浅谈同余及其应用
数论中的同余定理
数论是研究整数的性质和结构的学科，它涉及了很多有趣而又重要的定理和原理。
在数论中，同余定理是一个非常基础而且重要的概念。
同余定理通过研究整数的除法运算与取余运算之间的关系，帮助我们理解整数的性质和规律。
下面我们将详细讨论同余定理的概念和其在数论中的应用。
首先，我们来了解一下同余的概念。
在数学中，同余是指整数之间满足某种特定关系的性质。
具体而言，如果两个整数除以同一个正整数所得的余数相等，则这两个整数被称为同余的。
用数学符号来表示，即对于整数a、b和正整数m，如果a与b除以m所得的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b (mod m)。
例如，5≡11 (mod 3)，表示5与11关于模3同余。
接下来，我们来介绍同余定理及其相关概念。
同余定理是数论中的一组基本定理，它揭示了整数之间同余关系的一些基本性质。
常见的同余定理有三类：欧拉定理、费马小定理和中国剩余定理。
欧拉定理是数论中最重要的定理之一。
它是基于欧拉函数的一个结论，表明对于任意正整数a和正整数m，如果a与m互质（即它们没有公共因子），则有a^φ(m)≡1 (mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。
费马小定理是同余定理中的另一个重要定理。
它是费马定理的一个特殊情况，宣称对于任意正整数a和质数p，有a^p≡a (mod p)。
这个定理常常用于证明一些数论问题，尤其是在素数的应用中经常被使用。
中国剩余定理是一组定理的集合，用于解决一类同余方程组的问题。
对于给定的一组余数和模数，中国剩余定理可以找到一个与这组余数同余的最小非负整数。
这个定理在密码学和计算机科学中有着广泛的应用，被用于构建高效的算法和数据结构。
同余定理在数论中有着重要的应用。
首先，同余定理可以帮助我们简化复杂的计算。
由于同余关系的转换性，我们可以通过将整数转换为其对模m的余数，将复杂的运算转化为简单的模运算，从而简化了问题的求解过程。
此外，同余定理还能够帮助我们证明数论问题中的一些重要结论。
同余方程的求解方法与应用
同余方程的求解方法与应用同余方程是数论中的一个重要概念，它在密码学、编码理论等领域有广泛的应用。
本文将介绍同余方程的求解方法，并讨论其在实际问题中的应用。
一、同余方程的定义与性质同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m为已知的整数，x为未知数。
同余方程的求解即是要找到满足该方程的整数x的取值。
同余方程具有以下性质：1. 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数x，ax ≡ bx (mod m)。
2. 若ax ≡ ay (mod m)，且a与m互素，则x ≡ y (mod m)。
二、求解同余方程的方法1. 穷举法：逐个尝试整数x的取值，验证是否满足方程。
如果方程有解，则解的集合可以表示为{x | x ≡ x0 (mod m)}，其中x0为方程的一个解。
2. 欧拉定理：对于互素的整数a和m，有a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互素的正整数的个数。
如果b ≡ a^k (mod m)，则可以将方程转化为ak ≡ b (mod m)来求解。
这样做的好处是可以将指数降低，从而简化计算。
3. 扩展欧几里得算法：对于一般的同余方程ax ≡ b (mod m)，可以利用扩展欧几里得算法求解。
该算法给出了方程ax + my = d的解，其中d为a和m的最大公约数。
如果b是d的倍数，则方程有解，且解的个数为d个。
三、同余方程的应用1. 密码学：同余方程在密码学中有重要的应用。
例如，在RSA公钥加密算法中，同余方程用于对消息进行加密与解密。
通过选择合适的公钥和私钥，可以实现对消息的加密与解密操作。
2. 信号处理：同余方程可以应用于信号处理中的调频解调技术。
在调频通信系统中，利用同余方程可以进行频率的合成与解析，实现信号的调制与解调操作。
3. 编码理论：同余方程可以应用于编码理论中的纠错码设计。
