济南大学线代试卷

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济大线代大作业答案

由此可解得 B = -6, D = -27. *解 2: L 在 xOy 平面内，则 L 与 z = 0 有无穷多个交点，即方程组
济南大学
线性代数大作业
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x 2y z 9 0 x 2y 9 0 也即有无穷多解， 3 x By z D 0 有无穷多解， 3x By D 0 z0
又
1 0 k 3 R 1 1 0 R ( 1 , 2 , 3 ) 3 ， 0 1 1
1 0 k ∴ 1 1 0 k 1 0 0 1 1
即
k 1 。
5．解 1：过 L 的平面束方程为
( x 2 y z 9) (3x By z D) 0
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线性代数大作业
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第 4 页共 18
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4．解： AP PB
A PBP
1
0 1 0 2 0 0 6 1 1
A 2 PBP 1 PBP 1 PB 2 P 1 ，同理 A5 PB5 P 1
又 B B ，故
有条件知行列式可被 16 整除.
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线性代数大作业
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第二章矩阵及其运算
一、是非题二、填空题
1. √ 2. × 3. × 4. × 5. √ 4. a 0
1. 4 ； 2
3. a11a 22 a nn 0
2.
1 0 0 0
B
0 0 1 0
1 0 2. 解：D r2 r1 (1), r3 r1 (1), r4 r1 (1) 0 0 1 0 r3 r2 (2), r4 r2 (3) 0 0 1 1 0 0 1 1 2 3 =1 1 3 3 10 1 1 2 3 1 1 2 3 5 9 9 19

济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案

概念极限性质计算方法
概念连续基本结论性质初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义定义求导导数求导方法基本公式、四则运算、复合求导反函数求导特殊函数求导隐函数求导高阶导数

0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分

xdf ( x )

2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2

4

1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x

线性代数期末考试题-1

12. _______________________________________________ 设A ，B 均为3阶方阵,且A =-, B = 2，贝U 2B TA ，= .3. 向量组s 12线性无关，且向量组：1，- 2，' 3可由1 2线性表示，则向量组3. 设n 元齐次线性方程组Ax =0的系数矩阵的秩为r ，则方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是 [](A) r=n ；(B) r_n;(C) r n ；(D) r ：： n .4. 向量组〉1宀厂〉m ,m — 2,线性无关的充分必要条件是[ ](A)都不是零向量；(B)任意两个向量的分量不成比例；0 0 17. 设矩阵A = a 1 b 有3个线性无关的特征向量,则a,b 应满足的条件 .'1 0 0 一8. 二次型 f (x 「x 2,x 3)二 2咅2 • x ； - 3x f-6x^3•4x 2x 3的矩阵是 ____________________ .三、(本题满分10分)计算4阶行列式a 0(C) 至少有一个向量不可由其余向量线性表示;济南大学2009〜2010学年第二学期课程考试试卷( A 卷)课程线性代数考试时间2010 年7月5日授课教师考试班级 ___________________________ 学号 ____________________________________ 姓名 ____________________________________ 题号 ——一二三四五六七总分得分5. 设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有(A) ACB=E ;(B) BCA =E ;(C) BAC=E ;(D) CBA =E .6. 齐次线性方程组捲• X 2• X n = 0的基础解系所含解向量的个数为(A)n_1;碣；(C)呼；(D)字.2 2 2得分阅卷人、填空题 1 1 1(每空3分，共24分)1.行列式a b cb 21•若a 11a i2a 21 a 22a i2=6，贝Ua 222a 11 2a 21-20 0的值为(A) -12; (B)12; (C) 18;(D) 0.2. A , B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵(AB )*二(A) A * B *; (B) B 」A ‘ ; (C) B * A *; (D) AB A 」B =-1，- 2，- 3 线性 __________ 关•4. 非齐次线性方程组Ax 二b 有解的充分必要条件是 _________________ . ___________5. 向量组：1 =11,0,1,1 T , ： 2 二(2,1,-3,7)T , ： 3 二(3,1,0,3)T , ：(4,1,3,-1)T 的一个最大线性无关组为 _____________ . __________6. 设 n 阶矩阵 A 满足 3A 2 2A-10E = 0，则(A- 2E )'= _________________ . _______得分阅卷人得分阅卷人a a 0 a 0 a 0 a a aa a、选择题(每小题3分，共18 分)(D)每一个向量均不可由其余向量线性表示五、（本题满分14分）四、（本题满分12分）0、广-P1 ,B= 20 ，求矩阵 —」<5-3」广0 1 设 AX + B = X ，其中 A 二-1 1 1—1 0X .六、（本题满分14分）2 0 41设矩阵A = 0 6 0，求正交矩阵P ,使P - AP 为对角阵.4 0 2一| X [ X 2 ax 3 二 - 2 试求a 为何值时,线性方程组*捲+ ax 2 +x 3= -2ax r + x 2 + x 3= a _ 3有唯一解、无解、有无穷多解？并在无穷多解时求其通解七、证明（本题满分8分）n 维向量二;1,:-2，:- n 线性无关的充分必要条件是T.Ct .11 T 2«1Ttt 1a 2T «2«2Tot . a 1 n T «2«n-0.其中打是' 的转置,1,2n.。

