平面向量的减法

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平面向量初步向量的减法

长度。
立体几何
向量减法可以用来描述空间中点与点之间的距离和方向，例如计算两个向量之间的角度或长度。
解析几何
向量减法可以用来描述曲线和曲面上的点与点之间的距离和方向，例如计算两个向量之间的角度或长度。
04 向量减法的实际应用案例
案例一：飞机降落时的修正风向
总结词
向量减法可用于计算飞机在降落时受到的风向影响，帮助飞行员进行精确的修正。
向量减法的性质
向量减法是向量加法的逆运算，它们满足交换律和结合律。
向量减法满足共线定理，即当两个向量共线时，它们的差为零向量。
向量减法满足反向性，即两个向量的差与被减向量的方向相反。
向量减法的定理及其证明
向量减法的定理
两个向量a和b的差c等于a的起点到b的终点的向量。
向量减法的证明
VS
详细描述
在地图上，两点之间的最短路径通常是通过计算各个方向上的距离来实现的。通过使用向量减法，可以将两个点在地图上的坐标向量相减，得到两个点之间的距离向量，进而计算出最短路径。这种方法在导航系统和地图应用中被广泛应用，为人们提供便捷的最优路线规划和导航服务。
05 向量减法的进一步研究建议
根据向量的定义和几何意义，我们可以得出两个向量的差等于以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量。
03 向量减法在物理和几何中的应用
在物理中的应用
运动学
向量减法可以用来描述物体的相对速度和加速度，例如在汽车追赶问题中，可以通过计算两车速度的差值来预测两车之
间的距离变化。
力学
《平面向量初步向量的减法》
2023-10-27
目录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质和定理 • 向量减法在物理和几何中的应用 • 向量减法的实际应用案例 • 向量减法的进一步研究建议

高中数学-平面向量的减法

化归思想，分类讨论思想与数形结合思想
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
例3：如图平行四边形ABCD, AB a,
DA b,OC c, 证明：b c a OA
D
C
b
c
O
A
B
a
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BDCD
解:原式 CB BDCD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
知识小结
1、理解向量减法的定义 2、掌握向量减法的三角形法则并能加以运用
思想方法小结
D
b, 使它们起点相同，那么
b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1在平面内任取一点O A
2作OA a,OB b
3则向量BA a b
.a
O
ab
B
b
注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2、减向量的终点指向被减向量的终点

平面向量的基本运算总结

平面向量的基本运算总结平面向量是指在平面内具有大小和方向的量。

在数学和物理学中，平面向量的运算是十分重要的。

本文将对平面向量的基本运算进行总结，包括向量的加法、减法、数乘以及数量积等。

1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。

向量的加法满足以下几个性质：- 交换律：A + B = B + A- 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)- 零向量：对于任意向量 A，有 A + 0 = A2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即 A - B = A + (-B)。

3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

向量的数乘满足以下性质：- 结合律：k(A + B) = kA + kB- 分配律：(k + l)A = kA + lA- 分配律：k(lA) = (kl)A- 数乘零向量：0A = 04. 数量积数量积（也称为点积或内积）是向量的一种运算，结果为一个实数。

数量积可以通过向量的坐标表示为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模，θ 表示两个向量之间的夹角。

数量积满足以下性质：- 交换律：A·B = B·A- 分配律：A·(B + C) = A·B + A·C- 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)5. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。

向量的模记作 |A|。

单位向量是指模为 1 的向量。

可以通过将向量除以其模来得到单位向量，即 u = A/|A|。

6. 运算实例以下是一些平面向量运算的实例：- 已知向量 A = (3, 4)，B = (-2, 1)，求 A + B。

平面向量的加法减法与数乘运算课件

数乘的运算性质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的合成，例如两个力的向量和可以表示为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示电磁场中的向量，例如电场强度和磁场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量概念，通过向量加法可以计算出物体在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数乘运算的几何意义
REPORTING
平面向量的几何意义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终点为线段的终点
向量的长度和方向

平面向量的加法与减法

平面向量的加法与减法在平面向量的运算中，加法和减法是两个基本且重要的运算操作。

通过合适的方法进行向量相加或相减，可以获得新的向量，进而帮助我们解决实际问题和优化计算过程。

本文将重点探讨平面向量的加法和减法，并介绍它们的性质和运算规则。

一、向量的表示平面上的向量可以用有序数对表示，我们通常以大写字母加箭头（→）来表示向量，例如向量A可以表示为A→ = (x,y)。

其中，x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。

向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：对于任意向量A和B，有A + B = B + A。

2. 结合律：对于任意向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 零向量：零向量的表示为O→ = (0,0)，对于任意向量A，有A +O→ = A。

