33第三十三讲 极零点与冲激响应频率响应卷积
系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积
r(t)
r(t
) lim t10 t1
e(t1)t1h(t t1)
r(t) e( )h(t )d
e(t)
lim
t1 0
e(t1)t1
t1
(t
t1)
卷积的物理含义图解：
k (t t1)
kh(t t1)
A
e(t1)t1 (t t1)
A
e(t1)t1h(t t1)
LTI系统的性质
(
t0 )
f
(t
)d
f (t t0 )
函数与冲激函数时移相卷积的结果相当于把函数本身时移
3.
f (t t1) * (t t2 ) (t t1) * f (t t2 ) f (t t1 t2 )
*
＝
*
*
t1
＝
t0
＝
t2
t0 t1+ t2
推广：任意两函数卷积
若：s(t) f1(t) * f2 (t)
f (t)
f1(1) (t) *
f
( 1) 2
(t
)
d dt
f1 t *
t
f 2 ( )d
§2.5 卷积和—已知单位样值响应， 求系统零状态响应 一、 卷积和定义
e(n)
r(n) e(n)*h(n)
h(n)
e(n) e(k) (n k) k
Convl89.m
r(n) e(n)*h(n)
*
df2 (t dt
)
df1(t) * dt
f2 (t )
证：
d
d
dt [ f1(t)* f2 (t)] dt
f1
f2t
d
f1
冲激信号与冲激信号的卷积
冲激信号与冲激信号的卷积冲激信号是一种理论上的理想信号，表示在极短时间内进行了突变或者震荡，具有瞬时的高能量。
卷积是一种基础的数学运算，它将两个函数进行叠加。
冲激信号与冲激信号的卷积是一种常见的信号处理方法，它在实际应用中具有广泛的适用性。
在信号处理中，冲激信号的可逆性和线性性质被广泛利用。
一般来说，冲激信号可以表示为一个极短的单位脉冲信号，其形式可以表示为delta(t)，其中t是时间。
由于冲激信号的瞬时性质，它可以被用于判断系统是否稳定、线性及其相应性能等。
因此，冲激信号可以用于分析和描述很多复杂系统的特性。
冲激信号的卷积是一种将两个信号进行混合的方法。
卷积的数学定义为两个函数乘积在时间上的积分，即(fg)(t) = ∫f(t-x)g(x)dx。
在冲激信号与冲激信号的卷积中，一个信号(例如输入信号f(t))与一个冲激响应函数(例如系统的冲激响应g(t))进行卷积，得到输出信号h(t)。
这个过程等价于在系统中发送f(t)信号，然后测量系统对该信号响应的g(t)。
冲激信号与冲激信号的卷积在信号处理中有许多应用。
例如，它可以被用于图像处理中的模糊滤波，通过将图像与一个卷积核进行卷积，可以模糊图像并且降低其高频分量。
此外，卷积还可以用于信号的恢复和压缩。
在音频压缩中，通过将音频信号与一个特定的卷积核进行卷积，可以降低信号的数据量并提高信号传输效率。
在信号恢复中，可以利用卷积来恢复由于信号传输过程中造成的失真。
总之，冲激信号与冲激信号的卷积是一种有用的信号处理方法，它在许多领域都有广泛的应用。
通过利用冲激信号的可逆性和线性性质，卷积可以有效地分析和描述复杂系统的动态响应。
在实际应用中，它可以被用于图像处理、音频压缩、信号恢复等方面，为我们提供了诸多重要的工具和技术。
阶跃响应、冲激响应和卷积积分
清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。
+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。
例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。
解f (t ) 分成两段表示。
1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。
第十四章 网络函数
U s ( s) 驱动点阻抗 = I s (s) I s (s) 驱动点导纳 = U s (s)
I s ( s) U s ( s) I 2 (s)
N
3
U 2 ( s)
②.转移函数:激励和响应不再在同一端口 转移函数:
U 2 ( s) I 2 ( s) I s ( s) 转移阻抗 = 转移导纳 = I s (s) U s (s) U s ( s) U 2 (s) I 2 (s) 电压转移函数 = 电流转移函数 = U s ( s) I s (s) 例14－2 14－
