【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)对数函数及其性质的应用练习 新人教A版必修1
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 第1课时 对数课件 新人教A版必修1
知识点二 对数与指数的关系
思考
loga1(a>0，且a≠1)等于？ 答案 设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即 loga1＝0.
答案
梳理
一般地，有对数与指数的关系： 若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝ x .
对数恒等式：aloga N ＝ N；logaax＝x (a>0，且a≠1).
对数的性质： (1)1的对数为 零 ； (2)底的对数为 1 ； (3)零和负数 没有对数 .
题型探究
类型一 对数的概念
例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是
A.b<2或b>5
B.2<b<5
C.4<b<5
D.2<b<5且b≠4
b－2>0， 解析 ∵5－b>0， ∴2<b<5 且 b≠4.
解答
反思与感悟
应用对数恒等式注意： (1)底数相同.
(2)当N>0时才成立，例如y＝x与y＝aloga x 并非相等函数.
跟踪训练5 设25 log5 (2x－1) ＝9，则x＝__2__.
解析 ∵25 log5 (2x－1)＝(52) log5 (2x－1)＝ (5log5 (2x－1) )2
解答
反思与感悟
本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问 题.logaN＝0⇒N＝1；logaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上 牢记.
跟踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的 值为
A.9
B.8
C.7
D.6
解析 ∵log2(log3x)＝0， ∴log3x＝1. ∴x＝3.同理y＝4，z＝2. ∴x＋y＋z＝9.
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.22.2.1对数与对数运算课件新人教必修
x－lg 4)－3(lg y－lg 4)＝
3(lg x－lg y)＝3 m. 答案：3 m
5．计算 log3 27＋ lg 25＋ lg ______．
8 －1 4＋ 7log72－27 3＝
3 2 3×（－1） 解析：原式＝ log332＋ lg(25×4)＋ 2－ 3 3 3 3 ＝ ＋2＋2－ ＝4. 2 2 答案：4
3．对数换底公式 logcb (1)logab＝ (a>0，且 a≠1，c>0，且 c≠1，b>0)． logca (2)对数换底公式的重要推论： 1 ①logaN＝ (N>0，且 N≠1，a>0，且 a≠1)； logNa m ②loganb ＝ logab(a>0，且 a≠1，b>0)； n
m
类型 1 指数式与对数式的互化(自主研析) [典例 1] (1) 将下列指数式化为对数式：
1x ①2 ＝5 化为________；②(
3)x＝6 化为________；
(2) 将下列对数式化为指数式： 1 ① log10010 ＝ 化 为 ______ ； ②logx64 ＝ － 6 化 为 2 ______．
1 答案： (1)log4 ＝－ 2 (2)x ＝ logπ8 (3)( 3)6 ＝ x 16 (4)πx＝6
类型 2 对数运算性质的应用 2 3 lg 3＋ lg 9＋ lg 27－lg 3 5 5 [典例 2] 化简：(1) ； lg 81－lg 27 (2)lg25＋lg 2lg 50＋2
[自主解答] (1)根据指数式与对数式的互化规则，可 得①x＝log15；②x＝log 2 .
(2)根据指数式与对数式的互化规则， 1 可得①1002＝10；②x－6＝64. 答案：(1)①x＝log15 ②x＝log 2
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.1 对数课件
[典例 2] 求下列各式中 x 的值： (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log( 2－1) 21＋1＝x. [思路点拨] 合理运用指对互化以及对数恒等式．
[解析] (1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1， ∴x＝41＝4. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. (3)∵log( 2－1) 21＋1＝x， ∴( 2－1)x＝ 21＋1＝ 2－1，∴x＝1.
[巧归纳] (1)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充 分考虑对数恒等式的应用．
(2)巧解对数式中的求值问题： ①基本思想． 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要 注意利用方程思想求解．2源自⑤lg 0.001＝－3.
(2)求下列各式中的 x 的范围． ①log2(x－10)；②logx－1(x＋2)． (1)[思路点拨] 利用 ax＝N⇔x＝logaN(a＞0，a≠1，且 N＞ 0)互化． [解析] ①log21128＝－7. ②log327＝a. ③lg 0.1＝－1.
④12－5＝32. ⑤10－3＝0.001.
