向量讲义(高三向量讲义)

平面向量第一讲 平面向量的概念和基本性质一、平面向量的概念1、向量的概念：既有方向，又有大小的量叫做向量。

2、向量的表示方法：3、单位向量、零向量、平行向量、向量的模、相等向量【例题1】下列四个命题中，正确的有：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一条直线上。

其中真命题的序号为【变式1】如图，已知ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：（1）图中与AB共线的向量有 （2）图中与AB相等的向量有（3）图中与AB模相等的向量有（4）图中与EC相等的向量有【变式2】判断下列命题的真假：（1）单位向量都共线（2）单位向量都相等；（3）共线的单位向量比相等；（4）与非零向量a 共线的单位向量是a a二、平面向量的线性运算 1、平行四边形法则：(1)加法：平移——首尾相连DC DB DB BE DE +=+=（2）减法：DB DC CB -=2、三角形法则：AB BC AC+=AB AC CB -=首尾相连是相加，消去共同的字母。

共同起点是相减，终点减去起点。

EEDaa【例题1】如图，在△ABC 中，AB=3，AC =4，BC =5，D ，E 分别是△ABC 的内心和外心，DE mAB nAC =+，则m+n=【变式1】如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=例题1 变式1 变式2【变式2】在△ABC 中，AB 边上的高CD ，若,,CB a CA b ==且a ·b=0，|a |=1，|b |=2，则AD =【变式3】在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，若,,AC a BD b ==则AF =【变式4】设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点，12,,23AD AB BE BC ==若121212(,DE AB AC λλλλλλ=++=为实数），则 【变式5】在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若,AO AB BC λμλμ=++=则【例题2】已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，AD =2，BC =1，点P 是腰CD 上的动点，则3PA PB +的最小值为【变式1】在直角三角形ABC 中，点D 为斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PB PC+=【变式2】在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，则下列不等式不成立的是()()22222....A AC AC AB B BC BA BCAC AB BA BC C AB AC CDD CD AB=⋅=⋅⋅⋅=⋅= 【变式3】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的CA任意一点，则OA OB OC OD +++=..2.3.4AOM B OM C OM D OM【例题3】在平面上，121212,1,AB AB OB OB AP AB AB ⊥===+ ，若12OP < ，则OA的取值范围是 【变式1】记{}{},,,,max ,min ,,,,,x x y y x y x y x y y x y x x y ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩设a,b 为平面向量，则 {}{}{}{}{}{}22222222.min ,min ,.min ,min ,.max ,.max ,A a b a b a b B a b a b a b C a b a babD a b a bab+-≤+-≥+-≤++-≥+三、三点共线和定比分点定理1、三点共线：A,B,C 三点共线⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+【例题4】在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N ，若,AB mAM AC nAN ==,则m+n=【变式1】在△ABC 中，已知D 是边AB 上的一点，若12,=3AD DB CD CA CB λλ==+，则2112....3333A B C D --【变式2】在△ABC 中，H 是边BC 上异于B,C 上的任意一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+,则+=λμ【变式3】已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线AB,AC 分别交于M,N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，则xyx y=+ 【例题5】如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段AB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是 ，当12x =-时，y 的取值范围是【变式1】在△ABC 中，若AB=3，AC =4，BC =5，点D 是边BC上的动点，+AD xAB yAC =，当xy 取最大值时，AD 的长为【变式2】已知点G 是△ABC 的重心，点P 是△GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+A的取值范围是【变式3】在△ABC 中，AB =4，AC =8，∠BAC =60°，延长CB 到D ，使得BA=BD ，当点E在线段AB 上移动时，若,AE mAC nAD =+当m 取最大值时，m+n 的值为【变式4】在边长为1的等边△ABC 中，E,F 分别是边AB,AC 上的动点，且满足,AE mAB AF nAC ==，其中m,n ∈（0,1），m +n =1，M,N 分别是EF ，BC 的中点，MN 的最小值为【变式5】在△ABC 中，若∠BAC =120°，AB=2，AC =1，D 是BC 边上的一点（包括端点），AD BC ⋅的取值范围为2、线段定比分点的应用在△ABC 中，若D 是BC 上的一点，且(1)BD DC λλ=≠-，则向量1AB AC AD λλ+=+【例题6】在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若,,1,2C B aC A b a b ====，则CD =【变式1】在△ABC 中，,,2,AB c AC b D BD DC AD ====若点满足则【变式2】在△ABC 中，已知P 是边AB 上的一点，且21,33CP CA CB AP t AB =+=，则t的值为【变式3】已知点A1），B （0,0），C0），设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ=【变式4】在△ABC 中，已知P 是边AB 上的点，且2133CP CA CB =+，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的焦点为M ，又CM tCP =，则t 的值为第一讲课后作业一、选择题：1.