2020版新高考理科数学专题强化训练:立体几何
专题强化训练(十三) 立体几何
一、选择题
1.[2019·南昌重点中学]一个几何体挖去部分后的三视图如图所示,若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的,则该几何体的表面积为( )
A .13π
B .12π
C .11π
D .23π
解析:依题意,题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1,母线长为2)后得到的,圆台的侧面积为π(1+2)×2=6π,圆锥的侧面积为π×1×2=2π,所以题中几何体的表面积为6π+2π+π×22=12π,选B.
答案:B
2.[2019·开封定位考试]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.13
B.12
C.23 D .1
解析:由三视图知,该几何体是一个三棱锥,其高为1,底面是
一个等腰直角三角形,所以该几何体的体积V =13×12×2×2×1=23,
故选C.
答案:C
3.[2019·安徽示范高中]已知三棱锥P-ABC中,AB⊥平面APC,AB=42,P A=PC=2,AC=2,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()
A.28πB.36π
C.48πD.72π
解析:解法一:因为P A=PC=2,AC=2,所以P A⊥PC.因为AB⊥平面APC,所以AB⊥AC,AB⊥PC,又P A∩AB=A,所以PC ⊥平面P AB,所以PC⊥PB,则△BCP,△ABC均为直角三角形.如图,取BC的中点为O,连接OA,OP,则OB=OC=OA=OP,即点O为三棱锥P-ABC外接球的球心.在Rt△ABC中,AC=2,AB =42,则BC=6,所以外接球的半径R=3,所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2=36π,故选B.
解法二:因为P A=PC=2,AC=2,所以P A⊥PC,△ACP为直角三角形.如图,取AC的中点为M,则M为△P AC外接圆的圆心.过M作直线n垂直于平面P AC,则直线n上任意一点到点P,A,C的距离都相等.因为AB⊥平面P AC,所以AB平行于直线n.设直线n与BC的交点为O,则O为线段BC的中点,所以点O到点B,C 的距离相等,则点O即三棱锥P-ABC外接球的球心.因为AB⊥平面P AC,所以AB⊥AC,又AC=2,AB=42,所以BC=6,则外接球的半径R=3,所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2=36π,故选B.
解法三:因为P A =PC =2,AC =2,所以P A ⊥PC ,又AB ⊥平面P AC ,所以可把三棱锥P -ABC 放在如图所示的长方体中,此长方体的长、宽、高分别为2,2,42,则三棱锥P -ABC 的外接球即长方体的外接球,长方体的体对角线即长方体外接球的直径,易得长方体的体对角线的长为6,则外接球的半径R =3,所以三棱锥P -ABC 外接球的表面积S =4πR 2=36π,故选B.
答案:B
4.[2019·唐山摸底]已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的表面积为( )
A .1-π4
B .3+π2
C .2+π4
D .4
解析:由题设知,该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径
为1的14圆柱后得到的,如图所示,所以表面积S =
2×? ??
??1×1-14×π×12+2×(1×1)+14×2π×1×1=4.故选D.
答案:D
5.[2019·山西第一次联考]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的各个面的面积中,最大的面积是( )
A .2
B. 5
C. 6 D .2 2
解析:由三视图可知,该几何体为四面体,记为四面体ABCD ,将其放入长方体中,如图,易知长方体的高为1,AB ⊥BC ,AD ⊥DC ,
AB =AD =2,则BD =22,BC =DC =5,所以S △ABD =12×2×2=2,
S △ABC =S △ADC =12×2×5=5,S △BDC =12×22×5-2=6,所以
△BDC 的面积最大,为6,故选C.
答案:C
6.[2019·武昌调研]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图,则此四面体的体积为( )
A.323
B .16
C .32
D .48
解析:由三视图知,该四面体可以看作是正方体中的三棱锥P -ABC ,如图,由已知可得AB =4,AC =4,△ABC 是直角三角形,所
以S △ABC =12AB ×AC =12×4×4=8,所以四面体P ABC 的体积V =13
×8×4=323,故选A.
答案:A
7.[2019·洛阳联考]四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内,当此四棱锥的体积取得最大值时,其表面积等于8+83,则球O 的体积等于( )
A.32π3
B.322π3 C .16π D.162π3
解析:由题意得,当此四棱锥的体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥.如图,连接AC ,则球心O 为AC 的中点,连接SO ,设球O 的半径为R ,则AC =2R ,SO =R ,∴AB =BC =2R .取AB 的中点为
E ,连接OE ,SE ,则OE =12BC =22R ,SE =SO 2+OE 2=62R .∵该
四棱锥的体积取得最大值时,其表面积等于8+83,∴(2R )2+4×12
×2R×
6
2R=8+83,解得R=2,∴球O的体积等于
4
3πR
3=
32π
3.