二、对数与指数间的关系 当 a＞0，a≠1 时，ax＝N⇔________.前者叫指数式，后者叫 对数式．它们之间的关系如图所示．
指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：
式子 指数式 ax＝N
名称
a
xN
底数 指数 幂
对数式 x＝logaN 底数 对数 真数
答案：x＝logaN
三、对数的性质 性质 1 ________________没有对数 性质 2 1 的对数是________，即 loga1＝________ (a＞0，且 a≠1) 性质 3 底数的对数是_____，即 logaa＝_______(a ＞0，且 a≠1)
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数
方法归纳 两类对数不等式的解法 (1)形如 logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当 0<a<1 时，可转化为 f(x)>g(x)>0； ②当 a>1 时，可转化为 0<f(x)<g(x)． (2)形如 logaf(x)<b 的不等式可变形为 logaf(x)<b＝logaab. ①当 0<a<1 时，可转化为 f(x)>ab； ②当 a>1 时，可转化为 0<f(x)<ab.
1 3 1 5
)
③log23 与 log54.
【解析】 (1)0<0.43<1,30.4>1，log40.3<0，故选 C. (2)①方法一：对数函数 y＝log5x 在(0，＋∞)上是增函数． 3 4 3 4 而4<3，∴log54<log53. 3 4 3 4 方法二：∵log54<0，log53>0，∴log54<log53.
1 5
∴log 1.6>log 2.9.
1 5 1 5
(2)∵y＝log2x 在(0，＋∞)上单调递增， 而 1.7<3.5， ∴log21.7<log23.5.
(3)借助 y＝log x 及 y＝log x 的图像，如图所示．
1 2 1 5
在(1，＋∞)上，前者在后者的下方， ∴log 3<log 3.
1 5 1 3 1 5
1
1
类型二 解对数不等式 [ 例 2] (1) 已知 log0.72x<log0.7(x － 1) ， 则 x 的取值范围为 ________； (2)已知 loga(x－1)≥loga(3－x)(a>0， 且 a≠1)， 求 x 的取值范围．
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函
2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质学习目标 1.理解对数函数的概念(易错点).2.初步掌握对数函数的图象和性质(重点).知识点1 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 12是对数函数.( )(2)函数y ＝2log 3x 是对数函数.( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞).( )提示 (1)× 对数函数中自变量x 在真数的位置上，且x >0，所以(1)错； (2)× 在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，所以(2)错；(3)× 由对数式y ＝log 3(x ＋1)的真数x ＋1>0可得x >－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错.知识点2 对数函数的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域 (0，＋∞)值域 R过定点 过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值当0＜x ＜1时，y ＜0当0＜x ＜1时，y ＞0的变化当x＞1时，y＞0当x＞1时，y＜0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【预习评价】(1)函数f(x)＝log a(2x－1)＋2的图象恒过定点________.(2)若函数y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________.解析(1)令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1，2).(2)由题意2a－3>1，得a>2，即a的取值范围是(2，＋∞).答案(1)(1，2) (2)(2，＋∞)知识点3 反函数对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)互为反函数.【预习评价】设函数f(x)＝2x的反函数为g(x)，若g(2x－3)>0，则x的取值范围是________.解析易知f(x)＝2x的反函数为y＝log2x，即g(x)＝log2x，g(2x－3)＝log2(2x－3)>0，所以2x－3>1，解得x>2.答案(2，＋∞)题型一对数函数的概念及应用【例1】(1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y＝log x2；②y＝log a x(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log x(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).A.1个B.2个C.3个D.4个(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.解析(1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.(2)由题意设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，f (x )＝log 12x ，所以f (8)＝log 128＝－3.答案 (1)B (2)－3规律方法 判断一个函数是对数函数的方法【训练1】 若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4. 答案 4题型二 对数型函数的定义域 【例2】 (1)函数f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)的定义域为________；(2)函数f (x )＝1log 12（2x ＋1）的定义域为________.解析 (1)若使函数式有意义需满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>02－x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得：x ∈(－1，2)，故函数的定义域为(－1，2).(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x >－12且x ≠0，则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞).答案 (1)(－1，2) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【训练2】 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4.∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4). 题型三 对数函数的图象问题【例3】 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A.(1，2) B.(2，1) C.(－2，1)D.(－1，1)(2)如图，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则( )A.a 4>a 3>1>a 2>a 1>0B.a 3>a 4>1>a 1>a 2>0C.a 2>a 1>1>a 4>a 3>0D.a1>a2>1>a3>a4>0(3)作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象.解析(1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝log a1＋1＝1，故函数y＝log a(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).(2)作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.答案(1)D (2)A(3)解第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示.第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示.第三步：将y＝log2(1＋x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x ＋1)|的图象，如图(3)所示.第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示.规律方法 1.对数函数图象过定点问题求函数y＝m＋log a f(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.3.函数图象的变换规律：(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移，再沿y轴向上或向下平移得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.【训练3】已知a>0且a≠1，函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )解析函数y＝log a x与y＝a x的单调性相同，故排除B；A中，由y＝log a x与y＝a x的图象知a＞1，而由y＝x＋a的图象知0＜a＜1，矛盾；D中，由y＝log a x与y＝a x的图象知0＜a＜1，而由y＝x＋a的图象知a＞1，矛盾，故选C.