通过求解一系列同余方程，可以构造出性能良好的纠错码，提高数据传输的可靠性。
同余方程在数论中的应用解析
同余方程在数论中的应用解析同余方程是数论中一个重要的概念，它在解决很多数学问题中起着关键作用。
它的应用涉及到数论的诸多领域，如同余定理、模运算、密码学等。
本文将从数论的角度出发，对同余方程在数论中的应用进行一番解析。
首先，我们来了解一下同余方程的概念。
同余方程是指两个整数之间满足模同余的关系，即模一个固定的数时，它们的余数相等。
比如，对于整数a和b，若a-b能被m整除，我们可以表示为a≡b (mod m)，其中≡表示模同余关系，mod表示取模运算。
同余方程可以用来描述两个数之间的关系，并在数论中发挥重要作用。
在数论中，同余方程有很多应用。
首先，同余方程与同余定理密切相关。
同余定理是一种用于处理同余方程的重要工具。
根据同余定理，如果两个整数a和b在模m下的余数相等，则它们的和、积、幂等也在模m下具有相等的余数。
利用同余定理，我们可以解决一些整数方程、方程组以及一些特殊的数学问题。
其次，同余方程在模运算中有广泛的应用。
模运算是一种将数按照某一数值取模的运算。
同余方程可以用来求解模运算中的问题，如求模运算下的乘法逆元、模幂运算等。
模运算广泛应用于计算机科学、密码学等领域，通过同余方程的应用，我们可以实现密码的加密和解密，保证数据的安全性。
此外，同余方程也在数论中的素数检测以及素数生成中扮演着重要的角色。
素数是指只能被1和自身整除的数。
同余方程可以用来判断一个数是否为素数。
根据费马小定理，如果p是一个素数，a是任意与p互质的正整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
根据这个性质，我们可以通过同余方程进行素性检测。
最后，同余方程还在数论中的循环小数表示、离散数学以及组合数学等领域发挥着重要作用。
循环小数是指一个有限小数部分和重复的无限循环部分组成的数。
同余方程可以用来分析循环小数的性质，如确定循环节的长度、循环节中的数字等。
此外，在离散数学和组合数学中，同余方程是探索数与数之间的整除关系、约数关系以及数列性质的重要工具。
浅谈代数中的同余关系
《浅谈代数中的同余关系》
《浅谈代数中的同余关系》
在代数学中，同余关系是一种特殊的等式关系，它通常被用来描述两个数在模意义下的相等性。
在本文中，我们将讨论同余关系的基本概念，并探讨它在数论和密码学中的应用。
首先，让我们来看看同余关系的基本概念。
在数学中，同余关系是一种特殊的等式关系，它通常被写成a ≡ b (mod m) 的形式，其中 a 和 b 是两个整数，m 是一个正整数。
在这种情况下，我们称 a 和 b 在模 m 意义下是同余的，即 (a-b) 是 m 的倍数。
例如，我们可以说3 ≡ 1 (mod 2)，因为 3-1=2 是 2 的倍数。
同样，我们也可以说4 ≡ 6 (mod 2)，因为 4-6=-2 是 2 的倍数。
同余关系在数论中有着广泛的应用。
例如，在寻找最小正整数解的问题中，同余关系可以帮助我们将问题转化为一个更简单的形式。
例如，假设我们想要找到最小的 x，使得3x ≡ 1 (mod 7) 成立。
我们可以通过将 x 取模 7 来简化这个问题。
在这种情况下，我们可以得到x ≡ 3 (mod 7总之，同余关系是代数学中的一种重要的概念，它通常被用来描述两个数在模意义下的相等性。
同余关系在数论和密码学中有着广泛的应用，例如用于寻找最小正整数解和快速计算模意义下的数的幂。
同余关系也与模意义下的数的性质有关，例如同余系的性质和模意义下的数的阶。
通过了解同余关系，我们可以更好地理解数论和密码学中的许多重要概念和方法。
浅谈同余理论的应用
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பைடு நூலகம்
浅谈 同余理论 的应用
文／ 武保 强
在 日常 生 活 中 ． 我们 所要 注 意 的 不 仅 仅 是某 些 整 数 ， Ｉ 足 某些数用某一 同定的数去除所得 的余数 。例如 ： 我们经常会问 现 在 是 几点 钟 了 ． 这实 际上 就 是 用 ２ 去 除 某一 个 总 的时 数 所 得 ４
