高一数学(人教A版)平面向量的减法运算-1教案
教案
二、探究新知
（一）定义向量的减法
类比实数x 的相反数是-x ，定义向量a 的相反向量-a ，并说明相反向量的性质. 给出向量减法的定义是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（二）动手实践，理解向量减法的几何意义
问题1：已知向量a 和b ，如何作a - b 的图？追问向量的加法的两个法则都是有几何意义的，那么向量减法的几何意义是什么呢？ 探究：向量减法的几何意义.
讲解探究的过程，第一种探究方法:
选择向量b 的相反向量，使得-b 与向量a 能够共起
点.设OA =a ，OB =b ，OD =-b ，连接AB ，由向量减法的定义，知
OA OD OC -=+-=+=（）a b a b ．
在四边形OCAB 中， OB OA ，所以OCAB 是平行四边形，所以BA OC ==-a b ． 最后概括出向量减法的作图步骤：
已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA =a ，
OB =b ，则BA 就是-a b .强调向量减法的结果的方
向，明确向量减法的几何意义.
第二种探究方法：选择选择向量b 的相反向量，使得-b 与向量a 能够首尾相接，选择-b 的终点与向量a 的起点相接.探究出向量减法的几何意义.
第三种探究方法：选择选择向量b 的相反向量，选择-b 的起点与向量a 的终点首尾相接.探究出向量减法的几何意义.
思考：（1）如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？
（2）如果改变向量a 的方向，使//a b ，怎样作-a b 呢？
例题：如图，已知向量，，，a b c d ，求作向量-a b ，-c d .
作法：如图上图（2）在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d .则BA -=a b ，DC -=c d . （三）,,-a b a b 之间的关系 问题2：,,-a b a b 之间有什么关系？
由上节课我们学习的向量的加法我们得到了
,,+a b a b 之间的关系，那么作两向量的差的图时
也形成了三角形，那么,,-a b a b 之间一定也有关系.一起探究,,-a b a b 的关系.
通过把减法运算转化成加法运算，再利用整体代换的数学思想把不等式-≤+≤+a b a b a b 中的向量b 用-b 替换，就得到了-≤-≤+a b a b a b .
再从三角形三边关系出发，从形上验证刚才的代数求解的正确性。
同时得到向量a , b 共线时，差向量的模与两向量模的关系.
例题：已知1=a ，2=b .求-a b 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a 与b 的关系.
三、向量加、减法在几何中的应用
例.如图在ABCD 中，AB =a ，AD =b ，你能用a ，
b 表示向量AC ，DB 吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道
AC +=a b .
同样，由向量的减法，知DB AB AD =-=-a b . 追问1：+>-a b a b 一定成立吗？ 通过举反例，判断提问中的不等式不成立. 第一个反例是矩形，矩形时，+=-a b a b 第二个反例是通过画图，A ∠变成钝角时，
+<-a b a b ，让学生通过图形感受即可，不用跟
学生说明角的大小的变化.
追问2：若平行四边形满足+=-a b a b ，能得到更特殊的平行四边形吗？
四、课堂回顾
五、课后作业
1. 如图，已知向量a ，b ，求作向量a -.b .
2.（1）AB AC BD CD -+-；（2）OA OD AD -+.
