复变函数模拟试题
复变函数模拟试题(一)含答案
复变函数模拟试题试题(一)一. 填空题（每空3分，共15分） 1. 设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=, 则.___________=z2. 导函数xv ixu z f ∂∂+∂∂=)('在区域D 内解析的充要条件为________________.3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段, 则⎰=cdz z .______________24. 幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径为._____________=R5. 函数zz f 1c o s1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数.______________]),([Re =k z z f s二. 选择题（每题3分，共15分）1. 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 的轨迹是 ( ).(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线2下列函数中为解析函数的是( )(A) xyi y x 222-- (B) xyi x +2(C) )2()1(222x x y i y x +-+- (D) 33iy x +3. 设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( ).(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -(C) ),(),(y x iv y x u - (D)xv i xu ∂∂-∂∂4. 设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的罗朗展开式有m个, 那么 )(=m .(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5. 分式线性变换zz w --=212把圆周1||=z 映射为( )(A)1||=w (B)2||=w (C) 1|1|=-w (D) 2|1|=-w三. (10分) 对于映射⎪⎭⎫⎝⎛+=z z 12ω，求出圆周4=z 的像. 四.(10分) 设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数, 且已知0),(),(22=-+-yx y x yv y x xu , 求函数)(z f .五.(10分) 设)(z f 在)1(><R R z 内解析, 且2)0(',1)0(==f f , 试计算积分dzzz f z z 221)()1(⎰=+, 并由此得出⎰xd e f 202)(2cos θθθ之值.六.(10分) 将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成罗朗级数.七. (10分) 求一分式线性变换, 它把偏心圆环域93:{>-z z 且}168<-z 映射为同心圆环域1<<ωR , 并求非负数R 的值. 八. (10分) 用留数计算积分 ⎰+∞∞-++=32)106(x x dxI .九. (10分) 由下式定义的)(z p n 称为勒让德(Legendrc)多项式:])1([!21)(2nnn nn zdzdn z p -=,试证明)(z p n 能表示为 ⎰+--=cn nn n d z iz p ξξξπ12)(2)1(21)(其中c 是绕z 点的任一正向简单闭曲线. 特别地, 若取c 为圆周12-=-z z ξ,便可推得Laplace 公式: θθπd zz z p nzn )cos 1(1)(02⎰-+=复变函数模拟试题试题(一)答案一. 填空题 (1).2 (2).xv x u ∂∂∂∂,可微且满足.,222222xv yx u yx v xu ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂(3). 2 (4).22 (5).2)2()1(ππ+-k k二. 选择题: 1. (B) 2. (C) 3. (B) 4. (C) 5.(A) 三. 解: 记,,iv u iy x z +=+=ω 则映射)1(2z z +=ω相当于),(222yx iy x iy x iv u +-++=+ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=)(2)(22222y x yy v yx x x u (1) 对于圆周,4||=z 其参数方程为πθθθ20sin 4cos 4≤≤⎩⎨⎧==y x代入式(1)可得其像的参数方程为πθθθ20sin 215cos 217≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==v u这表示ω平面上的椭圆.12152172222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛vu四.解:由题设可知it s yu xv i yv xu iv u iy x z zf +≡++-=++=)())(()(是z 的解析函数,则有,,xt y s y t xs ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂再由022=-+-y x yv xu 得).(22y x s --=于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂x x s yt y ys x t 22 )2()1(由式(1)得⎰+-=+-=)(2)()2(y xy y dx y t ϕϕ代入式(2)得,2)(,0)('2)('2c xy t c y y x y x +-=⇒==⇒-=+-ϕϕϕ所以,2c xy t +-=函数).0()(2)()(222≠+-=⇒+-=+---=+=z zic z z f ic z ic yxi y x it s z zf 将2222))(Im(,))(Re(yx cx y z f v yx cy x z f u ++-==++-==代入所给的等式022=-+-y x yv xu 可验证所求的函数cz zic z z f ,0(,)(≠+-=为实常数).五. 解: 由高阶导数公式021||22)]'()1[(2.)()1(==+=+⎰z z z f z i dz zz f z π.8))0(')0(2(2i f f i ππ=+= 又由复积分公式θθθθπθd ie ee f edz zz f z i i i i z 22021||22)()1()()1(⎰⎰+=+=θθπθd e f i i ⎰+=20)()cos 22(θθπθd ef i i ⎰=202)(2cos4即.2)(2cos 202πθθπθ=⎰d ef i六. 