线代模拟试题答案2

4 0 1 0 0 1
4 1 0 9 0 1 2 1 …………10 分 1 2 1 2
四、（满分 10 分）
1 1 1 1 解： 2 1 4 1
2 1 3 9
2 1 1 1 0 1 4 ( 1) 2 2 1 3 0 4 1 9 0
1

………………………15 分
七、（本题满分 8 分）证：设存在实数 k1, k2, …, ks 使得 ………………………4 分 k1 1 k 2 2 k s s 0 即 k1 1+ k22+…+ ks s+t(k1+ k2+…+ks) s+1 =0 …………………5 分因为1，2，…, s, s+1 线性无关，所以 k1=k2=…=ks=0 ………………………7 分故向量组 1 , 2 , , s 线性无关. ………………………8 分
1 p3 1 3
………数与空间解析几何模拟试题[2]答案及评分标准

2 0 1 P= ( p1 , p 2 , p3 ) 1 0 1 0 1 3
………………………………………14 分
1 P AP 1 2
1 0 9 所以 X A 0 1 2 1 2 0
1
( x1 , x 2 , x3 ) T k (8,6,1) T ( 15,8,0) T , k R
…………………12 分
六、（满分 15 分）
解：由| A- E|= ( 1) 2 ( 2) 得矩阵 A 的特征值为 1, 2 1, 3 2 当=1 时，解方程组(A-E)x=0 得=1 对应的特征向量为 …………6 分

