luttinger kohn 哈密顿矩阵
哈密尔顿图的充分必要条件（精品）
哈密尔顿图的充分必要条件摘要图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注.关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件;1 引言 (3)2 哈密尔顿图的背景 (3)3 哈密尔顿图的概念 (4)4 哈密顿图的定义 (5)4．1定义 (5)4．2定义 (5)4．3哈密顿路是遍历图的所有点。
(6)4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (7)5 结论 (8)参考文献 (8)指导老师 (9)1 引言图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的.2 哈密尔顿图的背景美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。
闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径.1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。
游戏目的是“环球旅行”。
为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。
超晶格能带计算 有效质量理论
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
)
其中，m*是电子有效质量(导带底附近是各项同性的)，假设了能量极值点在Γ点(
r k0
=
0 )。
有效质量方程为：
⎢⎡− ⎣
h2 2m∗
∂2 ( ∂x2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
)
+
U
(rr)⎥⎤ ⎦
F
(rr
)
= [E
−
En (0)]F (rr)
波函数：
ψ (rr) = F (rr)unk0 (rr) = F (rr)usk0 (rr)
= 0 ， ki2
=
2mi h2
(E −Vi )
其解的形式是沿 z 轴正负两个方向平面波的叠加：
-∞ ≤
z
<
z1： G0
=
A eik0 ( z−z1) 0
+
B e −ik0 ( z−z1) 0
z1 ≤ z < z2： ……
G = A e + B e ik1(z−z1)
−ik1( z−z1)
1
1
1
(注意取 z0 = z1)
注意此式中
Fj
(rr)
与
a
j
r (k
)
的关系[?]。
-4-
二． 导带的计算
1．导带不参与其他带的耦合
----单带模型的有效质量方程(抛物带模型)
导带底等能面是球面，抛物型能量色散关系为：
En
r (k )
=
En
(0)
+
h2k 2 2m∗
图论-哈密尔顿图-课内专题报告
{n-3,n-1},{n-1,1}组成。这条哈密顿圈与第一条圈没有公共边。当n ≥7时，按照这种
k 2 方法把图？中的圈旋转角度 n 1 ，其中2 ≤k ≤(n-3)/2，就得到总数为(n-1)/2条哈密顿
圈，它们满足任意两个圈没有公共边。所以这17名学生在此科学营地中一直可以共进 (17-1)/2=8天午餐，直到某些同学不得再次坐在其它人旁边。 5 5 7 n-2 3 3 2 4 1 n 2 1 n n-1 (b)
2014-4-14 图论之哈密尔顿图 16
Xi’an Jiaotong University
定理 3 设G =(V,E)是一个无环图并且|V| 2。如果对于所有的x,y V并且x y 都有deg(x)+deg(y) n-1,则G中有哈密顿路径。 使得x是C1中的一个顶点，y是C2中的一个顶点。设Ci具有n i 个顶点，其中i=1,2。 则deg(x) n1 1， deg( y ) n2 1, 从而有 deg( x) deg( y) ( n1 n2 ) 2, 这就与定理中 给出的条件矛盾。因此,G是连通的。 现在构造G中的一条哈密顿路径。对于m 2，pm是长度为m 1的路径
2
Xi’an Jiaotong University
哈密尔顿周游世界问题
1857年，著名的爱尔兰数学家Sir William Hamilton设计了一个游 戏：它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当 时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游 过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游 过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。给定世界上20个 城市，用一个代表地球的十二面体的20个顶点分别代表这20个城市。 从某一个顶点出发，沿着十二面体的棱，经过每个顶点恰好一次， 最后回到出发点。