2
14.1， 14.1，2 网络函数的定义 网络函数的极点和零点
一.网络函数 电路在单一的独立激励下，其零状态响应r(t)的象函数 的象函数R(s) 电路在单一的独立激励下，其零状态响应 的象函数 与激励e 的象函数 的象函数E(s)的比值，称为电路的网络函数 的比值， 网络函数H(s)。 与激励 (t)的象函数 的比值 称为电路的网络函数 。
如同复频域下网络函数用H(s)中表示，频域 下(正弦激励 网 中表示， 正弦激励)网 如同复频域下网络函数用 中表示 正弦激励 络函数用H(j ω)表示。 表示。 络函数用 表示
H(s) = H 0
∏ (s − z ) ∏ (s − p
j =1 m i =1 n i j
m
)
i
H(jω ) = H 0
0
1
t
8
S + ω 12
h (t ) = cos ω 1 t
(6). 一对共轭极点0
h(t)
σ
0
ω1 H (s) = ( S + α ) 2 + ω 12
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
对t>0时，有 时
h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– ， 微分方程的特征根为 2， – 3。故系统的冲激响应为 。 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 ， 求得C ， 求得 1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 结合式 得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
lim
∆→0
∞
ˆ f (t) = f (t ) = ∫
∞ −∞
f (τ )δ (t −τ ) d τ
第 任意信号作用下的零状态响应
f (t) 根据h(t)的定义： 的定义： 根据 的定义 由时不变性： 由时不变性：
∞
LTI系统 LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
3 .卷积积分的定义 卷积积分的定义
已知定义在区间（ 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数 1(t) ， ）上的两个函数f 和f2(t)，则定义积分 ，
∞
f (t) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t −τ )dτ
−∞
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 卷积； 与 的卷积积分，简称卷积 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的 为积分变量 下进行的， 为积分变量， 注意：积分是在虚设的变量 下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为 的函数。 为参变量。 为参变量 结果仍为t 的函数。
14.4 极点、零点与频率响应
串联电路， 例：RC串联电路，定性 串联电路 分析以电压u 分析以电压 2为输出时该 电路的频率响应。 电路的频率响应。 解：
R + u1 C
+ u2 -
U 2 ( s) H (s) = = U1 ( s )
1/sC R+ 1/sC
1 / RC = s + 1 / RC
其极点p 其极点 1=-1/RC
三、极点、零点与频率响应 极点、
若已知网络函数的极点和零点， 若已知网络函数的极点和零点，则按相频特 性和幅频特性便可以计算对应的频率响应， 性和幅频特性便可以计算对应的频率响应， 作图的方法定性的描绘出 同时还可以通过在平面上作图的方法定性 同时还可以通过在平面上作图的方法定性的描绘出 频率响应。 频率响应。 相频特性和幅频特性总称为网络的“频率特性” 相频特性和幅频特性总称为网络的“频率特性” 结论:令网络函数 中复频率s=jω 结论:令网络函数H(s)中复频率 ω，分析 中复频率 H(jω)随ω变化的特性，根据网络函数零、极点的 ω 随 变化的特性，根据网络函数零、 分布可以确定正弦输入时的频率响应。 分布可以确定正弦输入时的频率响应。