７ １） 除 （ｏａ … ） （，ａ ０１ ３整 ， ａ ＋ ＝ ａ … ） （啪 ＋ ＝、 ＿
ｌ ０ ＝
的余数 。 义如问现在是星期几 ， 就足用７ 去除某一个总的天数所 得的余数。 样， 这 在数学 中就产生 了同余的概念 。 同余足 町除性 的符号语 言 ． 在西方是由高斯最先 引进 的。他的名著《 算术探 义 为（＋＋ ） ａａ… ＝ 一‘ ａ３… 一 。３ ）∑（ ） ｌ２ （＋＋ Ｉ＝０ １ｉ ａ 究》 奠定了近 代数论 的基础 。我们 围家对 同余式的研究行 着光 辉 而悠 久 的历 史 。如《 子 算 经 》 孙 中的 “ 不 知 其数 ” 物 问题 就 是 同 余式研究的开始 。下面将着重介 绍同余式在 日常生活 巾的应 所以７ Ｉ 且仅 ７ ｌ （１ａ ａ 。 １ 一 ）， ‘ 用。 其中将用到同余 的一些基本概念 、 基本性质 ， 以及孙子定理 为 １０ ＝一 （ｏ １ １０ ；一 （ ｏ ３， 以 同样 的推 ０ ０ １ ｄ１） ０ ０ １ ｄ１）所 ｍ 和 ｏ ｒ 等等知识来解决“ 物不知其数” 问题 ， 列举检合 数的 法 以及 理 对模 １和 模 １也 成立 。定 理 证 毕 。 １ ３ 在密码学上的简单应用。 三 、 密 码 学上 的应 用 在 定义 １给定一个正整数ｉ， ： ｎ把它 叫做模 。 如果用ｎ ｌ 去除任意 同余 理 论 在 密 码学 上 有 重 要 的 应 用 。密 码 作 为军 事斗 争 与 两个整数ａ 所得的余数相 同， 与ｂ 我们就说ａ ｂ ，对模ｍ同余。记作 政治斗争 的一种手段在历史上 早就产生 了 ，信 息化 社会的到 ａ （ ｏ １。如果余数不同 ， ；ｂ ｍ ｄｎ） 我们就说ａ ｂ￣ 不同余。 ，Ｘ 模ｍ 来． 使得密码学更加行用 。 定理 １ ：整数ａｂ ， ｌ ，Ｘ 模Ｉ同余 的充分与必要条件足Ｉ ｌ （— ｔ ｌ ｌ ｌ ａ 先介绍 几个名词 ，甲 通过公 共通道 向乙方传输信息 ， 为 ｂ ， ：＝ ＋ ， 整数 。 ）即 ａｂ ｍｔ 是 ｔ 了防止被窃取 ， 甚至被篡改 ， 需要将信息改变为秘密形式。原信 证 明 ： ａ ｍｑ ｒｂ ｍｑ ｒ０ ｌ ０ ２ｍ 设 ＝ ｌ 】 ＝ ２ ２ ≤ｒ ｍ， ≤ｒ ＋， ＋， ＜ ＜ 息称为 明义 。明文的秘密形式称 为密文。把 明文变成密文的过 若 ａ （ ｄ１）贝 ｒ 此 ａ ｂ ｍｑ一 ２ ＝ｂｍｏ １ ，０】 ２ １ ｒ ， ＝ — ＝ （】ｑ ） 程 叫加 密 。知 道 了 密码 把 密 义译 为 明 文 的过 程 叫解 密 。密 码 中 反之若ｉ ｌ ａ ｂ ， 【 （一ｑ ＋ｒ ｒ ｎ （— ）则ｍ Ｉｍｑ－ ２ （一２ ） ） 的关键信息叫做密钥。密钥在保 密通讯巾 占有极重要的地位。 网此１ ｌｒ ｒ ， ｊ 广ｒｊ ｍ， ｌ ２…此得证。 １ （－２ 但 ２ ＜ 故ｒ ｒ， １ ｌ） ｒ ＝ 这里我们将介绍一 种简单 的 ，在历史 上曾经用过 的密码 ． 定理１ 明同余这一概念又可定义如下 ： ｎ｛ａ ｂ， ， 说 若ｉ （－） 则ａｂ 就 足 置 换 密 码 。我 们假 定 这 种 密 码 足 用英 文发 送 的 ． 法很 简 办 叫做对模ｍ同余 。 单， 就足把每个字母用另一个字母替换 ， 而形成密文。替换的规 “ 不 知 其数 ” 物 问题 则 可 以是 随 机 的 ， 町以 足 系 统 的 。 也 定 理 ２ 孙 子 定 理 ）设 ｍ ， ・ ｋ ｋ 两 两互 质 的正 整 （ ： ｍ ・ 是 个 ｍ 公 元 前 在 高 产 战 争 期 间 罗 马 大 将 恺 撒 使 用 的 一 种 密 码 就 数。 足系统置换的密码 。置换 的规律是 ： 每个字母 山它后面的第三 ｍ＝ ｌ ２ ｉｋ ｍ＝ｍｉ ｌｉ ，， ｋ， ｍ ｉ … ｎ， ｎ ｎ ，＝ｌ２ … 个 字 母来 替换 。 如 ： — Ｄ，— Ｅ Ｃ ， — Ｇ， ，Ｗ＋ Ｚ Ｘ ＿ 例 Ａ Ｂ ， —Ｆ Ｄ … － 。 ＋ 则同余式组ｘ ｊ ｏ １ｘ ２ ｄｍ ） ，ｉｂ（ ｏ ） Ｅｂ（ ｄｍ） Ｅｂ（ ２… ｘ ｋ ｄｍｋ ｍ ， ｍｏ ， ｍ Ａ， Ｙ—Ｂ ｚ ， 。例 ：ｅ ｉ ｎｖｒ ｔ在 这一 密 码下 是 ：ｈＭ Ｐｋｎ Ｕ ｉ ｓｙ ｇ ｅｉ Ｓｎ 的解是 ： Ｘｌ ｕｌｂ ｊ ｈ ｖ 。