如图，D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点，则.0.0.0.0A AD BE CFB BD CF DFC AD CE CF D BD BE FC ++=-+=+-=--=2.如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=第1题 第2题3.已知平面上不共线的四点O,A,B,C ，若430OA OB OC -+=，则AB BC=A.3B.4 C .5 D .64.已知△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++= ,若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =A.2B.3C.4D.5 二、填空题：5.设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点，AD =12AB ，BE=23BC ，若12DE AB AC λλ=+12(,λλ为实数），则12λλ+的值为 6.△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m 的值为7.已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++=8.已知点G 是△ABC 的重心，(,AG AB AC R λμλμ=+∈），则+=λμ ，若∠BAC =120°，则AG的最小值为三、解答题：BF C9.如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN=13BD ，求证：M,N,C 三点共线.10.如图，点O 是梯形ABCD 的对角线的交点，462AD BC AB ===，，，设与BC同向的单位向量为a ，与BA同向的单位向量为b ．（1）用a ，b 表示,,AC CD OA.（2）如点P 在梯形ABCD 所在的平面运动，且2CP =，求BP的最大值和最小值.BP第二讲 向量的数量积及其应用（一）一、向量的夹角、数量积及其几何意义 1、向量的夹角：（1）向量夹角的概念：已知两个非零向量a,b ，作,OA a OB b==，则∠AOB =θ叫做向量a,b 的夹角. （2）向量夹角的取值范围：[]0,θπ∈，当a,b 同一方向时，θ=0；当a,b 相反方向时，θπ=；当当a,b 垂直时，记作：a ⊥b ，此时，2πθ=.2、向量的数量积：已知两个非零向量a,b ，夹角为θ，则a ·b=|a |·|b |cos θ，我们把|a |·|b |cos θ称之为数量积或者向量的内积.同时，我们规定，零向量与任一向量的积为0.3、向量数量积的几何意义：我们把cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. a ·b 的几何意义是a ·b 等于长度a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积.【例题1】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则实数t 的值为【例题2】如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5，3,2CP PD AP AD =⋅=，则AB AD ⋅=【变式1】在△ABC 中，AB =1，AC=2，O 为△ABC 的外接圆的圆心，则AO BC ⋅=【变式2】已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=【变式3】在边长为1的等边三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=【变式4】在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP=3，则AP AC ⋅=【变式5】如图所示，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =2，AC=1，D 是BC 上一点，DC=2BD ，则AD BC ⋅=Bo A CBC【例题3】如图所示，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF ⋅= AE BF ⋅=【变式1】若等边△ABC的边长为M 满足：1263CM CB CA =+，则MA MB ⋅=【变式2】如图所示，在△ABC 中，AD ⊥AB，,1BC AD ==，则AC AD ⋅=【例题4】已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E,F 分别在边BC,DC 上，BC=3BE ，DC =λDF ，若1AE AF ⋅=，则λ=【变式1】在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，若1AC BE ⋅=，则AB 的边长为【变式2】在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =1，AC =2，设点P ,Q 满足(),1AP AB AQ λλ==- ,AC R λ∈ ，若2BQ CP ⋅=-，则λ=【例题5】在平行四边形ABCD 中，∠BAD =3π，边AB,AD 的长分别为2，1.