济南大学线性代数A答案

第一章行列式一、填空题1. -2 2. 5！，+ 3. 15，3 4. 1+222c b a ++ 5.2)1(-n n 6.0 二、选择题 A B B C C D C 三、1. 解：=5D 5544332211-00011-00011-00011-0001a a a a a a a a a ----- + 11-000011-00011-00011-00014433221a a a a a a a ---- 543212143541-001-00001-00001-0000,,,a a a a a r r r r r r -----+++ +4D 4543215)1(D a a a a a +-=34321454321)1(D a a a a a a a a a +-+-==…=1121321432154321+-+-+-a a a a a a a a a a a a a a a2. 解：D)1(14),1(13),1(12-⨯+-⨯+-⨯+r r r r r r 19930952032101111=10300310032101111=13.解：1111111111114321-----+---+++xx x x x x x c c c c D4000100101001x x x x x==四、1.解：xn x xx n x x ----=----)2(0010********)1(1111211111111110])2[()1(=----=x n x x所以)2(,,2,1,0-=n x 是原方程的所有根.2. aaa a a a a D 2121212222=aa a a a a 21212301222=na n aa a )1(01340123012+=n a n nan a a a )1()1(34232+=+⋅⋅= 五、解：42056963061223613214101001000c c c c +++5024205369696321606121632361由条件知行列式可被16整除.第二章矩阵及其运算一、填空题(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---24236312175; (2)31,9；(3)BA AB =；(4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-11002100005200211A （5）-1 二、选择题 CB B DCD A C B B 三、计算题1.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.2. 解：（1）易求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1140120011P, 由PB AP =, 得1-=PBP A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=116002001 （2）52523A A E A +-=)(ϕ=P ϕ(B )P -1= P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-)1(000)0(000)1(ϕϕϕ P -1 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4734036006.3.解：(1) 因为E BA ABA +=**2，所以E BA E A =-*)(2，两边取行列式得:12=⋅⋅-||||||*A B E A , 又1|2|=-E A , 9||||2*==A A , ∴91||=B (2) 由E BA E A =-*)2()(*E A A B21-=⇒-)(E A A A 21-=-163--=A E .而⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-10003231031321A ∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-=--3000120216311A E B .4.解：设AY X = ,BY Z =, 所以Z AB X 1-=.又⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-021121410214101B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-0231021012111AB , 所以从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==++-=213223211232121z z x z x z z z x五、证明题1．证明： E A AA =*, *=A A T , ∴E A AA T=若0=A ,则O AA T=时，把A 按行分块，记A 的第i 行为),2,1(n i A i =,0=∴Ti i A A ,),2,1(n i =0=⇒i A ),2,1(n i =O A =⇒这与非零矩阵矛盾！ ∴0≠A , 即A 可逆.2. 证明: =2A ξξξξξξξξξξT T T T E E E +-=--2))((,T T E ξξξξ)(--=2 (ξξT -2是一个数) T T E ξξξξ)(--=2.∴A A =2T TTE E ξξξξξξ-=--⇔)(2T T T ξξξξξξ=-⇔)(2O T T =-⇔ξξξξ)(1因为ξ是n 个变量的非零列向量, O T≠ξξ, ∴01=-ξξT即 A A =2的充要条件是1=ξξT.3. (1)证明： ,32A A = ,32O A A =-∴,4))(4(E E A E A -=+-∴ 从而,)4)(4(E EA A E =+- A E -∴4 可逆，且 4)4(1E A A E +=--. (2) 证明：,32A A = ,)3(O A E A =-∴假设A E -3可逆,则等式两边同时右乘(),31--A E 得O A =，与条件O A ≠矛盾，所以A E -3不可逆.第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、填空题 (1)E ))((k ij -;(2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000100001; (3)0=a ; (4)2-=a ; (5)0;(6)t = -3 二、选择题 C A C D C B A D D D三、计算题 1.解：()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------==00000000007474721071371373177391111833312111151行变换b A B∴()(),42<==B A R R 有无穷多解. 同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++74747271371373432431x x x x x x故原方程组的通解：R k k k k x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21214321,,00747131074713017273.2.解：秩为2 （详略）3.解：因为A B AB =-，B A AB =-∴B E B A =-⇒)( 两边都右乘1-B 得：E BE B A =--1)(E B E A =-⇒-)(1，11)(---=∴B E A而1-B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2000031000120021，利用初等变换可以求得 =∴A 11000021*********-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=100210410002100210. 4．解： ∵|A |=2121122112+++λλλλλ=02010211232λλλλ--+=λλ22-， ∴ (1) 当|A |≠0，即2,0≠≠λλ时，方程组有唯一解.(2) 0=λ时，[A |b ]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200001000211221101000211行变换， ∵R (A )=2≠3=R (B )，∴方程组无解.（3）当2=λ时， [A |b ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00002181102182101000041802251225105222251行变换行变换 ∵R (A )=2=R (B )，∴方程组有无穷多解,通解为:R k k x xx x ∈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,181821021214321.5.四、证明题 1．