2020年1月全国大联考高三1月联考 文科数学 试题及答案
2020年1月广东省大联考高三数学(文科)试题及答案解析
2020年1月广东省大联考高三数学（文科）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I 卷（选择题）一、单选题1．()()13i i --在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合，{}B a =，若A B A ⋃=，则a 的最大值为（ ） A ．－2B ．2C ．3D ．43．已知函数()f x = ） A ．()()12f f > B ．()f x 在[]0,3上为增函数 C ．()f x 为偶函数D ．()f x 的定义域为[]3,3-4．已知向量()1,2AB =，(),4BC x =-，若A ，B ，C 三点共线，则AC BC ⋅=（ ） A ．10B ．80C ．－10D ．－805．若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的值域为（ ）A ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．357．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为，A ，B 分别为C 的右顶点、上顶点.若C 的对称中心到AB C 的长轴长为（ ）A ．4B ．C ．D ．8．已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（ ） A ．2B ．43C ．3D ．1259．我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。
2020秋高三上学期第一次联考数学(文)试题(可编辑)+答案详解+评分标准 (4)
2020届高三上学期第一次联考数学(文)试题本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合{1,0,1,2},{|0}A B x x =-=≤，则A B =IA. {1,2}B. {1,0}-C. {0,1,2}D. {1}-2. 函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是A. 2πB.2π C.3πD. π3. 已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =u u u rA ． 12BC BA -+u u u ru uu r B ． 12BC BA --u u u r u u u r C ． 12BC BA -u u u r u u u r D ． 12BC BA +u u u r u u u r4. 已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；则当0x <时，()f x 等于A. (1)x x --B. (1)x x -C. (1)x x -+D. (1)x x +5. 已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为A. 4B. 3C. 2D. 16. 若cos()2πα+=cos2α=A ． 23-B ． 13-C ． 13D ．237. 已知向量,a b r r 的夹角为60︒，||1,||2a b ==r r ，则|2|a b -=rrA. 2B.C.D. 18. 将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变; 再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A. 12x π=B. 4x π=C. 524x π=D. 24x π=-9. 若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象 可以是 A. B. C.D.10. 在ABC ∆中，4,2,90,AB AC BAC ==∠=︒ D 、E 分别为AB 、BC 中点，则AE CD =u u u r u u u rgA. 4B. 3C. 2D. 611. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1352213()(*)n n S a a a a n N -=++++∈L L ， 1238a a a =，则8S =A. 510B. 255C. 127D. 654012. 设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[,]m n D ⊆，使()f x 在[,]m n 上的值域为[,]km kn （k R ∈且0k >），则称()f x 为“k 倍函数”，给出下列结论： ①1()f x x=是“1倍函数”；②2()f x x =是“2倍函数”；③ ()x f x e =是“3倍函 数”. 其中正确的是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试1月高三文科数学试题(全国1卷)及答案
则 f (3 ) = 8
A. 2 6 4
B. 2 + 6 4
C. 6 2 4
D. 6 2 2
11.在△ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a= 3，b2+c2bc=3，则 2b+3c 的最大值是
A.5 3
B.2 19
C.3 5
D.19 2
12.已知 O 为坐标原点，点 M 是函数 f(x)=2 (x>0)图象上任意一点，过点 M 作直线 MA，MB 分别与 x
已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1=1，a3• a4=7.
(1)求数列{an}的通项 an；
(2)设 bn=an • 3"，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
21. (本小题满分 12 分) 已知圆 M：(x+l)2+y 2= 16 的圆心为 M，过点 N(l，0)的动直线 l(l 与 x 轴不重合)与圆 M 交于 E，F 两点， 且过点 N 作 ME 的平行线交 MF 于点 D. (1) 求动点 D 的轨迹方程； (2)设点 D 的轨迹为曲线 C，若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 是直线 x=4 上任意点，直线 PA，PN， PB 的斜率分别为 k1,k2,k3，试探求 k1,k2,k3 是否成等差数列？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
33
4
A.1
B. 2
C. 3
D.2
3
3
2
3
6.已知 a = log0.20. 3，b=log20. 3，c=log0.32，则 a，b，c 的大小关系为
A. a<b<cຫໍສະໝຸດ B. b<c<a
上海市2020〖浙教版〗高三数学复习试卷第一次全国大联考文科数学参考答案及评分标准