若M,N 分别是边BC,CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅的取值范围是【变式1】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅=， DE DC ⋅的最大值为【变式2】在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM =2，则()O A O B O C ⋅+的最小值为AA B C【变式3】设e 1，e 2是单位向量，非零向量()12,b xe ye x y R =+∈，若e 1，e 2的夹角为6π，则x b的最大值等于二、向量数量积的坐标表示：1、若a =()11,x y ，b=()22,x y ，则a ·b=1212x x y y +.2、向量数量积的性质：设向量a,b 都是非零向量，e 单位向量，θ是向量a 与b 的夹角，则： （1）e ·a=a ·e=|a|cos<a,e> （2）a ⊥b ⇔ a ·b=1212x x y y +=0（3）a ·a=a 2=|a|2=22x y +或者：a =（4）a ，b 方向相同时，a ·b =|a |·|b |；a ，b 方向相反时，a ·b = -|a |·|b | （5）cos a ba bθ⋅==⋅（6）-|a |·|b |≤a ·b ≤|a |·|b | 3、向量数量积的运算律： （1）a ·b=b ·a （2）()()a b a b λλ⋅=⋅ （3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅【例题6】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1，-2)，B （2，3），C （-2，-1） （1）求以AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅=，求t 的值.【变式1】已知向量a=(1，2)，b=（-2，m ），x =()211,a t b y ka b t++=-+,m ∈R ，k ，t 为正实数.（1）若a ∥b ，求m 的值； （2）若a ⊥b ，求m 的值；（3）当m=1,时，若x ⊥y ，求k 的最小值.【变式2】已知m,x ∈R ，向量a =(x ，-m )，b=((m+1)x ，x ) （1）当m>0时，若|a |<|b |，求x 的取值范围；（2）若a ·b>1-m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围.【变式3】如图，△ABC是边长为P 是以C 为圆心、1为半径的圆上的任意一点，求AP BP ⋅的取值范围.【变式4】如图，在面积为2的△ABC 中，E,F 分别是边AB,AC 的中点，点P 在直线EF 上，求2PC PB BC ⋅+ 的最小值.ABC第二讲课后作业一、填空题：1、在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，AD =8，BC =20，则AB AC ⋅=2、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =4，若点D 满足2AD DB =-，则CD =3、在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，-1），B （-3，-4），点C 在∠AOB 的平分线上，且OC =C 的坐标为4、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD=DC=1，AB =3，动点P 在△BCD 内运动（含边界），设(),,AP AB AD R αβαβ=+∈，则+αβ的取值范围是 5、如图，在△ABC 中，已知∠BAC =3π，AB=2，AC =3，2,3DC BD AE ED == ，则BE=第4题图 第5题图6、已知向量a=（4,5cos α），b=（3，-4tan α），α∈（0，2π），若a ⊥b ，则|a+b |= 7、在平面四边形ABCD 中，E,F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB =1，EF若15AD BC ⋅= ，则AC BD ⋅=8、设O 是△ABC 的外心，且2220OA AC AB -+=，则BC AO ⋅的取值范围是二、解答题：9、如图，在等腰△ABC 中，已知AB=AC=1，∠A =120°，点E,F 分别是边AB,AC 上的点，且,AE mAB AF nAC == ，其中，m,n ∈（0，1），若EF ,BC 的中点分别为M,N ，且m+4n=1，求MN的最小值.BD CBB10、如图，半径为1，圆心角为32π的圆弧 AB 上有一点C . （1）若C 为圆弧 AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求OC OD +的最小值；（2）若D,E 分别是OA,OB 的中点，当C 在圆弧 AB 上运动时，求CE DE ⋅的取值范围.第三讲 向量的数量积及其应用（二）三、平面向量计算的几个常用结论：1、a b a b ⋅≤⋅（当且仅当向量a,b 方向相同时取得等号）；2、()2222a b a a b b ±=±⋅+；3、()()22a b a b a b +-=-；4、a b a b a b -≤±≤+【例题7】设向量a,b,c 满足：a+b+c =0，且（a-b ）⊥c ，a ⊥b ，若|a |=1，则|a |2+|b |2+|c |2的值为【变式1】已知平面上三点A,B,C 满足：3,4,5AB BC AC ===，则A B B C B C C A ⋅+⋅CA AB +⋅=【变式2】ABC 中，设,,AC b BC a AB c ===，则a ·b+a ·c+b ·c=【变式3】设向量a,b,c 满足a+b+c=0，且a ⊥b ，|a |=1，|b |=2，则|a |2+|b |2+|c |2=【例题8】如图所示，给定两个长度为1的平面向量,OA OB，它们的夹角为120°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，x,y ∈R ，则x+y 的最大值是【变式1】已知向量,AB AC的夹角为120°，且3,2AB AC == ，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥，则实数λ=【变式2】已知21,,3OA OB k AOB π==∠= ，点C 在∠AOB 内，0OC OA ⋅= ，若()20OC mOA mOB m =+≠，则k=四、投影问题和向量的夹角：1、投影问题：向量a 在b 方向的投影为|a |cos<a,b >，向量b 在a 方向的投影为|b |cos<a,b >，其中<a,b >为向量a,b 的夹角.