概率论与数理统计+第八章+假设检验+练习题答案

八、假设检验Ⅲ、 典型例题分析〖填空题〗例8.0 (两类错误概率) 假定X 是连续型随机变量，U 是对X 的（一次）观测值；关于其概率密度)(x f 有如下假设：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=若不然．若：若不然；若：,0,20,2)(H ,0,20,21)(H 10x x x f x x f检验规则：当事件{}23>=U V 出现时否定假设0H 接受1H ．则检验的第一类错误概率 α= ；检验的第二类错误概率β = ．分析 由检验的两类错误概率βα 和的意义，知{}41d 21H 23230==>=⎰x U P α； 169d 2}H 2/3{2301==≤=⎰x x U P β． 例8.2(假设的类型) 设新购进五部移动电话机，以θ表示其中有质量问题的部数，则假设0H ：最多一部有质量问题，即1H 0≤θ：是 假设；若视0H 为基本假设，则备选假设(对立假设)为1H ： ．分析 假设0H 可以表示为“1H 0≤θ：”，包含θ=0和θ=1两种情形，因此是复合假设．视0H 为基本假设，则备选假设（对立假设）为1H ：θ>1或1H ：θ≥2 (至少两部有质量问题，包括θ=2,3,4,5)．例8.3(两类错误概率) 关于泊松随机质点流的强度 (每分钟出现的随机质点的期望数) λ有两个二者必居其一的假设，0H ：λ=0.5和1H ：λ=1．以10ν表示十分钟出现的随机质点数．设检验规则为：当10ν>7时否定0H 接受1H ，则检验的第一类错误概率 α= ；检验的第二类错误概率β = (只要求写出表达式) ．分析 由于10ν服从参数为10λ的泊松分布，则{}{}．； 2203.0e !1017 1334.0e !55.07710108510≈==≤=≈==>=∑∑=-∞=-k k k k k k λνβλναP P 例8.6（否定域） 假定总体X~()1,μN ，关于总体X 的数学期望μ的假设0 H 0=μ：；基于来自总体X 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X ．则假设H 0的水平0.05的否定域为： ．分析 在已知2σ=1的情况下，假设0H 0=μ：的检验的统计量)1,0(~39100N X X nX U =-=-=σμ．因此假设H 0的水平α=0.05的否定域为{}{}96.1396.1≥=≥=X U V ．例8.10 假设总体X 服从正态分布()23,μN ；()2521,,,X X X 是来自总体X 简单随机样本，0μ是已知常数，X 是样本均值．考虑00H μμ=：的形如{}C X V ≥-=0 μ的水平为0.05的否定域，则其中的未知常数=C ．分析 检验的统计量)1,0(~253000N X n X U μσμ-=-=因此，有{}{}C X X U ≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯≥-=≥=0025396.196.105.0μμP P P ；由此可见176.15396.1=⨯=C ．〖选择题〗例8.11(两类错误概率) 假定总体X~()1,μN ，关于总体X 的数学期望μ有两个假设：1H 0H 10==μμ：：和设921,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值；以αu 表示标准正态分布水平α双侧分位数；则在4个选项所列举的H 0的水平α=0.05的否定域中，第二类错误概率最小的否定域是(A) {}05.013u X V ≥=． (B) {}95.02 3u X V ≤=． (C) {}10.033u X V ≥=． (D){}10.043u X V -≤=． [ C ]分析 应选(C)．由于总体的方差等于1已知，可见假设10H H 对检验应使用统计量)1,0(~3910N X X U =-=． 显然，由于10H H 和都是简单假设，可见检验的第一类错误概率)4321(05.0)H (0,,,i V i ==P ；第二类错误概率为)(1H V i i P =β．经计算，得99999.0,0885.0,9573.0,01492.04321====ββββ．注意，该题的计算量是很大的．不过，解选择题时应尽量避免计算，要发挥“直观判断力”．统计量X U 3=的值实质上反映μ与0的差异，因此当其值大于某个临界值时否定0H 最合理．