答案 C课堂达标1.下列函数是对数函数的是( )A.y＝log a(2x)B.y＝log22xC.y＝log2x＋1D.y＝lg x解析选项A，B，C中的函数都不具有“y＝log a x(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.答案 D2.设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)解析由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x＞0得x＜1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.答案 D3.若函数f(x)＝a x－1的反函数的图象过点(4，2)，则a＝________.解析∵f(x)的反函数的图象过(4，2)，∴f(x)的图象过(2，4)，∴a2－1＝4，∴a＝4.答案 44.函数f(x)＝1log12x＋1的定义域为________.解析要使函数f(x)有意义，则log12x＋1>0，即log12x>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0，2).答案(0，2)5.已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值.解(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示.(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2).故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值.课堂小结1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a＞0，且a≠1)这种形式.2.在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.基础过关1.函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A.(1，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(2，0)解析 ∵函数y ＝log 12x 恒过定点(1，0)，而y ＝1＋log 12(x －1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点(1，0)也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点(1，0)平移以后即为定点(2，1)，故函数y ＝1＋log 12(x －1)恒过的定点为(2，1).故选C. 答案 C 2.函数y ＝1log 2（x －2）的定义域为( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(2，3)∪(3，＋∞)D.(2，4)∪(4，＋∞)解析 要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2（x －2）≠0，解得2<x <3或x >3，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C. 答案 C3.函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1，0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，当0<a <1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除C 项和D 项，故A 项正确. 答案 A4.已知f (x )为对数函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫34＝________.解析 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2， ∴f (x )＝log2x ，∴f (34)＝log 234＝log 2(34)2＝log 2243＝43.答案 435.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 017)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 017)＝______.解析 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 017) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2 017)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 017)， ∴原式＝2×8＝16. 答案 166.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1). 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域为(1，2)∪(2，3).(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13且x ≠1，故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞).7.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x >0，0，x ＝0，－lg （1－x ），x <0，∴f (x )的大致图象如图所示：能力提升8.已知0<a <1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析 当0＜a ＜1时，函数y ＝a x在R 上是减函数，排除A ，B ；y ＝log a (－x )与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，故选D. 答案 D9.若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析 由题意y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.答案 A10.已知函数y ＝log 22－x 2＋x，关于其图象有下列说法： ①关于原点对称；②关于y 轴对称；③过原点.其中正确的是________.解析 由于函数定义域为(－2，2)，关于原点对称，又f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x 2＋x ＝－f (x )，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x ＝0，y ＝0，所以③正确.答案 ①③11.已知f (x )＝|log 3x |，若f (a )>f (2)，则a 的取值范围为________.解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，由于f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，故结合图象可知0<a <12或a >2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 12.已知函数f (x )＝log 21＋x 1－x. (1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值. (1)证明 左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2 ＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2， 右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2， 所以左边＝右边，所以f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2. (2)解 因为f (－b )＝log 21－b 1＋b＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b ＝－12， 利用(1)可知：f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ， 所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32. 13.(选做题)已知f (x )为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x .(1)当x ∈(－∞，0)时，求函数f (x )的解析式；(2)在给出的坐标系中画出函数f (x )的图象，写出函数f (x )的单调区间，并指出单调性. 解 (1)设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝log 2(－x )，又f (x )为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，得f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝log 2(－x )(x ∈(－∞，0)).(2)函数图象如图.f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第二课时 对数函数的图象及性质的应
2x＞0,
所以由
log0.72x<log0.7(x-1)得
x
1＞0,
解得 x>1.
2x＞x 1，
即 x 的取值范围是(1,+∞).
