圆锥曲线和导数
圆锥曲线的导数知识点总结
圆锥曲线的导数知识点总结在微积分中，导数是一个非常重要的概念。
导数可以用来描述曲线在某一点的斜率，以及曲线在该点的变化率。
在这篇文章中，我们将讨论圆锥曲线的导数，并总结相关的知识点。
圆锥曲线是指由一个平面直线在一个固定的点上旋转而成的曲线。
常见的圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
在这篇文章中，我们将讨论这些不同类型的圆锥曲线的导数，并总结它们的特点。
首先，让我们来看看圆的导数。
圆的方程可以表示为 x^2 + y^2 = r^2，其中 r 表示圆的半径。
我们可以使用隐式求导法来求得圆在任意点的导数。
首先，我们对方程两边同时对 x求导，得到 2x + 2y(dy/dx) = 0。
然后，解出 dy/dx，得到 dy/dx = -x/y。
这就是圆在任意点的导数公式。
从这个式子中我们可以看出，圆的导数是一个关于 x 和 y 的函数，它随着坐标点的不同而不同。
接下来，让我们来看看椭圆的导数。
椭圆的一般方程可以表示为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
我们可以使用同样的方法来求得椭圆在任意点的导数。
首先，对方程两边分别对 x 和 y 求导，得到 2x/a^2 + 2y/b^2(dy/dx) = 0。
然后，解出 dy/dx，得到 dy/dx = -x(a^2/b^2)/y。
和圆一样，椭圆的导数也是一个关于 x 和 y 的函数，它随着坐标点的不同而不同。
抛物线是另一种常见的圆锥曲线。
对于一般的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，我们可以使用求导法则来求得抛物线在任意点的导数。
对 y 关于 x 求导，得到 dy/dx = 2ax + b。
可以看出，抛物线的导数是一个关于 x 的线性函数。
这意味着抛物线在每个点的导数都是一条直线，斜率由抛物线的二次项系数 a 决定。
最后，让我们来看看双曲线的导数。
对于一般的双曲线方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，我们可以使用同样的方法来求得双曲线在任意点的导数。
高二圆锥曲线及导数
命题人：湖南师大附中高二数学备课组 (考试范围：选修1－1第2－3章)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是（ ）A ．(0，－2)B ．(0,2)C ．(2,0)D ．(－2,0)2．θ是第三象限角，方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是（ ） A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆3．设椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 在椭圆上.若椭圆的离心率为12，△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的标准方程是（ ）A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 23＋y 24＝1D ．x 212＋y 216＝14．函数y ＝x ln x 在(0,5)上是（ ） A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上单调递减 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上单调递增 5．若双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±24xD ．y ＝±28x6．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为（ ） A ．a ≥3 B ．a >3 C ．a ≤3 D ．a <37．已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是 A ．x 1>x 2 B ．x 1<x 2 C ．x 1＋x 2>0 D ．x 1＋x 2<08．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9．若双曲线x 216－y 29＝1右支．．上一点P 到右焦点的距离为8，则点P 到左焦点的距离是 . 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .11．设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为 .12．如果函数f(x)＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是 .13．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是 .14．若要做一个容积为108的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为 时，材料最省.15．已知命题p ：方程x 2m ＋y 2m －2＝1表示的曲线为椭圆；命题q ：方程x 2m －1＋y 2m －3＝1表示的曲线为双曲线；若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题12分)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积.17．