上海市2020年〖浙教版〗高三数学复习试卷第一次全国大联考文科数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.【命题意图】本题主要考查函数的定义域、集合的运算.容易题. 【答案】C【解析】由已知得1{|}2B x x =>-，所以}2,1,0{=B A ，选C.2. 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、向量的模.容易题. 【答案】B【解析】由已知得)2,5()5,3()3,2(--=--=-=AB AC BC ， 所以||BC =29)2()5(22=-+-，故选B.3. 【命题意图】本题主要考查复数运算.容易题. 【答案】D【解析】因为i i z 31)3(-=-，所以i iiz --=-=-3313，所以i z +=6，选D. 4.【命题意图】本题主要考查对立事件的概率.中等题. 【答案】D【解析】小红、小芳、小英、小丽四个同学相互发短信共有8134=种情况，小红给小英发短信只有一种情况，所以小红不给小英发短信的概率是81808111=-.选D. 5.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的性质.中等题.【答案】B【解析】 因为抛物线cy x 22=的准线方程为2-=y ，所以22=c ，即4=c ， 因为31=e ，所以413a =，所以12=a .所以128161442=-=b ，所以椭圆的标准方程为112814422=+y x ，选B.6. 【命题意图】本题主要考查平面图形的折叠、扇形的弧长公式、圆锥的体积公式.中等题. 【答案】D【解析】 因为32120π=弧度，所以扇形的弧长为ππ2332=⨯=l ， 所以折成圆锥后底面周长为π2，底面半径1=r ，圆锥的高221322=-=h ，所以圆锥的体积ππ322221312=⋅⋅⋅=V ，选D.7.【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式等知识，考查运算求解能力.中等题. 【答案】C【解析】因为数列}{n a 是等差数列，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯+=⨯+.8)4(2),2233(825661111d a d a d a d a 解得⎩⎨⎧-==421d a ， 所以74)4()120(220-=-⨯-+=a ，选C.8.【命题意图】本题主要考查程序框图、当型循环结构.容易题.【答案】B【解析】由程序框图知，当0=m ，执行0412y =+=，220=+=m ；当2=m ，执行24117y =+=，422=+=m ； 当4=m ，执行441257256y =+=>， 故判断框中应填2≤m .选B.9.【命题意图】本题主要考查根据)sin()(ϕω+=x A x f 的图象求解析式、)sin()(ϕω+=x A x f 的性质.考查考生的数形结合思想与运算求解能力.【答案】D【解析】由图知，2=A ，99421ππ-=T ，所以23T π=，故A 错误； 因为点)0,9(π在函数)(x f 的图象上，所以0)93sin(2=+⨯ϕπ，因为2||πϕ<，所以3πϕ-=，所以)33sin(2)(π-=x x f .所以函数)(x f 是非奇非偶的函数.故B 错误； 由)Z (233∈+=-k k x πππ得)Z (183∈-=k k x ππ， 所以函数)(x f 的图象不关于直线3π=x 对称.故C 错误；由)Z (223322∈+≤-≤-k k x k πππππ，即)Z (185321832∈+≤≤-k k x k ππππ， 令0=k ，则18518ππ≤≤-x ， 因为]185,18[]4,0[πππ-⊆，所以选项D 正确.10.【命题意图】本题主要考查分段函数、给定函数的值求参数的值.中等题.【答案】D【解析】由已知得⎩⎨⎧=+≤-.1110,01aa 或⎩⎨⎧=+>.1)2lg(,0a a由⎩⎨⎧=+≤-.1110,01aa 可知a 无解；由⎩⎨⎧=+>.1)2lg(,0a a 得8=a ，所以11110)0()8(01=+==--f a f ，故选D.11.【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、球体的体积.中等题. 【答案】B【解析】由三视图知，原几何体是一个球体与一个正方体组合而成，其中球的直径等于正方体的棱长4， 所以原几何体的体积为33432246433ππ⋅+=+.选B.12．【命题意图】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的零点.中等题. 【答案】D【解析】设6)(=m f ，则由6]log )([2=-x x f f 可得m x x f =-2log )(， 整理可得m x x f +=2log )(，则6log )(2=+=m m m f ，解得4=m ， 所以4log )(2+=x x f ，所以2ln 1)(x x f ='， 则方程4)()(='-x f x f 可化为42ln 14log 2=-+x x ，即02ln 1log 2=-x x ， 设2ln 1log )(2x x x g -=，由02ln 1)1(<-=g ，02ln 211)2(>-=g ，02ln 313log )3(2>-=g ， ⋅⋅⋅且)(x g 是增函数，可得)(x g 在)2,1(上存在零点，即方程4)()(='-x f x f 的解在区间)2,1(上， 所以1=a .故选D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.【命题意图】本题主要考查等比数列的性质、通项公式、前n 项和公式.中等题.【答案】100【解析】因为等比数列}{n a 满足5211-⋅=++n n m S ，所以n n n n n n m m m S S a 2)52(52111⋅=-⋅--⋅=-=+++，所以12-⋅=n n m a ， 因为404=a ，所以4023=⋅m ，所以5=m ， 所以=+53a a 10025251513=⋅+⋅--．14.【命题意图】本题主要考查导数的几何意义，通过切线经过点)1,0(求参数a 的值.中等题.【答案】1-【解析】因为11)(2++=x ax x f ，所以2222)1(12)1(1)1(2)(+-+=+--+='x ax ax x ax x ax x f ， 所以413)1(-='a f ，21)1(+=a f ，所以函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程为)1(41321--=+-x a a y ， 因为点)1,0(在切线)1(41321--=+-x a a y 上， 所以)10(413211--=+-a a ，解得1-=a . 15.【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.中等题. 【答案】5【解析】作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤.4,2,y x x y x y 表示的平面区域，得到如图的阴影△OAB（包括边界），易求得)34,38(A ，)2,2(B ，平移直线012=+-y x 可得当目标函数12+-=y x z 在点A 处取得最大值，所以5134382max =+-⨯=z .16.【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、性质、函数的最值.较难题. 【答案】3 【解析】因为)0(14222>=-b by x ，所以2=a ，由双曲线的定义得4||||21=-PF PF ，所以16||||2||||212221=⋅-+PF PF PF PF ，因为双曲线在第一象限一点P 满足||21||21F F OP =，所以21PF PF ⊥， 所以222214||||c PF PF =+， 所以82||||221-=⋅c PF PF ， 所以P y c PF PF ⋅⋅=⋅221||||2121， 所以cc y P 4-=，因为]2,1(∈e ，所以]2,1(2∈c ，即]4,2(∈c ， 因为函数xx y 4-=在),0(+∞上是增函数， 所以3444)(max =-=P y .