【例题8】已知点A （-1，1）B （1，2）C （-2，-1）D （3，4），则向量AB 在CD方向上的投影为【变式1】设12,e e 为单位向量，且12,e e 的夹角为60°，拖1213,2a e e b e =+=，则向量a 在b 方向上的投影为【变式2】设A （a ，1）B （2，b ）C （4，5）为坐标平面上的三点，O 为坐标原点，若OA与OB 在OC方向上的投影相同，则a 与b 满足关系式2、夹角问题：cos ,a ba b a b ⋅<>==⋅ 【例题9】若向量a,b 不共线，a ·b ≠0，且a a c a b a b ⋅⎛⎫=-⋅⎪⋅⎝⎭，则向量a,c 的夹角为 【变式1】在△ABC 中，已知2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则∠ACB = 【变式2】在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a,b,c ，重心为G ，若aG A b G B ++ cGC=0，则∠A =【例题10】已知非零向量a,b,c 满足a+b+c =0.（ |b |·a-|a |·b ）·c=0，且2（a ·b ）=|a |·|b |，则由向量a,b,c 构成的三角形的三个内角的度数分别为【变式1】已知a,b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题，其中正确的是123422:10,:1,33:10,:1,33p a b p a b p a b p a b ππθθπππθθπ⎡⎫⎡⎫+>⇔∈+>⇔∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎡⎫⎡⎫+<⇔∈+>⇔∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【变式2】已知△ABC 的面积为S，满足3S ≤≤6AB AC ⋅= ，则AB 与AC的夹角θ的取值范围是 五、数量积的推广与构造： 在△ABC 中，存在：222222222222AB AC BC AB BC ACAB AC AB BC AC BC ABAC BC +-+-⋅=⋅=+-⋅=【例题11】在△ABC 中，已知AB=2，AC =3，1AB BC ⋅=，则BC 的长为 【变式1】已知△ABC 中，AB ⊥AC ，AC =2，D 是线段BC 延长线上的一段，若2BD BC =，则AC AD ⋅=【变式2】已知△ABC 中，AB=1，AC =3，若O 是该三角形内的一点，满足()0,OA OB OC OB OC +⋅==，则AO BC ⋅ =六、向量与不等式：对于向量a,b有：-|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|【例题12】若向量a，b的夹角为60°，|a|=1，|b|=1，c与a+b共线，则|a+c|的最小值为【变式1】若向量a，b，c为三个非零向量，则a b cpa b c=++的取值范围是【变式2】若平面向量a，b满足|2a-b |≤3，则a·b的取值范围是【例题13】设向量a，b，c满足|a|=1，|b|=1，a·b<12-，<a-c, b-c>=60°，则|c|的最大值为【变式1】已知a，b是单位向量，a·b=0，向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为【变式2】已知a是平面内的单位向量，向量b满足b（a-b）=0，则|b|的取值范围是【变式3】若向量a，b满足（a-c）（b-c）=0，则|c|的最小值为第三讲课后作业一、填空题：1、在△ABC 中，|AB |=3，|AC |=2，L 为BC 的垂直平分线，D 为BC 的中点，E 为直线L 上异于D 的一点，则()AE AB AC ⋅-=2、P 为△AOB 平面内的一点，向量,OA a OB b ==，且MP 为线段AB 的垂直平分线，M 为垂足，向量OP c =，若|a |=3，|b |=2，则c (a -b )=3、△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，20,OA AB AC OA AB ++== ，则向量BA在向量BC上的投影为4、在直角△ABC 中，AB =4，AC =2，M 是斜边BC 的中点，则向量AM在向量BC 上的投影为5、若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b=0，（a -c ）（b -c ）≤0，则|a +b -c |的最大值为6、如图所示，在平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA OB与的夹角为120°，OA OC与的夹角为30°，且1OA OB ==，OC，若(),O C O A O B Rλμλμ=+∈，则+λμ的值为7、在单位圆上的两点A,B 满足∠AOB =120°，点C 是单位圆上的动点，且OC OA OB λμ=+，则-2λμ的取值范围是二、解答题：8、如图，在直角三角形ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问PQ 与BC的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的值最大？并且求出这个最大值.第四讲 向量的几何意义一、判断三角形的形状：【例题1】已知非零向量AC 与AB 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则△ABC 的形状为【变式1】在△ABC 中，若()()2,2AB AB AC AC AC AB ⊥-⊥-，则△ABC 的形状为【变式2】△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 成等差数列，且()0AB AC BC +⋅=，则△ABC 的形状为【变式3】设点P 是△ABC 所在的平面内的一点，且满足()()0PA PB PB PC -⋅-=，则△ABC 一定是【例题2】平面上A,B,C 三点满足()()()::1:2:3BC CA CA AB AB BC ⋅⋅⋅=，则A,B,C 这三点A .组成锐角三角形B .组成钝角三角形C .组成直角三角形D .