| H ( jω ) |= H 0
∏ | ( jω − z ) | ∏ | ( jω − p ) |
j =1 j i =1 n i
m
二、相频特性 H ( jω ) =| H ( jω ) | e jϕ
=| H ( jω ) | ∠ϕ ( jω ) 式中 ϕ ( jω ) = arg[ H ( jω )] 随ω变化的关系称 变化的关系称 相位频率响应 简称相频特性 响应， 相频特性。 为相位频率响应，简称相频特性。
H ( jω ) =| H ( jω ) | e jϕ
放大器极零点与频率响应分析解析
关于放大器极、零点与频率响应的初步实验1．极零点的复杂性与必要性一个简单单级共源差分对就包含四个极点和四个零点，如下图所示：图1 简单单级共源全差分运放极零点及频率、相位响应示意图上图为简单共源全差分运放的极零点以及频率响应的示意图，可以看到，运放共有四个极点，均为负实极点，共有四个零点，其中三个为负实零点，一个为正实零点。
后面将要详细讨论各个极零点对运放的频率响应的影响。
正在设计中的折叠共源共栅运算放大器的整体极零点方针则包括了更多的极零点（有量级上的增长），如下图所示：图2 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-poles details图3 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-zeros details从上述两张图可以看到，面对这样数量的极零点数量（各有46个），精确的计算是不可能的，只能依靠计算机仿真。
但是手算可以估计几个主要极零点的大致位置，从而预期放大器的频率特性。
同时从以上图中也可以看到，详细分析极零点情况也是很有必要的。
可以看到46个极点中基本都为左半平面极点（负极点）而仿真器特别标出有一个正极点（RHP ）。
由于一般放大器的极点均应为LHP ，于是可以预期这个右半平面极点可能是一个设计上的缺陷所在。
（具体原因现在还不明，可能存在问题的方面：1。
推测是主放大器的CMFB 的补偿或者频率响应不合适。
2。
推测是两个辅助放大器的带宽或频率响应或补偿电容值不合适）其次可以从极零点的对应中看到存在众多的极零点对（一般是由电流镜产生），这些极零点对产生极零相消效应，减少了所需要考虑的极零点的个数。
另外可以看到46个零点中45个为负零点，一个为正零点，这个正零点即是需要考虑的对放大器稳定性产生直接影响的零点。
以上只是根据仿真结果进行的一些粗略的分析，进一步的学习和研究还需要进行一系列实验。
卷积冲激响应零状态响应的关系
卷积冲激响应零状态响应的关系在数字信号处理中，卷积是一种重要的运算方式，用于处理信号的线性系统。
而卷积的一组重要概念就是卷积响应、冲击响应和零状态响应。
本文将从这三方面来阐述它们之间的关系。
首先，我们需要明确卷积这个概念。
卷积就是对两个信号进行加权平均的过程，其中一个为原始信号，另一个为特定的函数，称为卷积核。
卷积核的重要作用是对原始信号进行变换，从而让我们能够从信号中提取出特定信息。
卷积过程可以表述为：（f*g)(n)=Σf(m)g(n-m)其中f和g代表两个原始信号，m和n代表信号的时间变量，*代表卷积操作。
接下来，我们来介绍冲击响应，也称为单位脉冲响应或卷积核响应。
冲击响应是指当输入信号为单位脉冲信号（即一个宽度极窄的信号）时，系统输出的响应信号。
由于单位脉冲信号中只有一个时间点有信号，其余时间都为0，因此冲击响应相当于系统对该时间点的响应值。
在数字信号处理中，我们通常用h(n)来表示该响应值。
最后，我们需要了解的是零状态响应。
零状态响应是指在没有输入信号的情况下，系统生成的响应信号。
此时，系统处于稳定状态，且其初始状态为零。
在离散时间下，我们通常用y(n)来表示该零状态响应。
那么，这三个概念之间有什么关系呢？其实它们都是在描述同一个系统的特性，只是分别从不同角度来衡量。
首先，我们可以将卷积响应分解为冲击响应的加权平均，即：h(n)=Σh(k) δ(n-k)其中δ(n)为单位脉冲信号。
也就是说，任何系统的卷积响应都可以分解为许多个单位脉冲信号所引起的响应的加权平均。
这种分解方式成为卷积定理。
另外，我们可以通过卷积操作来计算系统的零状态响应。