3.（1）已知向量a ，b ，求作向量c ，使0a +b+c =. （2）（1）中表示量a ，b ，c 的有向线段能构成三角形吗？
a b。
6.2.2向量的减法运算教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
教学设计课程基本信息课题向量的减法运算教学目标1.课程目标（1）、了解相反向量的概念；(2)、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；(3)、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化2.数学学科素养1.数学抽象：相反向量和向量减法的概念；2.逻辑推理：利用已知向量表示未知向量；3.直观想象：向量减法运算；教学内容教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法以及理解向量减法的几何意义；教学难点：体会向量减法的生成过程以及掌握差向量的方向如何确定教学过程一、复习回顾，情境导入首先复习回顾向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
然后情境导入：在数的运算中，我们知道减法是加法的逆运算，向量的加法与实数的加法类似，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入呢？向量的减法具有什么特点？如何进行向量减法的运算呢？带着这些问题，一起学习《向量的减法运算》二、引入新课，探究新知：引入情境：某日，小明从家步行到快递公司取快递, 取到快递后再从快递公司返回家中,我们把快递公司记作B点,小明家记作A点,那么他的位移是多少?怎样用向量来表示呢?阅读课本11-12页，思考并完成以下问题1.相反向量的概念是什么？2.向量的减法运算的定义是什么3.如何求两个向量的差？4．向量减法的几何意义是什么？5.总结求两个向量的差向量的作图步骤：6.思考：怎么做？共线时与当b a b a-,要求：学生独立完成，填写导学案后，以小组为单位，组内交流讨论后，选出代表回答问题。
三、梳理知识，解答释疑：1.相反向量（学生自主完成）（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作−α⃗ （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.a a =--)( 且0)( =-+a a 练习1：如果b a ,互为相反向量，则0,, =+-=-=b a a b b a2、向量减法：（学生自主完成）（1）向量减法的定义：向量a 加上b 相反向量，叫做a 与b的差.即：)(b a b a -+=- 求两个向量差的运算叫做向量的减法.3.如何求两个向量的差向量？（师生共同讨论完成）在平面内，设,,,b AD b AB a AC -===以为邻边作平行四边形ADCE ，根据平行四边形加法法则)(b a AE -+=，又在平行四边形ABCE 中，得b a b a AE BC-=-+==)(4.向量减法的几何意义： .的终点的向量的终点指向表示为从a b b a -（师生共同讨论）5.总结两个向量差向量的作图步骤：(1)将 两个向量 平 移到同一起点. (2)连接 两个向量的终点,让箭头方向指向被减向量的终点，得到的向量就是差向量 . (师生共同总结)6.思考：怎么做？共线时与当b a b a -,（学生自主完成后学生上台讲解）分类讨论思想：（1）当 b a ,同向时（2）当 b a,反向时：练习2： 四．例题分析：（先让学生独立思考，然后选派代表上台讲解）例1： 已知c b a c b a +-求作向量向量,,,五．小结：(学生们相互间谈谈本节课的收获)2.差向量的作法：先将 两个向量 平 移到同一起点，然后连接这 两个向量 的终点,让箭头方向指向被减向量 的终点，最后得到的向量就是 差向量 .。
高一数学《向量的减法》教案
向量的减法教学目标 （一） 知识与技能目标明确相反向量的意义，在此基础上理解向量减法的意义；能熟练掌握向量减法的三角形法则，能准确作出两个向量的差向量，知道向量的减法运算可以转化为向量的加法运算． （二） 过程与能力目标理解减法定义时要结合图形语言，并通过相反向量来揭示加法和减法的内在联系，通过本节课的学习，对学生渗透化归思想和数形结合思想，继续培养学生识图、作图的能力及运用图形运算的能力． （三） 情感与态度目标 培养学生用联系的观点看问题，继续培养对数学美的感受． 教学重点向量减法的三角形法则． 教学难点对向量减法定义的理解． 教学过程 一、复习向量加法的三角形法则和四边形法则. 二、新课1. 相反向量：. . a a a-记作的相反向量方向相反的向量叫做长度相等，与a a =)(-- )1(0)()( )2(=+-=-+a a a a 即：向量，的和是零任一向量与其相反向量 0 , , , )3( =+-=-=b a a b b a b a ：是互为相反的向量，则如果 2. 向量的减法：)-(- . b a b a b a b a+=即的差和的相反向量，叫做加上向量 a a b b a b b a=+=+-+=+-0)()( 向量减法法则:两向量起点相同, 则差向量就是连结两向量终点, 指向被减向量终点的向量 .. - ,- ,,, .1 d c b a d c b a，求作向量已知向量如图，例 作 法 ：.,,,,, d c DC b a BA d OD c OC b OB a OA O -=-=====则作，在平面内任取一点. DB AC AB , AD ABCD .2 、表示向量、，用中，平行四边形如图，例b a b a== 解： AC b a += b a-=-=互相垂直？与满足什么条件时，：当变式b a b a b a-+,1 ?,2b a b a b a-=+满足什么条件时，：当变式可能是相等向量吗？与：变式b a b a-+3 ..3 OD c b a c b a C B A ABCD O 表示、、试用向量，、、的向量分别为、、的三个顶点到平行四边形已知一点如图，例课堂小结：向量的减法的定义及向量减法的三角形法则及运用. 作业：1．阅读107 页至 109 页；2．教材 113 页 4、6⑴⑵⑶ 、7题 ．bA。
【教案】向量的减法运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台，引导学生类比数的运算研究向量的运算.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入概念[问题1]类比实数x的相反数是x-，对于向量a，你能定义“相反向量”a-吗？它有哪些性质？[问题2]你认为向量的减法该怎样定义？教师1：我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？提出问题1．学生1：学生思考．大小相等，方向相反的向量叫做相反向量.教师2：提出问题2．学生2：学生思考．定义()a b a b-=+-,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.问题引入：类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则做准备．引导学生类比数的减的减法定义向量的减法．