证明： A A =2 O A E A O A A =-⇒=-∴)(2R (A )+ R (A -E )= R (A )+ R (E - A )≥R [A + (E - A )]= R (E )=n . （1）又 0=R [A (A -E )]≥R (A )+ R (A -E )-n ，即R (A )+ R (A -E )≤n （2）由（1），（2）式知 R (A )+ R (A -E )= n2. 证明：当 AB=O ，有n R R ≤+)()(B A .(1) 若A 、B 均为非零矩阵, 则0<R (A )≤n ,0<R (B )≤n ，结合 n R R ≤+)()(B A 可知： R (A )<n , R (B )<n .(2) 若A 、B 均为非零方阵,由(1)的结果即可知|A |=0，|B |=0.第四章向量组的线性相关性一、填空题3)()1(<∴=A r b Ax 存在两个不同的解， 10,0==∴=λλ或A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==100010101011100110100100a a A ，当λ1,3)()(-=∴<=a A r A r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==100011001111111110000111a a A ，当λ1),()(≠∴≠∴λA r A r 1,0-==∴a λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→=0000101020010000101010110)2(A ，当λ)(,012100R k k X ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴通解：(1) 8- ;(2) 2≠; (3) 2;(4)T)43,21,41(--; (5) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132 二、选择题 D C A D A B C B C A三、计算题1.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000000221031216254533111113121r . 所以向量组秩为2 ，它的一个最大无关组为21,a a (不唯一).1．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+++11001101),,(),,(321133221k a a a ka a a a a a 由于321,,a a a 和133221,,ka a a a a a +++都线性无关，所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001101k 可逆，即011001101≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡k . 而 k k +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111001101，所以1≠k . 3．解：对方程组的系数矩阵作初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010001010010011111000011110011rA . 同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=0453521x x x x x x ；令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0152x x 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10，则得基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000111ξ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=101012ξ. 4、解：因为三维向量321,,ααα不能用321,,βββ线性表示，所以321,,βββ线性相关031421311=∴a得5=a令),,,,,(321321βββααα=A 则对A 实行初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2011001024010512001所以;2105;;4232132123211αααβααβαααβ-+=+=-+=四、证明题1 证明：因为3)()(==B R A R 所以321,,a a a 线性无关，4321,,,a a a a 线性相关，且4a 可以由321,,a a a 唯一线性表示,即3322114a a a a λλλ++=. 如果存在数4321,,,k k k k 使得54343324221411454332211)()()()(0a k a k k a k k a k k a a k a k a k a k +-+-+-=-+++=λλλ由于4)(=C R ,所以5321,,,a a a a 线性无关,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=-00004433422411k k k k k k k λλλ 得唯一解04321====k k k k ,所以45321,,,a a a a a -线性无关,秩为4.第五章相似矩阵及二次型一、填空题 (1) -2； 1，-1/2；1，-2；-2，1；4，1. (2) 2；1,1,-1(3) 0 ;(4) -1； 5 ; (5) 略； 4;(6) -1<t <1 二、选择题 ADBDC C DBAD三、计算题1．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡232323-4λx ，解得2,1=-=λx .(2) 由|A-λE |=01234=----λλ,得矩阵A 有两个不同的特征值2,1,所以A 与对角矩阵Λ相似.解方程组(A -E )x =0,得A 对应于1的特征向量为(1,1)T,又由(1)知:相似变换矩阵P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1213，对角矩阵Λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002.2. 解：解：由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200200b b a A 得⎩⎨⎧==112trA A 解之得2,1==b a解0=-E A λ得3,2321-===λλλ解0)2(=-x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,10221ξξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010,5105221p p 解0)3(=+x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=520513p令()321,,p p p P =所求正交变换为Py x =标准形为232221322y y y f -+=3. 解：因为A 有三个线性无关的特征向量, λ=2是A 的二重特征值,所以对应于λ=2的线性无关的特征向量有两个,故R (A -2 E )=1,而A -2 E =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----000201113332111y x x y x 行初等变换所以2,2-==y x .解A 的特征方程： |A -λE |=λλλλλλλ------=------23324201-153324211-10)6()2(2=--=λλ得A 的特征值为:6,232,1==λλ.对于λ=2,解线性方程组(A -2E )x =0,得A 对应于2的两个线性无关的特征向量为:(1,-1,0)T , (1,0,1)T.对于λ=6,解线性方程组(A -6E )x =0,得A 对应于6的特征向量为:(1,-2,3)T . 所求可逆矩阵为: P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--310201111, 则P -1 A P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡600020002. 4.（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0010001000102102121021100000001011100011A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-100000001,011100011)2(1AP P P 则构造意得：的一个特征值。