解: 由∑∞=--=-+=)1()1()1(111n nnz z z )1|1(|<-z∑∞=+-+-=--=-01)1(11)]1(1ln[)2ln(n n z n z z (|z-1|<1)可知当1|1|0<-<z 时∑∞=---=--=--0)1()1(11)2ln(111)1()2ln(n nnz z z zz z z z ∑∞=+-+-01)1(11n n z n=∑∞=+--01)1()1(n nn z ∑∞=-+0)1(11n nz n=∑∑=+∞=-+--nk nk n z k n 01)1)(1)1((.七. 解 设21,z z 是关于圆周9|3|=-z 和16|8|=-z 都对称的一对点,那么圆心3, 21,z z 在同一直线上, 圆心8, 21,z z 在同一直线上, 从而 1z 与2z 在圆心3与圆心8的连线上,即21,z z 为实数. 可分别设为,,21x x 由对称点定义得⎩⎨⎧=--=--256)8)(8(81)3)(3(2121x x x x 解之,得.24,021-==x x 这样圆周9|3|=-z 可以写成,3124=+z z 圆周168=-z 可以写成2124=+z z . 分式线性变换24+=z z ρω把,,021∞↔↔x x 且把偏心圆周9|3|=-z 与16|8|=-z 分别映射为以原点0=ω为中心的同心圆周ρω31=与ρω21=, 让16|8|=-z 的像ρω21=对应圆周1=ω(区域的外边界互相对应), 只需取,2,2θρρi e == 从而242+=z z ei θω(θ为实数)将偏心圆环域{}16893:<->-z z z 且映射为同心圆环域,132<<ω 非负数32=R 即可.解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I八. 解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I九. 证 令nnf )1(21)(2-=ξξ, 它在ξ平面上解析. 由高阶导数公式⎰+-=cn n d z f i z fn ξξξπ1)()()(21)(!1 即得⎰+--==-=cn nn n nnn nn d z iz fn z dz dn z p ξξξπ12)(2)(2)1(21)(!1])1[(!21)(再若c 为圆周),20(12πθξθ≤≤-+=iez z 由复积分计算公式, 并记i e z z α1122-=-, 得.)cos 1(1)2()cos 1(21)]2cos(1[21)121121(21)1(2)1121(21)(02220222)(2202022222θθπθπθθπθπθπππππαθθαππθθθd z z a t dt t z z d a ez z d e z z e z d e z e z e z zz z p nnnini i ni nni i n ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-=-+=--+=-++-=--+-+-=--这里用到θcos 是以π2为周期的偶函数.。
复变函数模拟试题答案
复变函数模拟试题试题(一)答案一. 填空题 (1). 2 (2).xv x u ∂∂∂∂,可微且满足.,222222xv yx u yx v xu ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂(3). 2 (4).22 (5).2)2()1(ππ+-k k二. 选择题: 1. (B) 2. (C) 3. (B) 4. (C) 5.(A) 三. 解: 记,,iv u iy x z +=+=ω 则映射)1(2zz +=ω相当于),(222yx iy x iy x iv u +-++=+ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=)(2)(22222y x yy v yx x x u (1) 对于圆周,4||=z 其参数方程为πθθθ20sin 4cos 4≤≤⎩⎨⎧==y x代入式(1)可得其像的参数方程为πθθθ20sin 215cos 217≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==v u这表示ω平面上的椭圆.12152172222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛vu四.解:由题设可知it s yu xv i yv xu iv u iy x z zf +≡++-=++=)())(()(是z 的解析函数,则有,,xt ysy t xs ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂再由022=-+-yx yv xu 得).(22y x s --=于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂x x s y t y y s x t 22)2()1(由式(1)得⎰+-=+-=)(2)()2(y xy y dxy t ϕϕ代入式(2)得,2)(,0)('2)('2c xy t c y y x y x +-=⇒==⇒-=+-ϕϕϕ所以,2c xy t +-=函数).0()(2)()(222≠+-=⇒+-=+---=+=z zic z z f ic z ic yxi y x it s z zf 将2222))(Im(,))(Re(yx cx y z f v yx cy x z f u ++-==++-==代入所给的等式022=-+-y x yv xu 可验证所求的函数cz zic z z f ,0(,)(≠+-=为实常数).五. 解: 由高阶导数公式21||22)]'()1[(2.)()1(==+=+⎰z z z f z i dz zz f z π.8))0(')0(2(2i f f i ππ=+= 又由复积分公式θθθθπθd ieee f edz zz f z i i i i z 22021||22)()1()()1(⎰⎰+=+=θθπθd e f i i ⎰+=20)()cos 22(θθπθd e f i i ⎰=202)(2cos4即.2)(2cos202πθθπθ=⎰d ef i六. 解: 由∑∞=--=-+=)1()1()1(111n nnz z z )1|1(|<-z∑∞=+-+-=--=-01)1(11)]1(1ln[)2ln(n n z n z z (|z-1|<1)可知当1|1|0<-<z 时∑∞=---=--=--0)1()1(11)2ln(111)1()2ln(n nn z z z zz z z z ∑∞=+-+-01)1(11n n z n=∑∞=+--01)1()1(n nn z ∑∞=-+0)1(11n nz n=∑∑=+∞=-+--nk nk n z k n 01)1)(1)1((.七. 