(本小题满分12分)定义在R 上的函数f (x )＝13x 3＋cx ＋3 ，f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直.（1）求函数y ＝f (x )的解析式；（2）设g (x )＝4ln x －f ′(x )，求g (x )的极值.18．(本小题12分)经过点F (0,1)且与直线y ＝－1相切的动圆的圆心轨迹为M .点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，D (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)， C (x 2，y 2)，－x 0<x 1<x 0<x 2 ，直线BC 平行于轨迹M 在点D 处的切线。
导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２８数学学习与研究㊀２０２２ ２导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用Һ吴玉辉㊀（福建省永定第一中学，福建㊀龙岩㊀３６４１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在高中数学课本中，导数是核心知识点之一，并在求圆锥曲线参数方程中得到了很好的运用．导数加入高中数学体系后，使高中数学的知识体系得到了极大的延展，也为一些比较难的数学问题提供了一种新的解题思路．基于此，本文将通过具体例题来说明导数在圆锥曲线参数方程问题中的一些应用策略．ʌ关键词ɔ导数；圆锥曲线；应用ʌ基金项目ɔ本文系福建省教育科学 十三五 规划２０２０年度课题 大数据驱动的高中生数学学习监控与精准干预行动研究 （课题编号：ＦＪＪＫＸＢ２０－７９０）系列论文之一．导数是高中数学过渡到高等数学的重要工具，学好导数可以让学生步入大学时能够有一个良好的开端．目前，在高中数学的解题中，导数的概念得到了极大的完善和运用．因此，笔者将着重研究如何在解决圆锥曲线参数方程问题的过程中应用导数．一㊁导数与圆锥曲线的概念１．导数定义导数（Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ），也称为导函数值，是微积分中一个重要的基本概念．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的自变量ｘ在点ｘ０处产生增量Δｘ，当Δｘ接近０时，函数输出值的增量Δｙ与自变量的增量Δｘ的比值在Δｘ趋于０时的极限ａ若存在，则ａ是函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处的导数，记作ｆᶄ（ｘ０）或ｄｆ（ｘ０）ｄｘ．对于可导的函数ｆ（ｘ），ｘңｆᶄ（ｘ）也是一个函数，称为ｆ（ｘ）的导数．在某个点上找到已知函数的导数或其导函数的过程称为求导．实际上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来自极限的四则运算法则．已知的导数也可以被逆转，从而找到原始函数，即不定积分．２．导数性质单调性：①若导数大于零，则单调增加；若导数小于零，则单调递减；若导数等于零，则为函数驻点，但不一定是极值点，需要代入驻点左右两侧的值以找到正负导数才能确定单调性．②若已知函数是一个递增函数，则其导数大于或等于零；若已知函数是一个递减函数，则其导数小于或等于零．根据导数的基本定理，对于可导函数，有如下定义：若函数的导数在某个区间中始终大于零（或始终小于零），则函数在该区间中单调递增（或单调递减），此区间称为函数的单调区间．其中，函数的驻点定义为导数等于零的点．在这些点上，函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）．进一步判断则需要知道导数在驻点附近的符号．ｘ改变时，函数图象的切线也会发生改变，其中，切线的斜率为对应的导数值．进一步介绍一下函数的凹凸性：若函数的导数在某个区间内单调递增，则该区间上的函数图象向下凹，否则上凸．如果函数存在二阶导数，也可以通过其正负性来判断，如果在一区间内始终大于零，则该区间内的函数向下凹，否则上凸．３．圆锥曲线定义圆锥曲线是平面截二次锥面获得的曲线，包括椭圆（圆为椭圆的特例）㊁抛物线和双曲线．对圆锥曲线的研究始于２０００多年前的古希腊．４．圆锥曲线定理圆锥曲线又叫二次曲线，通过直角坐标系可与二次方程相对应，并由此衍生出很多大家熟知的曲面，如圆柱㊁椭球面㊁单叶和双叶曲面等，这些都证明了圆锥曲线最具代表性的特征便是 焦点 准线 ．帕普斯定理的详细定义如下：圆锥曲线上一点的焦距长度等于从该点到相应方向的距离乘偏心率．帕斯卡定理的详细定义如下：圆锥曲线的内接六边形，如果相对的边不平行，则该六边形的对边的延长线的交点是共线的（这也适用于降级的情况）．布里昂雄（Ｂｒｉａｎｃｈｏｎ）定理的详细定义如下：圆锥曲线的外切六边形在同一点有三条对角线．当德兰（Ｄａｎｄｅｌｉｎ）得出的冰激凌定理的结论如下：圆锥曲线几何定义与焦点 准线定义具有等价性．如图１，若将圆锥的顶点设为Ｑ，则有一平面πᶄ与其相截可以得到圆锥曲线，作球与平面πᶄ及圆锥体相切，当曲线为椭圆或双曲线时，平面与球有两个切点，而抛物线只有一个，也就说明了切点就是焦点．若球与圆锥之交为椭圆，可设此椭圆所在平面π与πᶄ之交为直线ｄ，则ｄ是准线．