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）【命题意图】本题主要考查三角恒等变换，考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式、三角形的面积公式及正弦定理.中等题. 【答案】（Ⅰ）2π，)Z )(0,164(∈+k k ππ；（Ⅱ）4c =. 【解析】（Ⅰ）()f x =21sin 2cos 2sin 22x x x +-，)4x π=-，（3分）所以函数()f x 的最小正周期为242ππ==T .由)(44Z ∈=-k k x ππ,解得)(164Z ∈+=k k x ππ， 所以函数()f x 的对称中心为)Z )(0,164(∈+k k ππ.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f )4x π=-，因为()42B f =，所以())4242B f B π=-=，所以sin()14B π-=，（8分）因为ππ<<B 2，所以34B π=.因为A C sin 2sin =，所以a c 2=，（10分） 因为422221=⋅⋅⋅=∆a a S ABC ， 所以22=a ， 所以4c =.（12分） 18.（本小题满分12分）【解题探究】本题主要考查空间中的线、面关系，四棱锥的体积.考查空间想象能力.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）3332. 【解析】（Ⅰ）因为在四边形ABCD 中，AB AD ⊥，AB DC //，DC AE =， 所以四边形AECD 是矩形，因为AE AD =，所以四边形AECD 是正方形，（3分） 所以AD EC //，因为⊂AD 平面MAD ，⊄EC 平面MAD ， 所以//EC 平面MAD . （6分）（Ⅱ）由图知三棱锥AMC B -的体积等于三棱锥ABC M -的体积.因为△MDC 是等边三角形，平面⊥MDC平面ABCD，4=DC ，所以三棱锥ABC M -底面ABC 上的高为32423=⨯，（8分） 因为四边形AECD 是边长为4的正方形， 所以AB CE ⊥，4=CE ， 又因为8=AB ，所以164821=⨯⨯=∆ABC S ，（10分） 所以三棱锥ABC M -的体积为=V 3332321631=⨯⨯， 即三棱锥AMC B -的体积为=V 3332321631=⨯⨯.（12分） 19.（本小题满分12分）【命题意图】本题主要考查线性回归方程求法及应用.考查运用数学知识解决实际问题的能力.中等题.【答案】（Ⅰ）y^13221.2x =+（Ⅱ）312.2kg . 【解析】（Ⅰ）由所给数据看出，每天需求量与年份之间是近似直线上升．为此对数据预处理如下：3-=x m 257-=y n 0=m ，2.3=n ，（3分）∧b 131013005210)1()2(2.3052921910)11()1()21()2(222222==⨯-+++-+-⨯⨯-⨯+⨯++-⨯-+-⨯-=，（6分）a ^＝-nb ^m ⋅2.30132.3=⨯-=.由上述计算结果知，所求回归直线方程为y ^=-2572.3)3(13+-x ， 即y^13221.2x =+.（10分） （Ⅱ）由（Ⅰ）y ^13221.2x =+，预测星期日的大米需求量为137221.2312.2⨯+=(kg)．（12分）20. （本小题满分12分）已知圆)0(:222>=+r r y x C 经过点)3,1(．【命题意图】本题主要考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系.较难题. 【答案】（Ⅰ）422=+y x ；（Ⅱ）02=+-y x .【解析】（Ⅰ）由圆222:r y x C =+，再由点)3,1(在圆C 上，得4)3(1222=+=r ，所以圆C 的方程为422=+y x .（3分）（Ⅱ）假设直线l 存在，设),(11y x A ，),(22y x B ， ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(1+=-x k y ，联立⎩⎨⎧=++=-4)1(122y x x k y ，消去y 得032)1(2)1(222=-+++++k k x k k x k ，由韦达定理得222112221)1(2k k k k k x x +-+-=++-=+，222211421132k k k k k x x +-+=+-+=， 所以3142)1())(1(222121221-++=+++++=kk k x x k k x x k y y ，（6分） 因为0=•， 所以02121=+y y x x ， 所以03142142122=-++++-+kk k k ，解得1=k ， 所以直线l 的方程为11+=-x y ，即02=+-y x .（8分）②若直线l 的斜率不存在， 因为直线l 经过点)1,1(-， 所以直线l 的方程为1-=x ， 此时)3,1(-A ，)3,1(--B ， 而2)3,1()3,1(-=--•-=•， 不满足0=•.综上可知，存在直线:l 02=+-y x 满足条件.（12分） 21. （本小题满分12分）设R ∈a ,函数()ln f x x ax =-.【命题意图】本题主要考查用导数法求函数的单调性与极值，函数的零点以及不等式的证明.考查分析转化能力、分类讨论思想.较难题. 【解析】（Ⅰ）由已知得∈x ()0,+∞，()11axf x a xx-'=-=， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，无极值；（2分） ②若0a >，令()0f x '=，得1x a=，在区间)1,0(a上，()0f x '>，函数()f x 是增函数， 在区间),1(+∞a上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，所以在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a aa=-=--.（4分） 综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值； ②当0a >时，函数()f x 的递增区间为)1,0(a，递减区间是),1(+∞a， 函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--.（6分） （Ⅱ）因为0)(=e f ，所以102-=，解得a =所以()lnf x x x =， 又323()022e f e =->，5225()022e f e =-<， 所以3522()()0f e f e ⋅<，（9分）由（Ⅰ）函数()f x 在),2(+∞e 递减，故函数()f x 在区间),(2523e e 有唯一零点，因此322x e >.（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
全国大联考2020届1月联考文科数学试卷(A)
13. 6
14. 3x − y −11 = 0
15. 12
三、解答题：共 70 分．
9 10 11 12
B
B
D
C
16. 1 2
17.（本题满分 12 分） 解：（1）设数列{ an} 的公比为 q .
若 q = 1，则 S3 = 3a1 = 6 14 ，与题意不符.