14年线性代数与空间解析几何A考试试题试题

济南大学2014～2015学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课程线性代数与空间解析几何考试时间 2015 年1月12日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

………………一、填空题（每小题2分，共14分）1、123123123++=+x x x .2、若向量组α1=(1,1,1)T , α2=(1, n , 0)T , α3=(1,2,3)T 线性无关，那么n 应满足 .3、已知11102321⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X ,则X = . 4、设n 元非齐次线性方程组Ax =b 有解，其中A 为(n +1)×n 矩阵，则Ax =b 的增广矩阵的行列式A b = . 5、过点(0,1,-3)且与平面3x -y +4z -8=0垂直的直线方程是 . 6、方程z =4x 2+5y 2所表示的曲面为 .7、已知100021,053⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则A -1=.二、选择题（每小题2分，共14分）1、已知矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡642752321，则矩阵A 的秩R (A )= _______. （A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）0.2、002001103012021-=-[ ](A ) 12； (B ) -12； (C ) 6； (D ) -6.3、设向量组A 的秩为r 1，向量组B 的秩为r 2，A 组可由B 组线性表示，则1r 与2r 的关系为[ ](A ) r 1≤r 2； (B ) r 1≥r 2； (C ) r 1=r 2； (D )不能确定. 4、设A 为4阶矩阵，且|A |=2，则 | 2A -1 |=[ ](A ) 4； (B ) 16； (C ) 1； (D ) 8.5、若3阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为-1, 2, 4，则行列式|B +2E |= [ ](A ) -24； (B ) -8； (C ) 24； (D ) 11.6、球面6222=++z y x 与旋转抛物面22y x z +=的交线在xOy 平面上的投影曲线方程为[ ] 2222222223()2;()3;();().00x y x y A x y B x y C D z z ⎧⎧+=+=+=+=⎨⎨==⎩⎩7、设12,λλ分别是3阶矩阵A 的一重和二重特征值，对角矩阵122000000λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Λ，则[ ] (A ) A 与对角矩阵Λ相似； (B ) A 与对角矩阵Λ不相似；(C ) 当R (A -λ2 E )=2时，A 与对角矩阵Λ相似； (D ) 当R (A -λ2 E )=1时，A 与对角矩阵Λ相似.三、计算题（每小题10分，共40分）1、已知矩阵*21100220,(())().111A A A A A E A E **-⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦是的伴随矩阵，求: 2、已知向量(1,2,1),(2,1,3)T T αβ=-=，矩阵A=αβ T =[]122131-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求f (A )=A 3-2A 2-2A . 3、a 为何值时，向量组1234(1,1,2,4),(3,0,7,14),(0,3,1,),(1,2,5,0)T T T T a a αααα=-===--- 线性相关？并在该向量组线性相关时，求其秩及一个最大线性无关组.4、求二次型222(,,)248=+-+f x y z x y z yz 的矩阵的特征值，并讨论方程222248+-+=x y z yz C (C 为任意常数)所表示的曲面类型.四、解方程组（共10分）求线性方程组12341234123412341222124436x x x x x x x x x x x x x x x x +--=-⎧⎪+--=⎪⎨+++=⎪⎪+--=-⎩的通解.五、综合题（共12分）设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，且行列式|A -2E |=0. 向量(1,2,1)=-T ξ是线性方程组Ax =0的解，求：(1) A 的特征值与特征向量；(2) 矩阵A .六、证明题（每小题5分，共10分）1、设方阵A 满足223--=A A E O ，证明A +2E 可逆.2、设4阶矩阵1234(,,,)αααα=A ，A *是A 的伴随矩阵. 若(1,0,1,0)T 是线性方程组Ax =0的基础解系，证明234,,ααα是A *x =0的基础解系.一、填空题(每小题2分,共14分)1． x 2(x +6) ； 2． n ≠1/2 ; 3．1101-⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 4． 0 ； 5.13314x y z -+==-; 6．椭圆抛物面； 7.100031052⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题(每小题2分,共14分)1.（B ）2.（B ）3.（A ） 4．(D ) 5．（C ） 6.（C ） 7．(D )三、计算题(每小题10分,共40分)1、解：21(())()()**-*-+=-A A E A E A A E ||=-A E A1001003002010220200001111113-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦2、解：f (A )=A 3-2A 2-2A = 9A -6A -2A =A=213426213---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3、解：123413113110320111(,,,)2715000241400026a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A αααα 当a =2时，R (A )=3<4，所以1234,,,αααα线性相关. 此时该向量组的秩为3，其最大无关组为：124,,ααα4、解：二次型222(,,)248f x y z x y z yz =+-+的矩阵为：100024044A ,⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由100||024(1)(4)(6)0,044λλλλλλλ--=-=--+=--A E 得二次型的矩阵A 的特征值为：1,4,-6. 方程222248+-+=xy z yz C 的标准形为：22211146x y z C +-=，所以当C =0时，方程222111460x y z +-=的图形为二次锥面. 当C >0时，方程22211146x y z C +-=的图形为单叶双曲面. 当C <0时，方程22211146x y z C +-=的图形为双叶双曲面.四、解方程组(共10分)解：[]=b A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------6411341112112122111111111001030032500325⎡⎤---⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦11000001030001200000⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以与原方程组同解的方程组为123432x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 故原方程组的通解为：R k k x x x x T T T ∈-+-=,)2,3,0,0()0,0,1,1(),,,(4321五、综合题(满分12分)解：（1）由题意得：11111312021111,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A所以123,0λλ==是矩阵A 的特征值，11122212121112011k k k k k k k k R ,,,,⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⋅≠∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ分别是A 对应特征值123,0λλ==的所有特征向量。