图１㊀㊀㊀图２虽然该图仅画出一个椭圆，但证明方法适用于抛物线和双曲线．也就是说，任何一个切点都可以是焦点，ｄ为All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２９㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２准线．证明：假设Ｐ是曲线上的一个点，如图２所示，连接ＰＱ与圆Ｏ交于Ｅ，设球与平面πᶄ的切点为Ｆ，令平面πᶄ和π之间的交角为α，圆锥的母线与平面π的交角为β．设Ｐ到平面π的垂足为Ｈ，从Ｈ到直线ｄ的垂足为Ｒ，则ＰＲ为从Ｐ到ｄ的垂线，又øＰＲＨ＝α，其中，由于ＰＥ和ＰＦ都是球体的切线，所以ＰＥ＝ＰＦ．因此有ＰＲ㊃ｓｉｎα＝ＰＥ㊃ｓｉｎβ＝ＰＦ㊃ｓｉｎβ＝ＰＨ，其中ＰＦＰＲ＝ｓｉｎαｓｉｎβ为常数．二㊁用导数方法求圆锥曲线的切线方程的引理论证目前，大多教师仍然采用传统的解题思路进行圆锥曲线问题的求解，导致在当前的高中数学教学中，导数并没有被实际运用到对圆锥曲线问题的求解中．例如在求直线和圆锥曲线结合的题目时，虽然利用导数方法可以更加简单清晰地进行解题，但是教师普遍会教导学生按照传统解题思路进行解题．传统解决方案比较麻烦，尤其是包含参数时．因此，我们可以将圆锥部分划分为 几个函数 以进行单独讨论，以便学生使用导数方法找到曲线的切线．本文将使用导数方法来证明圆锥曲线的一些性质．（一）引理一过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上的任意一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）作该椭圆的切线，则切线方程可以表示为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．证明㊀先考虑ｙ＞０的情形：当ｙ＞０时，ｙ＝ｂａａ２－ｘ２，ｙᶄ＝－ｂｘａａ２－ｘ２，ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂｘ０ａａ２－ｘ２０．而ｙ０＝ｂａａ２－ｘ２０，ʑａ２－ｘ２０＝ａｙ０ｂ，ʑｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，为椭圆过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线ｌ的斜率，ʑ切线ｌ：ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），化简得ｂ２ｘ０ｘ＋ａ２ｙ０ｙ＝ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０，两边同时除以ａ２ｂ２得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２，即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．当ｙ＜０时，ｙ＝－ｂａａ２－ｘ２，同理可得其过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．点Ｐ在（ａ，０）或（－ａ，０）处时，其切线方程为ｘ＝ａ或ｘ＝－ａ，以上结论仍然成立，从而引理一得证．（二）引理二过双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上的任意一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程可以表示为ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．证明㊀先考虑ｙ＞０的情形，当ｙ＞０时，ｙ＝ｂａｘ２－ａ２，ｙᶄ＝ｂｘａｘ２－ａ２，ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝ｂｘ０ａｘ２０－ａ２．而ｙ０＝ｂａｘ２０－ａ２，ʑｘ２０－ａ２＝ａｙ０ｂ，ʑｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，为双曲线过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线的斜率．ʑ切线方程为ｙ－ｙ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），整理得ｂ２ｘ０ｘ－ａ２ｙ０ｙ＝ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０，进而有ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２，即ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．当ｙ＜０时，ｙ＝－ｂａｘ２－ａ２，其过点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程仍为ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．点Ｐ在（ａ，０）或（－ａ，０）处时，其切线方程为ｘ＝ａ或ｘ＝－ａ，以上结论仍然成立，从而引理二成立．同理，对于焦点在ｙ轴上的椭圆和双曲线，可以使用类似的推理方式得到相同的结论．（三）引理三过圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上的一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．