若q
1，则
S3
=
2(1 − q3 ) 1− q
关系如下表：
AQI 指数 0-50
51-100 101-150 151-200 201-300 ＞300
空气质量
优
良
轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
下图是某市 8 月 1 日 - 20 日 AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是
准考证号
只
卷
试 姓名
此 班级
文科数学试卷·第 1 页（共 6 页）
20·LK1A·YG1
考试结束前禁止外传
秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 1 月 2 日 15:00~17:00]
全国大联考 2020 届 1 月联考
文科数学试卷（A） 参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
D
C
A
B
A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
+
2)
=
0
解得个数为
A．1
B．2
C．3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
百万联考2020-2021学年高三全国一卷1月联考文科数学试题(有答案)
高三数学试卷（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}60A x x =->，{}35B x x =-<<，则A B ⋂=（ ）A ．∅B ．{}56x x <<C ．{}35x x -<<D ．{}356x x x <-<<或 2．若复数()212i z =-，则1z -=（ ）A ．20B ．C ．32D ．3．某校高—年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下：则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（ ）A ．在[]90,100内B ．在(]100,110内C ．在(]110,120内D ．在(]120,130内4．等差数列{}32n -的前4项和等于该数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项5．若正三棱锥P ABC -的高为1，AB = ）A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线22:4640C x y -+=的两个焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，若P 为C 上异干顶点的任意一点，则1POF △与2POF △的周长之差为（ ）A ．8B ．16C ．8-或8D ．16-或167．已知函数()()sin f x x ωϕ=+图象的两个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式可以为（ ） A ．()2sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()1sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()cos 62f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．已知a ，b 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若αβ⊥，//a α，//b β，则a b ⊥B ．若//αβ，则b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥C ．若a α⊥，//αβ，//b β，则//a bD ．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则a 与b 异面9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四．主责本粟．问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x =（ ）A ．123B ．133C ．143D ．15310．函数()f x =的定义域为（ ） A ．10,9⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(]0,9D ．[)9,+∞ 11．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则λ=（ ）A ．42-B ．2C ．22 D12．已知函数()()2cos 2144f x x ax ax =+++只有一个零点，则a =（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．4二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡的相应位置．13．函数()322f x x =-的图象在点()1,0处的切线的斜率为______．14．从集合{}中任意选取一个元素作为球O 的半径，则球O 的表面积不小于20π的概率为______．15．已知等比数列{}n a 的前3项和为3，且34a =，则{}n a 的前n 项和n S =______．16．已知抛物线2:8C y x =与圆22:128D x y +=交于A ，B 两点，F 是C 的焦点，ABF △的重心为G ．设P 是圆D 上一动点，则PG 的最大值为______．三、解答题：本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 8A B +=，2b a =． （1）求cos A ．（2）若D 是AB 边上一点，且ACD △的面积为228，证明：AD CD =． 18．某工厂的工人生产一种内径为25.40mm 的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位：mm ）：25.418⨯25.426⨯ 25.404⨯ 25.3811⨯ 25.398⨯ 25.441⨯ 25.437⨯ 25.375⨯这里用x n ⨯表示有n 件尺寸为mm x 的零件．（1）求这50件零件内径尺寸的平均数x ；（2）设这50件零件内径尺寸的方差为2s ，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在(),x s x s -+内的件数．2.04=．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=． （1）求C 的方程．（2）直线l 与y 轴平行，且与C 交于P ，Q 两点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．直线AP 与BQ 交于点G ，证明：点P 与点G 的横坐标的乘积为定值．20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11CDD C ⊥底面ABCD ，//AB CD ，1AD CD ⊥且13DD =，24CD AB ==，5AC =．（1）证明：四边形ABCD 为直角梯形．（2）若1,32CDD ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，求四棱柱1111ABCD A B C D -体积的取值范围．21．已知函数()ln e xx a f x a +=． （1）若1a =，讨论()f x 的单调性；（2）若()0,1x ∀∈，()ln x f x x>，求a 的取值范围． （二）选考题：请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修44-：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,1x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123cos ρθ=+． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于M ，N 两点，()1,0P ，求11PM PN+的值． 23．【选修45-：不等式选讲】已知函数()211f x x x =-++．（1）求()f x 的值域； （2）若()f x 的最小值为m ，且22a b m +=，求221221a b ++的最小值． 高三数学试卷参考答案（文科）1．【答案】C【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力． 【解答】解：因为{}6A x x =<，所以{}35A B x x ⋂=-<<．故选C ．2．【答案】D【解析】本题考查复数的模，考查运算求解能力．【解答】解：因为34i z =--，所以144i z -=+，则1z -==故选D ．3．【答案】B【解析】本题考查统计中对中位数的估计，考查解读表格信息的能力与数据处理能力．【解答】解：由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[]90,100内有40人，在(]100,110内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(]100,110内．故选B ．4．【答案】C【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力．【解答】解：等差数列{}32n -的前4项和为1471022+++=，由3222n -=，得8n =．【解析】本题考查棱锥的侧面积，考查空间想象能力与运算求解能力．【解答】解：如图，取AB 的中点D ，设PO ⊥底面ABC ，垂足为O ，连接PD ，CD ，则11233OD CD ==⨯=．因为1PO =，所以PO =132⨯⨯=．故选A ．6．【答案】D【解析】本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想．【解答】解：C 的方程可化为2216416y x -=，所以8a =， 易知1POF △与2POF △周长差的绝对值为216a =，故1POF △与2POF △的周长之差为16-或16．故选D ．7．【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象及其对称性，考查推理论证能力．【解答】解：设()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为T ， 则()262kT k ππ-=∈Z ，2T πω=， 则()3k k ω=∈Z ，排除A ，B ．而()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象不关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，排除D ．【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力与推理论证能力．【解答】解：对于选项A ，当a ，b 都平行于α与β的交线时，//a b ，所以A 为假命题．对于选项B ，b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥，所以B 为真命题．若a α⊥，//αβ，则a β⊥，由//b β，可得a b ⊥，所以C 为假命题．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则//a b ，所以D 为假命题．故选B ．9．【答案】C【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养．【解答】解：∵2y x =，2z y =，∵247s x x x x =++=， 由算法的功能可知，输出的10011437x ==． 