济南大学期末考试PLC试卷A

一、填空题1.PLC采用循环扫描工作方式，操作系统执行一次循环错做所需的时间称为扫描周期。

2.PLC的开关量输出单元按输出电路所用开关器件的不同可分为继电器输出、晶体管输出和双向晶闸管输出。

3.S7中有三种计数器分别是加计数器(S_CU)、减计数器（S_CD）、可逆计数器（S_CUD）.4.用STEP—7编写PLC的控制程序,可以选择三种顺序结构：线性式、分布式编程、结构式。

5.STEP-7用户程序通常由组织块(OB)、功能块(FB)或功能（FC）等三种类型的逻辑块和数据块组成。

6.同种数据类型的组合称之为数组,不同类型的数据的组合是结构。

二、简单题1。

简述可编程控制器的工作过程。

PLC采用的是循环扫描工作方式。

在PLC中，用户程序按照先后顺序存放在PLC中，工作时CPU 从第一条指令开始执行，直到遇到结束符后又返回第一条，如此周而复始，不断循环。

PLC在运行过程中，总是处在不断循环的顺序扫描过程中.PLC 上电后，就在系统程序的监控下，周而复始地按固定顺序对系统内部的各种任务进行查询、判断和执行，这个过程实质上是一个不断循环的顺序扫描过程。

一个循环扫描过程称为扫描周期。

2.什么是扫描周期？它主要受什么影响？答：扫描周期是PLC每执行一遍从输入到输出所用的时间。

扫描周期的长短与CPU的运算速度、I/O点的情况、用户应用程序的长短以及编程情况等有关3。

s7-300的编程元件有哪些？答：1. 输入映像寄存器（输入继电器）I2。

输出映像寄存器（输出继电器)Q3。

位存储器M(或称辅助继电器)4.外部输入寄存器PI5.外部输出寄存器PQ6.定时器T（共5种）7。

计数器C (共3种）8.数据块寄存器DB9。

本地数据寄存器L 4.M0.0、MB0、MW0和MD0有何区别?答：M0.0 , MB0, MW0和MD0表示位、字节、字和双字存储单元。

5。

s7-300系列PLC共有几种定时器？各种定时器的运行方式有何不同?答:S_PULSE脉冲定时器SP。

济南大学线性代数大作业 2019.7.21

a 1
1 a

x2 x3

12

有无限多个解，
则a
___________.
5. 设 n 元非齐次线性方程组 Ax b 有解，其中 A 为 (n 1) n 矩阵，则| Ab | ______.
1 2 2
6.
设矩阵 A

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一、填空题
第二章矩阵及其运算
1
1. 设 A 31 2 1 ，则 A6 ______________.
2
2. 已知 A 为 2 阶方阵， A* 是 A 的伴随矩阵，且 | A | 3 ，则 | A1 | ___ ， | AA* | ____.
PB
，其中
B