解 设21,z z 是关于圆周9|3|=-z 和16|8|=-z 都对称的一对点,那么圆心3, 21,z z 在同一直线上, 圆心8, 21,z z 在同一直线上, 从而 1z 与2z 在圆心3与圆心8的连线上,即21,z z 为实数. 可分别设为,,21x x 由对称点定义得⎩⎨⎧=--=--256)8)(8(81)3)(3(2121x x x x解之,得.24,021-==x x 这样圆周9|3|=-z 可以写成,3124=+z z 圆周168=-z 可以写成2124=+z z . 分式线性变换24+=z z ρω把,,021∞↔↔x x 且把偏心圆周9|3|=-z 与16|8|=-z 分别映射为以原点0=ω为中心的同心圆周ρω31=与ρω21=, 让16|8|=-z 的像ρω21=对应圆周1=ω(区域的外边界互相对应), 只需取,2,2θρρi e == 从而242+=z z ei θω(θ为实数)将偏心圆环域{}16893:<->-z z z 且映射为同心圆环域,132<<ω 非负数32=R 即可.解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I八. 解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I九. 证 令nnf )1(21)(2-=ξξ, 它在ξ平面上解析. 由高阶导数公式⎰+-=cn n d z f i z fn ξξξπ1)()()(21)(!1 即得⎰+--==-=cn nn n nnn nn d z iz fn z dz dn z p ξξξπ12)(2)(2)1(21)(!1])1[(!21)(再若c 为圆周),20(12πθξθ≤≤-+=iez z 由复积分计算公式, 并记i e z z α1122-=-, 得.)cos 1(1)2()cos 1(21)]2cos(1[21)121121(21)1(2)1121(21)(02220222)(2202022222θθπθπθθπθπθπππππαθθαππθθθd z z a t dt t z z d a ez z d ez z e z d ez e z e z zz z p nnnini i ni nni i n ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-=-+=--+=-++-=--+-+-=--这里用到θcos 是以π2为周期的偶函数.。
复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)
5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则 一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列 收敛，则 与 都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设 ，则 .
2.若 ，则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数 的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
，
证明 是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）
2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）
3.函数 与 在整个复平面有界.（）
4.若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程 在单位圆的零点个数为________.
8.设 ，则 的孤立奇点有_________.
9.函数 的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数 的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值.
3.计算积分： ，积分路径为（1）单位圆（ ）的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是 在D解析.
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数与积分变换模拟题
《复变函数与积分变换》模拟题一.单选题1.下列等式中,对任意复数z 都成立的等式是( C ).A.z ∙z̅=Re(z ∙z̅)B.z ∙z̅=Im(z ∙z̅)C.z +z̅=Re(z +z̅)D.z ∙z̅=|z̅|2.下列函数中,不在全平面内解析的函数是( A ).A.w=Re zB.w=z 2C.w=e zD.w=z+cosz3.下列复数中,位于第2象限的复数是( C ).A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i4.下列命题错误的是( D ).A.函数在一点解析一定在该点可导B.函数在一点解析一定在该点的领域内可导C.函数在邻域D 内解析一定在邻域D 内可导D.函数在邻域D 内可导不一定在领域D 内解析5.设C 为正向圆周|z|=1,则21(1)C dz z i -+⎰等于( A ). A.0 B.12πi C.2πi D.πi6.z=0是e z −1z 2( D ).A.二阶极点B.可去奇点C.本性奇点D.一阶极点7.对于幂级数,下列命题正确的是( B ).A.在收敛圆内,幂级数条件收敛B.在收敛圆内,幂级数绝对收敛C.在收敛圆周上,幂级数必处处收敛D.在收敛圆周上,幂级数必处处发散8.解析函数f (z )=u (x,y )+iv(x,y)的导函数为( B ).A.f ′(z )=u x +iu yB.f ′(z )=u x −iu yC.f ′(z )=u x +iv yD.f ′(z )=u y +iv x9.C 是正向圆周|z|=3,如果函数f(z)=( D ),则()0Cf z dz =⎰ A.3z−2 B.3(z−1)z−2 C.3(z−1)(z−2)2 D.3(z−2)210.下列结论正确的是( D ).A.如果函数f(z)在z 0点可导,则f(z)在z 0点一定解析B.如果f(z)在C 所围成的区域内解析,则()0Cf z dz =⎰ C.如果()0Cf z dz =⎰,则函数f(z)在C 所围成的区域内一定解析 D.函数f (z )=u (x,y )+iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在该区域内均为调和函数.11. 下列结论不正确的是( B ).A.∞为sin 1z 的可去奇点B.∞为sin z 的本性奇点C.∞为1sin 1z 的孤立奇点 D.∞为1sin z 的孤立奇点12.下列结论不正确的是( C ).A.lnz 是复平面上的多值函数B.cosz 是无界函数C.sinz 是复平面上的有界函数D.e z 是周期函数.13.