故选C ．10．【答案】B【解析】本题考查函数的定义域与对数运算，考查运算求解能力．【解答】解：由()243log 12log log 120x +⋅≥， 得24212243log 121log log 12log 3log 3log log 129x ≥-=-⋅=-=，则19x ≥． 故选B ．11．【答案】D 【解析】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查数形结合的数学思想与直观想象、推理论证的核心素养．【解答】解：连接63A A ，14A A ，72A A 且6314A A A A B ⋂=，在14A A 上取一点C ，使得176AC A A =，则716A A A C =． 设3BA m =，则(63722A A A A m m m ==++=+，由图可知，)6471646672722222mA A A A A A A C AB A A A A ++=+===⋅故λ=D ．12．【答案】B【解析】本题考查函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想．【解答】解：令21x t +=，则()f x 有且只有一个零点等价于()()2cos 1g t t a t =+-只有一个零点， 因为()g t 是偶函数，所以()g t 的图象必过坐标原点，所以()010g a =-=，故1a =．故选B ．13．【答案】6【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为()26f x x '=，所以()16f '=． 故答案为：6．14．【答案】57【解析】本题考查古典概型与球体的表面积，考查运算求解能力．【解答】解：设球O 的半径为()0R R >，由2420R ππ≥，得R ≥57． 故答案为：57． 15．【答案】()123n -- 【解析】本题考查等比数列的性质与前n 项和，考查运算求解能力．【解答】解：设{}n a 的公比为q ，则324443S q q =++=，解得2q =-，则11a =，()123nn S --=． 故答案为：()123n --． 16．【答案】6+【解析】本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的数学思想与运算求解能力． 【解答】解：由222128,80,x y y x ⎧+=⎪⎨=≥⎪⎩得()2812800x x x +-=≥， 解得8x =或16x =-（舍去）．不妨假设()8,8A ，则()8,8B -．因为()2,0F ，所以G 的坐标为882880,33++-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()6,0． 因为圆D的半径为PG的最大值为6+．故答案为：6+．17．【答案】（1）解：∵2b a =，∵sin 2sin B A =，又sin sin A B +=，∵sin A = ∵2b a =，∵a b <，A B <，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故7cos 8A ==． （2）证明：∵21sin 2ACD S b AD A AD =⋅=⋅=△， ∵47AD b =． 由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅222447427787b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵47CD b =，故AD CD =． 【评分细则】【1】第（1）问中，没有推理得到0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而直接得到7cos 8A =±，扣2分．若只得到AB <，而未写0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不扣分． 【2】第（2）问中，未写2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅，直接得到2222447427787CD b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不扣分． 18．【答案】解：（1）()()25.4125.39825.40425.4225.386x =+⨯+⨯++⨯⎡⎣ ()25.4325.37525.4425.38525.4325025.40++⨯++⨯+⨯÷=⎤⎦．（2）因为()222220.01160.02170.03120.041500.000416s =⨯+⨯+⨯+⨯÷=，所以0.010.01 2.040.0204s ===⨯=，25.400.020425.3796x s -=-=，25.400.020425.4204x s +=+=，所以这50件零件内径尺寸在(),x s x s -+内的件数为5017537---=，故该厂1000件零件中其内径尺寸在(),x s x s -+内的件数约为37100074050⨯=． 【评分细则】【1】第（1）问中，x 的结果写为25.4不扣分．【2】第（2）问中，没有求x s -与x s +的值，而直接得出这50件零件内径尺寸在(),x s x s -+内的件数为37，需扣1分．19．【答案】（1）解：因为以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=，所以24a =． 因为12c e a ==，所以21c =，2223b a c =-=， 故C 的方程为22143x y +=． （2）证明：设直线l 的方程为()0x m m =≠，(),P m n ，则(),Q m n -，22m -<<，且0m ≠，直线AP 的方程为()22n y x m =++， 直线BQ 的方程为()22n y x m =---，()()2,22,2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=--⎪-⎩将两式相除得22122m x m x -+-⋅=+-， 解得4x m =，即4G x m =，故44P G x x m m⋅=⨯=为定值． 【评分细则】【1】第（1）问中，根据圆的方程得到2a =同样给2分．【2】第（2）问中，未写22m -<<，且0m ≠，扣1分．20．【答案】（1）证明：过1D 作1D H CD ⊥，垂足为H ，因为平面11CDD C ⋂底面ABCD CD =，平面11CDD C ⊥底面ABCD ，所以1D H ⊥底面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以1D H AD ⊥．又1AD CD ⊥，1CD D H H ⋂=，所以AD ⊥平面11CDD C ．因为CD ⊂平面11CDD C ，所以AD CD ⊥．又//AB CD ，AB CD ≠，所以四边形ABCD 为直角梯形．（2）解：由（1）知，1D H ⊥底面ABCD ，则1D H 为四棱柱1111ABCD A B C D -的高． 因为1,32CDD ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以1111sin 3sin 2D H DD CDD CDD ⎛⎫=∠=∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭．因为AD CD ⊥，所以3AD ==， 所以四边形ABCD 的面积()124392S =⨯+⨯=， 所以四棱柱1111ABCD A B C D -的体积27V S DH ⎫=⋅∈⎪⎪⎝⎭，故四棱柱1111ABCD A B C D -体积的取值范围是272⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【评分细则】【1】第（1）问中，证明1D H ⊥底面ABCD 时，没有写平面11CDD C ⋂底面ABCD CD =，扣1分．最后一行写成2CD AB =，不扣分，如果既没有写AB CD ≠，又没有写2CD AB =，就要扣1分．【2】第（2）问中，写到四棱柱1111ABCD A B C D -的体积27V S DH ⎫=⋅∈⎪⎪⎝⎭，但没有下结论“四棱柱1111ABCD A B C D -的体积的取值范围是27⎫⎪⎪⎝⎭”，不扣分．21．【答案】解：()f x 的定义域为(),-∞+∞，因为1a =，所以()1e e x x xx f x -⎛⎫'='= ⎪⎝⎭． 当1x <时，()0f x '>，()f x 在(),1-∞上单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减．（2）由ln ln e x x a x a x+>，得ln e ln ln e x x a x a x +>， 即()ln e ln e x xa x x a <对()0,1x ∈恒成立． 令()ln x h x x =，则()21ln x h x x-'=， 当()0,e x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x ∈时，()0h x <． 由()ln e ln ex x a x x a <，得()()e x h x h a <，所以e x x a <，所以e x x a >对()0,1x ∈恒成立．设()e xx m x =，()0,1x ∈， 由（1）知()m x 在()0,1上单调递增， 所以1e a ≥，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【评分细则】【1】第（1）问中，未写定义域，直接得到()1e x x f x -'=不扣分． 【2】第（2）问中，写到1e a ≥，但未写a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，不扣分． 如果没有先说明()h x 在()0,1的单调性与()h x 在()1,+∞上的正负情况，直接由()()e x h x h a <得到e x x a <，则要扣2分．22．【答案】解：（1）l 的普通方程为10x y +-=． 由22123cos ρθ=+，得2223cos 12ρρθ+=，则()222312x y x ++=， 即C 的直角坐标方程为22134x y +=． （2）由题意，l的参数方程为1,22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），· 代入22134x y +=，得27160t --=． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，12167t t =-，则121212122711371627t t t t PM PN t t t t +-+=====． 【评分细则】【1】第（1）问中，得到C 的直角坐标方程为224312x y +=，不扣分．【2】第（2）问得到27160t --=后，可以直接求出1t ，2t ，其步骤如下： 设M ，N 对应的参数分别为1t ，()212t t t <，则1127t =，2127t =，则12111172431122PM PN t t ⨯+=+===． 23．【答案】解：（1）当1x ≤-时，()33f x x =-≥；当112x -<≤时，()32,32f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭； 当12x >时，()332f x x =>． 综上，()32f x ≥． 故()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （2）由（1）知，32m =，2232a b +=，则22122a b ++=， 所以222222221211111111212222a b a b a a b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪++⎝⎭()2222111222221222b a a b ⎛⎫+ ⎪=++≥+= ⎪ ⎪+⎝⎭， 当且仅当22221212b a a b +=+，即21a =，212b =时，等号成立， 故221221a b ++的最小值为2． 【评分细则】【1】第（1）问中，未写“综上，()32f x ≥”，直接得出“()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭”，不扣分． 【2】第（2）问未写取等条件，直接得出“221221a b ++的最小值为2”扣1分．。