上述公式在高中课本中已进行推导，因此本文中将不进行具体阐述，而且本公式也可以通过导数进行推导．定理：对于二次方程：αｘ２＋βｙ２＝γ（αβγʂ０，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设曲线上任意一点为Ｐ（ｘ０，ｙ０），那么过点Ｐ且与已知曲线相切的直线方程为αｘ０ｘ＋βｙ０ｙ＝γ．由图象平移法则，很容易得到一个更一般的结论．推论：对于二次方程α（ｘ－ｈ）２＋β（ｙ－ｋ）２＝γ（αβγʂ０，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设其上任意一点为Ｐ（ｘ０，ｙ０），那么过点Ｐ且与已知曲线相切的直线方程为α（ｘ０－ｈ）（ｘ－ｈ）＋β（ｙ０－ｋ）（ｙ－ｋ）＝γ．解决切线方程问题是导数的重要应用．圆锥截面通常不是功能性图形，因此教师通常不使用导数解决圆锥截面的切线问题，而使用传统的方法来查找由直线和圆锥截面方程组成的方程组的解，但是这种方法比较麻烦，尤其对于参数而言，计算量很大．因此，应将圆锥部分划分为 几个函数 以单独讨论．三㊁导数在圆锥曲线方程中的实际应用（一）利用导数求圆锥曲线的切线方程例１㊀求过抛物线ｙ＝ｘ２上的点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程．All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３０数学学习与研究㊀２０２２ ２解㊀（１）当ｙȡ０时，ｙ＝ｘ，ｙᶄ＝１２ｘ，故切线的斜率为１２ｘ０，ʑ所求的切线方程为ｙ－ｙ０＝１２ｘ０（ｘ－ｘ０）．ȵｙ０＝ｘ０，ʑ切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．（２）当ｙɤ０时，ｙ＝－ｘ，ｙᶄ＝－１２ｘ，故切线的斜率为－１２ｘ０，ʑ所求的切线方程为ｙ－ｙ０＝－１２ｘ０（ｘ－ｘ０）．ȵｙ０＝－ｘ０，ʑ切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．综上可得所求的切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．（二）利用导数求含参数的圆锥曲线的切线方程例２㊀设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上的点，求过该点的切线方程．解㊀对ｘ求导，得２ｘａ２＋２ｙｙᶄｂ２＝０，得ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，由点斜式得切线方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１，即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．例３㊀设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上的点，求过该点的切线方程．解㊀对ｘ求导，得ｙᶄ＝ｂｘａｘ２－ａ２，得ｙᶄｘ＝ｘ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，由点斜式得切线方程为ｙ－ｙ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），化简得ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２＝１，即ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．四㊁利用导数求解圆锥曲线问题的方法与注意事项（一）利用导数求解圆锥曲线问题的方法学生在求解圆锥曲线问题时，需要有一定的创新思维能力．在传统的教学模式中，学生一般都先自学，然后对同一类型的多类题进行大量训练，从而提高成绩．但是考虑到学生的学习状况，教师应该兼顾学生的学习特点和学习效率，通过加强典型案例的培训方式，培养学生的创新思维能力，加强学生运用数字和组合图形的能力，提高他们对数学知识的掌握水平与对数学题型的理解能力．传统的教学方式过于单调乏味，无法因材施教．教师的教学方法应注重人性化，在教学过程中，教师的教学进度要以学生为中心，避免使用题海战术．在数学解题过程中，不仅要有创新思维，还要有与之相伴的探索性思维．这对学生来说有一定的难度，对学生的综合学习能力提出了更高的要求．高中生如果能够在实际解决问题的过程中进行探索性思考，那么就能不断提高自身解决问题的能力．在高中阶段的数学科目中，对圆锥曲线参数方程问题的求解，单一理论求解的形式较少，大多都复杂而广泛，也就导致需要使用的知识更加广泛和复杂．学生如果不能充分利用探索性思维，解决问题的难度就会逐渐增加．这里存在的问题是：学生应该如何使用探索性思维？这就要求教师在教学过程中摆脱形式主义，加强学生对基础知识的理解，运用广泛的知识，深入介绍圆锥曲线的本质．（二）利用导数求解圆锥曲线问题的注意事项高中阶段的每个科目都是相互关联的．每个知识都不应该是一个独立的个体．因此，学生在求解圆锥曲线参数方程的问题时，也需要具备一定的知识基础和思维能力．所以从知识库储备的角度来看，学生在学习之前需要了解参数方程的含义．参数方程是充分利用数形结合知识的一个方面，它用函数方程来表示圆锥截面上的一个点，并用中间变量的表达式来表示点的坐标位置．从一般意义来说，就是方程组中的ｘ，ｙ可以代表曲线上所有点的横坐标和纵坐标．