利用 同余式的理论 ， ｙ ｗ 恺撒 的密码很容易得 到解释 ， ｘ ｂ Ｍ ２ ｂ＋ ｂ（ ｄｉ ＥＭ ｌ ｌ ２Ｍ ｋ ｋ ） Ｍ】＋ Ｍ２ Ｍｋ ｍｏ ｎ 首 先 把 ２ 个 字母 都 编 上 号 ， 顺 序 ， 是 ０ 号 ， 是 Ｏ 号 ， ， 是 ６ 按 Ａ １ Ｂ ２ … Ｙ 其 中 Ｍ ｌ １ｍｏ ，ｉ ，， ｋ Ｉ Ｅ （ ｄｉ ） ＝１ … Ｍ ｎ， ２ ‘ ２ 号 ，是 ２ 号 。若 用 Ｐ 示 明 文 巾 的字 母 编 号 ． 用 Ｓ 示 密 文 ５ ｚ ６ 表 而 表 这 个方 法 与 孙 子 的算 法 完 全一 致 ， 在 国外 义献 巾被称 为 它 中 的字母 编号 ，则 恺撒密 码就 可 以用 同余式 写出来 ： ；Ｐ ３ Ｓ ＋ 中国剩 余定 理 。孙 子 定 理是 数 论 巾一 个 很 重 要 的定 理 。 Ｉ上 表 ｛ １ （ｏ ６， 中的３ ｏ ｒ ｄ２ ） 式 就是密钥 ， 解密 的关键就是找到密钥 ， 找到了 可 以看 出求 乘 率 是 最 困难 的 。也 就 是 求 解 同余 式 ： 密钥 之 后 立 刻 就 可 以得 到 明 文 。 只 需要 解 同余 式 ｐ － ｓｓ 这 － ３ ＋ ＝Ｓ ｘ ＝ （ ｏ Ｍ，１ ｄｍ 。 ｏ ｒ ２（ ｏ ６。 一 般 些 ， 码 可 Ｉ公 式Ｓ ＋ （ｏ ６给 出 。 了 ３ｍ ｄ２ ）更 密 ｛ Ｊ ；Ｐ ｋｍ ｄ２） 为 我国宋代大数学家秦九韶 在他 的杰作 《 算书九章》 １４ ） （２ ７ 迷 惑 企 图破 译 的人 ， 文 通 常 写 成 ５ 字母 的形 式 ． 密 个 于是 上面 一 中提出了觎这个 同余式的一般解法 ， 氏将它称作“ 秦 求一术” 。 例町以改写成 ：ｈ ｌ ｉｊ ｕ ｌ 的形式。 Ｓｎ ｌ ｈｖ ｂ ｇｘ ｙ ｗ 二 、 查 因数 的 方法 检
同余定理的应用与证明
同余定理的应用与证明同余定理是数论中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍同余定理的基本概念，并探讨它在密码学、计算机科学和数学证明中的应用。
一、同余定理的基本概念同余定理是数论中一个基本的等价关系，在数学中用符号“≡”表示。
对于给定的整数a、b和正整数m，如果m能够整除(a-b)，即(a-b)能够被m整除，那么我们就说a与b关于模m同余。
表达式可以表示为a ≡b (mod m)。
同余定理可以表示为以下三个等价命题：1. 若a与b关于模m同余，记为a ≡ b (mod m)，则a与b除以m的余数相同。
2. 若a与b关于模m同余，记为a ≡ b (mod m)，则存在整数k，使得a-b=km。
3. 若a与b关于模m同余，记为a ≡ b (mod m)，则m整除(a-b)。
二、同余定理的应用1. 密码学应用同余定理在密码学中有着重要的应用。
在加密算法中，对于给定的明文和密钥，通过使用同余定理可以实现数据的加密和解密。
同余定理可以确保对于指定的模数，同一密钥加密后的密文能够正确解密，而其他密钥加密的密文则无法解密。
2. 计算机科学应用同余定理在计算机科学中有广泛的应用。
在计算机编程中，同余定理可以用于优化算法。
例如，在求解大整数的乘法时，通过将大整数表示为多个模m的同余等式相乘，再将结果相加，可以大大减少计算量，提高计算效率。
3. 数学证明应用同余定理在数学证明中也有重要的应用。
通过使用同余定理，可以简化数学证明的过程，缩小证明范围。
同余定理可用于证明诸如整数平方的性质、整数除法的性质以及多个整数的性质等。
三、同余定理的证明同余定理可以通过数学归纳法进行证明。
在证明过程中，首先证明等价命题1成立。
假设对于任意正整数k，当a与b关于模k同余时，a与b除以k的余数相同。
然后利用数学归纳法假设，对于任意正整数n，当a与b关于模n同余时，a与b除以n的余数相同。
接着证明等价命题2和命题3。
四、总结同余定理作为数论中的重要概念，具有广泛的应用性。
同余原理在生活中的应用
同余原理在生活中的应用
同余原理在生活中有多个应用，下面列出一些常见的例子：
1. 时间计算：同余原理可以用于计算日期，特别是在计算星期几时。