故选A.
答案:A
8.[2019·长沙一模]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面α过点A,且AC1⊥α,α∩平面ABCD=l1,平面β过点A1,且A1C⊥β,β∩平面AA1D1D=l2,则直线l1,l2所成角的余弦值为()
A.
3
3 B.
2
2
C.
3
2 D.
1
2
解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得AC1⊥平面A1BD,因为AC1⊥α,所以平面A1BD∥α.又α∩平面ABCD=l1,平面A1BD∩平面ABCD=BD,所以l1∥BD.易得AC1⊥β,所以平面AB1D1∥β.又β∩平面AA1D1D=l2,平面AB1D1∩平面AA1D1D=AD1,所以l2∥AD1,所以l1与l2所成的角就是AD1与BD所成的角.又AD1∥BC1,所以∠DBC1就是l1与l2所成的角.因为△BDC1是正三角形,所以∠DBC1
=60°,cos∠DBC1=1
2,故选D.
答案:D
9.[2019·郑州质量预测一]已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,AB⊥AC,点M,N分别是边AB1,AC1上的动点,若直线MN∥平面BBC1B1,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹为()
A .双曲线的一支(一部分)
B .圆弧(一部分)
C .线段(去掉一个端点)
D .抛物线的一部分
解析:如图,分别取AA 1,B 1C 的中点E ,F ,任意作一个与平面BCC 1B 1平行的平面α与AB 1,A 1C 分别交于M ,N ,则MN ∥平面BCC 1B 1.由题意知△ABC 为等腰直角三角形,AB ⊥AC ,则侧面AA 1B 1B 与侧面AA 1C 1C 是两个全等的矩形,且这两个侧面关于过棱AA 1与平面BCC 1B 1垂直的平面是对称的,因此EF 必过MN 的中点Q ,故点Q 的轨迹为线段EF ,但需去掉端点F ,故选C.
答案:C
10.[2019·武昌调研]已知正三棱锥S -ABC 的各顶点都在球O 的球面上,棱锥的底面是边长为23的正三角形,侧棱长为25,则球O 的表面积为( )
A .10π
B .25π
C .100π
D .125π
解析:如图,设O 1为正三棱锥S -ABC 的底面中心,连接SO 1,则SO 1是三棱锥的高,三棱锥的外接球的球心O 在SO 1上,设球的半径为R ,连接AO 1,AO ,因为正三角形ABC 的边长为23,所以AO 1
=23×32×23=2,因为SA =25,所以在Rt △ASO 1中,SO 1=
(25)2-22=4,在Rt △AOO 1中,R 2=(4-R )2+22,解得R =52,所
以球O 的表面积为4π×? ??
??522=25π,故选B.
答案:B
11.[2019·山西第一次联考]在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥平
面ABC ,BC 1与底面所成角的正切值为263,三棱柱的各顶点均在半
径为2的球O 的球面上,且AC =2,∠ABC =60°,则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为( )
A .4 3
B.433 C .4 2 D.423
解析:在三角形ABC 中,AC =2,∠ABC =60°,所以三角形ABC
的外接圆半径r =12×2sin60°=233.设三角形ABC 外接圆的圆心为O 1,
连接OO 1,OA ,O 1A ,则OO 1⊥平面ABC ,OO 1=12AA 1,O 1A =r ,
OA =2,所以22=r 2+? ??
??12AA 12,得AA 1=463.因为AA 1⊥平面ABC ,AA 1∥CC 1,所以CC 1⊥平面ABC ,所以BC 1与底面ABC 所成的角是
∠C 1BC ,所以tan ∠C 1BC =CC 1BC =AA 1BC =46
3BC =263,得BC =2,因此
三角形ABC 是边长为2的正三角形,所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体
积V =S △ABC ×AA 1=34×4×463=4 2.故选C.
答案:C
12.[2019·福建五校联考]已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于B ,C 两点),点N 为线段CC 1的中点.若平面AMN 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形,则线段BM 的取值范围为( )
A.? ??
??0,13 B.? ????0,12 C.??????23,1 D.????
