济大复变函数第一章4、5

映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍.
y
v
o

x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成 w 平面上与实轴交角为2 的角形域.
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(2) 函数 w z 2 构成的映射 .
函数 w z 2 对应于两个二元实变函 数:
u x y , v 2 xy.
2 2
它把 z 平面上的两族分别以直 线 y x 和坐 标轴为渐近线的等轴双 曲线 x 2 y 2 c1 , 2 xy c2 ,
π 故扇形域 0 , 4 0 r 2映射为

wz2
π 0 , 0 4, 2
仍是扇形域.
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例3 解
1 对于映射 w z , 求圆周 z 2 的象. z
令 z x iy, w u iv,
1 x iy , 映射 w z u iv x iy 2 2 x y z x y , 于是 u x 2 , v y 2 2 2 x y x y
只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 在复变函数中, 对“函数”、“映射”、 “变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只 是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一 般是就点的对应而言的.
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第五节 复变函数的极限 和连续性
一、函数的极限 二、函数的连续性
三、小结与思考
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一、函数的极限
且是全同图形.
y
A
B
z w21
o
z2 w1
z1 2 3i
x
C
A
v
w2 1 2i
o
B
C
o
z 2 1 2i
u
w1 2 3i
7
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
(2) 函数 w z 2 构成的映射 .
有 f ( z) A 那 末 称 A 为 f ( z ) 当 z 趋 向 于z0 时 的 极 限 .
z0 记作 lim f ( z ) A. (或 f ( z ) z A) z z0
注意:
定义中z z0 的方式是任意的 .
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y

z0
z

v
f (z)

x
A
u
本次课内容

第四节复变函数 第五节 复变函数的 极限和连续性

主题 1、复变函数的定义 与实变函数的区别 2、复变函数极限的定义 及求法 3、复变函数连续性的判定

1
第四节
复变函数
一、复变函数的定义 二、映射的概念 三、典型例题 四、小结与思考
一、复变函数的定义
w f (z)
( u, v )
一个特定图形（区 直线 x 的象的参数方程为: 域）映射成另一个 u 2 y 2 , v 2y. ( y 为参数) 特定图形（区域）.
消去参数 y 得 :
v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
x x0 y y0
lim [u( x , y ) v ( x , y )i ] lim u( x , y ) lim v ( x , y )i
x x0 y y0 x x0 y y0
u0 iv0
20
定理二 设 lim f ( z ) A, lim g ( z ) B , 那末
21
Re( z ) 当 z 0 时的极限不存在 . 例1 证明函数 f ( z ) z x 令 z x iy, 则 f ( z ) 证 , 2 2 x y x u( x , y ) , v ( x , y ) 0, 2 2 x y
x 1 lim , lim u( x, y) 不存在, 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k x0
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) lim z z0 g ( z ) B ( B 0).
与实变函数的极限 运算法则类似.
x0 y 0
x2 y2 则 u( x , y ) 2 , 2 x y
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二、函数的连续性
1. 连续的定义: 如果 lim f ( z ) f ( z0 ), 那末我们就说 f ( z )
z z0
在 z0 处连续. 如果 f ( z ) 在区域 D 内处处连续, 我们说 f ( z ) 在 D 内连续.
2
y

o x o u
wz2
π π 故线段 0 r 2, 映射为0 4, , 4 2
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例2
在映射 w z 2 下求下列平面点集在w 平面
上的象 :
π ( 2) 扇形域 0 , 0 r 2. 4 解 设 z re i , w e i , 则 r 2 , 2 ,
2 xy v( x, y ) 2 , 2 x y 当 z 沿直线 y kx 趋于零时, 2 xy 2k lim v ( x , y ) lim 2 , 2 x 0 x 0 x y 2 随 k 值的变化而变化 1 k y kx y kx
f ( z ) 不存在. 所以 lim v( x, y) 不存在, lim z 0
u x 2 y 2 v 2 xy
3
例
1 w , w u iv , z x iy z
1 ( x iy ) w u iv x iy ( x iy )( x iy ) x y x iy 2 i 2 2 2 2 x y x y2 x y
因为
z 2 x y 4
2 2
所以
u2 v2 1. 2 2 5 3 2 2 表示 w 平面上的椭圆
5 3 u x, v y 4 4 4 4 x u, y v 5 3
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四、小结
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,
y
一一对应
v
G
x
G
u
若原函数与 其反函数都 是单值的, 则称函数是 一一的.
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三、典型例题
例1
在映射 w z 2 下求下列平面点集在w 平面 上的象 :
π (1) 线段 0 r 2, ; 4
还是线段.
v
解 设 z re i ,
w e i ,
则 r , 2 ,
例如,
f ( z ) ln( x 2 y 2 ) i ( x 2 y 2 ),
2 2
u( x , y ) ln( x y ) 在复平面内除原点外处 , 处连续, v( x, y ) x 2 y 2 在复平面内处处连续
故 f ( x , y ) 在复平面内除原点外处 处连续.
( x, y )
单值函数与多值函数
f ( z ) u( x, y) v ( x, y)i
u u( x, y ) v v ( x, y)
注: 一个复变函数与两个二元实函数一一对应 例如：
w z2
w u iv , z x iy
u iv ( x iy)2 ( x 2 y 2 ) 2 xyi
y0
当 z 沿直线 y kx 趋于零时, x x lim u( x , y ) lim lim 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x y x ( kx ) y kx y kx
根据定理一可知,
lim f ( z ) 不存在.
z 0
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z 例2 证明函数 f ( z ) ( z 0) 当 z 0 时的极 z 限不存在. 证 令 z x iy, f ( z ) u iv ,
以原点为焦点,开口向右 的抛物线.(图中蓝色曲线)
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反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合 G , 函数值集合为w 平面上的集合 G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点.
于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称 为映射 w f ( z ) 的逆映射.
2. 极限计算的定理
定理一
z z0
f ( z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0 , z0 x0 iy0
x x0 y y0 x x0 y y0
那末 lim f ( z ) A lim u( x , y ) u0 ,
lim v ( x, y ) v 0 .
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定理四
(1) 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 和 g( z ) 的和、差、 积、商 (分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.
(2) 如果函数 h g( z )在 z0 连续, 函数 w f ( h)在 h0 g( z0 ) 连续, 那末复合函数 w f [ g( z )] 在 z0 处 连续.
函数 f ( z ) 在曲线 C 上 z0 处连续的意义是 lim f ( z ) f ( z0 ), z C .
z z0
z0
C
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定理三
函数 f ( z ) u( x , y ) iv( x, y ) 在z0 x0 iy0 连续的充要条件是: u( x, y ) 和 v( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续.