例如，如果我们想知道2019年9月15日是星期几，我们可以使用同余原理将日期转换为一个数字，然后对7取模来得到答案。
2. 轮班调度：同余原理可以用于安排轮班。
例如，一个公司有3个班次，每天需要轮换，我们可以使用同余原理来计算每个员工在某一天的班次编号。
3. 数字编码：同余原理可以用于数字编码和错误检测。
例如，在计算机网络传输数据时，使用校验和来检测数据传输的错误。
4. 密码学：同余原理在密码学领域中也有广泛的应用。
例如，同余原理被用于实现公钥加密算法中的模运算，如RSA算法。
5. 数据分析：在数据分析中，同余原理可以用于对数据进行分组、分类或归类。
例如，在统计中，可以使用同余原理将数据分成不同的组，并对每组进行独立的分析。
总的来说，同余原理在生活中的应用非常广泛，不仅在数学和计算机科学领域有重要的作用，也在实际生活中的很多场景中得到了应用。
数学公式知识：同余与模运算的定义、性质及其应用
数学公式知识：同余与模运算的定义、性质及其应用同余与模运算是数学中一个重要的概念，它们在整数与群论、代数数论、数论几何等不同数学分支中都有着广泛的应用。
本文将着重介绍同余与模运算的定义、性质以及其在数学中的应用。
一、同余和模运算的定义1、同余定义同余是数学中一个非常基本的概念，它是指模相同的两个整数之间的差值是模的整数倍。
换句话说，若整数a与b满足a – b能够被整数n整除，那么就称a和b在模n意义下同余，记为a ≡ b (mod n)。
例如，对于n = 5，可以得到以下同余关系：3 ≡ 13 (mod 5)14 ≡ -1 (mod 5)25 ≡ 0 (mod 5)同余运算具有传递性、反对称性以及自反性，即若a ≡ b (mod n)，b ≡ c (mod n)，则有a ≡ c (mod n)；若a ≡ b (mod n)，则不成立b ≡ a (mod n)；对于任意整数a，有a ≡ a (mod n)。
2、模运算定义模运算可以看做是一种求余数的运算，它的操作是将一个整数除以另一个整数，然后取余数。
例如，对于a和b两个整数，并设n是一个正整数，则a对n取模为r，可以写成a mod n = r。
这里，r表示整数a除以n所得到的余数，称为模n意义下的a的余数。
二、同余与模运算的性质1、同余的基本性质同余运算具有可加性、可乘性和可减性，即若a₁ ≡ b₁ (mod n)，a₂ ≡ b₂ (mod n)，则有a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ (mod n)a₁ × a₂ ≡ b₁ × b₂ (mod n)a₁– a₂ ≡ b₁ - b₂ (mod n)2、模运算的基本性质模运算具有基本的反转性和线性性质，即若a₁ mod n = r₁，a₂mod n = r₂，则有a₁ + a₂ mod n ≡ (r₁ + r₂) mod na₁ × a₂ mod n ≡ (r₁ × r₂) mod n3、Euler定理性质Euler定理是基于费马小定理而得到的一个命题。
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揭阳职业技术学院毕业论文（设计）题目：浅谈同余定理及其应用学生姓名黄指导教师某某某系（部）师范教育系专业数学教育班级 999 班学号提交日期200 年月日答辩日期 200 年月日200 年月日浅谈同余定理及其应用摘要初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。
它以算术方法为主要研究方法，在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。
同余理论是初等数论中的重要内容之一，其性质及应用研究已引起许多学者的关注。
本文归纳总结了同余的若干性质，结合实例，探究了同余性质在检验、判断整除问题、求余数、判断合数、韩信点兵问题等方面的具体应用。
体现了用同余性质解决问题的简洁性。
关键词：同余整除余式方程绪论初等数论是研究整数性质的一门学科，它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富，曾被数学家说成是数学的皇后。
