2020版新高考理科数学专题强化训练：立体几何

专题强化训练(十三) 立体几何一、选择题1．[2019·南昌重点中学]一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的，则该几何体的表面积为( )A ．13πB ．12πC ．11πD ．23π解析：依题意，题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1，母线长为2)后得到的，圆台的侧面积为π(1＋2)×2＝6π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π，所以题中几何体的表面积为6π＋2π＋π×22＝12π，选B.答案：B2．[2019·开封定位考试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13B.12C.23 D ．1解析：由三视图知，该几何体是一个三棱锥，其高为1，底面是一个等腰直角三角形，所以该几何体的体积V ＝13×12×2×2×1＝23，故选C.答案：C3．[2019·安徽示范高中]已知三棱锥P－ABC中，AB⊥平面APC，AB＝42，P A＝PC＝2，AC＝2，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为()A．28πB．36πC．48πD．72π解析：解法一：因为P A＝PC＝2，AC＝2，所以P A⊥PC.因为AB⊥平面APC，所以AB⊥AC，AB⊥PC，又P A∩AB＝A，所以PC ⊥平面P AB，所以PC⊥PB，则△BCP，△ABC均为直角三角形．如图，取BC的中点为O，连接OA，OP，则OB＝OC＝OA＝OP，即点O为三棱锥P－ABC外接球的球心．在Rt△ABC中，AC＝2，AB ＝42，则BC＝6，所以外接球的半径R＝3，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积S＝4πR2＝36π，故选B.解法二：因为P A＝PC＝2，AC＝2，所以P A⊥PC，△ACP为直角三角形．如图，取AC的中点为M，则M为△P AC外接圆的圆心．过M作直线n垂直于平面P AC，则直线n上任意一点到点P，A，C的距离都相等．因为AB⊥平面P AC，所以AB平行于直线n.设直线n与BC的交点为O，则O为线段BC的中点，所以点O到点B，C 的距离相等，则点O即三棱锥P－ABC外接球的球心．因为AB⊥平面P AC，所以AB⊥AC，又AC＝2，AB＝42，所以BC＝6，则外接球的半径R＝3，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积S＝4πR2＝36π，故选B.解法三：因为P A ＝PC ＝2，AC ＝2，所以P A ⊥PC ，又AB ⊥平面P AC ，所以可把三棱锥P －ABC 放在如图所示的长方体中，此长方体的长、宽、高分别为2，2，42，则三棱锥P －ABC 的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线即长方体外接球的直径，易得长方体的体对角线的长为6，则外接球的半径R ＝3，所以三棱锥P －ABC 外接球的表面积S ＝4πR 2＝36π，故选B.答案：B4．[2019·唐山摸底]已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )A ．1－π4B ．3＋π2C ．2＋π4D ．4解析：由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1－14×π×12＋2×(1×1)＋14×2π×1×1＝4.故选D.答案：D5．[2019·山西第一次联考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最大的面积是( )A ．2B. 5C. 6 D ．2 2解析：由三视图可知，该几何体为四面体，记为四面体ABCD ，将其放入长方体中，如图，易知长方体的高为1，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝2，则BD ＝22，BC ＝DC ＝5，所以S △ABD ＝12×2×2＝2，S △ABC ＝S △ADC ＝12×2×5＝5，S △BDC ＝12×22×5－2＝6，所以△BDC 的面积最大，为6，故选C.答案：C6．[2019·武昌调研]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为( )A.323B ．16C ．32D ．48解析：由三视图知，该四面体可以看作是正方体中的三棱锥P －ABC ，如图，由已知可得AB ＝4，AC ＝4，△ABC 是直角三角形，所以S △ABC ＝12AB ×AC ＝12×4×4＝8，所以四面体P ABC 的体积V ＝13×8×4＝323，故选A.答案：A7．[2019·洛阳联考]四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O 的体积等于( )A.32π3B.322π3 C ．16π D.162π3解析：由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥．如图，连接AC ，则球心O 为AC 的中点，连接SO ，设球O 的半径为R ，则AC ＝2R ，SO ＝R ，∴AB ＝BC ＝2R .取AB 的中点为E ，连接OE ，SE ，则OE ＝12BC ＝22R ，SE ＝SO 2＋OE 2＝62R .