2020届大教育全国名校联盟高三质量检测第一次联考文科数学试题(解析版)
大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考文科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上.2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A. {}1,2 B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2,3D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义直接求解即可.【详解】因为集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，所以{}0,1,2A B =I . 故选：D【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//b α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表，可知需要次数为4次. 故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A. 30B. 312C. 152D. 62【答案】B 【解析】 【分析】根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：11121142162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩， 因此552(12)312S -==.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 6.函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A. 11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B. 11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；L L第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=L ， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A. {}1,2,3 B. {}6,7,8C. {}1,2,3,4,5D. {}6,7,8,9,10【答案】C 【解析】 【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合. 【详解】设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-，1224S =⇒1121112242a d ⨯+=， 解得19a =-，2d =，所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----L ， 故{}1,2,3,4,5i ∈. 故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 9.若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A. b c a >> B. c a b >>C. a b c >>D. c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. [)1,+∞C. [)0,1D. (]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A.12B.45C.38D.34【答案】C 【解析】 【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x yy x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.12.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=oAB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 3y x =±B. y x =C. =±y xD. )1=±y x【答案】D 【解析】 【分析】设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设22,AB AF m BF ==∴==，由双曲线的定义可知：12,AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：122BF BF a m -=⇒=，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知：222212222222112cos120(5(5F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2222(4(41b bb a a a⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为：)1=±y x .故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知i r ，j r 是夹角为90︒的两个单位向量，若=+r r r a i j ，b j =r r ，则a r 与b r的夹角为__________.【答案】45︒ 【解析】【分析】首先求出a r 与b r 的数量积，然后直接根据a r 与b r的夹角公式求解即可. 【详解】由题知=+r r r a i j ，b j =r r，有()1a b i j j ⋅=+⋅=r r r r r，所以cos ,2a b a b a b ⋅===r rr r r r ，所以cos ,45a b =︒r r.故答案为：45︒.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，向量夹角的求解，属于基础题.14.若函数()()(sin 0,02)f x x ωϕωϕπ=+>≤<满足：①()f x 是偶函数；②()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.则同时满足①②的ω，ϕ的一组值可以分别是__________. 【答案】32，π2【解析】 【分析】根据()f x 是偶函数和()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可求出满足条件的ω和ϕ. 【详解】由()f x 是偶函数及0πϕ≤<2，可取π2ϕ=， 则()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 由()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，得πππ32k ω⨯=+，k Z ∈，即332k ω=+，k Z ∈，可取32ω=.故ω，ϕ的一组值可以分别是32，π2. 故答案为：32，π2. 【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R ,4R ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 【答案】12【解析】 【分析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得,a c 的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ， 因为地球半径为R ,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R ,4R , 可得423a c R Ra c R R +=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得105,33a R c R ==， 所以椭圆的离心率为5131023R c e a R ===. 故答案为：12.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得,a c 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若P A 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____. 【答案】 (1). 3 (2). 5π【解析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P 到底面ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ， 由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =， 即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C V V ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13 也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB所以球的表面积为254π5π2⎛= ⎝⎭.35π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2A Cb A Bc ++=. （1）求B ； （2）若ABCV 38，求b .【答案】（1）π3B =；（2）134b = 【解析】（1）通过正弦定理和内角和定理化简sin()sin2A Cb A Bc ++=，再通过二倍角公式即可求出B Ð； （2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b 的表达式后即可求出b 的值. 【详解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得sin cos 2B bC c =， 结合正弦定理，得sin cos 2BB =， 由π022B <<及二倍角公式，得1sin 22B =， 即π26B =，故π3B =；（2）由题设，得1sin 2ac B =4ac =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即()2212b a c =+-， 又8a b c ++=，所以()22812b b =--， 解得134b =. 【点睛】本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率； （2）根据1月到8月的数据，求出月利润y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：1221ˆni ii nii x ynx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：88211460,379.5ii i i i xx y ====∑∑.【答案】（1）35；（2）ˆ0.640 1.520y x =+；（3）利润约为111.2万元.【解析】 【分析】（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；（2）首先求出利润y 和养殖量x 的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润. 