高中数学沪教版(上海)高一第一学期-3.4 函数的最大值与最小值教案
高中数学沪教版高一上册第3章《3.4 函数的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学沪教版高一上册第3章《3.4 函数的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
掌握函数最大值最小值的概念。
会结合函数图像及单调性求一次函数，反比例函数及二次函数在区间上的最值。
经历函数最值概念的形成和函数最值求法的过程。
理解函数最值的意义并会作简单的运用。
积累求函数最值的经验。
2学情分析
本节内容位于第三章第四小节函数的基本性质之函数的最值。
最值是函数性质中最重要的性质之一，而二次函数是生活中应用最广泛的一种函数，在高中代数中占有重要地位，具有承上启下的作用。
而且从现实意义上来说，函数的最值在生活中可以解决成本最低，产量最高，效益最大等实际问题。
3重点难点
重点：函数最值概念的形成，会结合函数图像及单调性求函数在闭区间上的最值并作简单运用。
难点：理解函数最值的概念
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】函数的最值
1.情境引入
动物园要建造一面靠墙地间面积相等的长方形熊猫居室(如图).如果可供建造围墙的材料长是30米,那么为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大?最大面积是多少平方米?
分组讨论后回答。
高中数学函数的最大最小值教案分享
高中数学是一门考验学生能力的学科，其中函数是数学的一个重要分支。
函数的最大最小值在数学中也是一个核心概念，也是数学中最常见的问题之一。
因此，学生需要在学习函数的过程中，掌握函数的最大最小值，以应对考试和实际应用中的问题。
本文将分享一份关于高中数学函数的最大最小值教案，帮助教师和学生更好地掌握这一重要知识点。
一、教学目标1.掌握函数最值和最值的概念；2.掌握函数最值的求解方法；3.通过实例练习能够应用函数的最值问题。
二、教学过程1.引入教师应该先向学生说明什么是函数的最大最小值，以及为什么它如此重要和常见。
教师应该解释函数最大值和最小值的定义，因此需要对以下概念加以说明：最大值：函数在一段区间上的最大值，即函数在该区间内取最大的函数值。
最小值：函数在一段区间上的最小值，即函数在该区间内取最小的函数值。
同时，教师还需要解释为什么需要学习函数的最大最小值。
函数最大最小值是解数学问题的重要途径，并有助于学生理解函数在实际应用中的运用。
因此，学生需要掌握函数最大最小值的概念和求解方法，以应对不同场景下的数学问题。
2.方法教师可以通过讲解和讨论最值的基本概念，引导学生理解函数最大最小值问题的基本情况。
在此基础上，教师可以引入函数最值的求解方法，包括以下几步：（1）求出函数的一阶导数 f ' ( x ) f'(x) 以及二阶导数 f ′′ ( x ) f''(x) ；（2）解出一阶导数为 0 的所有实数解 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots, x_n ；（3）将区间端点和解集中的实数代入函数，求出函数的最大值和最小值。
为更好地帮助学生理解如何使用函数最值的求解方法，我们可以通过以下三个实例进行练习。
3.实例练习区间上的最大值和最小值。
解：我们来求出这个函数的一阶导数和二阶导数：f ′ ( x ) = 2 x − 2 f''(x)=2我们要求出一阶导数为 0 的实数解：4.x − 2 = 0 2x-2=0x = 1 x=1因此，我们得到唯一的实数解 x = 1 x=1。
高中数学高一第一学期3.4函数的基本性质_教案1-沪教版
函数的基本性质【教学目标】1．掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性；2．帮助学生掌握由“具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；3．在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣；4．理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法；5．学会“转化”的思维方法；6．让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。
【教学重点】1．偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断。
2．理解函数最大、最小值的概念，求基本函数的最值。
【教学难点】1．偶函数与奇函数图像性质的证明，简单复合函数奇偶性的判断。
2．通过转化思想，把复杂函数转化成熟悉的基本函数，再求最值。
【教学过程】（一）知识点一、函数单调性的证明步骤：1．取值：设为该区间任意的两个值，且。
2．作差变形：f(X 1)-f(X 2)，变形。
3．定号：确定上述差值的正负；当正负不确定时，可考虑分类讨论。
4．判断：做出结论。
注意点：（1）f(X 1)-f(X 2)变形计算时，尽量分解成因式形式，方便作差计算；（2）若要证明f(x)在上不是单调函数时，只要举出反例即可。
延伸：导数与单调性：例题一、证明函数在上是减函数。
21,x x 21x x <[]b a ,1()f x x x=+()0,1证明：设，则 已知，则即。
即在上是减函数。
扩展：可以用同样的方法证明在上和分别是减函数。
但根据的图像可以看到函数在上并不是单调递减的。
今后，遇到形如的函数可以类似考虑。
（二）知识点二：知识点利用函数的单调性求最值对于单调函数，最大值或最小值出现在定义域（区间）的边缘；对于非单调函数，需借助图像求解；分段函数的最值先需分段讨论，再下结论考查：最值是高考的必考点，熟练掌握二次函数求最值。
例题二、已知函数当时，求函数的最小值 （练习4）（三）知识点三、函数的奇偶性1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件；2．是奇函数； 3．是偶函数 ；4．奇函数在原点有定义，则；5．在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。
沪教版(上海)数学高一上册-3.4 二次函数的最值问题 课件
5
4
fx = -x2+2x+1 3
xM = -1.00
xN = 1.00
2N
2
1
M
N
-6
Байду номын сангаас
-4
-2
o
12
4
6
8
-1
-2
2M
-3
-4
-5
4当n 1时,函数在[m, n]上单调递增.