方法技巧 (1)解对数不等式(组)的方法是把对数不等式(组)转化为一般 不等式(组)求解,其依据是对数函数的单调性.若含有字母,应考虑分类讨论.
(2)求解对数不等式易忽略定义域优先的原则,导致增解.
所以 0>log0.71.1>log0.71.2.
所以 1 < 1 , log0.7 1.1 log0.7 1.2
由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7.
法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象,如图所示,两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7.
3
2< log1
5
2.
(3)取中间值1,因为log23>log22=1=log55>log54,所以log23>log54.
题后反思 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性. (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类 讨论. (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以 画出对数函数的图象,再进行比较. (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
(3)求函数f(x)的单调递减区间,并证明.
解:(3)由函数 f(x)的图象得函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,0),证明如下:
设 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函
2.2.2 对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质1.下列函数是对数函数的是( C )(A)y=log a x2(a>0且a≠1)(B)y=log a x(a>0且a≠1)(C)y=lo x(a>0且a≠1)(D)y=log a|x|(a>0且a≠1)解析:A和D中真数不是自变量x,不是对数函数;B中log a x前的系数不是1,故不是对数函数.故选C.2.函数f(x)=log a(2x-3)-4(a>0且a≠1)的图象恒过定点( D )(A)(1,0) (B)(1,-4) (C)(2,0) (D)(2,-4)解析:因为总有f(2)=log a(2×2-3)-4=-4,所以函数恒过定点(2,-4).故选D.3.已知函数f(x)=log a(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是( A )(A)增函数(B)减函数(C)奇函数(D)偶函数解析:由题意知所以故f(x)=log4(x-3).因此函数在定义域上是增函数,选A.4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,若实数a满足f()>f(-),则a的取值X围是( B )(A)(-∞,) (B)(0,)(C)(,+∞) (D)(1,)解析:由题知f()>f(-)可得f()>f(),即f()>f(),又可知f(x)在[0,+∞)上单调递减,则0<<,即log3a<得0<a<.故选B.5.已知f(x)=满足f(a)=3,则f(a-5)的值为( A )(A)(B)(C)log23 (D)1解析:当a≤3时,f(a)=2a-3+1=3⇒a=4>3,不合题设;当a>3时,f(a)=log2(a+1)=3⇒a=7>3,成立,所以f(a-5)=f(2)=22-3+1=.故选A.6.函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为( C )(A)0 (B)10 (C)1 (D)解析:由已知,得a-lg x≥0的解集为(0,10],由a-lg x≥0,得lg x≤a,x≤10a,又0<x≤10,所以a=1,故选C.7.已知a<b,函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=log b(x+a)的图象可能为( B )解析:由题图可知0<a<1<b,故函数g(x)单调递增,排除A,D,结合a的X围可知选B.8.函数f(x)=log a|x|+1(a>1)的图象大致为( C )解析:函数f(x)=log a|x|+1(a>1)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,当x>0时,f(x)=log a x+1是增函数;当x<0时,f(x)=log a(-x)+1是减函数,又因为图象过(1,1),(-1,1)两点,结合选项可知,选C.9.函数f(x)=+lg(1-3x)的定义域为.解析:由题得得x<.答案:(-∞,)10.如果函数f(x)=(3-a)x,g(x)=log a x的增减性相同,则a的取值X围是.解析:若f(x),g(x)均为增函数,则即1<a<2,若f(x),g(x)均为减函数,则无解.答案:(1,2)11.若函数y=log2x+2的反函数的定义域为(3,+∞),则此函数的定义域为.解析:函数y=log2x+2的反函数的定义域为(3,+∞),则这个函数的值域为(3,+∞),所以log2x+2>3,得log2x>1,所以x>2.答案:(2,+∞)12.若函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),并且对任意x1,x2∈(0,+∞)时,>0,试写出满足题意的一个函数解析式.