目前，在高中数学中，运用导数的概念和方法进行题目解答已经逐渐普及，让高中生在面对数学难题时，多出一种解答手段．如果学生不能完全理解导数与参数方程的含义，他们就不会理解数和形的结合是什么．学生需要明白，数学思维的层次不是单一的，而是多方面的．学生解决圆锥曲线问题时，观察问题的能力是非常重要的，只有充分理解问题中条件给出的方程的表达意义，将图中提供的条件和圆锥截面知识完全整合，才能将问题和图形结合起来，从而找到解决问题的方法和思路．高中数学教学中涉及的知识点较多，教师在教学利用导数解决圆锥曲线问题时需要根据题目的实际情况进行分析，发挥理论联系实际的具体作用，改变以往的教学方式，运用导数概念来处理圆锥曲线问题，从而减轻学生的运算负担．本文主要介绍了导数与圆锥曲线的相关概念及理论论证，并通过举例论证了导数在求解圆锥曲线的切线等问题中的优势，可以使学生的解题思路更加清晰，从而让数学问题变得更加简单．ʌ参考文献ɔ［１］马志良．利用隐函数导数求解圆锥曲线的切线及切点弦方程［Ｊ］．数学学习与研究，２０１７（２１）：１２－１３．［２］罗文军．利用导数破解圆锥曲线中的最值问题［Ｊ］．广东教育（高中版），２０１７（７）：６６－６７．［３］张淑滢．用导数探究圆锥曲线切线问题的方法［Ｊ］．语数外学习，２０１７（１２）：４１－４２．All Rights Reserved.。
圆锥曲线解题技巧之八利用曲线的导数解题
圆锥曲线解题技巧之八利用曲线的导数解题圆锥曲线解题技巧之八：利用曲线的导数解题圆锥曲线是高中数学中重要的内容之一，解题时我们常常会遇到需要利用曲线的导数进行求解的情况。
本文将介绍一些常见的圆锥曲线解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、圆锥曲线的导数概念回顾在解题之前，我们首先对圆锥曲线的导数概念进行回顾。
圆锥曲线的导数，可以理解为曲线在某点处的切线斜率。
利用导数，我们可以求解曲线的切线方程，进而分析曲线的性质和特点。
二、利用导数求解直线与圆锥曲线的交点有时我们需要求解直线与圆锥曲线的交点，可以利用导数来进行求解。
假设直线方程为y=kx+b，圆锥曲线方程为y=f(x)，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 将直线方程代入圆锥曲线方程，得到一个关于x的方程f(x)-kx-b=0。
2. 求解方程f(x)-kx-b=0，得到曲线与直线的交点的横坐标x。
3. 将求得的横坐标x代入直线方程，得到交点的纵坐标y。
三、利用导数求解切线方程在解题过程中，有时我们需要求解曲线某点处的切线方程。
我们可以利用导数来求解切线方程，具体步骤如下：1. 求取曲线方程的导数，得到导函数。
2. 将导函数的值与给定点的坐标代入切线方程的公式y-y₁=k(x-x₁)，其中k为导函数的值。
通过以上步骤，我们可以得到曲线某点处的切线方程，进而分析曲线在该点的切线斜率和特性。
四、利用导数求解曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点是研究曲线特性的重要内容。
我们可以利用导数来求解曲线的凹凸性和拐点：1. 求取曲线方程的二阶导数，得到二阶导函数。
2. 判断二阶导函数的正负性：若二阶导函数大于0，则曲线在该点凹向上；若二阶导函数小于0，则曲线在该点凹向下。
3. 求解二阶导函数等于0的点，这些点即为曲线的拐点。
通过以上步骤，我们可以分析曲线的凹凸性和拐点，进一步掌握曲线的性质以及解题过程中的一些特殊情况。
结语本文介绍了利用圆锥曲线的导数进行解题的一些技巧和方法。
圆锥曲线不联立 导数压轴不求导
圆锥曲线不联立导数压轴不求导在数学领域，圆锥曲线和导数都是非常重要且广泛应用的概念。
然而，很多人在学习过程中都会对圆锥曲线的联立和导数的压轴求导感到困惑。
本文将从简到繁地分析这两个主题，帮助读者更深入地理解它们的内涵和应用。
一、圆锥曲线不联立圆锥曲线是指平面上由一个固定点F（称为焦点）和一个固定直线L （称为准线）决定的点P到焦点和准线的距离之比是一个常数e（离心率）的点集合。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在解析几何和微积分中，研究圆锥曲线的方程和性质对于理解曲线的形状和运动规律起着至关重要的作用。
然而，在学习圆锥曲线时，很多人会感到困惑的一个重要问题就是联立。
联立是指将两个或多个方程进行组合，通过求解共同满足的解来研究曲线的交点、相切点等问题。
而有些情况下，圆锥曲线并不需要进行联立，例如在研究特定类型的曲线时，可以直接利用曲线的性质和方程来解决问题，无需进行联立。
以双曲线为例，其方程为x^2 /a^2 - y^2 /b^2 = 1。
我们要求证曲线上一点处的切线斜率不等于2。
这时，我们可以直接利用双曲线的导数性质而无需进行联立方程。
这种情况下，圆锥曲线不需要联立，通过直接利用曲线的性质即可解决问题。
二、导数压轴不求导导数是微积分中的一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
求导是微积分中的一个核心技能，通过求导可以研究函数的增减性、凹凸性、极值等重要性质。
然而，在实际应用中，有时候我们并不需要通过求导来得到导数的具体数值，而是通过导数的性质和变化规律来分析问题。
当我们要研究函数的增减性或曲线的凹凸性时，可以通过导数的符号和零点来分析，而无需进行具体的导数计算。
这就是所谓的“导数压轴不求导”，即在分析问题时，可以通过导数的性质和规律来得到结论，而无需进行具体的导数计算。