例8.13（t 检验）考虑正态总体()2,~x a N X σ和()2,~y b N Y σ相互独立，其中4个分布参数都未知．设()m X X X ,,,21 和()n Y Y Y ,,,21 是分别来自X 和Y 的简单随机样本，样本均值分别为X 和Y ，样本方差相应为2x S 和2y S ，则检验假设H 0：b a ≤：H 使用t 检验的前提条件是(A) 2x σ≤2yσ． (B) 22y x S S ≤． (C) 2x σ=2y σ． (D) 22y x S S =． [ C ] 分析 因为t 检验使用统计量nm mn S Y X t xy+-=， 2)1()1(222-+-+-=n m S n S m S y x xy ．只有当选项（C ）即2x σ=2y σ成立时才能导出统计量t 的抽样分布——t 分布，并且根据t 分布来构造t 检验．〖解答题〗例8.15(两类错误概率) 设新购进五部移动电话机，关于其质量有如下假设0H ：最多一部有质量问题．采用如下检验规则：若在随意取出的两部中发现其中有存在质量问题者，则否定0H ．试就假设0H 和备选假设1H 的各种可能情形，求此检验的两类错误概率．解 以2ν表示随意取出的两部中有质量问题的件数，则}1{2≥=νV 是假设0H 的否定域．以θ表示有质量问题的电话机部数；记()θθϕV P =)(——当有质量问题电话机为θ部时否定0H 的概率，其中0H 1H 10=≤θθ：，：．易见，对于θ=0和θ=1，)(θα是第一类错误概率；对于θ=2,3,4,5，}{)()(1)(5θνθθϕθβP P ==-=V 是第二类错误概率，其中}0{2==νV ．因此，有{}{}{}{}{}{}．； 050)5( , 040)4( , 1.0130)3( , 3.0320)2( 4.0411)1( , 001)0(222522522522=====================≥===≥=θνβθνβθνβθνβθναθναP P P P P P C C C 将计算结果列在下面的表中． 例8.13的计算表例8.16(构造t 检验) 假设总体X 服从正态分布()2σμ,N，其中参数μ和2σ未知；关于数学期望μ有如下假设0H ：μ=0μ，其中0μ是已知常数．试根据来自总体X 简单随机样本()n X X X ,,,21 ，建立假设0H 的显著性检验的水平α否定域．解 分别以X 和S 表示样本均值和样本标准差．由(6.15)式知统计量nSX t 0μ-=服从自由度为ν=n －1的t 分布．因此，有{}αα=≥-1 , || n t t P ，其中1 , -n t α是自由度为ν=n －1的t 分布水平α＝0.05双侧分位数．于是，{}1 , -≥=n t t V α是假设0H 的显著性水平为α的否定域．例8.17（t 检验） 假设某种钢筋的抗拉强度X 服从正态分布),(2σμN ．现在从一批新产品钢筋中随意抽出了10条，测得样本标准差30=S kg ，抗拉强度平均比老产品的平均抗拉强度多20 kg ．问抽样结果是否说明新产品的抗拉强度比老产品有明显提高？解 需要检验假设00H μμ≤：，其中0μ表示老产品的平均抗拉强度．由题的条件知，样本容量n=10，样本标准差S =30；0μ-X =20，其中X 表示10条钢筋的抗拉强度算术平均值——样本均值．检验的统计量10S X t μ-=服从自由度为9的t 分布．对于0μ-X =20，S =30和n=10，得统计量t 的值为2.1082；由附表2可见9,05.0t =2.262，在显著性水平0.05下应否定00H μμ≤：，即说明新产品的抗拉强度比老产品有明显提高．例8.18(t 检验) 环境保护条例的标准规定，在排放的工业废水中有害物质A 的含量不得超过1‰．按制度每周随机抽样化验4份水样，以X 表示4份水样中有害物质A 的含量的算术平均值(‰)．假设化验结果()2,~σμN X ，试求在水平α＝0.05下可以认为“有害物质A 的含量超标”的X 的临界值C ．解 问题可以化为假设0H ：μ≤0μ=1‰对假设1H ：μ>0μ=1‰的检验问题，属于表8.1的情形2，假设0H 的水平α＝0.05否定域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥-=--n S t X t n S X V n ,n ,120120ααμμ．该式中C n St n ,=+-120αμ即所要求临界值，其中0μ=1‰，4=n ，2α＝0.10，S 是4次化验结果的样本标准差，3 , .100t =2.353是自由度为3的t 分布水平0.10双侧分位数．