根据以上性质，我们可以通过向量的对应分量相加的方式来进行向量的加法运算。

例如，向量A→ = (x1,y1)和向量B→ = (x2,y2)，它们的和A→ + B→ = (x1+x2,y1+y2)。

三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

向量的减法同样满足交换律和结合律，减法的规则可以通过相应的加法来表示。

对于向量A和向量B，向量的减法可以表示为A→ - B→ = A→ + (-B→)，其中-A→表示向量B→的反向量。

向量的反向量的表示为-A→ = (-x,-y)，即将向量的每个分量取反。

根据向量的加法运算规则，我们可以将向量的减法转化为相应的加法运算。

例如，向量A→ = (x1,y1)和向量B→ = (x2,y2)，它们的差A→ - B→ = A→ + (-B→) = (x1,y1) + (-x2,-y2) = (x1-x2,y1-y2)。

四、几何意义向量的加法和减法在平面几何中具有重要的几何意义。

对于向量的加法，可以将两个向量的起点放在同一个位置，然后将终点相连，所得的新向量即为其和向量。

平面向量基本公式大全

平面向量基本公式大全平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述两个方向和大小都有所限定的量。

平面向量有很多重要的基本公式，这些公式在数学和物理学中都有广泛的应用。

下面就来介绍一下平面向量的基本公式。

1、平面向量的模长公式平面向量的模长（也叫长度）是平面向量的重要特性之一，表示向量在平面上的长度。

平面向量的模长公式为：AB，=√(某2-某1)2+(y2-y1)2其中，A(某1,y1)和B(某2,y2)表示向量AB的起点和终点坐标。

2、平面向量的加法和减法公式平面向量的加法和减法公式是指两个向量相加或相减的规则。

其公式为：A+B=(A某+B某,Ay+By)A-B=(A某-B某,Ay-By)其中，A、B分别表示两个向量，A某、Ay、B某、By分别表示两个向量在某轴和y轴上的分量。