??12,1 解析:易知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.若M 为BC 的中
点,则MN ∥AD 1,所以此时截面为四边形AMND 1,所以BM =12符合
题意.若0 C 1 D 1交DD 1于点Q ,连接AQ ,易知MN ∥AQ ,所以此时截面为四边 形AMNQ ,所以0 交B 1C 1于点P ,再作PQ ∥C 1D 1交A 1D 1于点Q ,连接AQ ,易知MN ∥AQ ,所以点Q 在平面AMN 内,设平面AMN 与直线C 1D 1交于点E ,连接QE ,NE ,则此时截面为五边形AQENM ,显然不符合题意.综 上可知,BM ∈? ?? ??0,12.故选B. 图1 图2 答案:B 13.[2019·河北九校联考]已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上,该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同,若球O 的表面积为20π,则三棱柱的体积为( ) A .6 3 B .12 C .12 3 D .18 解析:设球O 的半径为R ,则由4πR 2=20π得R 2=5,由题意知,此三棱柱为正三棱柱,且底面三角形的外接圆与侧面的外接圆大小相同,故设三棱柱的底面边长为a ,高为h ,如图,取三角形ABC 的中心O 1,四边形BCC 1B 1的中心O 2,连接OO 1,OA ,O 2B ,O 1A ,由题意可知,在Rt △AOO 1中,OO 21+AO 21=AO 2=R 2,即? ?? ??h 22+? ????3a 32=R 2=5 ①,又AO 1=BO 2,所以 AO 21=BO 22,即? ????3a 32=? ????h 22+? ????a 22 ②,由①②可得a 2=12,h =2,所以三棱柱的体积V =? ?? ??34a 2h =6 3.故选A. 答案:A 14.[2019·唐山摸底]已知三棱锥P -ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上,AB ⊥AC ,则该三棱锥体积的最大值是( ) A.163 B.323 C.643 D .32 解析:设BC =2r ,∠ACB =θ,θ∈? ????0,π2,则AB =2r sin θ,AC =2r cos θ,如图,设球心为O ,△ABC 的外接圆圆心为O 1,连接OO 1,OA ,O 1A ,PO 1,则OO 1=9-r 2,点P 到平面ABC 的距离最大为3+9-r 2(此时P ,O ,O 1共线),所以V P -ABC ≤13×12 ×2r sin θ×2r cos θ×(3+9-r 2 )=r 23sin2θ(3+9-r 2)≤r 23(3+9-r 2),当且仅当θ=π4时取等号,此时AB =AC .设∠AOO 1=α,α∈? ?? ??0,π2,则r =3sin α,所以V P -ABC ≤r 23(3+9-r 2)=93sin 2α(3+3cos α)=9(1- cos 2α)(1+cos α)=9(1-cos α)(1+cos α)·(1+cos α)=92(2-2cos α)(1+ cos α)(1+cos α)≤92? ?? ??2-2cos α+1+cos α+1+cos α33=92×? ????433=92×6427=323,当且仅当2-2cos α=1+cos α?cos α=13时取等号. 答案:B 二、填空题 15.[2019·南昌一模]侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为________. 解析:依题意,正三棱锥P -ABC 中,△ABC 是正三角形,侧面都是等腰直角三角形.设侧棱长为a (a >0),则△ABC 的边长为2a ,过点P 作PO ⊥面ABC 于O ,∠P AO 即为侧棱P A 与底面所成的角,则O 为△ABC 的中心.AD ⊥BC ,则AD = (2a )2 -? ????22a 2=62a ,∴AO =23AD =63a , ∴Rt △POA 中 ,cos ∠P AO =AO AP =63, sin ∠P AO = 1-? ????632=33. 答案:33 16.[2019·湖南四校联考]在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形,若 四棱锥S -ABCD 体积的取值范围为???? ??433,83,则该四棱锥外接球表面积的取值范围是________. 解析:在四棱锥S -ABCD 中,由条件知AD ⊥SA ,AD ⊥AB ,SA ∩AB =A ,所以AD ⊥平面SAB ,所以平面SAB ⊥平面ABCD .过S 作SO ⊥AB 于点O ,则SO ⊥平面ABCD .设∠SAB =θ,则V S -ABCD =13S 正方形ABCD ·SO =83sin θ∈??????433,83,所以sin θ∈???? ??32,1,又θ∈(0,π),所以θ∈???? ??π3,2π3,所以-12≤cos θ≤12.在△SAB 中,SA =AB =2,所以SB =221-cos θ,所以△SAB 的外接圆半径r =SB 2sin θ=21-cos θsin θ .将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱,得其外接球的半径R =r 2+1,所以该四棱锥外接球的表面积S =4πR 2= 4π? ????21+cos θ+1∈? ?????28π3,20π. 答案:???? ??28π3,20π 17.[2019·江西五校联考]某几何体的三视图如图所示,正视图是一个上底为2,下底为4的直角梯形,俯视图是一个边长为4的等边三角形,则该几何体的体积为________. 解析:把三视图还原成几何体ABC -DEF ,如图所示,在AD 上取点G ,使得AG =2,连接GE ,GF ,则把几何体ABC -DEF 分割成三棱柱ABC -GEF 和三棱锥D -GEF ,所以V ABC -DEF =V ABC -GEF + V D -GEF =43×2+13×43×2=3233. 答案:3233 18.[2019·广州调研]已知在四面体ABCD 中,AD =DB =AC =CB =1,则该四面体的体积的最大值为________. 解析:解法一:如图,设AB 的中点为P ,连接PC ,PD ,因为AD =DB ,AC =CB ,所以AB ⊥PD ,AB ⊥PC ,又PC ∩PD =P ,所以AB ⊥平面PCD .设AB =2x (0 S △PCD ·AB =13·2x ·12(1-x 2)2sin ∠CPD ≤13x ·(1-x 2)2.因为13 x ·(1-x 2)2=1 312 ·2x 2(1-x 2)(1-x 2)≤ 1 312·??????2x 2+(1-x 2)+(1-x 2)33=2327,所以V 三棱锥A -BCD ≤2327,当且仅当sin ∠CPD =1且2x 2=1-x 2,即平面ABD ⊥平面ABC 且AB =233时,不等式取等号.故所求四面体的体积的最大值为2327. 解法二:如图,设AB 的中点为P ,连接PC ,PD ,因为AD =DB ,AC =CB ,所以AB ⊥PD ,AB ⊥PC ,又PC ∩PD =P ,所以AB ⊥平面PCD .