kohn-sham方程
kohn-sham方程Kohn-Sham方程式是密度泛函理论(DFT)的核心数学表达式，用于描述多电子体系的基态性质。
密度泛函理论是一种计算量子力学体系的方法，它基于电子密度而不是波函数。
Kohn-Sham方程的推导始于一组基本假设，其中最重要的假设是将多电子体系的总能量表达为从单电子波函数派生的泛函。
这样的波函数被称为Kohn-Sham波函数，它们是通过求解一组单电子方程获得的。
每个单电子方程描述了一个虚拟的非相互作用粒子在一个有效外势场中运动。
Kohn-Sham方程的形式如下：[-(h^2/2m)∇^2+ V(r) + V_H(r) + V_{xc}(r)] ψ_i(r) = ε_iψ_i(r)其中，h是普朗克常数除以2π，m是电子的质量，V(r)是电子在外势场下的有效势能，V_H(r)是Hartree势，它描述了电子之间的经典库伦相互作用，V_{xc}(r)是交换-相关势，它描述了电子之间的量子力学交换和相关效应。
ψ_i(r)是Kohn-Sham波函数，ε_i是对应的能量。
这个方程是一个自洽方程，因为V_H(r)和V_{xc}(r)依赖于电荷密度ρ(r)，而电荷密度本身又依赖于Kohn-Sham波函数。
因此，需要通过迭代求解来确定一个自洽的解。
Kohn-Sham方程的求解可以通过各种数值方法来实现。
其中最常用的方法是使用基组(expansion basis)来表示波函数，并将方程离散化为一个矩阵特征值问题。
这个矩阵特征值问题可以通过对角化得到波函数的能量和形式。
Kohn-Sham方程被广泛应用于材料科学、凝聚态物理、化学和生物物理等领域的计算研究中。
它可以用于计算分子的电子结构、材料的能带结构和光谱性质等。
密度泛函理论和Kohn-Sham方程的发展使得计算材料性质和分子模拟等变得更加可行和准确。
尽管Kohn-Sham方程是密度泛函理论一个重要的数学表达式，但它也存在一些局限性。
其中一个主要的问题是交换-相关泛函的近似。
24-哈密尔顿图
F
C
C
E
D
E
D
旅行推销员(TSP)问题 问题 旅行推销员
问题：n个城市间均有道路，但距离不等，旅行推销员从某地出发， 走过其它n-1个城市，且只经过一次，如何选择最短路线？ 数学模型： 构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每个元素 对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图， 总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题是如何 从这n!/2条中找出最短的一条。 (给你一点感觉 给你一点感觉：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约 给你一点感觉 6000万亿条-(1.21645×1017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条， 需2万年。)
若v1,vk相邻，结论成立。 若v1,vk不相邻，令T={vj|vj与vk相邻} ，S={vi|v1与vi+1相邻} ； 注意：|S|+|T|= d(v1)+d(vk)≥n-1, |S|+|T|= Qvk∉S⋃T, ∴|S⋃T|≤k-1<n-1, ∴|S⋂T|=|S|+|T|-|S⋃T|>0, 即 ⋃ ⋃ ⋂ ⋃ S⋂T非空，令vi∈S⋂T, 则vi+1与v1相邻，vi与vk相邻。于是 C=v1…vivkvk-1…vi+1v1是包含Γ中所有顶点的初级回路。
闭合图与哈密尔顿图的判定
图G是哈密尔顿图当且仅当C(G)是哈密尔顿图。 只须证明在构造闭合图(加边)过程中的每一步，图的哈密 过程中的每一步，
尔顿性质均双向保持
若u,v∈VG, u,v不相邻，且d(u)+d(v)≥|VG|，则G是哈密尔顿 图当且仅当G+e(u,v)是哈密尔顿图。 必要性显然。 反之，若G+{uv}是哈密尔顿图，但G不是，则G是半哈 密尔顿图，且uv-路径是哈密尔顿通路，由 d(u)+d(v)≥|VG|，可以将uv-路径改造成哈密尔顿回路， 矛盾。
哈密顿表象中的投影算子及性质分析
佳木斯大学学报(自然科学版)Vol. 38 No. 6Nov. 2020第38卷第6期2020 年11月Journal of Jiamusi University ( Natural Science Edition )文章编号：1008 -1402(2020)06 -0168 -03哈密顿表象中的投影算子及性质分析①徐丽雯a ,张海丰a ,刘明达b,;,韩海生a ,李慕勤c(佳木斯大学a.理学院，b.附属第二医院,c.材料科学院，黑龙江佳木斯154007)摘要：利用哈密顿算符表象中的封闭关系定义了哈密顿算符表象中的投影算子，并给出了两 个衍生算符，最后讨论了投影算子性质及应用。