动手实践理解几何意义[问题3] 已知向量a和b，a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不教师3：提出问题3．学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=-b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|＝OC，|a-b|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.通过探究让学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用1.向量减法法则的应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .2.向量的加减法运算 例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号). (2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →； ②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用 例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.教师9：展示例题2． 学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON→＝－(OM →＋ON →)≠MN →； ③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →， 故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量． 课堂练习1:[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →. DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .掌握作两个向量的差的基本方法． 课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？教师12：提出问题7． 学生13：思考.师生共课堂小结升华认知在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM→－PN→＋MN→所得的结果是()A.MP→B.NP→C.0D.MN→2.在四边形ABCD中，AB→＝DC→，若|AD→－AB→|＝|BC→－BA→|，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定3.OB→－OA→－OC→－CO→＝________.4.若菱形ABCD的边长为2，则|AB→－CB→＋CD→|的长度为______.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.C 2.B 3.AB→4.2同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
《向量的减法运算》示范课教学设计【高中数学人教】
《向量的减法运算》教学设计【复习引入】问题1：在上一环节，我们学习了向量的哪种运算？关于这种运算，你了解到了哪些知识？答案：学了向量的加法运算．关于向量的加法运算：①两个向量加法运算的结果还是一个向量；②向量的加法运算遵循三角形法则和平行四边形法则；③向量的加法运算也遵循交换律和结合律．追问：了解了向量的加法运算，自然地，我们就接着来考虑减法运算．关于“减法运算”，你还记得在实数中是如何定义的吗？如何来类比定义向量的减法？答案：在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．在向量中，我们可以先定义“相反向量”，再通过向量的加法来定义减法．【新知探究】问题2：在实数运算中，数x的相反数是−x，如何类比定义“相反向量”？答案：数x的相反数是−x，x与−x符号不同，但有相同的绝对值．对于向量来说，两个基本要素是“大小”和“方向”，所以我们也从这两个方向来定义相反向量．定义：我们规定，与向量a长度相同，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作−a．a −a追问：如何理解“相反向量”？答案：①由于向量方向反转两次仍回到原来的方向，长度不变，因此a和−a互相相反向量，即−(−a)= a；②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量，即−0=0；③由两个向量和的定义知a+（−a）=（−a）+a=0，即任意向量与其相反向量的和是零向量，这样，如何a、b互为相反向量，就有a+b=0，a=−b，b=−a．问题3：尝试借助相反向量来定义向量的减法吧！答案：我们规定，向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a−b=a+（−b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．可见，向量的减法可以转化成向量的加法来进行，即：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量．问题4：已知向量a 和b ，你能尝试通过作图得到a -b 吗？ 答案：如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,作OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ， 因为a −b =a +（−b ）=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 根据向量的加法法则，以线段OA 、OD 为邻边作平行四边形OACD ，可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ． 此时，连接AB ，因为OB //CD ，且OB =CA ，所以OCAB 是平行四边形，所以，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ．追问：根据以上过程，试着说一说向量减法的作图方法和几何意义吧！ 答案：已知向量a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ． 即，a −b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 终点的向量，这就是向量减法的几何意义．【疑点辨析】问题5：如果从向量a 的终点到向量b 的终点作向量，那么所得向量是什么呢？ 回答：从向量a 的终点到b 的终点作向量，最终指向的是b 的终点，所以可以看成是a 的想法向量与b 的和，即（−a ）+b ，也就是b −a ．可见，向量a −b 的方向指向向量a 的终点，向量b −a 的方向指向向量b 的终点，即：两个向量差向量的方向指向“被减向量”．一句话总结向量的减法，即“共起点，连终点，方向指向被减向量”．abb −aa −babab问题6：如果向量a //b （a 、b 均不为零向量），又如何作出a −b 呢？