解析:由对数函数满足f(xy)=f(x)+f(y)且根据>0知为增函数,故函数y=f(x)可以是一个对数的底数大于1的增函数.答案:f(x)=log3x(x>0)(只要是底数大于1的对数函数均可)13.已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及此时x的值.解:y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+log3x2+2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3,因为f(x)的定义域为[1,9],则y=[f(x)]2+f(x2)中x必须满足所以1≤x≤3,所以0≤log3x≤1,所以6≤y≤13.所以当x=3时,y max=13.14.已知函数f(x)=log a(3+2x),g(x)=log a(3-2x)(a>0,且a≠1).(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明.解:(1)要使函数y=f(x)-g(x)有意义,必须有解得-<x<.所以函数y=f(x)-g(x)的定义域是{x-<x<}.(2)y=f(x)-g(x)是奇函数.由(1)知函数y=f(x)-g(x)的定义域关于原点对称,f(-x)-g(-x)=log a(3-2x)-log a(3+2x)=-[log a(3+2x)-log a(3-2x)]=-[f(x)-g(x)].所以函数y=f(x)-g(x)是奇函数.15.设定义域均为[,8]的两个函数f(x)和g(x),其解析式分别为f(x)=log2x-2和g(x)=log4x-.(1)求函数y=f(x)的值域;(2)求函数G(x)=f(x)·g(x)的值域.解:(1)因为y=log2x在[,8]上是增函数,所以log2≤log2x≤log28,即log2x∈[,3].故log2x-2∈[-,1],即函数y=f(x)的值域为[-,1].(2)G(x)=f(x)·g(x)=(log2x-2)(log4x-)=(log2x-2)(log2x-)=[(log2x)2-3log2x+2],令t=log2x,x∈[,8],t∈[,3],则y=(t2-3t+2)=(t-)2-,t∈[,3],故当t=时,y取最小值,最小值为-;当t=3时,y取最大值,最大值为1.所以函数G(x)=f(x)·g(x)的值域为[-,1].16.若函数f(x)=a1-x(a>0,a≠1),且f(-1)=,则g(x)=log a|x+1|的图象是( A )解析:由f(-1)=得,a2=,所以a=,所以g(x)=lo|x+1|=由此选A.17.若log(2a-1)(a2-2a+1)的值为正数,则a的取值X围是( D )(A)(0,2) (B)(0,)∪(1,2)(C)(-∞,0)∪(2,+∞) (D)(,1)∪(2,+∞)解析:由于对数值为正,则或解得a∈(,1)∪(2,+∞).故选D.18.函数y=lo(3+2x-x2)的值域是.解析:设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4,因为u>0,所以0<u≤4,又因为y=lo u在(0,+∞)上是减函数,所以y=lo u≥lo4=-2.答案:[-2,+∞)19.已知函数f(x)=的值域为R,那么a的取值X围是.解析:由题意得当x≥1时,ln x≥0,要使函数f(x)的值域为R,则需满足解得-1≤a<.所以实数a的取值X围为[-1,).答案:[-1,)20.函数f(x)=lg(ax)·lg.(1)当a=0.1,求f(1 000)的值;(2)若f(10)=10,求a的值;(3)若对一切正实数x恒有f(x)≤,求a的取值X围.名师点拨:当a=0.1时,直接代入x=1 000可求f(1 000)的值,而根据f(10)=10,可转化为关于lg a的二次方程,解方程可求a,当f(x)≤时,可转化为关于lg x的二次不等式恒成立问题,由此根据判别式的符号结合对数函数性质求a的X围.解:(1)当a=0.1时,f(x)=lg(0.1x)·lg,所以f(1 000)=lg 100·lg=2×(-7)=-14.(2)因为f(10)=lg(10a)·lg=(1+lg a)(lg a-2)=lg2a-lg a-2=10,所以lg2a-lg a-12=0,所以(lg a-4)(lg a+3)=0,所以lg a=4或lg a=-3.所以a=104或a=10-3.(3)因为对一切正实数x恒有f(x)≤,所以lg(ax)·lg≤对一切正实数恒成立.即(lg a+lg x)(lg a-2lg x)≤,所以2lg2x+lg alg x-lg2a+≥0对任意正实数x恒成立. 因为x>0,所以lg x∈R.由二次函数的性质可得,Δ=lg2a-8(-lg2a)≤0.所以lg2a≤1,所以-1≤lg a≤1.所以≤a≤10.所以a的取值X围为[,10].。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2第1
[典例 3] 如图所示的曲线 C1、C2、C3、C4 是对数函数 y＝logax 的图象，而 a∈{12，13， 3，π}，则图象 C1、C2、C3、C4 对应函 数的底数依次是________． [解析] 解法一：由对数函数图象特征：图象在 y 轴右侧，x>1 时，图象顺时针 方向，底数逐渐增大，而 a>1 图象是上升的，0<a<1 图象是下降的，或者整体记 忆为：在 x 轴上方，按顺时针方向，底数逐渐增大，即 C3<C4<C1<C2，故答案为 C3＝13，C4＝12，C1＝ 3，C2＝π. 故 C1、C2、C3、C4 对应的函数底数为 3、π、13、12.