研究结果表明投影算子p n 作用在I 〃〉后，只保 留了 In 〉的分量，并且投影系数显示I n >分量的几率不变；投影算子q n 对I 忙作用的是在I 帕 中去掉了 I n 〉的分量，只保留了其他分量，且几率大小不变；投影算子p mn 对任意态矢I 〃〉作用后，只留下了 I 〃〉中的I m 〉分量，且其几率I n 〉分量的几率，投影算子的作用效果在很多量子 体系的研究中具有重要的意义。
关键词：哈密顿表象;投影算子；衍生算子中图分类号：O431文献标识码：A0引言在量子力学中,哈密顿算符表象是很重要的基本表象之一，很多体系的哈密顿算符本征值问题的求解都是在哈密顿算符表象下进行的，因而在大量的研究中被使用,例如：张鹏程等在哈密顿算符表象中对一维谐振子做了计算［1］；李重石给出了三维谐振子哈密顿算符表象下径向矩阵元的简要形式［2］;韩菊等在坐标表象和哈密顿算符表象中对 电场中带电谐振子进行了求解［3］；马春生等在哈 密顿算符表象中使用应变补偿对多量子阱价带结构哈密顿方程进行了求解。
此外，投影算子也在国内外的量子体系研究中被大量的应用［5-8］。
1哈密顿算符表象以氢原子体系为例，由于其能级构成分离谱,该表象的基本矢量是由相互对易的三个算符(H 、L 2和L 2 )的共同本征态构成正交归一完备函数系I I nlm) < nlm I = I(1)nlm任意波函数向该本征函数系基矢投影后就得到了哈密顿算符表象下的波函数。
Kohn-Sham方程及其解法
Kohn-Sham方程及其解法Kohn-Sham 方程及其解法1. Kohn-Sham 方程如果原子核不动，材料可以看成是“外场下的非均匀电子气”，体系的基态性质是其电子密度的唯一泛函，而该电子密度)(r n 满足Kohn-Sham 方程：写在一起就是：∑=ψ=Ni i r r n 12)()(对所研究的体系解出该Kohn-Sham 方程，就可得到其电子密度，而体系的性质由该电子密度决定：物理量 F = F [n]2. Kohn-Sham 方程中的各项：第1项：动能项（电子的动能，原子核不动）第3项：称为 Hartree 势（哈特利势），可以类比为库仑势。
(')'21122()()()()()'([()]())()(()()())n r H r eff i i i Ni i eff xc xc xc r r v r dr v r v E n V n r V r r V r r r r V r n r r ψεψδδφφψ=-=??=+-?+=?==++=?∑)()()]}('')()([21{2n V r d r r r n V i i i xc ext ψ=ψ+-++?-?ε第2和第4项需要很多的说明。
第2项：外势项。
由原子核（或原子芯）的空间排列（即材料的结构）构成。
原子由： {原子核＋全部的电子} 构成→ all-electrons cal. 或 {原子芯＋价电子} 构成→ pseudo-potential cal.由于全电子的计算工作量大（波函数在靠近原子核的地方振荡很厉害），非全电子的计算通常有优势。
我们这里就将使用非全电子的计算（V ASP 程序包）。
所以，需要有“赝势”的概念：赝势方程：如果不考虑原子的芯电子，则原子就成为“赝原子”（原子芯＋价电子）。
这时，价电子运动受处的势场就相当于来自原子芯的“赝势”（原来是原子芯内所有电子提供的势场）。
n模二次型哈密顿量对角化的一种简单方法_逯怀新[1]
![n模二次型哈密顿量对角化的一种简单方法_逯怀新[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a24cf92bdd36a32d737581f8.png)
1 2
(
A
2 1
+
A
2 2
)
+
2
(
C
2 1
+
C 22) +
2( B 21+
B22) ∋
[
(
A
2 1
-
A
2 2
)
2
+
4(
C
2 1
+
C22) ( A 1+
A 2) 2+
4
(
B
2 1
+
B 22)(
1
( A 1-
A 2)2+
16( B21+
B
2 2
)
(
C
21+
C
2 2
)
]
1 2
2
参考文献:
[ 1] 玻戈留玻夫 H H, 玻戈留玻夫 H H( 小) . 量子统计力学导 论[ M ] . 刘典宪, 郭新凯, 王锡绂 译. 北京: 高 等教育出 版 社, 1992. 266~ 292.
如下对易关系:
[ i, j ] =
!
B
1
ij , ! B =
0 -I
I 0
( 2)
为使式( 1) 对角化, 作如下量子变换:
∃= U - 1 U = M
( 3)
这里, M 为 2n 2 n 复辛矩 阵, 满足下列辛条 件[6]:
M ! BM = ! B
( 4)
在式( 3) 中, 如果算符 U 是幺正的, 则相应的矩
[ 4] Zhang Y D , Tang Z. Q uant um transf ormation theory in f ermion Fock space[ J] . J M at h Phys, 1993, 34: 5 639.