将有关数据代入后得C =1‰+1.177S ，即当c X ≥时，否定假设0H ：μ≤0μ=1‰，认为“有害物质A 的含量超标”．如4份水样中有害物质A 的含量的算术平均值X =0.12‰，标准差S =0.05‰，则C = 1.06‰．例8.19(2χ检验和t 检验) 对某种袋装食品的质量管理标准规定：每袋平均净重500g ，标准差不大于10g ．现在从要出厂的一批这种袋装食品中随意抽取了14袋，测量每袋的净重，得如下数据：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15．假设这种袋装食品每袋的重量X 服从正态分布()2,σμN ．试在显著性水平α=0.05下，检验这一批袋装食品每袋平均净重μ和标准差σ是否符合标准．（取显著性水平0.10．）解 问题的要求检验假设0H ：μ=0μ=500和假设0H ~：σ≤10．样本容量为14=n ；经计算可得X =503.64，11.11=S ，2S =123.43．(1) 检验假设0H ：μ=0μ=500，属于表8.2中的情形1，用t 检验，有23.11411.1150064.5030=-=-=nSX t μ．由表8.2知0H 的否定域为V={}1, －n t t α≥．由(6.20)式知统计量t 服从自由度为ν=n －1=13的t 分布．将n =14，X =503.64，11.11=S 代如上式，得t =1.23．由附表4查出自由度为13的t分布水平α＝0.20和α＝0.30的双侧分位数：13 , .100t =1.771．由于t =1.23<1.771，故抽验结果表明，在水平0.10下不能否定“μ=500g”的假设．(2) 检验假设0H ~：σ≤10，属于表8.3中的情形2，用2χ检验，有()10043.1231312022⨯=-=σχS n =16.05．由附表6查出自由度为13的2χ分布水平α＝0.10和α＝0.30的上侧分位数：213 , 100.χ=19.8129．由于213 , 10.0205.16χχ<=，故不能否定假设0H ．8.22(F 检验和t 检验) 为研究一种化肥对某种作物的效力，选了13 块条件相当的地种植这种作物，在其中6块上施肥，在其余7块上不施肥．结果，施肥的平均单产33kg 、方差3.2；未施肥的平均单产30kg 、方差4．假设产量服从正态分布，问实验结果能否说明此肥料提高产量的效力显著？(取显著性水平0.10)．解 以X 和Y 分别表示施肥和不施肥地块单位面积产量，并且根据假设),(~),(~2221σσb N Y a N X ，．由条件知，基于来自X 的容量为m =6的简单随机样本，测得样本均值X =33，样本方差2x S =3.2；基于来自Y 的容量为n =7的简单随机样本，测得样本均值Y =30，样本方差2y S =4；X 和Y 的联合样本方差222291.11165=+=yx xyS S S ．(1) 为比较两种情形的平均单位面积产量，先检验假设22210:H σσ=，检验的统计量 22yx S S F =服从自由度为(5,6)的F 分布．将2x S =3.2和2y S =4代入上式，得F =0.8；由附表7，查出自由度为(5,6)的F 分布水平0.975和0.025的两个上侧分位数：)5,6()6,5(1025.0975.0-=F F =1/6.98=0.143；99.5)6,5(025.0=F ．由于统计量F =0.8介于0.143和5.99之间，从而可以认为假设22210:H σσ=成立，因此可以用t 检验比较X 和Y 的均值a 和b ． (2) 为判断此肥料提高产量的效力是否显著，需要检验假设b a ≤:H 0，假如0H 被否定，则说明a 显著大于b ．采用t 检验，检验的统计量nm mnS YX t xy+-=服从自由度为2-+n m 的t 分布．对于X =33， 2x S =3.2，m =6；Y =30，2y S =4，n =7，得统计量t 的值为2.828；由附表4可见11,10.011,2t t =α=1.796，在显著性水平α=0.05下应否定b a ≤:H 0，即说明肥料提高产量的效力显著．例8.23(2χ检验) 标准差σ是衡量机床加工精度的重要特征．在生产条件稳定的情况下一自动机床所加工零件的尺寸服从正态分布，假定设计要求σ不得超过0.5mm ．为控制生产过程，定时对产品进行抽验：每次抽验五件，测定其尺寸的标准差S ．试制定一种规则，以便根据S 的值判断机床的精度是否降低了（取显著性水平05.0=α）．