[高一]第九届希望杯全国数学邀请赛试题

第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级 姓名一、选择题1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（ ）（A ）0,0,0><<c b a （B ）0,0,0<>>c b a（C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0>>>c b a2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（ ） （A ）411天 （B ）5天 （C ）16天 （D ）12天 3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(21x f x f -的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）2log a4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（ ）（A ）0︒<θ<180︒ （B ）0︒<θ<90︒ （C ）0︒<θ≤90︒ （D ）0︒≤θ≤90︒5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）（A ）R ⊃Q ⊃P ⊃S （B ）R ⊃Q ⊃S ⊃P （C ）S ⊂P=Q ⊂R （D ）S ⊂R,P ⊂Q,R ⊆Q,Q ⊆R6、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则------------------------（ ） （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）M 可能是∅（B ）M 中元素的个数是偶数（C ）M 中元素的个数是奇数（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。

8、 ）（A ）（1）与（2） （B ）（1）与（3） （C ）（2）与（4） （D ）（3）与（4）9、已知θ是第二象限的角，且2cos 2sin θθ<，则||2cos |log |22θ等于-------------（ ） （A ）)2cos(πθ-- （B ）2cos θ（C ）)2se c(θ- （D ）)2sec(θπ-10、若函数||22x x y -=的图象C 与直线)2(-=x k y 相交于点（-1，-1），则C 与该直线交点的个数是-------------------------------------------------------------------（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（A 组）11、若23log =x ，则x 的值是 。

12、若不共面的四条直线两两相交，则它们共有 个交点。

13、直线l 与平面α所成角为50︒，交点为P ，a 是α内不过P 点的任意一条直线，那么l 与a 所成角的取值范围是 。

14、函数)1lg(2x y -=的单调递增区间为 。

15、方程21254log 24=+-x x x 的解为 。

16、函数)(x f 与x x g -=3)(的图象关于直线x y =对称，则函数)2(2x x f -的定义域为 。

17、一个长方体的长、宽、高的比为4∶3∶2，它的对角线与一个正方体的体对角线等长，则这个长方体与正方体表面积之比为 。

18、平面α⊥平面β，直线a ∥α，a 与β成45︒角，直线b ∥β，b 与α成45︒角，则直线a 与b 所成的角的大小为 。

19、若x y x 22322=+，则22yx +的最大值为 。

20、二面角βα--l 的大小为60︒，l C B A ∈∈∈,,βα，且β⊥=AB AC ,4，B 点到α的距离为1，则直线AC 与平面β所成的角的大小等于 。

三、填空题（B 组）21、若},4,2,1{},2,1{}1,{2a a a ⊂⊂，则a 的值是 。

22、关于x 的方程)1,0(log log ≠>=a a a x x a 的解为 。

23、如果51cos sin -=+αα，那么α所在的象限是 。

24、函数)2sin(2)(β+=x a x f 的值域为[-2，1]，在区间]12,125[ππ-上是单调递减函数，则常数a 与β的值分别为 。

25、函数123)(2+-+=a ax x x f 在区间[0，1]上的最小值为0，则a 的值为 。

1998年“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试班级 姓名一、选择题1、正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线。

在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与BD 1垂直的面对角线的条数是-------------------------------------（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）6 （D ）92、若函数a x x f +=2)(的反函数为5)(1-=-bx x f ，则-------------------------（ ） （A ）7=+b a （B ）72=+b a （C ）3=-b a （D ）12=-b a3、若02log 2log <<y x ，则------------------------------------------------------------（ ）（A ）10<<<x y （B ）10<<<y x （C ）1>>x y （D ）1>>y x4、如图所示是一个5⨯4⨯4的长方体，上面有2⨯1⨯4，2⨯1⨯5，3⨯1⨯4的穿透的洞，剩下部分的体积为----------------------------------（ ）（A ）50 （B ）54（C ）56 （D ）585、设函数)(x f y =是周期为2的偶函数，且在区间[0，1]内单调递减，则)5.2(),0(),1(f f f -的大小关系是------（ ）（A ）)0()5.2()1(f f f <<- （B ）)5.2()0()1(f f f <<-（C ）)1()5.2()0(-<<f f f （D ）)1()0()5.2(-<<f f f6、P 是∆ABC 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC ，则在以下结论中正确的是-（ ）（A ）∠BPC<∠BAC （B ）∠BPC>∠BAC（C ）∠BPC=∠BAC （D ）∠BPC 与∠BAC 的大小关系不确定7、在锐角三角形ABC 中，一定有-----------------------------------------------------（ ）（A ）cosA<sinB （B ）cosA>sinB（C ）tgA>sinB （D ）cosA 与sinB 的大小关系不确定8、在正五棱柱ABCDE-A 1B 1C 1D 1E 1的侧棱CC 1上有一点P ，若截面PAE 1与侧面AEE 1A 1互相垂直，则这样的P 点------------------------------------------------------（ ）（A ）一般有两个，特殊情况下仅有一个。

（B ）有且仅有一个（C ）有两个 （D ）有时不存在9、在区间[2，3]上，方程x x 2332log log log log =的实根个数是-----------------（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无数个10、四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体。

用一个平面去切正四面体，使它成为形状大小都相同的两个几何体，这样的平面的个数为--------------------（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）无数个二、填空题11、关于x 的方程)121(log )121(log 2+-=-+x x a ，)1,0(≠>a a 的解集为 。

12、空间四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD=3，则BD 与AC 所成的角的正弦值为 。

13、函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=)2( 2)20( )(2x x x x f x 的反函数为 。

14、函数1sin sin +=x x y 的值域为 。

15、若2log 3)(3++=x x f x ，则=-)30(1f 。

16、若)1(log )(-=ax x f a 在区间[2，3）上是减函数，则实数a 的取值范围是 。

17、函数)(x f y =对于任意实数y x ,都满足22)]([2)()(y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则=)1998(f 。

18、关于x 的方程012=+++k x kx 有两个实根，一个比2大，另一个比1小，则k 的取值范围是 。

19、在长方体ABCE-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=AA 1=1，P 是对角线AC 1上的一个动点，Q 是底面ABCD 上的一个动点，则B 1P+PQ 的最小值为 。

20、三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90︒，D 为底面ABC 内的一点，∠APD=45︒，∠BPD=60︒，则∠CPD 的余弦值为 。

三、解答题21、已知0,,>c b a 且1,,≠c b a ，ab c a c b ==,，试比较c b a ,,的大小，并说明理由。

22、∆ABC 是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=46，A 点关于平面PBC 的对称点为A ’，求直线A ’C 与AB 所成角的余弦值。

答案：第一试：ACADACCDDD3，1，[50︒，90︒]，2，),2()0,(+∞-∞ ，26：29，60︒，94，30︒，2或0，a 或a1，二、四，。