另外，有时候我们也可以通过导数的定义和极限的性质来得到导数的性质和应用，而无需进行具体的导数计算。
这种情况下，导数的计算变得次要，而导数的性质和变化规律成为了重要的研究对象。
圆锥曲线与二次曲线的方程与性质分析总结
离心率的计算公式：对于椭圆，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为长轴 半径；对于双曲线，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到双曲线中心的距离，a为实轴半径。
曲线的导数与切线斜率
圆锥曲线的导数表示切线的斜率 二次曲线的导数可以求出切线的斜率 导数的几何意义是曲线在某点的切线的斜率 导数在研究圆锥曲线和二次曲线的性质中具有重要作用
曲线的交点与公共点个数问题
公共点的个数也是解析性质 的一个重要方面
圆锥曲线与二次曲线的交点 个数取决于它们的方程和几 何性质
二次曲线在几何图形中的应用：二次曲线常用于描述平面几何中的一些形状和结构，例 如椭圆、抛物线、双曲线等。
圆锥曲线与二次曲线的组合应用：在一些复杂的几何图形中，可能需要同时利用圆锥曲 线和二次曲线的性质来解决相关问题。
实际应用中的注意事项：在利用圆锥曲线和二次曲线的性质解决实际问题时，需要注意 一些细节和限制条件，以确保结果的准确性和可靠性。
圆锥曲线与二次曲线的解析性 质
曲线的渐近线与水平截距
圆锥曲线的渐近线：根据圆锥曲线的标准方程，求出其渐近线的方程。 二次曲线的水平截距：根据二次曲的标准方程，求出其与x轴交点的横坐标。 曲线的渐近线与水平截距的关系：分析渐近线与水平截距在曲线性质中的作用和相互影响。 解析性质的应用：举例说明解析性质在解决实际问题中的应用。
解析性质决定了曲线在平面 上的位置关系和相互交点的
个数
解析性质对于研究圆锥曲线 与二次曲线的几何性质具有
重要意义
曲线的参数方程与极坐标方程
[圆锥曲线与导数]文字素材1 新人教a版选修1-1
![[圆锥曲线与导数]文字素材1 新人教a版选修1-1](https://img.taocdn.com/s3/m/df6fc40dbed5b9f3f90f1c87.png)
圆锥曲线与导数的专题复习建议圆锥曲线和导数这两块内容在高考中的地位不言而喻，经过第一轮的复习学生关于圆锥曲线和导数的基础知识有了较为系统的认识，那么在第二轮复习中应着重强调本章综合题型解题方法的归纳与总结及与其他知识点的交汇处命题的研究与探讨，本文结合圆锥曲线与导数的特点就专题复习提出自己的一些个人建议，供广大同行参考。
【圆锥曲线的专题复习】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
所以，如何做好这章的专题复习是每位高三数学教师的当务之急。
（一）圆锥曲线的特点研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
结合历届高考对本章的考查以及历届学生对本章的反映，此专题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
因此，在很大程度上成为学生能力和心理上的一道难以逾越的障碍。
（二）考纲对圆锥曲线的阐述考试内容：椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。
双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。
抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。
考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。
（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
（4）了解圆锥曲线的初步应用。
（三）圆锥曲线专题复习的备课基于圆锥曲线的特点，我们在复习之前的备课非常关键。
涉及圆锥曲线的题型相对比较集中，如圆锥曲线的弦长求法，标准方程的求法，与圆锥曲线有关的几何性质问题、最值问题、证明问题、角的问题以及圆锥曲线的综合应用问题。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线和导数圆锥曲线1.位置关系的判定方法一般有两种：（1）代数方法：转化为方程根个数的判定（2）几何方法：通过图形本身的特征，寻找存在交点个数的位置关系，列等量（不等）关系式.2. 直线与椭圆（双曲线）的综合（1）设：设交点A（x1，y1），B（x1，y1），设直线l：y=kx+b，椭圆（双曲线）C：mx2+ny2=1（mn>0椭圆，mn<0双曲线）；（2）联（硬解定理）：联立直线方程与椭圆（双曲线）方程{mx2+ny2=1，消去y得：{y=kx+b（nk2+m）x2+2kbnx+nb2-1=0Δ=nk2-mnb2+m>0，{x1+x2=-2kbn/nk2+m，{y1+y2=2mb/nk2+m，{x1x2=nb2-1/nk2+m {y1y2=mb2-k2/nk2+m根系关系是一种设而不求的思想（设点不求点，用系数代替），其目的是代入到与交点有关的关系式中，实现多元归一.（3）化：条件（结论）几何性质转化为几何等量关系再转化为坐标运算弦长公式，|EF|=√（x1+x2）2+（y1-y2）2=√1+k2|x1-x2|=√1+k2•√（x1+x2）2-4x1x2；|EF|=√（x1+x2）2+（y1-y2）2=√1+k2•√Δ/|nk2+m|=√1+k2•√nk2-mnb2+m/|nk2+m|（硬解定理）.