【详解】（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份， 则5个月份任意选取3个月份的基本事件有()2,3,4，()2,3,5，()2,3,6，()2,4,5，()2,4,6，()2,5,6，()3,4,5，()3,4,6，()3,5,6，()4,5,6，共计10个，故恰好有两个月考核合格的概率为63105P ==； （2）7x =，6y =，2379.587643.5ˆ0.6404608768b-⨯⨯==≈-⨯， ˆ60.6407 1.520a=-⨯=， 故ˆ0.640 1.520yx =+； （3）当15x =千只，ˆ0.64015 1.52011.12y =⨯+=（十万元）111.2=（万元），故9月份的利润约为111.2万元.【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.19.在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A B BA 是菱形，4AB =，160ABB ∠=︒，113B C =，BC AB ⊥，点M 、N 分别是1A B 、1AC 的中点，且1⊥MN AB .（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）求四棱锥11A BCC B -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）83【解析】 【分析】（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC ⊥平面11A B BA 即可；（2）求出点A 到平面11BCC B 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥11A BCC B -的体积. 【详解】（1）连接1A C ，由11ACC A 是平行四边形及N 是1AC 的中点， 得N 也是1A C 的中点，因为点M 是1A B 的中点，所以//MN BC ， 因为1⊥MN AB ，所以1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，1AB AB A =I ，所以BC ⊥平面11A B BA ， 又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）过A 作1AO B B ⊥交1B B 于点O ，因为平面11BCC B ⊥平面11A B BA ，平面11BCC B I 平面111A B BA B B =， 所以AO ⊥平面11BCC B ，由11A B BA 是菱形及160ABB ∠=︒，得1ABB △为三角形，则23AO = 由BC ⊥平面11A B BA ，得1BC B B ⊥，从而侧面11BCC B 为矩形，所以1111123348333A BCCB V OA BC B B -=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线E 上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =. （1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M 、N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)21y x =±-【解析】 【分析】（1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程；（2）首先设直线m 的方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点N 坐标，然后设直线n 的方程求出点M 的坐标，最后利用O 、M 、N 、F 四点共圆即可求出直线m 的方程. 【详解】（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =， 所以抛物线F 的方程为24y x =；（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+， 所以()221,2N t t +，因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--，由()11x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=u u u u r u u u r ，解得t =，所以直线m的方程为)1y x =-. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题. 21.已知函数2()126ln af x x a x x=+--存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的极大值点和极小值点分别为1x 和2x ，且()()1226f x f x e <-+，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数） 【答案】（1）4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()e,+∞. 【解析】 【分析】（1）首先对函数()f x 求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a 的取值范围； （2）首先求出()()12f x f x +的值，再根据()()1226f x f x e <-+求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为是()0,∞+，()222262622a a x ax af x x x x -+'=+-=， 若()f x 有两个极值点，则方程22620x ax a -+=一定有两个不等的正根， 设为1x 和2x ，且12x x <，所以2121236160300a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩解得49>a ，此时()()()1222x x x x f x x--'=， 当10x x <<时，()0f x '>， 当12x x x <<时，()0f x '<， 当2x x >时，()0f x '>，故1x 是极大值点，2x 是极小值点， 故实数a 的取值范围是4,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）由（1）知，123x x a +=，12x x a =， 则()()1211221222126ln 126ln a af x f x x a x x a x x x +=+--++--， ()()121212122226ln a x x x x a x x x x +=++--，232236ln 26ln a aa a a a a a⋅=+⨯--=-， 由()()1226e f x f x +<-，得26ln 26e a a -<-，即ln e a a >， 令()4ln 9g a a a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，考虑到()e elne e g ==， 所以ln e a a >可化()()e g a g >，而()411ln 1ln1ln 09eg a a '=+>+>+=， 所以()g a 在4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，由()()e g a g >，得e a >， 故实数a 的取值范围是()e,+∞.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos 2sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线l 的极坐标方程为12πθ=，若直线l 与曲线C 交于两点A.B ，求AB 的长；（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2MON π∠=，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可； （2）()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）通过计算得到121πsin 22S ρρ=πsin 23θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为221122x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即220x y x +--=；再将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos sin 0ρρθθ-=， 故曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 显然直线l 与曲线C 相交的两点中， 必有一个为原点O ，不妨设O 与A 重合，即12ππ2sin 612AB OB πθρ=⎛⎫===+=⎪⎝⎭（2）不妨设()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则OMN V 面积为121π1πππsin 2sin 2sin 222626S ρρθθ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ πππ2sin cos sin 2663θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当πsin 213θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即取π12θ=时，max 1S =. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题. 23.已知不等式111x x x m +++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足23a b c M ++=.求证11222a b b c+≥+++【答案】（1）[]3,1-（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=，0x ≥，得112x x x +++-≥，则12m +≤，由此可得答案； 法二：由题意()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论． 【详解】解：（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=（当且仅当11x -≤≤时取等号），又0x ≥（当且仅当0x =时取等号），所以112x x x +++-≥（当且仅当0x =时取等号）， 由題意得12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤， 故m 的取值范围是[]3,1-；法二：因为对于任意x ∈R 恒有111x x x m +++-≥+成立，即()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数， 所以()()min 02f x f ==，即12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=， ∴1122a b b c +++()112322a b c a b b c ⎛⎫=++⋅+ ⎪++⎝⎭()()23211222a b b c a b b c +++⎛⎫=⋅+ ⎪++⎝⎭()32124222b c a b a b b c +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦1422⎡≥+=⎣故不等式11222a b b c+≥+++ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．。