∵该四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，∴(2R )2＋4×12×2R×62R＝8＋83，解得R＝2，∴球O的体积等于43πR3＝32π3.故选A.答案：A8．[2019·长沙一模]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面α过点A，且AC1⊥α，α∩平面ABCD＝l1，平面β过点A1，且A1C⊥β，β∩平面AA1D1D＝l2，则直线l1，l2所成角的余弦值为()A.33 B.22C.32 D.12解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易得AC1⊥平面A1BD，因为AC1⊥α，所以平面A1BD∥α.又α∩平面ABCD＝l1，平面A1BD∩平面ABCD＝BD，所以l1∥BD.易得AC1⊥β，所以平面AB1D1∥β.又β∩平面AA1D1D＝l2，平面AB1D1∩平面AA1D1D＝AD1，所以l2∥AD1，所以l1与l2所成的角就是AD1与BD所成的角．又AD1∥BC1，所以∠DBC1就是l1与l2所成的角．因为△BDC1是正三角形，所以∠DBC1＝60°，cos∠DBC1＝12，故选D.答案：D9．[2019·郑州质量预测一]已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N分别是边AB1，AC1上的动点，若直线MN∥平面BBC1B1，Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹为()A ．双曲线的一支(一部分)B ．圆弧(一部分)C ．线段(去掉一个端点)D ．抛物线的一部分解析：如图，分别取AA 1，B 1C 的中点E ，F ，任意作一个与平面BCC 1B 1平行的平面α与AB 1，A 1C 分别交于M ，N ，则MN ∥平面BCC 1B 1.由题意知△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，则侧面AA 1B 1B 与侧面AA 1C 1C 是两个全等的矩形，且这两个侧面关于过棱AA 1与平面BCC 1B 1垂直的平面是对称的，因此EF 必过MN 的中点Q ，故点Q 的轨迹为线段EF ，但需去掉端点F ，故选C.答案：C10．[2019·武昌调研]已知正三棱锥S －ABC 的各顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为23的正三角形，侧棱长为25，则球O 的表面积为( )A ．10πB ．25πC ．100πD ．125π解析：如图，设O 1为正三棱锥S －ABC 的底面中心，连接SO 1，则SO 1是三棱锥的高，三棱锥的外接球的球心O 在SO 1上，设球的半径为R ，连接AO 1，AO ，因为正三角形ABC 的边长为23，所以AO 1＝23×32×23＝2，因为SA ＝25，所以在Rt △ASO 1中，SO 1＝(25)2－22＝4，在Rt △AOO 1中，R 2＝(4－R )2＋22，解得R ＝52，所以球O 的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π，故选B.答案：B11．[2019·山西第一次联考]在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BC 1与底面所成角的正切值为263，三棱柱的各顶点均在半径为2的球O 的球面上，且AC ＝2，∠ABC ＝60°，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为( )A ．4 3B.433 C ．4 2 D.423解析：在三角形ABC 中，AC ＝2，∠ABC ＝60°，所以三角形ABC的外接圆半径r ＝12×2sin60°＝233.设三角形ABC 外接圆的圆心为O 1，连接OO 1，OA ，O 1A ，则OO 1⊥平面ABC ，OO 1＝12AA 1，O 1A ＝r ，OA ＝2，所以22＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 12，得AA 1＝463.因为AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥CC 1，所以CC 1⊥平面ABC ，所以BC 1与底面ABC 所成的角是∠C 1BC ，所以tan ∠C 1BC ＝CC 1BC ＝AA 1BC ＝463BC ＝263，得BC ＝2，因此三角形ABC 是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×AA 1＝34×4×463＝4 2.故选C.答案：C12．[2019·福建五校联考]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，点N 为线段CC 1的中点．若平面AMN 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：易知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1.若M 为BC 的中点，则MN ∥AD 1，所以此时截面为四边形AMND 1，所以BM ＝12符合题意．若0<BM <12，如图1，作BP ∥MN 交CC 1于点P ，再作PQ ∥C 1D 1交DD 1于点Q ，连接AQ ，易知MN ∥AQ ，所以此时截面为四边形AMNQ ，所以0<BM <12符合题意．若12<BM <1，如图2，作BP ∥MN交B 1C 1于点P ，再作PQ ∥C 1D 1交A 1D 1于点Q ，连接AQ ，易知MN ∥AQ ，所以点Q 在平面AMN 内，设平面AMN 与直线C 1D 1交于点E ，连接QE ，NE ，则此时截面为五边形AQENM ，显然不符合题意．