平面向量的减法教案
平面向量的减法法则课件
学生常见问题及解答
问题1
如何理解向量减法的三角形法则？
解答
如何应用数乘分配律进行向量减法？
问题2
三角形法则可以理解为将第二个向量平移到 第一个向量的起点，然后连接第一个向量的 起点和终点，得到的结果就是两个向量的差。 这个法则可以帮助我们直观地理解向量减法 的几何意义，并且可以方便地计算两个向量 的差。
解析例题二
总结词
掌握向量减法的实际应用详细来自述例题二通过解决实际问题，展示了向量减法的实际应用。通过计算两个向量的差，可以确定一个物体 相对于另一个物体的位置和方向。这种计算在物理学、工程学和实际生活中都有广泛的应用。
解析例题三
总结词
掌握向量减法与其他数学知识的结合
详细描述
例题三将向量减法与三角函数、几何 等知识进行了结合，通过具体的例题， 展示了向量减法在实际解题中的应用。 这种结合有助于解决更复杂的问题， 提高数学素养。
向量场的应用
向量场是一种用向量表示物理现象的方法，它可以用于计算机图形学中的很多应 用，例如流体动力学模拟、电磁场模拟等。
04
平面向量减法的例题解析
解析例题一
总结词
熟练掌握平面向量的减法法则
详细描述
例题一通过具体向量减法的运算，展示了平面向量减法的基本步骤和注意事项。首先，需要将两个向量用坐标形 式表示出来，然后，对应坐标相减即可得到结果。注意，向量减法的结果是一个新的向量，其方向与被减向量相 反，而长度等于两个向量的长度之差。
05
平面向量减法法则的总结与回顾
重点回 顾
向量的减法定义
向量减去另一个向量等于向量加上这 个向量的相反向量。
向量减法的运算律
减法满足反交换律、结合律、分配律。
向量的减法运算(教学设计)
6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计类比实数x的相反数对于向量a，你能定义-吗？它有哪些a()-=+-,即减去一a b a b个向量相当于加上这个向量的相反向量.已知向量a和b，教师动手实践理解几何意义a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=ab,即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝ab.因为四边形OACB是平行四边形，所以让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.通过探究让[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？|a+b|＝OC，|ab|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△ABC内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，求作向量b＋c－a.教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号).(2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →；②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用 例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).教师9：展示例题2．学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON →＝－(OM →＋ON →)≠MN →；③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →， 故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂练习1: 掌握作两个向量的差的基本方法．2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →.DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂小结[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( )A.MP →B.NP →C.0D.MN →2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，教师12：提出问题7． 学生13：思考.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.C 2.B 3.AB →4.2师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:。
新课程必修第二册《6.2 平面向量的运算》核心素养教学设计(4课时)
6.2.1 向量的加法运算本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。
本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。
向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。
所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。
A.理解向量加法的意义；B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；C.理解向量的运算律；D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。
1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；2.教学难点：向量加法的运算律。
多媒体一、复习回顾，温故知新1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 【答案】向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的向量。
相等向量：方向相同并且长度相等的向量。
2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向 是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？【答案】向量的大小：有向线段的长度。
向量的方向：有向线段的方向。
零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
二、探索新知思考1：如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，则这个质点的位移怎么表示？【答案】 从运算的角度看， AC 可以认为是AB 与BC 的和，即位移、可以看作向量的加法。
1.已知向量a 和b ，如图在平面内任取一点O ，作b AB a OA ==,，则向量OB 叫做a 和b 的和，记作b a +．即OB AB OA b a =+=+。
求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．【口诀】首尾相连首尾连。
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
平面向量初步向量的减法
立体几何
向量减法可以用来描述空间中点 与点之间的距离和方向，例如计 算两个向量之间的角度或长度。
解析几何
向量减法可以用来描述曲线和曲面 上的点与点之间的距离和方向，例 如计算两个向量之间的角度或长度 。
04 向量减法的实际应用案例
案例一：飞机降落时的修正风向
总结词
向量减法可用于计算飞机在降落时受到的风向影响，帮助飞行员进行精确的 修正。
向量减法的性质
向量减法是向量加 法的逆运算，它们 满足交换律和结合 律。
向量减法满足共线 定理，即当两个向 量共线时，它们的 差为零向量。
向量减法满足反向 性，即两个向量的 差与被减向量的方 向相反。
向量减法的定理及其证明
向量减法的定理
两个向量a和b的差c等于a的起点到b的终点的向量。
向量减法的证明
VS
详细描述