在一条直线上【变式1】已知△ABC 满足22AB BA CA =⋅，则△ABC 一定为【变式2】已知△ABC ，对于任意t ∈R ，恒有BA tBC AC -≥，则△ABC 一定为 【变式3】已知点O 是△ABC 平面内的一点，若满足关系式()OB OC - ()2OB OC OA ⋅+-=0，则△ABC 为【例题3】若非零向量a,b 满足|a+b |=|b |，则A.|2a |>|b+2a |B.|2a |<|b+2a |C.|2b |>|a+2b |D.|2b |<|a+2b |【变式1】设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =+=- ，则AM=【变式2】若向量a,b 满足|a |=3，|b |=4，a ·b =0，以a,b,a-b 的模长为边长构成三角形，则它们的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为【变式3】已知向量a ≠e ，|e |=1，对于任意t ∈R ，恒有|a-te |>|a-e |，则 A. a ⊥e B. a ⊥（a-e ） C. e ⊥（a-e ） D. (a+e )⊥(a-e ) 二、向量与三角形的四心： 1、向量与三角形的重心：（1）重心是三角形三条中线的交点；（2）重心是中线的三等分点，重心到顶点的距离等于重心到中点距离的2倍； （3）重心和三角形的3个顶点组成的三个三角形的面积相等； （4）重心到三角形的3个顶点距离的平方和最小；（5）在平面直角坐标系中，若三点的坐标分别为()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则重心的坐标为123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭（6）若点G 为三角形的重心，则0GA GB GC ++=【例题4】点O 是平面内的一点，A,B,C 是不共线的三个点，动点P 满足OP OA =，()AB AC λ++[),0,λ∈+∞ 则点P 的轨迹一定通过△ABC 的【变式1】已知△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++= ,若存在实数m 使得AB AC +=mAM成立，则m =2、三角形的垂心：（1）垂心是三条高的交点；（2）三角形的外心N ，重心G ，垂心H 三点共线，且：NG ：GH =1：2； （3）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍；（4）若H 为△ABC 的垂心，则有HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅【例题5】已知O 是平面内的一点，A,B,C 是平面内不共线的三点，动点P 满足OP OA =+[),0,AB AC AB CosB AC CosC λλ⎛⎫ ⎪+∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 【变式1】P 为△AOB 所在平面上的一点，向量,OA a OB b ==，且MP 为线段AB 的垂直平分线，M 为垂足，向量OP c =，若|a |=3，|b |=2，则c （a-b ）=3、三角形的内心：（1）内心是三角形三条角平分线的交点；（2）内心到三角形各边的距离（即内切圆的半径）2Sr C=（S 为面积，C 为周长）；如果三角形为直角三角形，那么：22S a b c r C +-==（a,b 为直角边，c 为斜边）； （3）如果I 为三角形的内心，延长AI 交BC 于点N ，则有:::():AI IN AB BN AC CN AB AC AC ===+（4）如果I 为三角形的内心，三角形的三条边分别为a,b,c ，则有：0aIA bIB cIC ++=【例题6】O 是平面上一点，A,B,C 是平面内不共线的三点，动点P 满足OP OA =+[),0,AB AC AB ACλλ⎛⎫⎪+∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 【变式1】若三个不共线的向量,,OA OB OC满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0BC CA OC BC CA ⎛⎫ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则点O 一定是△ABC 的4、三角形的外心：（1）三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点；（2）若点O 是三角形的外心，则有OA OB OC ==【例题7】已知O 是平面内的一点，A,B,C 是平面内不共线的三点，动点P 满足2OB OC OP +=+ [),0,AB AC AB CosB AC CosC λλ⎛⎫ ⎪+∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过△ABC 的【变式1】已知点O 是△ABC 平面内的一点，若()()OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅ (OC =+)0OA CA ⋅=，则O 是△ABC 的三、向量与几何证明题：【例题8】如图所示，以△ABC 的边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EFDG【变式1】如图，等边△ABC 内接于圆O ，点P 是圆上的任意一点，求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.四、向量与面积： 1、一般面积问题：【例题9】在四边形ABCD 中，已知()1,1AB DC ==，BABC BABC +=，则四边形ABCD 的面积为【变式1】在直角平面坐标系中，点O 为坐标原点，两定点A,B 满足2OA OB OA OB ==⋅=则点集{}|,||1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为2、面积的坐标式：在平面内有O,A,B 三点不共线，设()()1122,,,OA a x y OB b x y ====，则有：122112OAB S x y x y ==-【例题10】在四边形ABCD 中，()()1,2,4,2AC BD ==-则该四边形的面积为【变式1】在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量a =（a,b ）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形。