同余问题在当今中小学乃至大学的数学教学中都有涉及，它作为初等数论的核心内容之一，具有很强的应用价值，很多数学问题都要借助同余理论来解决。
同余的应用问题分为很多种类型，每种类型的题目又有一定的解题技巧。
掌握了这些题型的技巧，可以提高大家解决问题的能力。
本文基于对同余理论的理解，将应用同余理论解决的问题具体整理分类，从中分析出一些借助同余理论解题的技巧与规律。
现在初等数论中关于同余的内容主要包括：同余的定义及基本性质、剩余类与剩余系、欧拉定理、费马小定理、循环小数、一次同余方程及一次同余方程组。
到目前为止，古今中外很多学者与数学家，对同余的应用问题都有了一定的研究。
在中国，早在宋代，大数学家秦九韶所著的《数书九章》中就记载了求解同余方程的“大衍求一术”。
还有，著名的古代数学著作《孙子算经》中也记载能解决“物不知其数”问题的孙子定理，也被称作“中国剩余定理”。
以及“韩信点兵”问题的研究，都为解决一次同余方程和同余方程组的问题带来了便利。
在西方，除了高斯引入同余的概念之外，欧拉和费马提出的定理也为解决同余的相关问题做出了重要的贡献。
希望通过本文的研究能将同余理论的应用问题更加系统全面的展现出来。
以便，今后大家在探究同余理论时，能对同余应用问题的类型和解决技巧有一个清晰的认识和理解，更好的解决相关问题。
1 相关性质定理[1]性质1同余是一种等价关系，即有：（1）反身性 a≡a（mod m）.（2）对称性若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.（3）传递性若a≡b（mod m）， b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.性质2同余式可以相加减,即若 a≡b（mod m），c≡d（mod m），则(1) a＋c≡b＋d（mod m）.(2) a－c≡b－d（mod m）.性质3同余式可以相乘,即有：(1) 若a ≡b （mod m ）， c 为自然数, 则ac ≡bc （mod m ）. (2) 若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），则ac ≡bd （mod m ）. (3) 若a ≡b （mod m ）， n ≥2, 则a n ≡b n （mod m ）.性质4 若ac ≡bc （mod m ），且（c ，m ）=1，则有a ≡b （mod m ）.（其中（c ，m ）表示c 与m 的最大公约数）。
定理1 整数a,b 对模m 同余的充分与必要条件是m ∣a －b ,即 a ＝b ＋mt. (t 是整数.)定理2 设a ＝11αp 22αp …kk p α,则)a （ϕ＝a(1－11p )(1－21p )…(1－kp 1) 定理3 (Euler) 设m 是大于1的整数， (a,m)=1， 则a )m （ϕ≡1（modm ），其中)m （ϕ为欧拉函数定理4 (Fermat) 若p 是素数，则a p ≡a （modp ）..证明以上三个定理:定理1证明: 设 a=mq 1＋r 1, b=mq 2＋r 2, 0≤r 1＜m, 0≤r 2＜m, 若a ≡b （mod m ）, 则r 1=r 2, 因此a －b=m ﹙q 1－q 2﹚.反之, 若 m | a －b, 则m |m ﹙q 1－q 2﹚＋﹙r 1－r 2﹚,因此 m | r 1－r 2. 又 | r 1－r 2 |＜m ,故r 1=r 2定理3证明: 设a 1 a 2 … a )m （ϕ, 是modm 的一个简化剩余系， 且（a ,m ）=1,aa 1 aa 2 … aa )m （ϕ也是modm 的一个简化剩余系. a 1 a 2,… a )m （ϕ,≡aa 1 aa 2 … aa )m （ϕ (modm ） ＝a )m （ϕa 1 a 2 … a )m （ϕ（modm ）. 因此a )m （ϕ≡1（modm ）.定理4证明: 若（a,p ）＝1,则有a p-1≡a （modp ）,因而a p ≡a （modp ）.若（a,p ）≠1,则p|a ,因而a p ≡0（modp ）, a ≡0（modp ） 故a p ≡a （modp ）2 同余性质的应用2.1 求余数问题2.1.1 利用同余的性质及定理求余数例1：将从1开始的连续自然数依次写下来，一直写到2003成为一个多位数，123456…20022003，求这个数除以3的余数。
