中国剩余定理
什么是中国剩余定理
什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。
问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理
扩展欧几里德定理
看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒， 郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给他 们出了一题：
“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数
之剩三：七七数之剩二。问物几何？”
黄蓉天资聪慧，哪里难得住她，她略微思考，答：23。
大家是不是很好奇，黄蓉是怎么解出这道 题的呢？
现在人的解法：
用各除数的“基础数”法解。
基础数的条件：
（1）此数必须符合除数自身的余数条件；
（2）此数必须是其他所有各除数的公倍数。
第一步： 求各除数的最小公倍数 ［3，5，71）［3］ 105÷3＝35 ［35］÷3＝11……2 （2）［5］ 105 ÷ 5＝21 21÷5＝4……1（当于3） ∵ 1× 3＝ 3 21×3＝［63］ （3）［7] 105 ÷ 7＝15 15 ÷ 7＝2……1（当于2） ∵ 1× 2＝ 2 ∴15×2＝［30］
其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。
一、剩余问题 在整数除法里，一个数同时除以几个 数，整数商后，均有剩余；已知各除数及 其对应的余数，从而要求出适合条件的这 个被除数的问题，叫做剩余问题。
古代人的解法：
凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩 一，则置二十一；七七数之剩一则置十五； 一百六以上，以一百零五减之即得。 依定理译成算式解为： 70×2＋21×3＋15×2＝233 233－105×2＝23
第三步： 求各基础数的和 35+63+30＝128 第四步： 求基准数（最小的，只有一个） 128-105=23 第五步： 求适合条件的数X X＝23+105K（K是整数）
中国剩余定理
中国剩余定理我国古代著名的数学书《孙子算经》中有这样一道名题“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何？”此乃就是著名的“孙子问题”，俗称“韩信点兵”。
关于它的解法就是享誉国内外的“孙子定律”或“孙子定理”。
外国人称之为“中国剩余定理”。
一、“孙子定理”某数除以3余2，除以5余3，除以7余2。
这个数最小是多少？它的解题思路是：除以3余2的数要在5和7的公倍数数中去找。
5和7的最小公倍数是35.35÷3=11 (2)35符合除以3余2的条件。
除以5余3的数要在3和7的公倍数中去找，3和7的最小公倍数是21。
但21÷5=4 (1)条件要求是除以5余3，如果是21，余数只能是1，要满足余数是3的条件，就必须使被除数、除数、商、余数同时扩大3倍。
21×3=63则63÷5=12 (3)63符合除以5余3的条件。
除以7余2的数，要在3和5的公倍数中去找。
3和5的最小公倍数是15，条件要求除以7余2，如果是15，余数只能是1，要满足余数是2的条件，被除数、除数、商、余数，必须扩大2倍。
15×2=3030÷7=4 (2)30符合除以7余2的条件。
把1、2、3式的被除数和起来，35+63+30=128加得的结果128符合题目中所提的全部条件。
因为35加上的都是3的倍数，所以它们的和128，除以3的余数，不会改变；对63来讲，它所加上的数都是5的倍数。
因此，它们的和除以5的余数，也不会改变；对30来讲，它所加上的都是7的倍数，因此，它们的和除以7的余数，也不会改变。
由于3、5、7的最小公倍数是105，题目中要求的是满足条件的最小的数，因此128-105=23，这所得的差，除以3、5、7的余数也没变，所以23符合题目中所有条件的最小的一个数。
这就是著名的“孙子定理”，世界称之为“中国剩余定理”。
二、“变更被除数法”约定：将“N”分别除以n1,n2…nk所得的余数依次为r1、r2…rk。
中国剩余定理
m1 3
m2 5
取
M1 1
M2 1
M3 1
则唯一解为
x 35 (1) 2 211 3 15 1 2 (mod 105) 23
例2 求最小的正整数 n, 使得 n 被 3,5,11 除的 余数分别是 2,3,5
解 对 x 2(mod 3),x 3(mod 5), x 5(mod 11)
x bk (mod mk ) 则 (*) 有解 (mi , m j ) | ai a j
(*)
x 2(mod 3), x 3(mod 5), x 2(mod 7)
a 2 (mod 3), a 0 (mod 5), a 0 (mod 7) b 0 (mod 3), b 3 (mod 5), b 0 (mod 7) c 0 (mod 3), c 0 (mod 5), c 2 (mod 7)
设 因此
g i ( x) (ai a1 )(ai ai 1 )(ai ai 1 )(ai an )
( x a1 )( x ai 1 )( x ai 1 )( x an )
中国剩余定理的代数表示 设 m 1, 则
m 的标准分解式为 m p1 p2 ps
习题
求解 f ( x) 0(mod 35)
f ( x) x 2 x 8 x 9
4 3
1 求最小的正整数 n,使得它的 是一个平方数, 2 1 1 是一个立方数, 是一个5次方数. 3 5
广义的中国剩余定理 设
x b1 (mod m1 ), x b2 (mod m2 ),
(mod 60)
求解
f ( x) 0(mod m)
中国剩余定理知识点总结
中国剩余定理知识点总结在初等数论中，我们经常会遇到形如x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)的线性同余方程组，其中ai和mi都是整数，m1, m2, ..., mn是两两互质的正整数。
