｑ （ 为 ］
素且次 数 ≥１的多项 式 ， 对 任一 ｉ１ ）存 在 则 （ ≤ ≤ｋ ， 多项式 ｈ（ ）∈ ］使 得 Ｋ［ ，
ｈ（ 一１ ｍ ｄｑ（ ） ） （ ｏ ） ，
１ 传统 的中 国剩余定理
定理 １ … 设 ，。ｍ：… ， ｋ 两两 互 素 的 孔， ， ｍ 是 个
且有 ｈ 兀 （ 一ｕ ｉ） （ １ ｊ）＝１＋ｑ ｑ ｉ ｕ
Ｊ≠ ‘
正 整数 ， 任给 ｋ个整 数 ０ ， … ， 必 存 在 整 数 ， 口 ， Ⅱ ，
１ ｍｏ 。 （ ｄｑ）
５６ ９６
科
学
技
术
与
工
程
ｌ Ｏ卷
（ 。 ） ＿ ）令 『 ≠ ＝∑ （） ， （）则对每 １ 个 （≤
≤ ， ） 有 （ ｈ （ （ （ ｏ ） ） ） ） ｒ ｄｑ（ 。 ｏ ） 而 当ｊ 时 ， （ ）ｊ ｘ －ｏ ｒ ｄｑ（ ） 于是 ＃ｉ ｆ ｘ ｈ（ ） （ ｏ ｉ ｊ ｏ ） ， （ ＾ （ ） ｆ（ ） 戈 － ， ）＋， （ ｑ（ ， （ ） （ 一 他 ） ｉ ｆ 戈 ） ） ｊ
中国剩余定理的实际应用
中国剩余定理的实际应用：
有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?
求数学高手详细解答!剩余定理是什么意思?
5 和 9 的公倍数依次是 45、90、135、180、225 ……
这些公倍数中，被7除余1的数是 225
9 和 7 的公倍数依次是 63、126、189、252……
这其中，被5除余2的是 252
5 和 7 的公倍数是 35、70、105、140、……
其中被9除余5的数是 140
把以上 225 252 140 三个数相加，求得
225 + 252 + 140 = 617
5 7 9 三个数的最小公倍数是 5*7*9=315
617-315 = 302
因此 302 就是这个年级至少人数。
1.韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.
2.有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个？（用两种方法解）
3.某数除以7余3，除以8余4，除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数.
4.某数除以5余2，除以7余4，除以11余8.求适合条件的最小数.
5.一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？。
中国剩余定理ppt
m = n / w[i];
d = extended_euclid(w[i], m, x, y);
ret = (ret + y*m*b[i]) % n;
}
return (n + ret%n) % n;
}
模板:最大公约数
int gcd(int a,int b) {
if(0 == a )
return b;
int flag;
while (scanf ("%I64d", &n) != EOF){
scanf ("%I64d%I64d", &m1, &a1);
n--; flag = 0;
while (n--) {
scanf ("%I64d%I64d", &m2, &a2);
d = exGcd (m1, m2, x, y);
e==-1 && d==-1)){
j++;
k=(p*5544+e*14421+i*1288-d+21252)%21252;
if(k>0)
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days、
\n",j,k);
else
printf("Case %d: the next triple peak occurs in 21252 days、
一些关于中国剩余定理得定理:
定理2:二数不能整除,若被除数扩大(或缩小) 了几倍,而除数不变,则其余数也同时扩大(或 缩小)相同得倍数(余数必小于除数)。
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理是数论中的一个重要定理，它提供了求解一类线性同余方程组的方法。
所谓线性同余方程组，是指一组形如x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), …, x ≡ an (mod mn)的方程，其中x是未知数，a1, a2, …, an是已知数，而m1, m2, …, mn是不同的正整数。
中国剩余定理的内涵是：当所给线性同余方程组的模m1, m2, …, mn 两两互素时，存在唯一解x ≡ X (mod M)，其中X是x的一个解，而M = m1 * m2 * … * mn。
简单来说，中国剩余定理告诉我们，当模数两两互素时，我们可以通过对每个方程求解，再通过一定的运算，得到原方程组的解。
中国剩余定理的应用非常广泛，特别是在密码学和计算机科学中。
例如，当我们需要对一个数进行加密和解密时，可以使用中国剩余定理来进行模运算，从而快速计算得到加密后的结果。
此外，在计算机科学中，中国剩余定理也常用于优化算法和并行计算。
由于中国剩余定理能够将一个大问题拆分成多个小问题并行求解，因此可以显著提高计算效率。
总之，中国剩余定理作为数论中的重要定理，不仅具有深刻的理论意义，还具有广泛的实际应用。
通过它，我们可以快速求解线性同余方程组，加密和解密数据，优化算法等，从而提高计算效率和保护数据安全。
中国剩余定理及其应用
(i = 1, 2,L , n)
1 n( n − 1)(2n − 1) 6
2 2 2 2
当 f ( x) 的次数不超过 M ( x)( M ( x) = m1 ( x)m2 ( x)m3 ( x)L mn ( x)) 的次 数时， f ( x) 唯一确定 . 特 别 地， 当 mi ( x) = x − bi ∈ Q[ x]或R[ x] ， bi (i = 1, 2,L , n) 是不相等的常数，从而 mi ( x)(i = 1, 2,L , n) 也就是两两互素的 多项式，由余数定理可知 mi ( x) ≡ mi (bi )(mod x − bi ), (i = 1, 2,L , n) ， 从而定理可叙述为一定存在多项式 f ( x) ，使得
⎪f(x) ≡ a (x)(modm (x)) ⎪ 2 2 ⎨ ⎪LLLLLLLLLL ⎪ ⎩f(x) ≡ an (x)(modm n (x))
1 1
(n − 0)(n − 1)(n − 3) (n − 0)(n − 1)(n − 2) + 5× (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3) (3 − 0)(3 − 1)(3 − 2)
⎧x ⎪x ⎪ ⎨ ⎪x ⎪ ⎩x ≡ 1(mod 5) ≡ 5(mod 6) ≡ 4(mod 7)
≡ 10(mod11)
按照中国属于定理的记号
M = 5 × 6 × 7 × 11 = 2310, M 1 = 6 × 7 × 11 = 462, M 2 = 5 × 7 × 11 = 385,