以AB为直径的圆经过原点O⇒OE⊥OF⇒x1x2+y1y2=0⇒nb2-1+mb2-k2/nk2+m=0，即（n+m）b2=1+k2（硬解定理）.（4）整：抓住元，将结论表示成某参（一般为斜率或点坐标等）的函数式；（5）算：根据结论不同问法选取不同的求解策略求解取值范围一般有两种解题策略：①利用题设中或明或暗的不等式关系构造不等式解得范围；②选择合适的参数构造目标函数，转化为函数值域问题.对于比较复杂的动态过程，理顺动态因素之间的从属关系、先后关系.3. 一般性质结论在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，向量CA=（x1，y2），向量CB=（x2，y2），则S△ABC=1/2|x1y2-x2y1|.在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，且三点坐标分别为A（x1，y2），B（x2，y2），C（x0，y0），O为坐标原点，则S⇒AOB=1/2|x1y2-x2y1|，S⇒ABC=1/2|（x1-x0）（y2-y0）-（x2-x0）（y1-y0）|.对椭圆x2/a2+y2/b2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S，若直线l1与l2的斜率之积为-b2/a2（在x轴）或-a2/b2（在y轴），则（1）x12+x22=a2；（2）y12+y22=b2；（3）S=2ab.（在x轴）或（1）x12+x22=b2；（2）y12+y22=a2；（3）S=2ab.（在y轴）4.焦点三角形的相关结论以椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上一点P（x0，y O）（y O≠0）和焦点F1（-c，0），F2（c，0）为顶点的⇒PF1F2（焦点三角形）中，若∠F1PF2=θ，则（1）|PF1|+|PF2|=2a.（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cosθ.（3）|PF1|•|PF2|=2b2/1+cosθ.（4）S⇒PF1F2=1/2|PF1|•|PF2|•sinθ=b2tan（θ/2）.以双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y O）（y O≠0）和焦点F1（-c，0），F2（c，0）为顶点的⇒PF1F2（焦点三角形）中，若⇒F1PF2=θ，则（1）||PF1|-|PF2||=2a.（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cosθ.（3）|PF1|•|PF2|=2b2/1-cosθ.（4）S⇒PF1F2=1/2|PF1|•|PF2|•sinθ=b2tan-1（θ/2）.4. 结论：抛物线E：x2=2py第一象限上一动点P的切线，与椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）交于不同的两点A、B，线段AB中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，则点M在定直线y=-pb2/a2上，当且仅当a2=4b2时，S1/S2的最大值为定值9/4；5.曲线一般性质总结：圆锥曲线：过圆锥曲线E：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0上任一点P（x0，y0）引两条弦PA、PB，若k PA k PB=k或k PA+k PB=k（k≠a/c椭圆双曲线，k≠0抛物线），则直线AB经过定点.曲线过定点题型方法归纳：①参数元关法②探索定点③关系法6.[答题模板]第一步：假设结论存在.第二步：以存在为条件，进行推理求解.第三步：明确规范表述结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.7. 椭圆与双曲线焦点弦性质总结：圆锥曲线上的一点P（x0，y0）到焦点的线段称为焦半径.焦半径常考公式；焦半径公式（I）：对左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y0），有|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|.焦半径公式（Ⅱ）：对左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y0），有|PF1|=b2/a-ccosα（椭圆）或|PF1|=b2/|a+ccosα|（双曲线），|PF2|=b2/a+ccosβ（椭圆）或|PF2|=b2/|a-ccosβ|（双曲线），其中α、β为焦半径PF1、PF2与x轴正半轴所成的角焦点弦长公式：若椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）的焦点弦AB，设其倾斜角为α，有|AB|=2ab2/|a2-c2•cos2α|.焦点弦定理已知焦点在x轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，直线AB的倾斜角为θ，斜率为k（k≠0），向量AF= λ向量FB，则曲线C的离心率e满足等式：|ecosθ|=|λ-1/λ+1|,e=√1+k2|λ-1/λ+1|推论已知焦点在y轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，直线AB的倾斜角为θ，斜率为k（k≠0），向量AF=λ向量FB，则曲线C的离心率e满足等式：|esinθ|=|λ-1/λ+1|，e=√1+k-2|λ-1/λ+1|.8.