m2 2m 1 2m且 n2 2n 1 2nm 1, n 1矛盾. 综上所述, 存在m 1, n 1满足题意.
0
1 22
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
fx = -x2+2x+1
3
x1 = 1.00
2 隐藏 函数图像
1
-4
-2
6
8
10
O 1 22
34
-1
-2
-3
-4
-5
-6
6
8
10
6
8
1.开口方向一定的二次函数在闭区间上的最 值与对称轴相对于闭区间的位置有关.
2.闭区间上二次函数的最值只可能在区间的 两个端点及图象的顶点处取得.
或 2mm2 2m1 2n2
m1 n1
符合题意.
或 矛盾. 2mn2 2n1
m1
2n2
n1
综上所述, 存在m 1, n 1符合题意.
解法三：y x2 2x 1 x 12 2 2
2n 2，n 1函数在[m, n]上单调递增, 2m m2 2m 1且2n n2 2n 1 m 1, n 1满足题意.
高中数学高一上册沪教版 3.4《函数的基本性质》3最值与值域 课件
作业：练习册P33~34/9,10, P35/5,6,8,9
自学例9
10
思考三：
1、求函数y x 2 x 3的最大值
2
或最小值.
2、求y 2x x 1 的最值
求分式型函数的最值
11
教学重点：
利用二次函数的图像解决求二次
函数最值问题中带有字母参数问题。
12
图像法求二次函数的最值
当x=t+1时 ymin=t2+2
x
15
t 1 ( 2) 当 即0 t 1时 t 1 1
图像法求二次函数的最值
y
0 t t+1
1 [t , t 1] 当x 1时 ymin 2
例1：求函数 y
x ax 3 (a R) 在区间 [1 , 1]
2
上的最大值与最小值
y 解：
x
2
对称轴为 x
a 2 a ax 3 ( x 2 ) 3 4 a
动轴定区间 2
x a 2
y x ax 3在[1， 1]上单调递增
a (1) 当 1 即a 2时 2 2
3.4函数的基本性质—— 最值
教学重点： 1、掌握函数的最大值、最小值的概念； 2、会求二次函数在某指定区间上的最值； 3、重视数形结合的思想方法；
生产生活实际中会经常遇到 最大效益、最少投入等，这 里的最大、最少都归结为函 数最值问题。
1
实例 动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形 熊猫居室. 如果可供建造围墙的材料长是30米， 那么宽x为多少米时才能使所建造的熊猫居室面 积y最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
2
沪教版(上海)数学高一上册-3.4函数的单调性课件
解：其中 y f (在x) 区间 [5 2上)，是[1,减3)函数，在区间 上是增函[数2,1．),[3, 5]
函数 y f的(x单) 调区间有
[5 2)，[2,1),[1,3),[3,5]
例题分析 例1．根据函数图象指出函数的单调增区间和单 调减区间.
y=f(x)在区间 上，对于任意的 x1，x2 ， 当x1< x2时，都有__________，所以y=f(x) 在区间_______上为单调______函数 .______称为函数y=f(x)的单调______区间. y=f(x)的单调增区间有___________y=f(x) 的单调减区间有_______,_______.