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在( C ).A.2-=z 点条件收敛B.i z 2=点绝对收敛C.i z+=1点绝对收敛 D.i z 21+=点一定发散.14、a=( A )时f(z)=x 2+2xy -y 2+i(ax 2+2xy+y 2)在复平面内处处解析.A.-1B.0C.1D.2二.判断题1.若函数f(z)在区域D 内解析,则f(z)在区域D 内沿任意一条闭曲线C 的积分为0.( ✘ )2.z=0是sin z z 的一阶极点.( ✘ )3.不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同.( ✔ )4.函数在某区域内的解析性与可导性等价.( ✔ )5.若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析当且仅当ðu ðx ,ðu ðy ,ðv ðx ,ðv ðy 连续且满足柯西-黎曼方程.( ✘ )6.若u(x,y)的共轭调和函数,那么v(x,y)是(x,y)的共轭调和函数.( ✘ )7.函数若在某点可导一定在该点解析.( ✔ )8.函数在一点解析的充要条件是它在这点的邻域内可展开成幂级数.( ✘ )9.2cos 10zz z -=是的本性奇点.( ✘ )三.填空题 1.0!nn z n ∞=∑的收敛半径为 ∞ 。
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
复变函数考试卷试题及答案
应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1． 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。
（A ）单连通区域）单连通区域 （B ）多连通区域）多连通区域 （C ）开集非区域）开集非区域 （D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。
()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3． 下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。
()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（ ）。
()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5． 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（ ）。
()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。
2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。
复变函数模拟试卷答案
复变函数模拟试卷答案一、单项选择题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分.共8小题，每小题2分，共16分）1．A ． 2．C ． 3．A ．4．D ．5．B ． 6．A . 7．D 8．A.二、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分.共8小题，每小题2分，共16分）1.方程1z e -=的解为 ln 2(2),3i k k Z ππ++∈. 2.设区域D 的边界为围线C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则解析函数)(z f 可有积分表达式为ξξξπd z f i z f c⎰-=)()(21)(. 3.设3223,()(3)(3)z x yi f z x xy x y y i =+=-+-，则()f z '＝22336x y xyi -+或23z ．4．幂级数0(1)n n n z +∞=+∑的和函数为21,||1(1)z z <-. 5．若1()2f z z=+, 则0Re ()z s f z == 1 ；Re ()z s f z =∞= -1 . 6．将()cos f z z =按z 的幂展成的幂级数为 )()!2()1(02+∞<-∑∞=n nn z n z .7．若380z +=，则=z )2,1,0(232=+k e k i ππ . 8．方程855210z z z --+=在单位圆内的零点个数为____5____。
三、判断分析题（要求写出充分的理由.每小题4分，共8分）1、函数()f z z =在z 平面上解析。
答：()f z z =在z 平面上不解析。
因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ∂=∂，1v y ∂=-∂，0u y ∂=∂，0v x ∂=∂ 但是11u v x y∂∂=≠-=∂∂，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。
复变函数考试题及答案
复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。
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C. D.
4、积分 的值为（）
A．4 B. C. D.0
5、函数 在 留数为（）
A.1B.-1C. D.
三、证明题
1、证明
2、若函数 在区域 内解析，且 ，证明： 在区域 内为常数.
四求函数 在（1） 三个区域的罗朗展式.
五、计算积分
六、1、设 在上解析，在 上有 证明：
2、计算积分 ，其中 为不通过0与1的周线。
一、填空题
1、 =。
2、 =。
3、 。
4、 。
5、 。
6、 。
7、 。
8、 =。
9、若 ，则 。
10、函数 在 的邻域内的Taylor展式为。
二、选择题
1、 是函数 的（）
A．一阶极点B.本性奇点C.可去奇点D.零点
2、幂级数 的收敛半径是（）
A. B. C.2 D.1
3、设 在 平面上解析，则（）
A．4 B. C. D.0
5、函数 在所有有限奇点留数的和为（）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
三、证明题
1、 三点适合 ，证明： 是正三角形顶点。
2利用积分 的值证明：
四（10分）求函数 在点 邻域的罗朗展式。
五、计算积分
1、设 的收敛半径R 0，且 ，证明：在圆
2、计算积分 ，其中 为不通过0与1的周线。
一、填空题
1、 。
2、 。
3、 。
4、 。
5、 。
6、 。
7、 。8、若 、选择题
1、 是函数 的（）
A．一阶极点B.本性奇点C.可去奇点D.零点
2、幂级数 的收敛半径是（）
A. B. C.2 D.1
3、设 在 平面上解析，则（）
A． B. ，
C. D.
4、积分 的值为（）