解：由连续的3个自然数的和必能被3整除，而3|2001，（2+0+0+2+2+0+0+3）≡0（mod3）, 所以原多位数除以3余数为0例2：求201022001被3除所得的非负余数.解：设201022001=3q＋r, 其中0≤r＜3, 故r≡201022001（mod3）且0≤r＜3.又20102=3×670＋2,所以20102≡2(mod3).从而22001≡22000×2≡41000×2(mod3)而 22001≡22000×2≡41000×2(mod3),4≡1(mod3)故 41000≡1 (mod3) ,41000×2≡2 (mod3).从而 r≡2(mod3). 而0≤r＜3, 故r=2.即 201022001除以3所得的余数为2.分析：此类题目解题的关键在于应用同余的乘方性，先求出底数20102对3的余数，再根据性质求出余数的2001次幂对3的余数即可例3：求437×309×1993被7除的余数。
解：473≡3（mod7）309≡1（mod7）由"同余的可乘性"知：437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）又因为1993≡5（mod7）所以：437×309×1993≡3×5（mod7）≡15（mod7）≡1（mod7）即：437×309×1993被7除余1。
分析：此类题目解题的关键在于应用同余的可乘性，分别求出每个因数对于7的余数，在相乘即可简单求出2.1.2 求星期几问题求某年某月某日为星期几时,则令D=第N年m月d日,设D这一天为星期WD,WD ≡d＋[51m13]＋y＋[4y]＋[4c]＋2c(mod7)其中c,y 满足N ＝100c ＋y,0≤y ≤100.注意:算出的结果为1 至7,各代表星期一到星期日.例:1949年10月1日是星期几?2.1.3 尾数问题例1：求243402的末三位数？解：因为（243，1000）=1，()1000ϕ=1000×﹙1－21）（1－ 51）=400 由欧拉定理知，243400 ≡1（mod1000），故243402≡2432≡49（mod1000）所以243402的末三位数为049.例2：求32001·72002·132003的个位数字？ 解：应用欧拉定理，（3,10）=1,34≡1（mod10）,则有32001≡34k ＋1≡3（mod10）；同理，74≡1（mod10）， 72002≡74k ＋2≡9（mod10）； 134≡1（mod10），132003≡134k ＋3≡7（mod10）； 因3×7×9＝189，故个位数字为 9 .分析：利用同余的性质，求一个数字的个位数字就是求其除以10所得的余数, 同类题型的变换问法：求某数的末两位数字是多少?（模为100）2.2 同余在检验方面的应用2.2.1 检查因数的一些方法[1]方法一： 一整数能被3（9）整除的必要且充分的条件是它的十进位数码的和能被3（9）整除.证明：显然我们只须讨论任一正整数a 便可.把a 写成十进位数的形式：a=a n 10n ＋a n －110n －1＋…＋a 1×10＋a 0 , 0≤a i <10. 因10≡1（mod 3）,故由定理2得a≡a n ＋a n －1＋…＋a 1＋a 0（mod 3）.由已知性质，即知3︱a 当且仅当3︱∑=ni 0a i .同法可得9︱a 当且仅当9︱∑=ni 0a i方法二： 设正整数a=a n 1000n ＋a n －11000n －1＋…＋a 1×1000＋a 0 , 0≤a i <1000.则7（或11，或13）整除a 的必要且充分的条件是7（或11或13）整除（a 0＋a 2＋…）-（a 1＋a 3＋…）=∑=ni 0(﹣1)i a i证明：因为1000与-1对模7（或11或13）同余，故由定理知a 与∑=ni 0(﹣1)i a i 对模7（或11或13）同余.