练习2 已知奇函数 f (x) 是定义在(2,2) 上的减函
数，若 f (m 1) f (2m 1) 0 ，求实数 m 的取
值范围
练习3 定义在 2,2上的偶函数 f (x) 在 0,2 上单
调递减，且 f (1 m) f (m) ，求实数 m 的取值范
围
课堂小结及作业
1、函数单调性的的定义
又由x1<x2 ，得 x2- x1 ＞0
则f(x1)-f(x2) ＞0，即 f(x1) ＞ f(x2)
所以，函数f (x) 1 在（0， ）上是减函数。 x
例题：证明函数 y x 1 在区间 (1,)
上是增函数
x
归纳总结
y
f (x2)
f (x1)
如果对于属于定义域D内的 某个区间I (I 上D的) 任意两个 自变量值x1 , x2
x1 < x2
f (x1) < f (x2)
O
x1
x2
x 那么就说f(x)在这个区间上 是增函数,给定的区间称为
沪教版(上海)高中数学高一上册第三章3.4 函数的基本性质教案
3.4 函数的基本性质一、教学目标：1、理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些函数的奇偶性；2、在奇偶性概念形成的过程中，培养学生的观察、归纳能力，同时渗透数形结合和由特殊到一般的数学思想.3、体会数学研究的严谨性，感受函数图像的对称美。
二、教学重难点教学重点：函数奇偶性的概念的形成及奇偶性的判断。
教学难点：函数奇偶性概念的探究与理解三、教学过程1. 问题引入在初中时候我们学过轴对称和中心对称图形，生活中具有这样对称性的图形有很多，举例看看？2.概念形成观察函数2y x =的图像。
引导学生观察：1.从图形上看，函数图象是关于y 轴轴对称2. 从函数值的角度看，引导学生发现f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)的关系？ 函数值都是相等的一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，他们的函数值的关系？ 函数值相等。
即 f(-x)=f(x)问题：通过上面这个例子，同学们思考，对于图像关于y 轴对称的函数，如何从代数的角度来刻画这种函数的对称性？定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=偶函数的定义：定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=成立，则函数()y f x =就叫做偶函数；问定义中的关键词：任意x ，都有()()f x f x -=，是函数整体的性质同学们思考偶函数的图像的特征：例1：判断下列函数是否为偶函数422(1)()||,(2)(),(3)(),[2,3]f x x f x x x f x x x ==+=∈-1.掌握判断偶函数的定义法2.函数是偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.3. 类比探究仿照讨论偶函数的过程，回思下列问题，函数 ()1f x x=的图像特征？ 函数值f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？怎么用代数语言描述这个函数图象的特征？定义域内任意x,都有()()f x f x -=-，这样的函数叫奇函数奇函数的定义定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=-成立，则函数()y f x =就叫做奇函数；奇函数图像的特征：关于原点对称的中心对称函数例2：判断下列函数是否为奇函数33(1)(),(2)(),(3)(),[2,2),(4)()1f x x f x x f x x x f x x ===∈-=+析:(1)判断奇函数的定义法（2）否定函数是奇函数的方法4. 总结深化（1）凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.（2）函数()f x 不具有奇偶性的，举反例，具有奇偶性的，用定义证明。
沪教版高中数学高一上函数的单调性与最值同步教学案【解析版】
高中数学沪教版高一（上）函数的单调性与最值同步教学案【解析版】教学目的①理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； ②会运用函数图像理解和研究函数的性质；知识要点梳理1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义(2) 单调区间的定义若函数f (x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做f (x)的单调区间． 二．难点与疑点1. 函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2. 函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单碉区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3. 单调区间的表示增函数 减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是增函数 当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是减函数 图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号"U ”联结，也不能用“或”联结． 三．基础自测 1．2()2([2,4])f x x x x 的单调增区间为 [1，4] ；max()f x 8【解析】函数f (x)的对称轴：x=1，单调增区间为[1，4]，max()(2)(4)8f x f f2．已知函数y=f (x)在R 上是减函数，A(0，-2)、B(-3，2)在其图象上，则不等式-2<f(x)<2的解集为 (-3，0) ．