1微积分的基础和研究对象
微积分介绍
微积分介绍微积分是数学的一个分支，它研究的是函数的变化规律和求解问题的方法。
微积分的研究对象包括函数的导数、积分以及它们之间的关系。
微积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用，被认为是现代科学的基石之一。
微积分的核心概念是导数和积分。
导数描述了函数在某一点上的变化率，可以理解为函数曲线的切线的斜率。
导数的概念是由斯多克斯提出的，他通过研究物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时位置的关系，引入了导数的概念。
导数有很多重要的性质，比如导数为零表示函数在该点处达到了极值，导数的符号可以用来判断函数的增减性等。
微积分的另一个核心概念是积分。
积分可以理解为函数曲线下的面积，也可以看作是函数的反导数。
积分的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，他们为了解决曲线下面积的问题，独立地发展了积分的概念。
积分有很多重要的性质，比如积分是导数的逆运算，可以用来计算曲线下的面积、求解方程等。
微积分的研究方法主要有微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的变化规律，可以用来求解极值问题、判断函数的增减性等。
积分法是通过求积分来研究曲线下的面积以及函数的反函数，可以用来求解定积分、计算曲线下的面积等。
微积分的应用非常广泛。
在物理学中，微积分可以用来描述物体的运动、计算力学量等。
在工程学中，微积分可以用来求解曲线的长度、计算流体的流量等。
在经济学中，微积分可以用来求解边际效益、计算收益曲线等。
微积分在各个领域都有着重要的应用，对于现代科学的发展起着关键作用。
微积分是研究函数变化规律和求解问题的一门学科，它的核心概念是导数和积分。
微积分的研究方法主要包括微分法和积分法，它在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
微积分是现代科学的基石之一，对于推动科学的发展和解决实际问题具有重要意义。
通过学习微积分，我们可以更好地理解自然界的规律，探索世界的奥秘。
微积分基础知识
D : ( ,)
奇函数,
Hale Waihona Puke 有界函数,22双曲函数常用公式
sh( x y ) shxchy chxshy ;
ch( x y ) chxchy shxshy ;
ch2x sh2x 1;
sh2x 2shxchx ;
ch2x ch2 x sh 2 x.
23
几何解释:
a x 2 x1 x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在 [a , a ] 内, 只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
34
( 1)n1 观察数列 {1 } 当 n 时的变化趋势. n
n=5 n=7
( 1) n1 xn 1 . n
计算与分析的能力
了解和使用现代数学语言和符号的能力
使用数学软件学习和应用数学的能力
8
第0章
基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体.
组成集合的事物称为该集合的元素.
a M, a M, A { a1 , a 2 , , a n }
M { x P( x) }
18
可定义复合
注: 复合函数
代入法
设 y u, u 1 x 2 ,
y 1 x2
复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成.
x 例如 y cot , 2
y u,
x u cot v , v . 2
19
初等函数
定义: 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合 运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。 例：
大学微积分(常见问题与解答)
辅导答疑第一章微积分的基础和研究对象1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区别是什么？答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。
到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。
可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。
但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。
微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。
微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。
在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。
重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。
微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数学的范畴。
而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。
2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。