具体来说，如果我们知道系统的冲击响应和输入信号f(n)，那么系统的零状态响应y(n)可以由以下方程得到：y(n)=f(n)*h(n)综上所述，卷积响应、冲击响应和零状态响应是数字信号处理中非常重要的概念。
它们可以从不同的角度来描述同一个系统的特性。
我们需要深入理解它们之间的关系，才能更好地应用它们来处理信号。
电子电路中网络函数的分析与应用
0 t
e( t ) * h( t )
例：已知 R 500k, C 1F , is (t ) 2e t A
uc (0 ) 0, 求uc (t )。
+ is
R C
Is( s)
R 1/sC
+
Uc(s)
uc
解： 电路的单位冲激响应为
(t)
1 零 状 态
h( t ) = r( t )
R(s)
R( s ) H ( s) 1 L1[ H ( s)] h(t )
网络函数和冲激响应构成一对拉氏变换对
R( s ) H ( s) E( s)
1Hale Waihona Puke t 0R( s ) E ( s ) H ( s )
r (t ) L [ E( s) H ( s)] e( )h( t )d
+
_
1 设H 0 RC
U c ( s) + H ( s) 1 U s ( s) R uc 1 sC C us _ RC 1 s 1 RC 有一个极点 p1 RC
H0 H ( j ) H ( j ) ( j ) j 1 / RC
R
1 sC
H0 H0 H ( j ) j 1 / RC j p1
0
f1 ( x ) ( x ) f 2 ( )e s e sx ddx
sx
f1 ( x ) ( x )e
0
dx f 2 ( )e s d
0
F1 ( s)F2 ( s)
同理可证
L[ f 2 (t ) * f1 (t )] F2 ( s)F1 ( s) f1 (t ) * f 2 (t ) f 2 (t ) * f1 (t ) L1[F1 ( s)F2 ( s)]
网络函数
网络函数重点：1. 网络函数的的定义和极点、零点的概念；2. 网络函数的零点、极点与冲激响应的关系；3. 网络函数的零点、极点与频率响应的关系难点：1. 零点、极点与冲激响应的关系2. 零点、极点与频率响应的关系本章与其它章节的联系：本章以第13章为基础，是叠加定理（第4章）的一种表现。
冲激响应可参见第6章和第7章。
频率响应可参见第9章。
预备知识：积分变换卷积积分§14.1 网络函数的定义1. 网络函数的定义电路在单一的独立激励下，其零状态响应r(t) 的象函数R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比定义为该电路的网络函数H(s)，即：2 ．网络函数的类型设图 14.1 中，为激励电压、为激励电流；为响应电压、为响应电流。
根据激励可以是独立的电压源或独立的电流源，响应可以是电路中任意两点之间的电压或任意一支路的电流，故网络函数可以有以下几种类型：图 14.1驱动点阻抗：；驱动点导纳：；转移阻抗：；转移导纳：；电流转移函数：；电压转移函数：。
注意：1）根据网络函数的定义，若E(s)=1 ，即e(t)=δ(t)，则R(s)=H(s) ，即网络函数就是该响应的象函数。
所以，网络函数的原函数h(t) 为电路的单位冲激响应，因此如果已知电路某一处的单位冲激响应h(t) ，就可通过拉氏变换得到该响应的网络函数。
2）网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与激励的函数形式无关，因此如果已知某一响应的网络函数H(s)，它在某一激励E(s) 下的响应R(s) 就可表示为R(s)=H(s)E(s)例14－1 图示电路中，已知时，。
求时，例 14-1 图解：网络函数=当时，所以例14－2图示电路激励i(t)= d(t) ，求冲击响应h(t) ，即电容电压u C(t) 。
例 14-2 图（a）解：电路的运算图如图（b）所示，有：例 14-2 图（b）注意：H(s) 仅取决于网络的参数与结构，与输入E(s)无关，因此网络函数反映了网络中响应的基本特性。
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jω ω
。
σ
１４－ ４、作业讲解：Ｐ３７８ １４－７ 作业讲解：Ｐ 解:
（１）、画出运算电路 ）、画出运算电路 + US _ R1 + 200 _ s R1 iL R2