【解析】画一个草图，数形结合，得不等式的解集为(-3，0)． 【点评】数形结合是解决此类题目的常用方法． 3．已知2()2(1)2f x x a x 的单调递减区间是（-∞，3]，则实数a 的值是 -2 ．【解析】由题意得：l -a =3，即a =-2． 4．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( B ) A. y =－x+l B ．y x C ．y=x 2-4x+5 D. 2yx【解析】221,45,y x yx x yx分别为一次函数、二次函数、反比例函数，从它们的图象上可以看出在(0，2)上都是减函数．5．已知函数f (x)为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x的实数x 的取值范围是 ( C )A ．（-1，1）B ．(0，1)C ．(-1,0)U(0,1)D ．(-∞，-1)U(1, +∞) 【解析】由f (x)为R 上的减函数且1(||)(1)f f x，得：1||1x x ，即||1010x x x 或-l<x<0.四．题型分类题型一 函数单调性的判断例1：判断并证明函数f (x)=x 3+a (a ∈R, a 是常数）的单调性．【思维启迪】判断函数的单调性—般有两种方法：①利用函数单调性的定义；②利用导数法（高二的内容）； 【解析】3()f x x a 在R 上是增函数，证明如下：设12,x x 是R 上任意两个实数，且x 1<x 2， 则331212()()()()f x f x xa x a ＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋3x 224，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋3x 224>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，3()f x x a 在R 上是增函数。
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函数的最大值与最小值
一、教学目标：
1. 理解函数最大值和最小值的概念，并会求基本函数的最大值和最小值;
2. 感受数学的应用价值、体验数学学习的乐趣
二、教学重难点:
重点：函数最值的概念及求解
难点：求具体函数的最值
三、教学过程
1. 问题引入
动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
解：间熊猫居室的宽为x 米)100(<<x ,熊猫居室的总面积为y 平方米，则2间熊猫居室的总长为)330(x -米.
由题意得 )330(x x y -=
下面，我们研究x 取什么值时面积y 才能达到最大值。
用配方法把上式化
为
因为0)5(2≥-x ，所以75≤y ，即当x 取)10,0(内任何实数时，面积y 的值不大于75平
方米. 又因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得75，所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米.
2.新课讲解
（1）概念引入
函数的最大、最小值概念：（引导学生，让学生给出定义）
一般地，设函数)(x f y =在0x 处的函数值是)(0x f ，如果对于定义域内任意x ，不等式)()(0x f x f ≥都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值，记作)(0min x f y =；
如果对于定义域内任意x ，不等式)()(0x f x f ≤都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最大值，记作)(0max x f y =。
（2）图像分析（提问的形式，让学生回答）
从函数图像来看，如果函数有最大值，那么函数图像中一定有位置最高的点，有的函数只有最大值没有最小值；有的函数只有最小值而没有最大值；有的函数既有最大值又有最小值；而有的函数既无最大值也无最小值。
我们以后可以看到：如果一个函数的图像是条连续的曲线，那么这个函数在它的定义域里的某个闭区间上一定既有最大值又有最小值。
3、例题讲解
1、求下列二次函数的最大值或者最小值：
()()21231f x x x =-+ ()()2223f x x x =-++ ()()[]2323111f x x
x x =---∈-，， ()()()1420f x x x x =+∈+∞，，
2、（1）在0≤x 的条件下，求函数228)(x x x f -+=的最大值和最小值.
（2）]5,1[,5
412∈+-=
x x x y 3．求]0,2[,12)(2-∈+-=x ax x x f 的最大值和最小值． 解：分类作出图象，得：
（1）当2-≤a 时，a f x f 45)2()(min +=-=，1)0()(max ==f x f
（2）当12-≤≤-a 时，2min 1)()(a a f x f -==，1)0()(max ==f x f
（3）当01≤≤-a 时，2min 1)()(a a f x f -==，a f x f 45)2()(max +=-=
（4）当0>a 时，1)0()(min ==f x f ，a f x f 45)2()(max +=-=
4、深入总结（求函数的最大、最小值与值域的几种基本方法）：
（1）研究函数的单调性等性质；（数形结合）
定义在区间],[b a 上的函数)(x f ，如果函数)(x f 在],[b a 上是单调增（减）函数，那么这个函数的最大（小）值是)(b f ，最小（大）值是)(a f 。
（2）利用基本不等式)0,0(2>>≥+b a ab b a ；
（3）通过变量代换的数学思想方法，将函数转化为基本函数，但必须注意新变量的取值范围。
5. 教学后记
通过具体实例让学生掌握求函数最值的常用方法。