有正整数解 x ≡ M 1α1c1 + M 2α 2c2 + L + M nα n cn (mod M ) 且解唯一； 其中 α i 是满足 M iα i ≡ 1(mod mi ), k = 1, 2,L , n) 的一个整 数（参阅 [3]）. 下面我们先给出裴蜀恒等式和一个性质，然后证明中国 剩余定理 . 裴蜀恒等式 如果两个数的最大公约数是 d ，则必定存 在两个整数 x, y 使得等式 ax + by = d 成立（参阅 [4]）. 性质 同余式组 a ≡ b(mod m j ), j = 1, 2,L , n 同时成立的 充要条件是 a ≡ b(mod[m1 , m2 ,L , mn ]) （参阅 [5]）. 证明： 先证存在性： M 因为 m1 , m2 ,L , mn ，两两互素， M = m ， 故 ( M k , mk ) = 1, k = 1, 2,L , n ， 由 裴 蜀 恒 等 式 可 知 一 定 存 在 整 数 α k , βk 使 得 M kα k + β k mk = 1 ，即 M kα k = − β k mk + 1 ，因此必定存在 α k ，使
中国剩余定理的历史价值和应用
中国剩余定理的历史价值和应用
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，简称CRT）是古老的数学定理，来源于古印度人拉穆卡尼的《数书大全》，但最早由中国宋朝数学家董仲舒来提出。
CRT是一种快速求解模不互质整数方程组的方法，其历史价值和应用非常广泛。
中国剩余定理可以求解n阶不同进制的数的同余式。
由于CRT的效率高，因此，它在工业上有较多的应用，如计算机硬件中，解数论中的模运算问题时，通常都使用CRT法求解。
例如，在压缩视频时，经典加密算法RSA 就是使用CRT法进行加速计算的。
此外，CRT在许多领域中也有着广大应用，如在凸优化中有测试剩余定理的实验，在几何中的研究的有使用剩余定理的技巧，在模数几何学中也有CRT的计算和推导应用。
而且，CRT在高斯消元法、矩阵计算、主元计算中也有应用可以设计的有关计算的算法。
因此可见，中国剩余定理在古老中国宋朝就已经诞生，它的历史价值和应用十分广泛，它不仅在计算机软件、电子工程中有着重要的地位，而且在许多领域也得到了广大应用，是一种弥足珍贵的古老定理。
中国剩余定理例题讲解2
【例题】一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数
为
【分析】法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的
“中国剩余定理”,步骤如下：
Q
3、5
的公
倍数
3、7
的公
倍数
5.7的公
倍数
15
21
35
30
42
70
45
63
105
60
84
140
分别找出除以7余4的3、5的公倍数，除以5余3的3、7的公倍数，除以3余2
代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝；
O
七子团圆正半月，
除百零五便得知，
用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70;用5除，除得的余数乘21;用7除，除得的余数乘15.最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，算法是；
11除余7,由于[3,5,11]=165,所以这个数最小是165+7=172.
法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的
基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数.
什么是中国剩余定理?
“物不知数问题”一般解题步骤：
o
①凑“多”相同，即把余数处理成相同条件；余数与除数的和相同
不相互影响各自被对应除数除后所得的余数，
即70a+213+15c是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数，
得到18,恰好除以5余3,此时符合后两个条件；
再依次用7和5的最小公倍数的倍数加18,当18被加上1个35个，得到53,检验符
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“中国剩余定理”算理及其应用
“中国剩余定理”算理及其应用：
为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。
21是3和7的公倍数，且除以5余1。
15是3和5的公倍数，且除以7余1。
（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。
）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。
后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。
例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。
）
关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法
“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。
不懂论坛上有没人发过。
小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。
选了一本小学奥赛的书上的题目，讲下：
例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？
解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。
看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7＋4＝46。
下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。
不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。
这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足
“被6除余4，被7除余4”的条件。
46＋42＝88
46＋42＋42＝130
46＋42＋42＋42＝172
这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲
例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？
解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。
没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。
得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”
4＋7＝11
11＋7＝18
18＋35＝53
这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。
比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。
大家可以试下，。