3、平面向量的数量积公式数量积是向量中另一个重要的特性，用于描述两个向量之间的夹角。

平面向量的数量积公式为：A·B=，A，B，cosθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

4、平面向量的叉积公式叉积也是向量中的一种运算，用于计算两个向量所在平面的法向量，常用于计算力矩和面积等。

平面向量的叉积公式为：A某B=，A，B，sinθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

5、平面向量的坐标表示对于向量AB，在平面直角坐标系中，可以用一个有序数组(某,y)表示其坐标。

例如A(1,2)和B(3,4)，则向量AB可以表示为(2,2)。

6、平面向量的方向角公式平面向量的方向角指向量与正方向某轴之间的夹角，其公式为：θ=tan-1(y/某)其中，某、y分别表示向量的某轴和y轴分量。

7、平面向量的正交公式两个向量如果互相垂直，则称它们是正交的。

平面向量的正交公式为：A·B=0其中，A、B分别表示两个向量，·表示数量积运算。

总之，平面向量的基本公式是理解和应用平面向量的关键。

第33课平面向量的减法

第四单元4.2.2《平面向量的减法》教案一、创设情境激发兴趣问题：我们知道，两个实数可以进行加减法运算.向量的加法已经学过了，那么两个向量的减法是怎么进行的呢?分析：我们把与向量a长度相等且方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，记作-a. 其中a和-a互为相反向量.则有：(1)-(-a )= a .(2)任一向量与其相反向量的和是零向量 , 即 a+(−a)=(−a)+a=0.(3)若a，b互为相反向量 , 那么a = -b，b = - a，a + b= 0.规定：零向量的相反向量还是零向量.a加上b的相反向量叫作a与b的差 ,即a+（-b）= a -b= 0.求两个向量差的运算，叫向量的减法.二、自主探究讲授新知如图 4-18，CB=b，根据相反向量的定义有：CB BC-== - b，则()AB CB AB BC AB CB-=+=+-.可见，在向量减法运算中类似结论依然成立.图 4-18由上述分析，可得结论：在向量运算中，减一个向量等于加上这个向量的相反向量.把求两个向量差的运算，叫作向量的减法，即a -b= a+（-b）.问题1：如何求两个非零向量的差向量呢？了解观看课件思考自我分析思考理解记忆类比实数的加减法运算，使学生自然理解知识点，激发学生学习兴趣带领学生分析引导式启发学生得出结果带领学生总结加深理解1.不共线的两个非零向量a 与b 的减法：作法：如图4-19，在平面上任取一点A ，依次作AB = a ，BC =-b ，因为 a -b= a +（-b ），对向量 a 与（-b ）使用向量加法的三角形法则，得 a -b= a +（-b ）=AB +BC =AC .2. 共线的两个非零向量的减法：当非零向量a 与b 共线时 , 在平面上任取一点A ，首尾相接作AB = a ，BC =-b ，同样可得 a -b= a +(-b ) =AB +BC =AC .情形一：a 与 b 方向相同，如图 4-20：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b 情形二：a 与 b 方向相反，如图 4-21：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b .理解记忆思考辨析思考归纳引导启发学生思考仔细分析关键词语 “首尾相接“ 进一步理解加深记忆第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路三、典型例题巩固知识例 1如图4-22(1) , 已知向量a，b，求作向量a-b，并指出其几何意义.解：如图 4-22(2)所示，以平面上任一点A为起点，作AB= a，AD=b，BC=-b，由向量减法的定义可知 ,AC=a+(-b)=a-b .连接AC,则向量AC即为所求的差向量.又因为AD+DB=AB，即b+DB=a ，所以DB=a-b .因此，向量减法的几何意义是：a-b表示把a与b平移到同一起点后 , 向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.例2填空：（1）AB AD-=_____________ ；（2）BC BA-=_____________ ；（3）OD OA-=_____________ .解：根据向量减法的定义，减一个向量等于加上它观察思考主动求解小组讨论交流通过例题领会帮助学生更好理解掌握知识点通过例题进一步领会的相反向量，可知，（1）AB AD -=+AB AD -（）=+AB DA DA AB DB =+=；（2）BC BA -=+BC BA -（）=+BC AB AB BC AC =+=；（3）OD OA -=+OD OA -（）=+OD AO AO OD AD +==.思考：当向量a 与b 不共线时，把和向量a+b 与差向量 a -b 作在一个图上，可以得出什么结论?方法提炼：向量减法作图的两种常用方法： 1. 定义法.向量 a 与 b 的差，即是向量 a 加上向量 b 的相反向量，即 a -b = a +(-b ).此时向量a 与向量-b 依然遵循“首尾相接，由始至终”的向量加法口诀.作法如图4-23所示：2. 几何意义法.如图 4-24，把向量a 与向量b 平移到同一起点后，向量b 的终点指向向量a 的终点的向量就是 a -b .即“同一起点，减指被减”.(减向量指向被减向量)思考归纳理解记忆观察思考主动求解归纳领会掌握观察学生是否理解知识点及时了解学生知识掌握的情况强化思想及时练习巩固所学知识四、随堂练习强化运用 1.填空.(1)AB AD -=_____________；(2)BA BC -=_____________； (3)BC BA -=_____________；(4)OA OB -=_____________； (5)OD OA -=_____________.2.已知下列各组向量a ，b ，求作 a +b 和 a -b .3.根据图形填空.(1)OA OB -=_____________； (2)OC OA -=_____________ . 五、课堂小结归纳提高1. 向量减法的定义及几何意义.2. 向量减法的运算法则：三角形法则.3. 向量减法作图的两种常用方法. 六、布置作业拓展延伸1.分层作业：（必做）习题4.2.2水平一；（选做）水平二2.读书部分：教材观察思考领会掌握主动求解归纳总结记录检验学生学习效果关注学生练习中的错误使得学生在总结中提高分层次要求教学反思根据教师上课实际情况，课后填写：学生知识、技能的掌握情况、情感态度、思维情况、学生合作交流的情况，及时总结反思。

平面向量的加法和减法运算

交换律：向量加法满足交换律，即a+b=b+a
向量加法的几何意义：表示平行四边形的对角线
向量加法的代数表示：表示两个向量的坐标之和
结合律：向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)
02
平面向量的减法运算
向量减法的定义
向量减法满足三角形法则，即任意两个向量的差等于第三个向量加上与第三个向量共线的向量
在物理中的应用
力的合成与分解
电磁学中的洛伦兹力
速度与加速度的合成与分解
力的平衡与扭矩
在解析几何中的应用
平面向量加法和减法在解析几何中用于表示点的移动和变化
平面向量加法和减法可以用于表示和解决一些几何变换问题，如平移、旋转等
平面向量加法和减法可以用于解决解析几何中的一些问题，如求交点、求轨迹等
平面向量加法和减法可以用于计算两点之间的距离和方向
在日常生活中的应用
物理中的向量加法和减法：解释力和运动的合成与分解
经济学中的成本和收益分析：通过向量加法和减法进行优化
地理学中的风向和风速测量：利用向量加法和减法计算风向角和风速大小
生物学中的遗传和变异研究：通过向量加法和减法分析基因型和表现型之间的关系
汇报人：XX
感谢观看
向量减法可以表示为连接起点和终点的有向线段
向量减法的结果与减数的方向有关
向量减法的运算律
பைடு நூலகம்
向量减法满足结合律：a-b-c=a-(b+c)
向量减法满足数乘分配律：λ(a-b)=λa-λb
向量减法满足向量的模运算律：|a-b|≤|a|+|b|
向量减法满足交换律：a-b=-b+a
03