答案：和以上的方法一样，仍然先将两个向量的起点平移至一公共点O 处，连结两个终点，方向指向被减向量即可．即：如图，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，a −b =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 类似的，b −a =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ．小试牛刀：判断下列说法的正误． (1)两个向量的差仍是一个向量． (√ )(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． ( √ ) (3)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量． ( √ ) (4)相反向量是共线向量． ( √ ) 【应用举例】例1 如图，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a −b ，c −d ．答案：作法：如图，在平面内任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ，则BA⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c −d ． 例2.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，你能用a 、b 表示向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 吗？答案：解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ，同样，由向量的减法，知DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ． 例3.如图，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．a bb −aa −bOAB OAB证明：作直径BD ，连接DA ，DC ，则有OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为DA ⊥AB ，DC ⊥BC ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ， 所以CH//DA ,AH//DC ,所以四边形AHCD 是平行四边形， 所以AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又DC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【梳理总结】问题7：本节课你学习了平面向量的哪种运算？这种运算的定义是如何得到的？它的几何意义是什么？答案：（1）本节课学习了平面向量的减法运算．我们定义，①与向量a 长度相同，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作−a ； ②向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a −b =a +（−b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）零向量的减法运算是类比实数的减法运算进行定义的，即先引入了“相反向量”，再用向量的加法来定义减法：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量．（3）两个向量a 、b 的差a −b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 终点的向量，这就是向量减法的几何意义．。
向量的减法教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
铜仁外国语学校人教版（2019）数学必修二教案6.2.2向量的减法讲授新课要点探究1：向量的减法运算定义设问：你能根据实数的减法运算定义向量的减法运算吗？解析：根据两个向量和的定义已知错误!未找到引用源。
所以：任意向量与其相反向量的和都是零向量。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
所以，向量的减法可以转为向量的加法来进行。
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
即错误!未找到引用源。
要点探究2：向量减法的作图方法问题五：已知向量，试作出ba与ba-作法()OCODOAbab=+=-+=-a，由向量减法的定义知AB连接(2)bODOB-===，b，aOA设(1)baOC-==BA所以OCAB因为平行四边形(3)由此，我们得到的作图方法。
ba-要点探究3：向量减法的几何意义：根据问题五，思考一下向量减法的几何意义是什么？ba aO-b ba-A意义。
这就是向量减法的几何的终点的向量的终点指向可以表示为从即由图得：abbabBA--=.a设问：非零共线向量怎样做减法运算？1.共线同向2.共线反向知识运用：学生根据环环相扣的问题进行思考，探究平面向量的减法定义和法则。
利用问题探究得出平面向量的减法定义和法则,培养学生探索的精神.,,,a b c d ，求作向量a b -c d -。
acdb作法：在平面内任取一点O ，作,OA a =,OB b =,OC c =,OD d = 则BA a b=-DC c d =-注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。
2、已知平行四边形 ,,,b AD a AB ABCD==。
，分别表示向量用DB AC ,b aaDB求下列向量的差AB AD -=BC BA -=BA BC -=OD OA -=(6)AO BO -=OA OB -=）DB （2）CA （3）AC ）AD （5）AB （6） BA、根据下图，回答下列问题：abBC与 ）与可能是相等向量吗？。
《向量的减法运算》教案、导学案、课后作业
《6.2.2 向量的减法运算》教案【教材分析】减法运算是平面向量线性运算的一种，是向量加法的一种转换。
通过类比数的减法，得到向量的减法及其几何意义，培养学生的化归思想和数形结合思想。