综上可知，BM ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.故选B.图1图2答案：B 13．[2019·河北九校联考]已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为20π，则三棱柱的体积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．18解析：设球O 的半径为R ，则由4πR 2＝20π得R 2＝5，由题意知，此三棱柱为正三棱柱，且底面三角形的外接圆与侧面的外接圆大小相同，故设三棱柱的底面边长为a ，高为h ，如图，取三角形ABC 的中心O 1，四边形BCC 1B 1的中心O 2，连接OO 1，OA ，O 2B ，O 1A ，由题意可知，在Rt △AOO 1中，OO 21＋AO 21＝AO 2＝R 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 32＝R 2＝5 ①，又AO 1＝BO 2，所以AO 21＝BO 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22 ②，由①②可得a 2＝12，h ＝2，所以三棱柱的体积V ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2h ＝6 3.故选A.答案：A14．[2019·唐山摸底]已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，AB ⊥AC ，则该三棱锥体积的最大值是( )A.163B.323C.643 D ．32解析：设BC ＝2r ，∠ACB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝2r sin θ，AC ＝2r cos θ，如图，设球心为O ，△ABC 的外接圆圆心为O 1，连接OO 1，OA ，O 1A ，PO 1，则OO 1＝9－r 2，点P 到平面ABC 的距离最大为3＋9－r 2(此时P ，O ，O 1共线)，所以V P －ABC ≤13×12×2r sin θ×2r cos θ×(3＋9－r 2)＝r 23sin2θ(3＋9－r 2)≤r 23(3＋9－r 2)，当且仅当θ＝π4时取等号，此时AB ＝AC .设∠AOO 1＝α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则r ＝3sin α，所以V P －ABC ≤r 23(3＋9－r 2)＝93sin 2α(3＋3cos α)＝9(1－cos 2α)(1＋cos α)＝9(1－cos α)(1＋cos α)·(1＋cos α)＝92(2－2cos α)(1＋cos α)(1＋cos α)≤92⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2cos α＋1＋cos α＋1＋cos α33＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫433＝92×6427＝323，当且仅当2－2cos α＝1＋cos α⇒cos α＝13时取等号．答案：B二、填空题15．[2019·南昌一模]侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为________．解析：依题意，正三棱锥P －ABC 中，△ABC 是正三角形，侧面都是等腰直角三角形．设侧棱长为a (a >0)，则△ABC 的边长为2a ，过点P 作PO ⊥面ABC 于O ，∠P AO 即为侧棱P A 与底面所成的角，则O 为△ABC 的中心．AD ⊥BC ，则AD ＝(2a )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝62a ，∴AO ＝23AD ＝63a ，∴Rt △POA 中 ，cos ∠P AO ＝AO AP ＝63，sin ∠P AO ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝33. 答案：33 16．[2019·湖南四校联考]在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S －ABCD 体积的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤433，83，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是________．解析：在四棱锥S －ABCD 中，由条件知AD ⊥SA ，AD ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABCD .过S作SO ⊥AB 于点O ，则SO ⊥平面ABCD .设∠SAB ＝θ，则V S －ABCD ＝13S正方形ABCD ·SO ＝83sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤433，83，所以sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，又θ∈(0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，所以－12≤cos θ≤12.