设AB =2x (0 BCD =V 三棱锥A -PCD +V 三棱锥B -PCD =13·S △PCD · AP +13·S △PCD ·BP =13·S △PCD ·AB =13·2x ·12(1-x 2)2sin ∠CPD ≤13x ·(1-x 2)2.设函数f (x )=13 x ·(1-x 2)2=13(x -x 3),0 ??33,1上单调递减,所以f (x )max =f ? ????33=2327.从而V 三棱锥A -BCD ≤2327,当且 仅当sin ∠CPD =1且x =33,即平面ABD ⊥平面ABC 且AB =233时, 不等式取等号.故所求四面体的体积的最大值为2327. 答案:2327 19.[2019·安徽五校质检二]已知球O 与棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱都相切,点M 是球O 上一点,点N 是△ACB 1的外接圆上一点,则线段MN 长度的取值范围是________. 解析:因为球O 与棱长为4的正方体的各棱都相切,所以球O 的半径为22,球心O 为体对角线的中点,△ACB 1的外接圆是正方体外接球的一个小圆,点N 是△ACB 1的外接圆上一点,则点N 到球心O 的距离为23(即正方体外接球的半径),因为点M 是球O 上一点,所以线段MN 长度的最小值为23-22,线段MN 长度的最大值为23+22,所以线段MN 长度的取值范围为[23-22,23+22]. 答案:[23-22,23+22] 20.[2019·石家庄质检]如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为菱形,PB ⊥底面ABCD ,O 为对角线AC 与BD 的交点,若PB =1, ∠APB =∠BAD =π3,则三棱锥P -AOB 的外接球的体积是________. 解析:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,即OA ⊥OB .∵PB ⊥平面ABCD ,∴PB ⊥AO ,又OB ∩PB =B ,∴AO ⊥平面PBO ,∴AO ⊥PO ,即△P AO 是以P A 为斜边的直角三角形.∵PB ⊥AB ,∴△P AB 是以P A 为斜边的直角三角形, ∴三棱锥P -AOB 的外接球的直径为P A . ∵PB =1,∠APB =π3,∴P A =2,∴三棱锥P -AOB 的外接球的 半径为1,∴三棱锥P -AOB 的外接球的体积为4π3. 答案:4π3 高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值 2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ) A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[] A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B .若//αβm α?n β?则//m n C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为( ) A .1:2 B .1:4 C .1:8 D .1:16 4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( ) A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( ) A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<< 7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能...等于( ) A .1 B 8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是 A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A (Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E 数学立体几何练习题 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点,A 1M =AN = 2a 3 ,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A .相交 B .平行 C .垂直 D .不能确定 2.将正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使平面ABD ⊥平面CBD ,E 是CD 中点,则AED ∠的大小为( ) A.45 B.30 C.60 D.90 3.PA ,PB ,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60o,则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为( ) A . 12 B C D 4.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点,则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A . 15 B 。13 C 。 12 D 5. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,O 是底面ABCD 的中心,E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点,那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于( ) A .510 B .3 2 C .55 D .515 6.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若AB=2,A A 1=1,则点A 到平面A 1BC 的距离为( ) A . 4 3 B . 2 3 C . 4 3 3 D .3 7.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 ( ) A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8.设E ,F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( ) A .0 B .2 C .4 D .6 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点,则 sin 〈CM ,1D N 〉的值为_________. 10.如图,正方体的棱长为1,C 、D 分别是两条棱的中点, A 、B 、M 是顶点, 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
全国高考理科数学:立体几何
高考数学专题复习立体几何(理科)练习题
立体几何练习题
2020高考数学专题复习----立体几何专题