这样即能加深学生对向量加法运算的理解，也为后面学习向量的数乘运算打下基础。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：相反向量和向量减法的概念；2.逻辑推理：利用已知向量表示未知向量；3.直观想象：向量减法运算；4.数学建模：将向量减法转化为向量加法，使学生理解事物之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：向量减法的概念和向量减法的作图法；难点：减法运算时方向的确定.【教学过程】一、情景导入在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数相当于加上这个数的相反数”.类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系呢？怎样定义向量的减法？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本11-12页，思考并完成以下问题1.a的相反向量是什么？2.向量的减法运算及其几何意义是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1.相反向量（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.- 0 = 0. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b =-a ， a + b = 0 2、向量减法（“共起点，后指前”）（1）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. （2） 作法：在平面内取一点O ，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b四、典例分析、举一反三 题型一 向量的减法运算例1 化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)． 【答案】0【解析】法一：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝AB ―→＋DC ―→＋CA ―→＋BD ―→＝AB ―→＋BD ―→＋DC ―→＋CA ―→＝AD ―→＋DA ―→＝0.法二：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)－CD ―→＋BD ―→＝CB ―→－CD ―→＋BD ―→＝DB ―→＋BD ―→＝0.法三：设O 是平面内任意一点，则(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(OB ―→－OA ―→)－(OD ―→－OC ―→)－(OC ―→－OA ―→)＋(OD ―→－OB ―→)＝OB ―→－OA ―→－OD ―→＋OC ―→－OC ―→＋OA ―→＋OD ―→－OB ―→＝0.解题技巧（向量减法运算技巧） 1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 跟踪训练一1、化简：(1) OA ―→－OD ―→＋AD ―→； (2) AB ―→＋DA ―→＋BD ―→－BC ―→－CA ―→. 【答案】(1) 0. (2) AB ―→.【解析】(1) OA ―→－OD ―→＋AD ―→＝DA ―→＋AD ―→＝0.(2) AB ―→＋DA ―→＋BD ―→－BC ―→－CA ―→＝AB ―→＋DA ―→＋BD ―→＋CB ―→＋AC ―→＝(AB ―→＋BD ―→)＋(AC ―→＋CB ―→)＋DA ―→＝AD ―→＋AB ―→＋DA ―→＝AD ―→＋DA ―→＋AB ―→＝0＋AB ―→＝AB ―→.题型二 向量的减法及其几何意义例2 已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 【答案】见解析【解析】 在平面上取一点O，作= a ， = b ， = c ， = d， 作， ， 则= a -b ， = c -d解题技巧： (求两个向量差向量的思路)(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．OA OB OC OD BA DC BA DC(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．跟踪训练二1、如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【答案】见解析【解析】法一：如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ， AB ―→＝b ，则OB ―→＝a ＋b ，再作OC ―→＝c ，则CB ―→＝a ＋b －c .法二：如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ，AB ―→＝b ，则OB ―→＝a ＋b ，再作CB ―→＝c ，连接OC ，则OC ―→＝a ＋b －c .题型三 用已知向量表示未知向量例3平行四边形中，a ，b ，用a 、b表示向量、.【答案】= a + b ， = = a -b 【解析】 由平行四边形法则得：= a + b ， = = a -bABCD =AB =AD AC DB AC DB AD AB -AC DB AD AB -解题技巧（用已知向量表示未知向量的步骤） (1)观察待表示的向量位置； (2)寻找相应的平行四边形或三角形； (3)运用法则找关系，化简得结果． 跟踪训练三1.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AE ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD ―→，BC ―→，BD ―→.【答案】CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝b －a ，BD ―→＝b －a ＋c. 【解析】因为四边形ACDE 是平行四边形， 所以CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ， 故BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝b －a ＋c. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本12页练习，22页习题6.2的4，6，7，10题. 【教学反思】向量加法是加法运算的逆运算，所以本节课安排学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算，利用三角形做出减向量，然后进一步应用。
平面向量的加减教案
平面向量的加减教案引言：平面向量的加减是数学中重要的概念之一。
通过掌握平面向量的加减法则，我们能够更好地理解和运用向量的性质，解决与向量相关的数学问题。
本教案将介绍平面向量的加减法则及其应用，以帮助学生深入理解和掌握这一知识点。
一、平面向量的定义和表示1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
例如，向右箭头表示正东方向的向量，向上箭头表示正北方向的向量。
2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，也可以用字母表示。
例如，向量AB可以记作→AB或A B，其中→表示向量，A B表示向量的长度。
二、平面向量的加法1. 平面向量的加法定义：若有向量→A和→B，它们的和记作→A + →B，表示从→A出发，沿着→B的方向走到最后的位置。
2. 平面向量的加法法则：向量的加法满足"三角形法则"。
即将两个向量的起点相连，以第一个向量的方向作为起始方向，以第二个向量的方向作为终止方向，则连接起始点和终止点的向量为和向量。
例如：→A + →B = →CA B + B C = A C3. 平面向量的加法性质：- 交换律：→A + →B = →B + →A- 结合律：(→A + →B) + →C = →A + (→B + →C)三、平面向量的减法1. 平面向量的减法定义：若有向量→A和→B，它们的差记作→A - →B，表示从→B的终止点回到→A的终止点的向量。