解法二：在图中作 y＝1，分别与 C3、C4、C1、C2 交于
A，B，C，D 四点，则 A(a1,1)，B(a2,1)，C(a3,1)，D(a4,1)
(其中 a1，a2，a3，a4 分别为对数函数的底)．由图可知
a1<a2<a3<a4.
∴C3<C4<C1<C2 故 C1、C2、C3、C4 分别为 3、π、13、12.
[答案]
3
π
1 3
1 2
根据对数函数图象判断底数大小的方法： 作直线 y＝1 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内， 自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
3．当 a>1 时，函数 y＝logax 和 y＝(1－a)x 的图象只能是( )
解析：∵a>1，∴y＝logax 的图象是上升的；而 y＝(1－a)x 的图象是下降的． 答案：B
对数函数的判断： 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的形式， 即满足以下条件： (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数． (3)对数的真数仅有自变量 x.
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1对数与对数运算第一课时对数课件新人教A版必修13
log3 x, x 0, (2)若函数 f(x)= 3x , 1 x 0, 求 f(f(f(-2-
3x 2 , x 1,
2 ))).
(2)解:因为-2- 2 <-1,所以 f(-2- 2 )=- 32 2 2 =- 1 . 9
(4)因为 logx64=-2, 所以 x-2=64,所以 x= 1 .
8
题型二 对数的简单性质 [例2] 求下列各式中的x. (1)log3(x2-1)=0;
解:(1)因为 log3(x2-1)=0,
所以
x 2
x
2
1 1
0, 1,
所以 x=± 2 .
(2)log(x+3)(x2+3x)=1.
又- 1 ∈(-1,0],所以 f(f(-2-
2
))=f(-
1
)=
3
1 9
.
9
9
因为
3
1 9
>0,所以
f(
3
1 9
)=log3
3
1 9
=-
1
.即原式=-
1
.
9
9
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(1)指数式与对数式互化时的技能及应注意的问题 ①技能:若是指数式化为对数式,只要将幂作为真数,指数当成对数 值,而底数不变即可;若是对数式化为指数式,则正好相反. ②注意问题:利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母 的位置改变;对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下 角,真数正常表示. (2)对数性质的运用技能 logaa=1及loga1=0是对数计算的两个常用量,可以实现数1,0与对数 logaa及loga1的互化.
山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质(
2.2.2 对数函数及其性质(一)
【教学目标】
1．知识与技能
了解对数函数的概念,掌握对数函数的图象性质规律;掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决一些问题.
2．过程与方法
(1)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系并帮助理解对数函数的概念，体会到对
数函数是一类重要的函数模型;
(2)会画出具体对数函数的图象，通过类比指数函数的性质的研究方法研究对数函数的图象,发现并
归纳对数函数的性质.
3. 情感、态度、价值观
培养学生动手能力，数形结合的思想以及分析推理的能力,培养学生严谨的科学态度.
【预习任务】
阅读教材70-71页，完成下列任务
1.理解对数函数的概念
（1）写出对数函数定义并记忆：
（2）写出对数的底数和真数满足的条件；
2.作图找出图像特征
（1）在同一坐标系中,通过列表、描点、连线，画出函数y=log2x与y=log1
2
x；
y=log3x与y=log1
3
x的图象，
（2）指出函数y=log2x与y=log1
2x图像有何关系？y=lo g3x与y=log1
3
x的图象又有何关系？
（3）找出这组图像的特征：至少4条
3.总结对数函数y=log a x在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质：
a
【自主检测】
P72练习1，2，3.
【组内互检】
表中内容。
2。
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习题课——对数函数及其性质的应用
一、A组
1.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()
A.a>1,c>1
B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1
D.0<a<1,0<c<1
解析:由题意可知y=log a(x+c)的图象是由y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.
答案:D
2.已知a=,b=log2,c=lo,则()
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
解析:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选D.
答案:D
3.函数f(x)=的定义域为()
A.(3,5]
B.[-3,5]
C.[-5,3)
D.[-5,-3]
解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,
即log2(3-x)≤3,
∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.