S
L
U S (s) =
200 s
C
Li sL_ L (0 − ) +①
30 IL(s)
_ UC0 +
us 200 iL (0 − ) = = = 5A R1 + R2 30 + 10
例 已知 h( t ) = 5e − t，us ( t ) = 0.6e −2 t，求 uc ( t ) + 线性无源 电阻网络
us
解：
C
uc
U C ( s) = H ( s) E ( s)
K1 K2 5 0.6 UC (S) = × = + S +1 S + 2 S +1 S + 2
uc ( t ) = −3e −2 t + 3e − t t uc ( t ) = ∫0 5e − ( t −ξ ) × 0.6e −2ξ dξ
r(t) R(s)
单个独立源作用的线性网络
L[r(t )] H(s) = L[e(t )]
R(s) 零状态 = E(s)
零状态
当e( t ) = δ ( t )时，E ( s ) = 1，则有 H ( s ) = R( s )
３、网络函数的零点和极点
N ( S ) bm S m + bm −1S m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b0 H (S ) = = D( S ) an S n + an −1S n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a0
−1
−200 t
A(t ≥ 0)
极点、 §１４－８ 极点、零点与冲激响应 １４－
１、零极点与冲激响应的关系 ２、极点与时域响应的关系 ３、举例：例１４－１８ 举例： １４－
１、零极点与冲激响应的关系
（１）、电路的零状态响应 ）、电路的零状态响应
N ( s) P( s) R( s) = H ( s) E ( s) = • D( s) Q( s)
1 σ Hi (S ) = S−a
h( t ) = e
at
×
网络函数极点的位置决定了系统的稳定性 全部极点在左半平面系统是稳定的， 全部极点在左半平面系统是稳定的，只要有一个极点在 右半平面系统不稳定，极点在虚轴上是临界稳定。 右半平面系统不稳定，极点在虚轴上是临界稳定。 网络函数极点是该网络变量的固有频率 R(s)=H(s)E(s)
US(s)
R2 10
0
1 _ sC
+
u C (0 − ) s
（２）、象函数的运算，采用结点分析法 ）、象函数的运算， 象函数的运算
200 1 1 100 s + 0 .5 R + sL + R + sC U n1 ( s ) = R + sL − sC • s 2 1 1 2 − 100( s + 250 s − 20000) U n1 ( s ) = 2 s ( s + 200)
is
= 10 6 e − 2 t
＋ R uc C －
∫0 i s ( t − ξ )h(ξ )dξ t = ∫0 2 × 10 − 6 e − ( t −ξ ) × 10 6 e − 2ξ dξ − t t −ξ = 2e ∫0 e dξ
−t −2 t
= 2(e − e )ε (t )V
例：定理的应用
１、运算法
运算法是把时间函数变换为对应的 象函数， 象函数，从而把问题归结为求解以象函 数为变量的线性代数方程。 数为变量的线性代数方程。 （１）、画出运算电路 ）、画出运算电路 （２）、 象函数的运算 （３）、反变换得出时间函数 ）、反变换得出时间函数
２、网络函数的定义
e(t) E(s)
零 状 态
K1=3 , K2=－3 －
= −3e
− 2t
+ 3e
−t
四、课堂小结
１、极零点与冲激响应； 极零点与冲激响应； ２、极零点与频率响应； 极零点与频率响应； ３、卷积定理及应用。 卷积定理及应用。
布置作业
１、预习：§１５－１ ～§１５－２ １５－ 预习： １５－
r ( t ) = ∑ Ai e + ∑ A j e
si t i =1 j =1
n
m
s jt
由网络函数极点形成的 自由分量 系数A 系数 i和Aj有零点和极点共同决定
由激励函数极点形成的 强制分量
３、举例：例１４－１８ 举例： １４－
解：
＋ us(t) － C R L ＋ uc －
U C (s) U S (s) 1 1 H (s) = = ⋅ • U s ( s ) R + sL + 1 sC U S ( s ) sC