中国剩余定理就是解决这类问题的重要方法。
下面我们来详细介绍一下中国剩余定理的一些基本知识点。
1. 中国剩余定理的表述中国剩余定理可以用如下的形式来表述：对于给定的两两互质的正整数m1, m2, ..., mn，以及任意的整数a1, a2, ..., an，中国剩余定理断言，存在一个解x，使得对于所有的i=1,2,...,n，都有x≡ai(mod mi)。
这个解x是唯一存在的，并且可以用下面的形式来表示：x = a + tM其中a是通解，t是任意整数，M是m1, m2, ..., mn的最小公倍数，即M=lcm(m1, m2, ..., mn)。
2. 中国剩余定理的应用在数论和密码学等领域中，中国剩余定理有着广泛的应用。
例如，可以利用中国剩余定理来解决一些测定一些重要的数学问题，如幂模运算、循环小数、素数和因数分解等问题。
在密码学中，中国剩余定理也被广泛应用。
例如在RSA公钥密码系统中，中国剩余定理能够加速大数的幂模运算，从而大大提高RSA的加密和解密速度。
3. 中国剩余定理的证明中国剩余定理的证明是通过数学归纳法来完成的。
首先我们可以证明当n=2时定理成立，然后利用数学归纳法来证明对于任意n都成立。
具体来说，我们首先假设对于n=k（k≥2）时定理成立，即对于任意的m1, m2, ..., mk，以及任意的整数a1, a2, ..., ak，能够找到一个解x使得x≡ai(mod mi)。
然后我们来考察下一个情况，即n=k+1时定理成立。
我们可以利用n=k时的结果来构造一个新的解x'，然后利用一些数论知识来证明x'也满足n=k+1时的情况。
通过这样的数学归纳法的证明，我们可以得出中国剩余定理的正确性。
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理是数论中的一个重要定理，它提供了求解一类线性同余方程组的方法。
所谓线性同余方程组，是指一组形如x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), …, x ≡ an (mod mn)的方程，其中x是未知数，a1, a2, …, an是已知数，而m1, m2, …, mn是不同的正整数。
中国剩余定理的内涵是：当所给线性同余方程组的模m1, m2, …, mn 两两互素时，存在唯一解x ≡ X (mod M)，其中X是x的一个解，而M = m1 * m2 * … * mn。
简单来说，中国剩余定理告诉我们，当模数两两互素时，我们可以通过对每个方程求解，再通过一定的运算，得到原方程组的解。
中国剩余定理的应用非常广泛，特别是在密码学和计算机科学中。
例如，当我们需要对一个数进行加密和解密时，可以使用中国剩余定理来进行模运算，从而快速计算得到加密后的结果。
此外，在计算机科学中，中国剩余定理也常用于优化算法和并行计算。
由于中国剩余定理能够将一个大问题拆分成多个小问题并行求解，因此可以显著提高计算效率。
总之，中国剩余定理作为数论中的重要定理，不仅具有深刻的理论意义，还具有广泛的实际应用。
通过它，我们可以快速求解线性同余方程组，加密和解密数据，优化算法等，从而提高计算效率和保护数据安全。
中国剩余定理
汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。
又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。
计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。
一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。
未知”。
原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。
问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。
孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。
因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。
1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。
明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。
除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。
意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。
在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。
例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。
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中国剩余定理(Chinese remainder theorem)，
又称孙子定理。
初等数论里面的一个定理。
名字里自带“中国”，要不要那么高调233。
出处是《孙子算经》：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“答曰二十三”
孙子定理
孙子定理，又称中国剩余定理。
孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”答为
“23”。
明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
”
以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的馀数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。