2002年高考数学试题(北京文)及答案-2002年高考数学试题

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．12．在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos ︒︒︒︒B A 则|AB|的值是A ．21B ．22C ．23D ．13．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（ππ,2）上为减函数的是A ．x y cos =B ．|sin |2x y =C ．2cos xy = D ．ctgx y -=4．在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是CD 5．64个直径都为4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则 A ．V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙 B ．V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙 C ．V 甲＝V 乙且S 甲＞S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙6．若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围A ．)3,6[ππ B ．)2,6(ππ C ．)2,3(ππ D ．]2,6[ππ 7．（1+i ）8等于 A ．16i B ．－16i C ．－16 D ．168．若1121=+-θθctg ctg ，则θ2cos 的值为A ．53 B ．－53 C ．552 D ．－552 9．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．9610．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 分别表示球的半径D C D D11．已知)(x f 的定义在（0，3）上的函数，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是A ．（0，1）∪（2，3）B ．)3,2()2,1(ππC ．)3,2()1,0(πD ．)3,1()1,0(12．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有A ．)(),(31x f x fB ．)(2x fC ．)(),(32x f x fD ．)(4x f第Ⅱ卷（非选择题 共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．πππ57,56cos ,52sintg 从小到大的顺序是 . 14．等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 .15．关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）. 16．圆012222=+--+y x y x 的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式x x >+-212. 18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. （Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值； （Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6h V =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面）， 试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.） 19．（本小题满分12分）数列{x n }由下列条件确定：.),(21,011N n x ax x a x nn n ∈+=>=+ （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有a x n ≥；（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有1+≥n n x x ；20．（本小题满分12分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： 用计算机求n 个不同的数n v v v ,,,21 的和∑=++++=ni n iv v v v v1321 .计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.ABCDA 1 C 1B 1D 1abc d为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到∑=i iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21．（本小题满分13分）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点.（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G ，F ，H （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹. 22．（本小题满分13分）已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅. （Ⅰ）求f （0），f （1）的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若))(2(,2)2(N n f u f n n ∈==，求证)(1N n u u n n ∈>+.数学试题（文史类）（北京卷）参考解答说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.D8.A9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．πππ5752sin 56costg << 14．4 15．①②③④⑤ 16．2 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.解： ⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-⇔>+-02012)2(12,02,0122122x x x x x x x x 或 221056,22<≤⎩⎨⎧<+-≥⇔x x x x 或2215222151,2<≤<≤⇔<≤⎩⎨⎧<<≥⇔x x x x x 或或521<≤⇔x .所以，原不等式组的解集为}521|{<≤x x .18．本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和 逻辑推理能力. 满分12分.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ,过B 1作B 1G ⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD ∥平 面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°，∴AB ⊥PQ ，AB ⊥ B 1P. ∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作 C 1H ⊥PQ ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二 面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形.h G B d b PG =-=1),(21又，),(21d b db h PG B tg >-=∠∴即所求二面角的正切值为d b h -2. （Ⅲ）V 估＜V.证明： ∵a ＞c ，b ＞d ，∴h d b c a d b c a ab cd h V V 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++=-估0))((12)])((3))((222[12>--=++-++++=d b c a hd b c a d b c a ab cd h ∴V 估＜V . 19．本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分.（Ⅰ）证明：由)(21,011n n n x a x x a x +=>=+及，可归纳证明0>n x （没有证明过程不扣分）.从而有)()(211N n a x ax x a x xnn n n n ∈=⋅≥+=+，所以，当n ≥2时，a x n ≥成立.（Ⅱ）证法一：当n ≥2时，因为)(21,01nn n n x a x x a x +=>≥+，所以021)(2121≤-⋅=-+=-+nn nnn n n x x a x x a x x x ，故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立. 证法二：当n ≥2时，因为)(21,01nn n n x a x x a x +=>≥+，所以122)(21222221=+≤+=+=+nn n n n n n n n n x x x x a x x x a x x x ，故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立. 20．本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算.21．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心)3,31(c b G +，外心F )2,21(22c b c b -+，垂心)3,(2b b b H -.当21=b 时， G ，F ，H 三点的横坐标均为21，故三点共线；当21≠b 时，设G ,H 所在直线的斜率为GH k ，F ，G 所在直线的斜率为FG k .因为)21(33313222b c b b c b b c b b c kGH--+=-+--=， )21(332131232222b c b b c b c b c b c k FG--+=-+-+-=，所以FG GH k k =，G ，F ，H 三点共线. 综上可得，G ，F ，H 三点共线.（Ⅱ）解：若FH//OB ，由0)21(3322=--+=b c b b c k FH ，得)21,0(0)(322≠≠=+-b c c b b ， 配方得1)23()21()21(,43)21(3222222=+-=+-c b c b 即，即1)23()21()21(2222=+-y x )0,21(≠≠y x . 因此，顶点C 的轨迹是中心在（21，0），长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（21，23），（21，－23）四点.22．本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.（Ⅰ）解：0)0(0)0(0)00()0(=⋅+⋅=⋅=f f f f . 因为)1(1)1(1)11()1(f f f f ⋅+⋅=⋅=， 所以0)1(=f（Ⅱ）)(x f 是奇函数. 证明：因为0)1(0)1()1(])1[()1(2=-=----=-=f f f f f 所以， ),()1()()1()(x f xf x f x f x f -=-+-=⋅-=-因此，)(x f 为奇函数. （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明).(0)2(N n f u n n ∈>=（1）当n=1时，02)2(1>==f u ；（2）假设当n=k 时，,0)2(>=k k f u 那么当n=k +1时，)2(2)2(2)2(11f f f u k k k k +==++02)2(21>+=+k k f .由以上两步可知，对任意0)2(,>=∈n n f u N n .因为)(0N n u n ∈> 所以)(22)2(2)2(2)2(111N n u u f f f u n n n n n n n ∈>+=+==+++。