2020年1月数学全国卷高三1月联考 文科数学全解析
A. 6 25%B. 5 5% 6.已知'=(§) %=(-2)—1,c =log2 3’则& 10. 25% D. 31.25%A. a V b V cB. cVb $a 5若『/满足约束条件'十K2；则&=4#1$的最大值为)#11&0, A —B —1& 5D. 68.已知函数,(#) + —'sin 3#1'1*(〉0,# + R)的值域为［ — 5,3'函数 g(#) +*—cos 则)g （工）的图象的对称中心为 A . ( 4，—5)(. + ")& ( f,—4)(+")B , ((#十8，—5)( + ")D, ((#1 #，—4)(. + )数学试卷（文科）考生注意：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第"卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容:高考全部内容.第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1. 设集合"=｛#|$ = ln （#—1）｝ ,B = （ x\y =槡 4—#2 ｝，则 A #B =A .[1,2]B . [1,2） C. （1,2] 2. 已知复数&满足&（11i ） + 2i,则复数&的虚部是A1 B &i 3. 已知向量a =（4,—3） ,= （ —1,2）,,的夹角为们则sin !=A. § B . '槡C. *2534. 若各项均为正数的等比数列满足«3+3«1+2fl 2测公比g =A. 1B. 2C. 3 5. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位:万元）如 图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为D.(1,2) D . —i D 2槡55D.4图135%- 30%- 25% 20%- 15%- 10%- 5% 0图29.过双曲线的右焦点F作双曲线/的一条弦AB, O F"+F%=#,若以AB为直径的圆经过双曲线/的左顶点，则双曲线/的离心率为（）..槡 B.槡 C.2 D. V510.在三棱锥P—ABC中1A丄平面ABC,AB + 2,AC+3,/BAC+120；D为线段B/上的动点.若PC与底面ABC所成角为30。
2020届全国大联考数学理文科第1次联考答案(易)
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高三数学第一次联考1月试题 文扫描 试题
七校联盟2021届高三数学第一次联考〔1月〕试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日六校联盟2021届高三第一次联考试卷〔文科数学〕参考答案及评分细那么一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B B A A B C D A CC 二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。
〕1314、 25 151 16、()1,+∞三、解答题：〔 一共70分。
〕17、解：〔1〕由题意()()2223336-32286d q d d q q d q ⎧⎧=+==⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨=+=⎪⎩⎩⎪=⎩或3分 所以()1112152263n n n n n n a n a n b b --=-=-==或或6分〔2〕假设1n n a a +<，由〔1〕知21n a n =-，8分 ∴()()()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭10分 ()()()11111112335212121n nT n n n ⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪-++⎝⎭ 12分18、〔1〕证明：由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，且DC DF D =，∴AD ⊥平面CDEF ， ∴AD FC ⊥， ………………2分∵四边形CDEF 为正方形. ∴DC FC ⊥由DC AD D= ∴FC ABCD ⊥平面 ∴A FC C ⊥ ………………4分 又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB = ∴C A =C B = 那么有222AC BC AB += ∴A C BC ⊥由BC FC C = ∴AC FCB ⊥平面 ∴AC FB ⊥ ……………6分〔２〕连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ， 易见BN ⊥平面CDEF ，且2BN =.…………8分∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………9分 1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△163= ……………11分 ∴ 几何体EF ABCD -的体积为163 …………12分 解法二：〔传统几何法〕略19、〔1〕解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=． …………………………1分 解得0.03a =． ………………………………………………………………………2分 根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．……3分 由于高三年级一共有学生640人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． ………………………………………4分 可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为:45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74 ………………6分 〔2〕解：成绩在[)4050，分数段内的人数为400.052⨯=人， ……………… 7分 成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人， ……………………………………8分假设从这6名学生中随机抽取2人，那么总的取法有15 种 ………………… 9分假如两名学生的数学成绩都在[)4050，分数段内或者都在[]90100，[)4050，分数段内，另一个成绩在[]90100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．……… 10分那么所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7种 …… 11分所以所求概率为()715P M =． ………………………………………………………12分20、解：〔1〕当21-=a 时，14ln 21)(2++-=x x x f ，∴x x x x x f 21221)(2-=+-=' ------1分 ∵)(x f 的定义域为),0(+∞，∴由0)(='x f 得1=x ． ------------------2分 ∴)(x f 在区间],1[e e 上的最值只可能在)(),1(),1(e f ef f 取到， 而421)(,4123)1(,45)1(22e e f e e f f +=+==， -----------------3分 ∴45)1()(,421)()(min 2max ==+==f x f e e f x f ． -----------------4分 〔2〕2(1)()(0,)a x a f x x x++'=∈+∞，． ①当01≤+a ，即1-≤a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),0(+∞单调递减；-------------5分②当0≥a 时，)(,0)(x f x f ∴>'在),0(+∞单调递增； ----------------6分③当01<<-a 时，由0)(>'x f 得1,12+->∴+->a a x a a x 或者1+--<a a x 〔舍去〕---7分∴)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1,0(+-a a 上单调递减； ------------------8分综上，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增； 当01<<-a 时，)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1,0(+-a a 上单调递减． 当1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减； ---------------9分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，当01<<-a 时，min ()f x f =即原不等式等价于1ln()2a f a >+- ---------------------10分即1ln11ln()212a a a a a a +-⋅+>+-+ 整理得ln(1)1a +>- ∴11a e>-， ---------------------11分 又∵01<<-a ，所以a 的取值范围为11,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭. ------------------12分 21、解：(1)设椭圆1C 方程为：22221x y a b+=〔0a b >>〕， 所以直线AB 方程为：1x y a b+=-………………………………………………1分∴1(1,0)F -到直线AB 间隔 为d ==2227(1)a b a ⇒+=-…… 2分 又221b a =-， ………………………………………………3分解得：2a =，b =………………………………………………4分故：椭圆1C 方程为：22143x y +=.………………………………………………… 5分 (2) 椭圆1C 的3倍相似椭圆2C 的方程为：221129x y += ………………………………6分①假设切线m 垂直于x 轴，那么其方程为：2x =±，易求得||MN =7分CA ②假设切线m 不垂直于x 轴，可设其方程为：y kx b =+将y kx b =+代人椭圆1C 方程，得：222(34)84120k x kbx b +++-=∴2222222(8)4(34)(412)48(43)043kb k b k b b k ∆=-+-=+-==+即〔*〕…8分 记M 、N 两点的坐标分别为12(,)x y 、22(,)x y将y kx b =+代人椭圆2C 方程，得：222(34)84360k x kbx b +++-=……………9分 此时：122834kb x x k +=-+，212243634b x x k -=+221243(129)||k b x x +-⇒-=…11分 ∴ 22222243(129)11||1462613434k b k MN k k k +-+=+==+++11分 ∵2343k +≥ ∴21411343k <+≤+ 即 216261234k <++ 综合①②,得：弦长||MN 的取值范围为[26,2].………………………………………12分22．〔本小题满分是10分〕【选修4—1：几何证明选讲】〔1〕证明：∵AD 是两圆的公切线，∴AD 2=DE ×DG ，AD 2=DF ×DH,∴DE ×DG= DF ×DH, ∴DE DF DH DG=， 又∵∠EDF=∠HDG ，∴△DEF ∽△DHG 。