答案:C
4.函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()
A.(0,+∞)
B.(-∞,0)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)
解析:令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.
故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo t随t的减小而增大,所以y=lo(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D.
答案:D
5.已知y=log a(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为()
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(0,2)
D.[2,+∞)
解析:由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数.
因为y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,
所以y=log a t在定义域内是增函数,且t min>0.
因此故1<a<2.
答案:B
6f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.
解析:函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0<a≤1.
答案:(0,1]
7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是.
解析:由题意可知,f(log4x)<0⇔-<log4x<⇔log4<log4x<log4<x<2.
答案:
8.已知函数f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1),g(x)=log a(4-2x).
(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;
(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.
解:(1)由题意可知,f(x)-g(x)=log a(x+1)-log a(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义, 则解得-1<x<2.
故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).
(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),
即log a(x+1)>log a(4-2x).
当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.
由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;
当0<a<1时,可得x+1<4-2x,解得x<1,
由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.
综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);
当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).
9-3≤lo x≤-,求f(x)=的最值.
解:f(x)=
=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2.
令log2x=t,∵-3≤lo x≤-,
∴-3≤-log2x≤-,
∴≤log2x≤3.∴t∈.
∴f(x)=g(t)=t2-3t+2=.
∴当t=时,g(t)取最小值-;
此时,log2x=,x=2;
当t=3时,g(t)取最大值2,此时,log2x=3,x=8.
综上,当x=2时,f(x)取最小值-;
当x=8时,f(x)取最大值2.
二、B组
1.(2016·江西南昌二中高一期中)函数y=x·ln |x|的大致图象是()
解析:函数f(x)=x·ln |x|的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln |-x|=-x·ln |x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0<x<1时,f(x)<0,排除选项A,C.故选D.
答案:D
2.(2016·河南许昌四校高一联考)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是()
A.a≤4
B.a≤2
C.-4<a≤4
D.-2≤a≤4
解析:∵函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,∴y=x2-ax+3a在[2,+∞)上大于零且单调递增,故有解得-4<a≤4,故选C.
答案:C
3.已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lg x)>g(1),则x的取值范围是()
A.
B.(0,10)
C.(10,+∞)
D.∪(10,+∞)
解析:因为g(lg x)>g(1),
所以f(|lg x|)<f(1).
又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
所以0≤|lg x|<1,
解得<x<10.
答案:A
4.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系为.
解析:∵b=log23.2=log2,
c=log23.6=log2,
又函数y=log2x在区间(0,+∞)上是增函数,3.6>,
∴log23.6>log2>log2,
∴a>c>b.
答案:a>c>b
5.已知函数y=log a x,当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是.
解析:当a>1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是增函数,由log a2≥1,得1<a≤2;
当0<a<1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是减函数,且log a2≤-1,得≤a<1.
故a的取值范围是∪(1,2].
答案:∪(1,2]
6f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为.
解析:当0<a<1时,f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,
∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a(2a),最大值为log a a,∴log a a=3log a(2a),∴log a(2a)=, 即=2a,a=8a3,
∴a2=,a=.
当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a a,最大值为log a(2a),
∴log a(2a)=3log a a,∴log a(2a)=3,
即a3=2a,∴a2=2,a=.
故a的值为.
答案:
7.已知函数f(x)=lg(3x-3).
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t无实数解,求实数t的取值范围.
解:(1)由3x-3>0,得x>1,所以f(x)的定义域为(1,+∞).
因为(3x-3)∈(0,+∞),所以函数f(x)的值域为R.
(2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg
=lg的定义域为(1,+∞),且h(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
所以函数h(x)的值域为(-∞,0).
若不等式h(x)>t无实数解,则t的取值范围为t≥0.
8f(x-1)=lg.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).
解:(1)令t=x-1,则x=t+1.
由题意知>0,
即0<x<2,则-1<t<1.
所以f(t)=lg=lg.
故f(x)=lg(-1<x<1).
(2)lg≥lg(3x+1)⇔≥3x+1>0.
由3x+1>0,得x>-.
因为-1<x<1,所以1-x>0.
由≥3x+1,得x+1≥(3x+1)(1-x), 即3x2-x≥0,x(3x-1)≥0,
解得x≥或x≤0.
又x>-,-1<x<1,
所以-<x≤0或≤x<1.
故不等式的解集为.。