0 0
0 0
01 ，
P

2 2
1 1
0 1

.
(1) 求 A ; (2) ( A) 3E 2 A2 5A5 .
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2 1 0
3.
已知
A

1
2
0

，
矩阵 B 满足:
ABA* 2BA* E ，其中 A* 是 A 的伴随矩阵， E 为单位阵.
0 0 1
(1) 求| B | ; (2) B 1 .
4. 已知两个线性变换

x1 x2

y1 y1

y2 y2

y3
和

z1 z2

y1 y2 y3 2 y1 2 y2
x3 2 y1 2 y2 y3 z3 y1 y2

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济南大学2013～2014学年第二学期课程考试试卷（A 卷）
课程线性代数考试时间 2014 年 6 月30日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

………………
一、选择题（每小题3分，共15分）
1、若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式12311223|,,,|,|,,,|,m n αααβααβα==则4阶行列式
12312|,,,+|αααββ=[ ].
(A ) m+n ； (B ) –(m+n )； (C ) m –n ； (D ) n –m .
2、n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是[ ].
(A ) 12,,,s ααα 中的任意部分组都线性无关；
(B ) 齐次线性方程组Ax =0仅有零解，其中系数矩阵12(,,,)s ααα= A ；
(C ) 存在不全为零的s 个数12,,,s k k k ，使得11222,;s k k k ααα+++≠ 0
(D ) 12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示.
3、若A 是m ×n 矩阵，则下列结论正确的是[ ].
（A ）若Ax =0仅有零解，则=Ax b 有唯一解；（B ）若Ax =0有非零解，则=Ax b 有无穷解；
（C ）若=Ax b 有无穷解，则Ax =0仅有零解；（D ）若=Ax b 有无穷解，则Ax =0有非零解.
4、若A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，且AB =E ，则下列结论正确的是[ ].
（A ）矩阵A 可逆；（B ）R (A )=m ；（C ）R (A )=n ；（D ）R (A )≤min(m , n ).
5、已知4阶实对称矩阵A 的秩为3，且满足A 2+3A=O ，则A 的全部特征值为[ ]
(A ) -3,-3,-3,0； (B ) -3,-3,0,0； (C ) 3,3,3,0； (D ) 3,3,0,0.
二、填空题（每小题3分，共21分）
1、方程2
124
13901x x =的全部根为 .
2、10101131024⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .
3、已知100301101101101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
X ，则X = . 4、设5421,,3234⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
B C 且BAC =E ，则A -1= . 5、向量(0,1,2)T β=在基123(1,2,1),(0,1,1),(1,1,1)T T T ααα===下的坐标为 .
6、已知矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---53342111a 的特征值为6, 2, λ,则a , λ的值分别是 . 7、设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且其秩为n -1，x 是n 维列向量，则齐次线性方程组Ax =0的通解
为 .
三、计算题（每小题10分，共30分）
1、计算行列式1111
11111111
1111x x x x
++++. 2、已知向量组1234(1,3,0,1),(1,2,1,2),(1,1,2,),(1,3,2,)T T T T a a b αααα====-的秩为2，求a , b 的值，并求
该向量组的一个最大无关组.
3、已知矩阵126032022⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
A ，计算*1*2()[()]-+-A E A E A . 四、（满分10分）设1234,,,,ααααβ为4维列向量，123,,ααα线性无关. 4123ααα=-,1234βαααα=+++
令()1234αααα=Α，求非齐次线性方程组β=Ax 的通解.
五、（满分12分）试求一正交变换，将二次型31232221321422),(x x x x x x x x f +-+=，化为标准二次型，并写出
该标准二次型.
六、证明题（每小题6分，共12分）
1、证明向量组1234=(1,0,1,2,0),(1,2,1,0,0),(5,6,3,4,1),(2,4,0,4,1)T T T T -=-=-=-αααα线性相关.
2、设4阶矩阵A 满足A 2+A =O ，且A 的秩为3，A +E 的秩为1，证明A 与对角矩阵相似，并写出其相似对角阵.。