由已知性质，7（或11或13） 整除a 当且仅当7（或11或13）整除∑=ni 1(﹣1)i a i2.2.2 弃九法[1]（假设我们由普遍乘法的运算方法求出整数a ，b 的乘积是P ，并令 a=a n 10n ＋a n －110n －1＋…＋a 1×10＋a 0 , 0≤a i <10. b=b m 10m＋b m －110m －1＋…＋b 1×10＋b 0 , 0≤b j <10. P=c l 10l ＋c l －110l －1＋…＋c 1×10＋c 0 , 0≤c k <10.我们说：如果（∑=ni 0a i ）（∑=mj 0b j ）不同余于∑=lk c k （mod9），那么所求得的乘积是错误的.因为ab≡（∑=n i 0a i ）（∑=m j 0b j ）（mod9），P≡ ∑=lk c k （mod9）.若 （∑=ni 0a i ）（∑=mj 0b j ）不同余于∑=lk c k （mod9），则ab 不同余P （mod9）， 故ab 不是P.2.2.3 判定合数由费马定理可得推论如下若p 是素数，且(a,p) ＝1，则a p －1≡1(modp).利用推论可以判定一个数是否为合数，即若N 是我们要检验的数，先取某一个与N 互素并比N 小的数a ，通常合适的是把a 取为不能整除N 的小素数，如a ＝2, a ＝3或a ＝5……如果N 是素数那么由推论它应该满足a N －1≡1(modN)，因此如果验算这个同余不成立，我们就断言 N 是合数.例2 判断 N ＝117 是否为合数.分析 我们根据定理3即费马定理，可以考虑若N 是素数， 则有a N －1≡1(modN)，N 为我们所检验的数.解：选a=2则a 与N 互素，a N －1=2116=264×232×216×24，而28=256≡22(mod117),216=﹙28)2≡222≡16(mod117)， 232=﹙216)2≡162≡22(mod117)，264=﹙232)2≡222≡16(mod117)， 故2116≡264×232×216×24≡16×22×16×16≡32≡1(mod117). 由推论知N 是合数，事实上117＝3×39.2.3 利用同余的性质解决整除问题整除问题是数论中的一个重要问题，在初等数学中我们可以直接运用定义和性质解决简单的整除问题，而对于复杂的问题计算则较为麻烦，利用同余良好的性质便可简便的解决复杂的整除问题.例1 求证1985|3237n－632n－855n＋235n,n∈N﹢.分析记A=3237n－632n－855n＋235n, n∈N﹢,由于1985=5×397,所以1985|A⇔A≡0(mod1985)⇔A≡0 (mod5), A≡0 (mod397)证明记A=3237n－632n－855n＋235n,n∈N﹢,根据定理1只要证明A≡0 (mod1985) 即可，由于1985=5×397，故只要证明A≡0(mod5) 和A≡0(mod397) 成立. 事实上，由于3237≡2(mod5),632≡2(mod5),855≡0(mod5),235≡0(mod5),根据性质3，∀n∈N﹢,则有3237n ≡2n(mod5),632n≡2n(mod5), 855n≡0(mod5), 235n≡0(mod5),所以A≡2n－2n－0＋0≡0(mod5).又由于3237≡61(mod397), 632≡235(mod397),855≡61(mod397), 235≡235(mod397),根据性质3, n∈N﹢我们有3237n≡61n(mod397), 632n≡235n(mod397),855n≡61n(mod397), 235n≡235n(mod397),所以A≡61n－235n－61n＋235n≡0(mod397).又因为(5,397)≡1，所以A≡0(mod5×397),即A≡0(mod1985). 根据同余整除关系知∀n∈N﹢,必有1985|A,即1985|3237n－632n－855n＋235n3.3 中国古代同余问题3.3.1 中国剩余问题[2]《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组N=3x+2，N=5y+3，N=7z+2 的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：N≡ 2(mod3) N≡3(mod5) N≡2(mod7)②《孙子算经》所给答案是N＝23。