课题研究论文：基于最小二乘法灰色模型的人口数量预测
基于最小二乘法的GM_1_1_模型在人口预测中的应用
第24卷第4期贵州大学学报(自然科学版)Vol.24No.4 2007年 7月Journal of Guizhou University(Natural Sciences)Jul.2007文章编号 1000-5269(2007)04-0345-05基于最小二乘法的G M(1,1)模型在人口预测中的应用方建卫,王文娟,楚 霹(成都理工大学信息管理学院,四川成都 610059)摘 要:作者先对问题进行分析,在明白要采取灰色系统理论来处理该问题原因的前提下,运用普通的G M(1,1)模型的知识,通过优化G M(1,1)模型(下称模型一)、新陈代谢G M(1,1)模型(下称模型二),鉴于此,采用最小二乘法对模型一和模型二预测出的两组数据,以及实际数据进行拟合,得到了关于模型一,模型二的两个系数,然后用这样的两个系数,重新组合模型一,模型二,得到了第三个模型,即基于最小二乘法的G M(1,1)模型(下称模型三),再一次的进行预测。
三个模型的预测数据进行比较,显然是模型三的误差最小,认为模型三最符合实际。
并以基于最小二乘法的G M(1,1)模型的预测数据作为最终的结果。
关键词:中国人口;灰色系统理论;G M(1,1)模型;时间响应函数;最小二乘法;人口预测中图分类号:O14114 文献标识码:A1 前言人口预测的研究是国家制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础,对于国民经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。
一般的人口预测统计学模型,其预测精度难以保证。
所以选择一个好的人口预测模型,首先应符合人口基本理论和数学建模的要求,这是选择模型的关键,其次要保证模型数据可得一致性与可比性,在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据。
特别是波动性较大的数据。
而本文要介绍的基于最小二乘法的G M(1,1)模型是根据1982年邓聚龙教授提出的G M (1,1)模型作的一些改进。
这些改进主要分为两类:一类是对发展系数的优化,一类是对时间响应函数的优化。
基于灰色预测模型的人口结构与数量问题研究
基于灰色预测模型的人口结构与数量问题研究
作者：魏春晓金姚王恒
来源：《科学与财富》2020年第36期
摘要：利用以前的新生兒人口数量，通过建立基于GM（1，1）的灰色预测模型，预测出实施“二孩政策”后2016年和2017年新生儿的数量，然后将预测得到的数据与实际新生儿数量进行对比分析。
通过各个年龄段的人口比例、男女性别比例、城乡人口比例、老龄化人口比例的变化趋势，综合分析政策实施后的短期效果。
最后得出新生儿数量在实施政策后有所增加，男女比例逐渐的降低，城乡人口比例以及老龄化人口的比例在上升的结论。
（1.华北理工大学人工智能学院河北省唐山市 063210;2.华北理工大学理学院河北省唐山市 063210;3.华北理工大学材料科学与工程学院河北省唐山市 063210）。
基于最小二乘法预测传染病的发病人数
基于最小二乘法预测传染病的发病人数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：基于最小二乘法预测传染病的发病人数随着传染病的传播速度不断加快，对传染病的预测和控制变得至关重要。
在传染病疫情预测和控制方面，数学建模和预测方法被广泛应用。
基于最小二乘法的预测方法是一种常用的统计学方法，通过对已有数据进行拟合，预测传染病的发病人数，可以为疫情的预测提供重要的参考信息。
本文将介绍基于最小二乘法的方法，探讨如何利用这种方法预测传染病的发病人数。
让我们了解一下最小二乘法的基本原理。
最小二乘法是一种参数估计方法，用于通过对已知数据进行拟合，找到最能描述数据分布特征的函数。
具体而言，对于一个具有n个数据点的数据集，我们可以假设数据的分布可以用一个函数进行描述，通常情况下是一个多项式函数。
我们的目标是找到一个最优的函数，使得这个函数与实际数据的残差平方和最小。
也就是说，最小二乘法寻找到最适合的拟合曲线，使得曲线与实际数据的偏差最小。
在传染病的预测中，我们可以将传染病的发病人数看作是一个随时间变化的变量。
通过收集历史数据，我们可以得到传染病发病人数随时间的变化规律，然后利用最小二乘法对这些数据进行拟合，得到一个预测模型。
接下来，我们将介绍具体的预测方法。
在拟合过程中，我们可以使用不同次数的多项式进行拟合，然后通过比较拟合效果的好坏，选择最优的多项式函数。