解 要求为样本标准差确定一个上限0S ：当0S S ≤时认为精度符合设计要求，当0S S >时则认为精度比设计要求降低了．临界值0S 的确定，可以通过构造假设检验的方法解决．设零件的尺寸),(~2σμN X ．考虑假设0100H H σσσσ>≤：对：的检验，其中0σ=0.5mm ．检验基于来自总体X 的容量为n=5的简单随机样本，检验的统计量2225.04S =χ服从自由度为n －1=4的2χ分布．对于显著性水平α=0.05和自由度4，由附表3可见， 488.924,05.0=χ从而得假设 H 00σσ≤：的水平α=0.05的否定域 {}{}77.0488.95.04488.9222≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=≥=S S V χ．于是，为控制机床的加工精度，需要制定如下规则：定时抽样，每次抽验五件，测定其尺寸的标准差S ，当S >0.77时认为机床的精度降低了（显著性水平为0.05）．〖证明题〗例8.25（近似U 检验） 总体n X X X N X ,,,)1,(~21 ，μ是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值，)(0μ-=X n U ，其中0μ是已知常数．记}96.1{≥=U V ，证明(1) 对于假设00H μμ=：，以V 做否定域的检验的第一类错误概率等于0.025； (2) 对于假设)(H 0*0μμ<=a a ：，以V 做否定域的检验的第一类错误概率小于0.025． 证明 (1) 易见，对于假设00H μμ=：，统计量)1,0(~)(0N X n U μ-=．因此，第一类错误概率025.0}H 96.1{0=≥U P ．(2) 易见，对于假设)(H 0*0μμ<=a a ：，统计量),1,0(~)(),1,(~)()()(000N a n U U N a n a X n X n U μμμ--=∆-∆-+-=-=，其中0)(0<-=μ∆a n ．因此，当假设)(H 0*0μμ<=a a ：时，有{}{}{}．025.0H 96.1 H 96.1 H 96.1 *0*0*0=≥-<-≥-=≥∆∆∆U U U P P P 即第一类错误概率小于0.025．例6.16 用传统工艺加工的某种水果罐头中每瓶VC 含量平均为19mg, 现采用了新的加工工艺，试图减少在加工中对VC 的破坏，抽查了16瓶罐头，测得VC 的含量（单位：mg ）为23 20.5 21 22 20 22.5 19 20 23 20.5 18.8 20 19.5 22 18 23 已知水果罐头中VC 含量服从正态分布，分别在方差42=σ和2σ未知的情况下，问新工艺下VC 含量是否比旧工艺有显著提高（01.0=α）？例6.17 某项考试要求成绩的标准差为12，现从考试成绩单中任意取15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的成绩标准差是否不合要求（05.0=α）？例6.18 测得两批电子器件的样品的电阻（欧姆）为设这两批器件的电阻值总体分别服从),(211σμN ),(222σμN ，且两样本独立.（1） 检验假设（α=0.05）2221122210::σσσσ≠=H H ； （2） 在（1）的基础上检验（α=0.05）211210::μμμμ≠'='H H ； 解 （1）2221122210::σσσσ≠=H H ； 由于两样本选取来自于不同的正态母体，且212121,,,σσμμ未知，故检验统计量取2221s s F = 拒绝域为()()15.75.51,1025.0212==--≥F n n F F α()()14.05.51,1025.012121==--≤--F n n FF α94948.00000071.050000337061.022212221====s s F s s由于0.14<F<7.15 故接受0H .（2）211210::μμμμ≠'='H H ；由于两样本取样于不同的正态母体，且212121,,,σσμμ未知，故检验统计量取，且2221,σσ故检验统计量取2111n n S y x t +-=ω其中()()211212222112-+-+-=n n s n s n S ω14067.0,000033706.05.6211===x s n1385.0,0000355.05.6222===y s n拒绝域为()()2281.21010025.02==≥t t t α2281.214287.0<=t 故接受'0H 。