函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。
《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。
第二章微积分的直接基础-极限1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。
如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。
微积分课程教学大纲
微积分课程教学大纲一、课程简介微积分课程是大学数学的基础课程之一，旨在培养学生分析、解决实际问题的能力，以及为后续数学课程和科学类课程奠定基础。
本大纲将介绍微积分课程的教学目标、教学内容、教学方法和评估方式。
二、教学目标1、掌握微积分的基本概念、原理和方法，了解微积分的实际应用。
2、培养学生的数学思维、逻辑推理和解决问题的能力。
3、培养学生的创新意识和团队协作能力。
三、教学内容1、极限与连续：极限的定义与性质，极限的运算，连续函数的概念与性质。
2、导数与微分：导数的定义与计算，微分的定义与计算，导数与微分的应用。
3、不定积分与定积分：不定积分的定义与计算，定积分的定义与计算，定积分的应用。
4、多元微积分：多元函数的极限、导数与微分，以及偏导数与全微分的应用。
5、无穷级数与常微分方程：无穷级数的概念与性质，常微分方程的基本概念与求解方法。
四、教学方法1、理论教学：通过课堂讲解、推导和证明，使学生深入理解微积分的原理和方法。
2、实践教学：通过例题讲解、课堂练习、课后作业和实验等方式，加强学生的实际操作能力。
3、多媒体教学：利用多媒体课件、教学视频等手段，提高教学效果和学生学习效率。
4、团队协作：通过小组讨论、合作解决问题等方式，培养学生的团队协作能力。
五、评估方式1、平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况、实验报告等。
2、期中考试：以闭卷形式进行，主要考察学生对基本概念和方法的掌握情况。
3、期末考试：以闭卷形式进行，主要考察学生对整个课程内容的理解和应用能力。
4、总评成绩：结合平时成绩、期中考试和期末考试的成绩进行综合评价。
六、教学进度安排本课程总计学时，具体分配如下：5、极限与连续：学时；6、导数与微分：学时；7、不定积分与定积分：学时；8、多元微积分：学时；9、无穷级数与常微分方程：学时；10、总复习与答疑：学时。
微积分教学大纲一、课程简介微积分是高等数学的一个分支，研究函数的微分和积分以及相关的概念和应用。
高等数学微积分
高等数学微积分
高等数学微积分是数学中的一门重要学科，也是各个工科、理科中的必修课程之一。
微积分的基本概念是无穷小和极限，其研究对象是变化中的量和量的变化率。
微积分主要涉及到导数、积分、微分方程等知识。
一、导数
导数是微积分最基本的概念之一。
导数表示函数在某一
点上的变化率，可以理解为切线的斜率。
导数的求法主要有极限法和微商法两种方法。
其中，极限法是通过求出某一点的左侧或右侧的斜率来得到导数；微商法则是通过对函数进行微小增量的变化来推算导数。
二、积分
积分是导数的逆运算，是微积分中的另一个基本概念。
积分可以理解为曲线下的面积，也可以看作是一个变量在一定范围内的累加。
积分的求法主要有不定积分和定积分两种方法。
其中，不定积分是指求导数的逆运算，求出的结果为原函数；定积分则是对函数在一定范围内的积分，求出的结果为该变量在该范围内的累加。
三、微分方程
微分方程是微积分中的另一个重要概念，是描述自然现
象和工程问题的数学模型。
微分方程主要涉及到解微分方程和应用微分方程两个方面。
解微分方程是指找出满足某些条件的函数，而应用微分方程则是将微分方程应用到实际问题中，通过解法得到实际问题的解。
总之，微积分是一门深奥的学科，涉及到很多复杂的概念和理论。
只有通过多次练习和深入学习，才能对微积分有更深刻的理解和掌握。
高数知识问答
第一章 函数与极限问答题1．本章的基本概念是函数、极限和连续，简要概括这些概念在整个微积分中的地位与作用。
答：这几个概念是微积分学的基础。
连续函数是微积分学的主要研究对象，极限方法是微积分学的基本研究方法。
2．无界函数与无穷大的区别是什么？答：无穷大一定是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大。
无穷大是在某个极限过程中整体趋势都是很大，而无界函数的很大不是整体趋势。
例如x 与sinx 的乘积当x 趋于无穷大时是无界的，但不是无穷大(因为该函数在这个极限过程中始终有等于0的点存在，即并不是整体趋于∞的)。
3．复合函数的极限的计算中，为什么要注意验证0u u ≠，如果该条件不成立，原来的计算结论会不成立吗？答：对于由)(u f y =与)(x g u =构成的复合函数)]([x g f y =，如果函数)(u f 在0u u =处连续，那么0)(u x g =时结论仍成立，否则可能不成立。
例如)sgn()(u u f =，当0→u 时极限为1；但是如果)(x g 为常函数0，则当0→x 时,u 当然趋于0,但复合函数的极限为0，而不是1。
4．数列极限存在准则中的条件),3,2,1( =≤≤n z x y n n n 是否可以改为：N ∃，当N n >时， n n n z x y ≤≤。
为什么？答：可以。
因为数列极限研究的是∞→n 时的趋势，与前面有限项的大小无关。
换句话说，去掉前面不符合n n n z x y ≤≤的有限项之后形成的新的三个数列的极限其实和以前的三个数列的极限相等。
5．无穷小之和一定是无穷小吗？举例说明。
答：不一定。
正确的说法是有限个无穷小之和仍然是无穷小。