j =1 j i =1 n i
m
Ｓ
H ( jω ) = H 0
jω
m i =1 n i
m
= H ( jω )
n
ϕ(jω)
∏ ( jω − z ) ∏ ( jω − p j )
j =1
θ( jω) = ∑ arg( jω − z i ) − ∑ arg( jω − p j )
i =1 j =1
幅频特性
极点、 §１４－８ 极点、零点与冲激响应 １４－ 极点、 §１４－９ 极点、零点与频率响应 １４－ §１４－１０ 卷积 １４－
重点： 重点： １、极零点与冲激响应； 极零点与冲激响应； 极零点与频率响应； ２、极零点与频率响应； ３、卷积及变换。 卷积及变换。
一、知识回顾
１、运算法 ２、网络函数的定义 ３、网络函数的零点和极点 ４、作业讲解：Ｐ378 １４－７ 作业讲解： １４－
jω
Hi (S ) =
ω
( S − a )2 + ω 2
h( t ) = e at sin(ωt )
×
×
Hi (S ) =
ω
S2 + ω 2
×
h( t ) = sin(ωt )
1 Hi (S ) = S+a
×
×
×
h( t ) = e
− at
×
1 Hi (S ) = S × h(t ) = ε ( t )
r ( t ) = L [ E ( s ) R( s )] = ∫0 e(ξ )h( t − ξ )dξ
−1
t
= ∫0 e( t − ξ )h(ξ )dξ
t
３、举例：例１４－２１ 举例： １４－
解：该电路的冲激响应为： 该电路的冲激响应为：
1 h( t ) = e C
uc ( t ) =
t
t − RC
U n1 ( s ) − 200 − 0.5 5( s 2 + 700 s + 40000) s I L (s) = − = R1 + sL s ( s + 200) 2
（３）、反变换得出时间函数 ）、反变换得出时间函数
iL (t ) = L [ I L ( s )] = 5 + 1500te
5 1500 I L ( s) = + S ( S + 200) 2
N ( s) 若 H ( s) = D( s ) P( s) E ( s) = Q( s ) D( s ) = 0有si 个根
Q ( s ) = 0有s j 个根
设D(s) 和E(s)没有相同的极点 没有相同的极点
n m Aj N ( s) P ( s) Ai R( s ) = × =∑ +∑ D( s ) Q ( s ) i = 1 s − s i j = 1 s − s j
|H(jω)| 1 0.707 θ(Байду номын сангаасω) 1/RC -π/4 π
-1/RC
×
θ1
σ
ω1 ω2
ω
ω1 ω c ω 2
ωc = 1 称为截止频率 RC
ω
-π/2 π 通频带： 通频带：０～ωC
§１４－１０ 卷积 １４－
１、卷积积分 ２、卷积定理 ３、举例：例１４－２１ 举例： １４－
１、卷积积分
设有两个时间函数f 和 设有两个时间函数 1(t)和f2(t) ，它们在 t<0时为零， f1(t)和f2(t) 的卷积定义为： 时为零， 和 的卷积定义为： 时为零
幅频特性
θ(jω)
相频特性
H0 H0 H ( jω ) = = jω + 1 / RC jω − P1
H0 H0 H ( jω ) = = jω + 1 / RC ω 2 + (1 / RC ) 2
M2 M1
ω2
jω
ω1
θ ( jω ) = arg[ H ( jω )] = − arctg(ωRC )
H ( S − Z1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( S − Z m ) = H0 = 0 ( S − P ) ⋅ ⋅ ⋅ ( S − Pn ) 1
∏ (S − Z )
i
m
∏ (S − P )
j j =1
i =1 n
Z1、Z2、…、Zm称为网络函数的零点。 、 称为网络函数的零点。 p1、p2、…、pn称为网络函数的极点。 、 称为网络函数的极点。 极点用“ 零点用“ 表示。 极点用“×”表示 ，零点用“。”表示。 ×
f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫0 f 1 ( t − ξ ) f 2 (ξ )dξ
−
t
２、卷积定理
（１）、拉氏变换的卷积定理 ）、拉氏变换的卷积定理