抛物线性质总结：过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F作直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A在x轴上方，直线l的倾斜角为θ，A、B在准线上的射影分别为P，Q，线段PQ的中点为R，AB的中点为M.（1）y1•y2=-p2；x1•x2=p2/4；（2）k2=2p/y1+y2；（3）|AF|=x1+p/2=p/1-cosθ，|BF|=x1+p/2=p/1+cosθ（4）|AF|-1+|BF|-1=2/p；（5）|AB|=2p/sin2θ （6）S△OAB=p2/2sinθ；在直角梯形APQB中；（7）⇒PFQ=90o（以PQ为直径的圆与AB相切），⇒ARB=90o（以AB为直径的圆与准线相切）；①|AF|，|RF|，|BF|成等比数列；②|AF|，|AR|，|AB|成等比数列；③|BF|，|BR|，|AB|成等比数列；（8）直角梯形APQB对角线过原点O；（9）以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；若过焦点作直线l的垂线n交抛物线于C、D两点，倾斜角为α.（10）|AB|-1+|CD|-1=1/2p；（11）|AB|+|CD|=8p/sin22α⇒[8p，+∞）;（12）|AB|•|CD|=16p2/sin22α⇒[16p2，+∞）;（13）⇒APF的面积，⇒PFQ的面积的一半，⇒BQF的面积，成等比数列；（12）若向量AF=λ向量FB，则cosθ=|λ-1|/|λ+1|，√1+k l2=|λ+1|/|λ-1|9.曲线性质总结：曲线C：x2=2py与直线l：y=kx+b（b>0）交于M、N两点.结论1：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的横坐标与两点的横坐标成等差数列，即2x Q=x m+x N.结论2：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的轨迹为y=-b；结论3：过直线y=-b上任一点做曲线C的切线，切点分别为M、N，则直线MN恒过定点T（0，b）；结论4：当直线l经过曲线C的焦点时，有MQ⊥NQ.10.结论已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1或y2/a2+x2/b2=1（a>b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB 的中点为M.（1）直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值-b2/a2或-a2/b2；（2）若l过点（a，b），延长线段OM与C交于点P，当四边形OAPB 为平行四边形时，则直线l的斜率k l=（4±√7）/3•b/a或k l=（4±√7）/3•a/b.11. 一般性结论：已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），点A为椭圆上的动点，点B为直线y=ab/c上的动点，若OA丄OB，则直线AB与圆x2+y2=b2相切. 导数1.求过某点处的切线方程解题过程①确定切点P（x0，y0）；②求导f'（x）；③求斜率k=f'（x0）；④点斜式y-y0=k（x-x0）（*）⑤将点P代入切线;⑥将求得的切点代入（*）.三次函数切线条数：过三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠O）图象的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f（x）的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）当定点P在中心N或在I和Ⅲ区域时，过点P的切线有1条；（2）当定点P在函数f（x）或切线l上且不在N时，过点P的切线有2条；（3）当定点P在Ⅱ或在Ⅳ区域时，过点P的切线有3条.记法：内一，上二，外三2.隐零点估值与代换解法(1)分而治之寻找充分条件,逐个求解不等式；(2)找点过程中放缩的出发点是使不等式能解，易解;(3)结合“点”所在的区间，以及各部分的“阶”，进行放缩.3. 极值点偏移对数不等式lnx1-lnx2>2（x1-x2）/x1+x2偏移.4.构造法的经验总结有两点：①因为图象y=e x变化递增的速度比y=lnx快，所以才去“分家”构造新函数的形式，而此时的关键是构造怎样的函数形式.②联想到常见幂函数、指数函数、对数函数两两组合构成的新函数. （1）幂函数与指数函数的组合：y=x+e x，y=x-e x，y=xe x，y=e x/x，y=x/e x，y=x n e x，y=e x/x n，y=x n/e x;（2）幂函数与对数函数的组合：y=x+lnx，y=xlnx，y=x/lnx，y=lnx/x，y=x n lnx，y=lnx/x n，y=x n/lnx.5.(1)以导数为工具证明超越不等式大致有三种不同的思路:①直接化为最值(或确界);②调整结构，分离函数，证最小值大于最大值；③部分放缩与函数逼近.(2)证明超越不等式的通性通法为直接化为最值,会涉及导函数的隐零点，也就是无法求出导函数具体零点,这时一般有两个处理方式:①整体代入化为代数式;②缩小导函数隐零点的范围，从而达到确定最值符号.。