例如21)1(21lim 21lim 21lim 22222=+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n 这里是无限个无穷小的和等于21 6．利用等价无穷小替换的方法可使极限运算更加方便，常用的等价无穷小替换公式有哪些？ 答：（1）x x ~sin （2）x x ~tan （3）x x ~arcsin （4）x x ~arctan （5）x x ~)1ln(+（6）x e x ~1-（7）a x a x ln ~1-（8）221~cos 1x x -（9）x x 21~11-+ （10）x x α-+α~1)1(7．如何理解研究0x 是否)(x f 间断点必须以)(x f 在点0x 的某去心邻域内有定义为前提？答：如果)(x f 在0x 的附近没有定义，那么研究函数在0x 处是否间断或连续就失去了意义。
高考数学中的导数与微积分知识点
高考数学中的导数与微积分知识点高中数学中微积分是相对于初中数学而言的一块难度较大的章节。
微积分作为一门基础而重要的学科，贯穿于数学的各个方面，也是后来物理学、工程学、经济学等学科中必不可少的工具。
微积分研究对象是连续函数和曲线的极限、函数的导数、不定积分及其应用等内容，是从静态的变为动态的、从离散的变为连续的、从局部的变为全局的数学思想方法。
下面我们就从高考数学中的导数与微积分知识点入手，来深入了解微积分这一科目。
一、导数的基本概念导数是微积分的基础，一是为了让函数更加灵敏地反映自变量变化的规律，二是为求出函数在某些点的变化率及曲线的切线斜率提供了数学工具。
导数不仅是微积分的基础概念，而且是数理化、力学、电学和经济学等很多学科的基础。
导数的定义：函数$f(x)$在点$x_0$处可导，当且仅当$f(x)$在点$x_0$处的左、右导数存在，且两个导数相等。
定一函数$f(x)$在$x_0$处的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中$\Delta x$是自变量$x$的增量，$\Delta y$是因变量$y$的增量。
而$\Delta x$趋于$0$的过程，也就是点$x_0$周围越来越小的邻域内，自变量$x$的变化量趋近于$0$时，$f(x)$在点$x_0$处的左、右导数相等、存在时，就称该函数在点$x_0$处可导，其导数为左右导数的公共值。
如果左、右导数存在且相等，则称$f(x)$在 $x_0$处导数存在。
二、导数的基本性质为了更好地理解导数的概念，我们可以从以下几个角度入手，了解导数的基本性质：1. 如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则$f(x)$在点$x_0$处连续。
2. $f(x)$在其定义域内是连续函数，则$f(x)$在该定义域内必然可导。
微积分的基本概念与性质
微积分的基本概念与性质微积分是数学中的一个重要分支，它研究函数的变化率和曲线的面积，是实现数学建模和理论推导的基础。
微积分的基本概念和性质对于深入理解和应用微积分都至关重要。
本文将介绍微积分的基本概念和性质，帮助读者对微积分有更清晰的了解。
一、微积分的基本概念1.1 函数与导数在微积分中，函数是一个很常见的概念。
函数关系可以通过图像、表达式或者散点给出，它描述了一个变量与另一个变量之间的依赖关系。
函数导数是描述函数变化率的工具，表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
1.2 极限与连续微积分中的极限是一种趋近某个值的概念。
当自变量趋近于某个特定的值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。
极限是微积分中计算导数和定积分的基础。
而连续是一个函数在一段区间上没有任何断裂或间断点的特性。
若函数在某点处连续，则导数也存在，这种关系称为微积分基本定理。
1.3 定积分与不定积分定积分是计算曲线下面积的工具，也可以理解为曲线与x轴之间的有向面积。
定积分可以用一系列无限小的面元相加的方式计算。
不定积分是定积分的逆运算，表示函数的原函数。
不定积分和定积分是微积分中使用最广泛的工具，它们被广泛应用于物理、生物、经济等领域的建模与求解过程中。
二、微积分的性质2.1 导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，它有许多运算法则可以简化求导的过程。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商积法则等。
这些运算法则能够帮助我们快速计算函数的导数，从而更方便地研究函数的特性和行为。
2.2 积分的性质积分也有一些重要的性质。
其中，积分的线性性质是最基本也是最常用的性质之一。
根据积分的线性性质，我们可以将一个复杂的积分问题拆解为多个简单的积分问题，并逐个求解。
此外，积分还具有区间可加性、导数与积分的关系等性质，通过合理运用这些性质，可以更加灵活地进行积分运算。
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……
y
y
0
x y
0
x
0
x
函数既有具有具体表达式的初等函数
常值函数； 幂函数与根式函数； 三角函数与反三角函数； 指数函数与对数函数 通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函 数及其反函数。 ……
对于一个给定函数来说，局部与整体是 一个事物的两个方面，二者是对立的统一。
因此，微分与积分具有密切关系，积分 问题是由函数的局部性质研究整体性质。建 立二者关系的桥梁是
微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。
极限：人类认识无限的必要手段