在地图上，两点之间的最短路径通常是通 过计算各个方向上的距离来实现的。通过 使用向量减法，可以将两个点在地图上的 坐标向量相减，得到两个点之间的距离向 量，进而计算出最短路径。这种方法在导 航系统和地图应用中被广泛应用，为人们 提供便捷的最优路线规划和导航服务。
05 向量减法的进一步研究建 议
根据向量的定义和几何意义，我们可以得出两个向量的差等 于以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的 向量。
03 向量减法在物理和几何中 的应用
在物理中的应用
运动学
向量减法可以用来描述物体的 相对速度和加速度，例如在汽 车追赶问题中，可以通过计算 两车速度的差值来预测两车之
间的距离变化。
力学
《平面向量初步向量的减法》
2023-10-27
目录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质和定理 • 向量减法在物理和几何中的应用 • 向量减法的实际应用案例 • 向量减法的进一步研究建议
高中数学-平面向量的减法
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
例3：如图平行四边形ABCD, AB a,
DA b,OC c, 证明：b c a OA
D
C
b
c
O
A
B
a
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BDCD
解:原式 CB BDCD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
知识小结
1、理解向量减法的定义 2、掌握向量减法的三角形法则并能加以运用
思想方法小结
D
b, 使它们起点相同，那么
b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1在平面内任取一点O A
2作OA a,OB b
3则向量BA a b
.a
O
ab
B
b
注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2、减向量的终点指向被减向量的终点
数学高中向量的减法教案
数学高中向量的减法教案
教学重点与难点：向量的减法运算规则，向量的减法计算。
教学准备：教材、教具、黑板、粉笔。
教学过程：
一、导入新课（5分钟）
教师向学生简单介绍向量的减法概念，并通过例题引出向量的减法规则。
二、示范与讲解（10分钟）
1. 向量的减法规则：将被减向量取相反向量，再进行加法运算。
2. 用具体的例子进行详细讲解，让学生理解向量的减法运算规则。
三、练习与巩固（15分钟）
1. 让学生做一些简单的向量减法计算练习题，巩固所学的知识。
2. 教师及时纠正学生的错误，指导学生正确解题。
四、课堂小结（5分钟）
通过本节课的学习，让学生总结向量的减法规则，再次强调向量减法的步骤。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：
本节课主要围绕向量的减法运算展开，通过示范、讲解、练习等多种方式，让学生掌握向量的减法规则。
在教学过程中，要注意引导学生理解向量减法的意义，避免简单地机械运算，鼓励学生多思考多实践，提高数学思维能力。
第六章 平面向量初步6.1.3向量的减法 (课件)
【解析】如图，令 OA =a，OB =b，则| BA|=|a-b|。以OA与
OB为邻边作平行四边形OACB，则| OC |=|a+b|。由于
（
7+1）2+（
7 -1）2=42。 故
2
2
2
OA OB ＝ BA
，所以
△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所
以平行四边形OACB是矩形。根据矩形的对角线相等有
【素养小测】 1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”） （1）两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指 向第二个向量的终点。（ ） （2）向量a-b当它们起点重合时可以看作从向量b的终 点指向向量a的终点的向量。（ ）
（3）相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反 向量。（ ） （4）向量 AB 与向量 BA 是相反向量。（ ）
【解析】由 BC＝BA AC 及三角不等式，得 BA － AC BA AC BA AC ，又因为 BA ＝ AB =8，所以3≤| BC|= | BC |≤13，即| BA AC |∈[3，13]。 答案：[3，13]
【习练·破】 化简下列各式：
1 AB MB OB MO .?
其中结果为零向量的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.（2019·临沂高一检测）设点M是线段BC的中点，点A在
直线BC外， BC 2＝16，AB AC ＝| AB－AC |则，| AM |=（ ）
A.8
B.4
C.2
D.1
【思维·引】利用三角形法则或平行四边形法则求解。
【解析】1.选D。① AB BC CA AC CA =0；② AB AC BD CD CB BD CD CD CD=0；③ OA OD AD DA AD=0；④ NO OP MN MP NP PN=0。 2.选C。由 AB AC AB AC 可知， AB与AC 垂直，故 △ABC为直角三角形，| AM |即斜边BC的中线，所以 | AM|=2。
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巩固记忆
向量的减法是在负向量的基础上，通过 向量的加法来定义的.即 a-b=a+(-b)，它可以通 过几何作图的方法得到，即 a-b 可表示为从向 量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.作向量 减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 三、推理减法运算
与数的运算相类似，可以将向量 a 与向
理解减法意义
a b
（ 1）
O
b
a
A
（ 2）
B
讲解并要求学生 会做向量减法图
解 如图 7－14（2）所示，以平面上任 uuur uuur
一点 O 为起点，作 OA =a， OB =b，连接 BA，
uuur 则向量 BA 为所求的差向量，即
uuur BA = a－b
．
五、运用知识 强化练习 uuur uuur
1.填空：（1） AB AD =_______________，
uuur uuur （2） BC BA =______________，
uuur uuur （3） OD OA =______________．
20 分钟 5 分钟
2．如图，在平
行四边形
ABCD 中 ， 设
uuur
uuur
AB = a, AD =
uuur uuur uuur b，试用 a, b 表示向量 AC 、 BD 、 DB
六、做书上的练习题 六、作业布置
P38 4
5 分钟 5 分钟
教案首页
教学对象
2015 秋材料班
教学内容
平面向量的减法
教学目的
知识 向量的加减运算原理
授课日期
计划学时
2
技能
态度
正确掌握向量的加法 认真态度，严谨 运算与减法运算，掌 握作图方法
教学重点 与难点
1.理解向量减法的作图过程和方法
教学资源
教学步骤与内容
一、复习导入新课
教学活动流程 教学目标
复习平面向量的加法运算 二、平面向量的减法原理
10 分钟
．
uuur uuur uuur
即
OA OB 个向量
a、 b，其差 a－b 仍然是一个向量，叫做 a 与 b 的差向量，其起点是减向量 b 的终点， 终点是被减向量 a 的终点．
a-b
A
B
b
a
O
四、引入例子 例 5 已知如图 7－14（1）所示向量 a 、 b ，请画出向量 a－b．
量 b 的负向量的和定义为向量 a 与向量 b 的
差．即
a b = a＋(b)．
uuur
uuur
设 a =OA ，b OB ，则
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA OB OA (OB)= OA BO BO OA BA
教学方法及教具 时间 提问 认真讲解