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CB a b
练习：1. 计算：解：11AABBAADDBBDD
（1）AB AD BD
ADBBDBAD BD
（2）NQ QP MN MP A0B BD DA
（3）AB BC AD CE 0
（4）AB EC EB AD
22.9(1) 平面向量的减法
复习
几个向量相加的多边形法则
①将这几个向量顺次首尾相接
②和向量是以第一个向量的起点为起点; 最后一个向量的终点为终点的向量
首尾相接首尾连
F AB + BC+ CD+ DE+ EF = AF
E D C
A
B
新授平面向量的减法
b x a
b
C x
x a b
A
解：（3）错
AB EA BE AB AE BE AB BE AE
AE AE 2AE
练习：已知a，b，c，求作：
（1）(a+b)−c
a
（2）a−(b−c)
有括号先去括号，减法转化为加法
b c
册57/5
解：（1）OR、PK即为所求作的向量；（2）OP OQ QP，QP即为所求作的OP OQ；（3）OQ OK KQ，KQ即为所求作的OQ OK.
−b
A
C
a
a
ObB
例1 已知AD是△ABC的中线，试用向量AB、AC、AD表示向量BD和DC
A
方法一二
从向量减加法的角度考虑
B
DC
解解：BDBD的B起A点 A和D终点分AB别是AADB与AD的终点， DC而ADB与AADA共C起点，AD AC
BD AD AB 同理可得DC AC AD
先计算再作图!!!
R K
类比得知新
减法是已知两个数的和，及其中一个数，求另一个数的运算减法是加法的逆运算
已知两个向量的和，及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法
向量的减法是向量的加法的逆运算
解：3432AAANBBBQBBECCCQPAAEDDBM CCANEED MP AAANNBBBBQQBEAACCQDQDPPDBABECM CM CDNCEAENEBPM P
DDDNABABPQBABAEPBCQBNPBBCEPM CEEC MN
a
定义：如果 b x a ，那么 x 叫做向量 a 与向量b 的差向量，这时 a 是被减向量，
b 是减向量。
如图，写出一个向量的加法算式 C aB
bc
b
Oa A
A
注意：差向量将两
a
个相减的向量终点
O
b
B
联结，方向指向被减的向量
①在平两面个内向任量取有一公点共，以起这点点. 为公共点分别作出与 ②已以知减差向向向量量量相的是等终以的点减两为向个起向点量量，的，被终那减点么向为它量起们的点的终差点，向为被量终减是点向量的向的量终。点为终点的向量
AO 1 AC 1 (a b)
2
2
BO 1 BD 1 (a b)
2
2
例3 如图，已知向量 a，b ，c ，求作：（1）a – b + c （2）a – b – c Ac C
a
O
bB
例3 如图，已知向量 a，b ，c ，求作：（1）a – b + c （2）a – b – c
例2 如图，已知平行四边形ABCD的对角线 AC 与BD相交于点O，设 AB a, AD b ，用 a 、b
表示下列向量：BD, AC, AO,BO 。
解：BD BA AD
D
C
b
AB AD a b
O
Aa
B
AC AB BC AB பைடு நூலகம் AD a b
DDD0EEC
练习：2. 判断下列等式是否正确？如果错误，
请改正：
解：（1）错
（1）AB CB CA AB CB AB BC AC
（2）AB BC EC AE
（3）AB EA BE 0
解：（2）对
AB BC EC AB BC CE AE
D cE -b A a
O
例3 如图，已知向量 a，b ，c ，求作：（1）a – b + c （2）a – b – c
C -c B -b A a
O
向量的减法
•特殊情况
两个向量平行
注意：差向量将两个相减的向量终点联结，方向指向被减的向量
1. 同向
a
b
2. 反向
a
b
ab
AC
B
ab
B
AC
CB a b