由于生理的原因，人类只能看到有限时 间、有限范围内的事物；只能判断、测量在 一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。 要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变 化的情况等，极限是一个有效工具。
有些事物的变化是离散的
比如：
随着时间的推移，中国奥运金牌的数量； 随着时间的推移，母鸡下蛋的数量； 随着重量的增加，邮局邮寄包裹的价格； 随着路程的增大，乘坐出租车的费用；
……
y
y
0
xy 0
x
0
x
有些事物的变化则是连续的
比如：
随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度 的变化；人的动作；
有理数集的性质
有理数集是最小的数域（代数性质） 有理数的运算及其法则来源于整数； 有理数集在四则运算下是封闭的，而 且加法、乘法满足结合律与交换律， 并且乘法对加法满足分配律，具有这 种性质的数集叫做数域。
有理数是有序的、可数的（集合性质） 像自然数一样，有理数可以比较大 小，是有序的，因此可以在数轴上 排列出来。可以与自然数一一对应。
也有更多的不能具体通过代数式表示、 但却具有实际意义的函数，以及一般的 抽象函数。
微积分：研究连续性变化
连续性变化的情况涉及到每一个瞬间， 涉及到“无穷小”的时间段内的变化情况， 人类是无法精确捕捉到的。如何研究？
动画片如何表现连续动作？ 切片！源自短时间内的一种静止画面。“微小的差异”是微分积分的奥秘！
类问题： 瞬时速度问题； 曲线的切线； 函数极值问题； 求积问题(曲线长度、图形面积等)。
b. 英国数学家牛顿（Newton,1642---1727） 和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646--1716)分别独立地建立了微积分。
牛顿
莱布尼茨
c.牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献
平均速度 VS 瞬时速度
时刻 t 之后 s 秒内的平均速度 = s 秒内的行走路程 d/s
时间幅度 s 无限趋近于0 → 时刻 t 的瞬时 速度
1.3 实数系的建立及邻域概念
回忆——
什么是“数” ？ 数是用来反映量的，是量的抽象. 自然数：0，1，2，3，…. 分数：有限小数或无限循环小数.
分数都是有限小数或无限循环小数，反之亦然.
大学文科数学
数信学院 俞优莉 665918
第一章 微积分的基础 和研究对象
进入封建时代后，数学的发展经 历了一个黑暗的时期. 直到欧洲 文艺复兴，数学重新进入了一个 伟大的时代！
§1 微积分的基础－集合、实数和极限
1.1 从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起
（1）微积分的建立 a. 进入17世纪，科技发展给数学提出了四
（3）微积分的应用 从17世纪末到19世纪初，微积分理 论被广泛而有效地应用于物理、天 文等领域。
（4）微积分存在的问题
理论体系粗糙，极不严密。它的一 些定理和公式在推导过程前后出现 逻辑矛盾，使人们感到难以理解， 这种矛盾集中体现在对“无穷小量” 的理解与处理中。
（5）微积分的严密化
19世纪初，法国数学家柯西建立了严格 的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特 拉斯等加以完善，从而形成了严密的实 数理论。由此把微积分的无矛盾性问题 归结为实数系统的无矛盾问题。
观察某一微小变化 = 微分 连接一系列微小变化 =积分
微分：函数的局部性质
函数表示的是因变量依赖于自变量的变化关 系，函数值反映的是变化结果，但不能反映 变化速度。函数的微分刻画的正是函数的瞬 时变化速度。
平均速度 VS 瞬时速度
积分：函数的整体性质
一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度， 从而会行走一段距离；但是在一定时间内， 速度可能在变，如何知道变速运动在一定时 间内的运行路程，这就是积分问题。积分问 题是研究函数的整体变化性质。
-1 0 ½ 1
有理数在数轴上是稠密的、和谐的 （几何性质）。
稠密性：任意两个有理数之间，必然 存在第三个有理数，而不管这两个有 理数有多么接近。
和谐性：有理数之间相处得亲密无间， 对任意一个给定的有理数，永远找不 到一个与之最接近的有理数。
澄清概念——特别是建立导数（变化率） 的概念；
提炼方法——从解决具体问题的方法中提 炼、创立出普遍适用的微积分方法；
改变形式——把概念与方法的几何形式变 成解析形式，使其应用更广泛；
确定关系——确定微分和积分互为逆运算。
（2）微积分的特点 与以往的数学相比：微积分的突出 特点是可以研究不断变化的事物现 象 ——运动，是变量数学的标志。
整数（integer)：0， 1,2, .
有理数（rational number): 0 和正负分数.
无理数（irrational number): 正负无限不循环小数.
有理数 实数 无理数
记号： 有理数集 Q； 实数集 R
数系扩充的科学道理
自然数中减法产生负数， 整数系统； 整数中除法产生分数， 有理数系统； 自然数中开方产生无理数， 实数系统； 负数中开方产生虚数， 复数系统。
微积分得以严密化的基础是： 实数系统的完备性（或连续性）
微积分研究的对象、内容及工具
对象：函数 内容：微分、积分，以及连接微分
与积分的桥梁——微积分基 本定理。 工具：极限
函数：物质世界的基本模型
世界是物质的，物质是运动的，运动是 相互联系的。这种相互联系的物质运动大都 可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系 为基本特征的数学模型——函数。数学模型 是人类认识与改造世界的一个基本手段。