2. 平面向量的减法法则：向量的减法满足"平行四边形法则"。
即将两个向量的起点相连，以第二个向量的方向作为终止方向，以第一个向量的方向反向作为起始方向，则连接起始点和终止点的向量为差向量。
例如：→A - →B = →CA B - B C = A C3. 平面向量的减法性质：- 减去一个向量等于加上其负向量：→A - →B = →A + (-→B)四、平面向量的应用1. 位移向量：在平面向量的应用中，位移向量被广泛用于描述物体在平面内的移动。
平面向量的减法教案
a-b
A
B
b
a
O
四、引入例子 例 5 已知如图 7－14（1）所示向量 a 、 b ，请画出向量 a－b．
a b
（ 1）
O
b
a
A
（ 2）
B
讲解并要求学生 会做向量减法图
解 如图 7－14（2）所示，以平面上任
一点 O 为起点，作 OA =a，OB =b，连接 BA，
则向量 BA 为所求的差向量，即
BA = a－b ． 五、运用知识 强化练习
a −b = a＋(−b)．
设 a =OA ，b OB ，则
巩固记忆 理解减法意义
OA OB OA (OB)= OA BO BO OA BA
教学方法及教具 时间 提问 认真讲解
10 分钟
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
即
OA OB = BA
观察下图可以得到：起点相同的两个向量
a、 b，其差 a－b 仍然是一个向量，叫做 a 与 b 的差向量，其起点是减向量 b 的终点，终 点是被减向量 a 的终点．
复习平面向量的加法运算
二、平面向量的减法原理
向量的减法是在负向量的基础上，通过 向量的加法来定义的.即 a-b=a+(-b)，它可以 通过几何作图的方法得到，即 a-b 可表示为从 向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.作向 量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 三、推理减法运算
与数的运算相类似，可以将向量 a 与向 量 b 的负向量的和定义为向量 a 与向量 b 的 差．即
1.填空：（1） AB AD =_______________，
（2） BC BA =______________，
（3） OD OA =______________．
高中数学 向量的减法教案 新人教A版必修1
第三教时教材：向量的减法目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
过程： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB CD解：=++=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法 1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。
记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作= a , = b则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。
注意：1︒表示a - b 。
强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。
4． a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b三、 例题：例一、（P101 例三）已知向量a、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d例二、平行四边形中，，用表示向量，解：由平行四边形法则得： AC = a + b, DB = AD AB - = a -b变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a , b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 四、 小结：向量减法的定义、作图法| 五、 作业： P102 练习P103 习题5.2 4—8O ABa B’b-b b Ba + (-b )a b O a bB a ba -bA BD C A B C b a d c D O a -bA B B’ a -b a a b bO A O B a -b BA O-b。
高中一年级下学期数学《平面向量的运算—向量的减法运算》教案
《平面向量的运算-减法运算》教案【教学目标】1、知识与技能：掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；2、过程与方法：通过类比相反数，得到相反向量的概念的过程，提升学生的逻辑推理、数学抽象核心素养，掌握向量减法的运算的方法，提升学生的数学运算核心素养；3、情感态度价值观：通过本节的学习，培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣。
【教学重难点】重点：向量减法的运算和几何意义；难点：减法运算时差向量方向的确定。
【教学方法】讲授法【教学用具】多媒体【教学过程】一、提出问题在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”。
类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？二、向量的减法及运算法则1、相反向量：与向量a→长度相等，方向相反的向量，叫做a →的相反向量，记作−a→ 。
性质：（1）−（−a →）=a→； （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量，即−0→=0→； （3）a →+（−a →）=（−a →）+a →=0→ （4）如果a →，b →互为相反向量，那么a →=−b →，b →=−a →，a →+b →=0→ 2、向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。
a →－b →=a →+（－b →） 即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
a →－b →叫做a →与b→的差。
向量的差仍为向量探究：向量减法的几何意义是什么？向量减法的几何意义是：a →－b →可以表示为从向量b →的终点指向向量a →的终点的向量。
作法：共起点，连终点，箭头指向被减向量。
问：如图，红色向量表示什么？思考：若向量a →，b →共线，怎样作出a →－b→？若a→，b →方向相同，则|a →−b →|=|a →|−|b →|（或者|b →|−|a →|） 若a →，b →方向相反，则|a →−b →|=|a →|+|b →|思考：若向量a →，b →不共线，怎样作出a →－b→？ 3、不共线三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之差小于第三边若a →、b →不共线时，||a →|−|b →||<|a →−b →|<|a →|+|b→| 探究： |a →−b →|,|a →|,|b→|之间的关系。