在△SAB 中，SA ＝AB ＝2，所以SB ＝221－cos θ，所以△SAB 的外接圆半径r ＝SB 2sin θ＝21－cos θsin θ.将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱，得其外接球的半径R ＝r 2＋1，所以该四棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋cos θ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π3，20π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π3，20π 17．[2019·江西五校联考]某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为________．解析：把三视图还原成几何体ABC －DEF ，如图所示，在AD 上取点G ，使得AG ＝2，连接GE ，GF ，则把几何体ABC －DEF 分割成三棱柱ABC －GEF 和三棱锥D －GEF ，所以V ABC －DEF ＝V ABC －GEF ＋V D －GEF ＝43×2＋13×43×2＝3233.答案：323318．[2019·广州调研]已知在四面体ABCD 中，AD ＝DB ＝AC ＝CB ＝1，则该四面体的体积的最大值为________．解析：解法一：如图，设AB 的中点为P ，连接PC ，PD ，因为AD ＝DB ，AC ＝CB ，所以AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，又PC ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面PCD .设AB ＝2x (0<x <1)，则PC ＝PD ＝1－x 2.于是，V 三棱锥A －BCD ＝V 三棱锥A －PCD ＋V 三棱锥B －PCD ＝13·S △PCD ·AP ＋13·S △PCD ·BP ＝13·S △PCD ·AB ＝13·2x ·12(1－x 2)2sin ∠CPD ≤13x ·(1－x 2)2.因为13x ·(1－x 2)2＝1312·2x 2(1－x 2)(1－x 2)≤ 1312·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)33＝2327，所以V 三棱锥A －BCD ≤2327，当且仅当sin ∠CPD ＝1且2x 2＝1－x 2，即平面ABD ⊥平面ABC 且AB＝233时，不等式取等号．故所求四面体的体积的最大值为2327.解法二：如图，设AB 的中点为P ，连接PC ，PD ，因为AD ＝DB ，AC ＝CB ，所以AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，又PC ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面PCD .设AB ＝2x (0<x <1)，则PC ＝PD ＝1－x 2.于是，V 三棱锥A －BCD ＝V 三棱锥A －PCD ＋V 三棱锥B －PCD ＝13·S △PCD ·AP ＋13·S △PCD ·BP ＝13·S △PCD ·AB ＝13·2x ·12(1－x 2)2sin ∠CPD ≤13x ·(1－x 2)2.设函数f (x )＝13x ·(1－x 2)2＝13(x －x 3)，0<x <1，则f ′(x )＝13－x 2，所以当0<x <33时，f ′(x )>0；当33<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝2327.从而V 三棱锥A －BCD ≤2327，当且仅当sin ∠CPD ＝1且x ＝33，即平面ABD ⊥平面ABC 且AB ＝233时，不等式取等号．故所求四面体的体积的最大值为2327.答案：232719．[2019·安徽五校质检二]已知球O 与棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△ACB 1的外接圆上一点，则线段MN 长度的取值范围是________．解析：因为球O 与棱长为4的正方体的各棱都相切，所以球O 的半径为22，球心O 为体对角线的中点，△ACB 1的外接圆是正方体外接球的一个小圆，点N 是△ACB 1的外接圆上一点，则点N 到球心O 的距离为23(即正方体外接球的半径)，因为点M 是球O 上一点，所以线段MN 长度的最小值为23－22，线段MN 长度的最大值为23＋22，所以线段MN 长度的取值范围为[23－22，23＋22]．答案：[23－22，23＋22]20．[2019·石家庄质检]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π3，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是________．解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即OA ⊥OB .∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥AO ，又OB ∩PB ＝B ，∴AO ⊥平面PBO ，∴AO ⊥PO ，即△P AO 是以P A 为斜边的直角三角形．∵PB ⊥AB ，∴△P AB 是以P A 为斜边的直角三角形，∴三棱锥P －AOB 的外接球的直径为P A .∵PB ＝1，∠APB ＝π3，∴P A ＝2，∴三棱锥P －AOB 的外接球的半径为1，∴三棱锥P －AOB 的外接球的体积为4π3.答案：4π3。