一般情况下，我们会选择最小二乘法计算得到的残差平方和最小的多项式函数作为预测模型。
这样，我们就得到了一个预测模型，利用这个模型，我们就可以对未来的传染病发病人数进行预测。
预测传染病发病人数的工作并不仅仅是对历史数据进行简单的拟合，还需要考虑一些其他因素的影响。
我们需要考虑传染病的传播特性、人群流动情况、防控措施的影响等因素。
这些因素对传染病发病人数的影响是复杂而多样的，如何将这些因素纳入预测模型，并对预测结果进行修正，是传染病预测工作中的重要问题。
在预测传染病发病人数时，还需要考虑模型的稳定性和可靠性。
基于灰色系统的中国人口预测模型
5).
127 627 128 457 129 221 129 988 130 759 131 536 132 316
0. 509 3 0. 487 6 0. 480 3 0. 475 8 0. 471 4 0. 467 1 0. 462 8
115. 200 8 118. 836 9 118. 971 6 119. 123 4 119. 275 4 119. 427 5 119. 579 9
0. 012 0. 008
年份
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
表 4 人口结构预测与人口分布预测结果 (2008年 ～2020年 ) Tab. 4 The structure and distribution of the population p redicted from 2008 to 2020
人口结构预测
人口分布预测
0～14岁百分比 15～59岁百分比 60岁以上百分比 城市人口比例 镇人口比例 乡人口比例
17. 202 9
68. 495 5
14. 625 8
0. 283 5
0. 225 4
0. 508 9
16. 605 1
68. 685 2
15. 243 6
0. 288 2
0. 246 6
通过以上所述模型的建立过程及相应的算法 ,运用前面所筛选出的数据 ,借助 M atlab 软件对我国
2001年 ～2007年的人口进行预测 ,求得以下结果 (表 1,表 2) :
表 1 人口结构预测与人口分布预测结果 (2001年 ～2007年 )
Tab. 1 The structure and distribution of the population p redicted from 2001 to 2007
全国大学生数学建模比赛论文人口预测模型
全国大学生数学建模比赛论文人口预测模型 The manuscript was revised on the evening of 2021中国人口预测模型摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。
认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能够较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
本文对人口预测的数学模型进行了研究。
首先，建立人口指数模型、Logistic模型及灰度预测模型。
对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测，根据1982年人口基本数据运用模型对1982年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。
我们将预测区间分为2006～2030年、2030～2050年两个区间，以量化未来我国短中期与长期的人口变化。
关键词：人口数量的变化人口指数模型 Logistic模型灰度预测模型MATLAB Excel目录第一部分问题重述 (3)第二部分问题分析 (3)第三部分模型的假设 (3)第四部分定义与符号说明 (3)第五部分模型的建立与求解 (3)模型一 (3)模型二 (8)模型三 (12)第六部分对模型的评价 (14)第七部分参考文献 (15)第八部分附表 (15)一、问题重述人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
本题要求根据已知数据，运用数学建模的思想对我国人口做出分析和预测。
具体问题如下：从中国的实际情况和人口增长的特点，例如我国老龄化进程加快、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等，利用参考附录中所提供的数据，建立中国人口增长的数学模型，由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型的优缺点。
二、 模型假设1、假设题目所给的数据真实可靠；2、假设不考虑我国人口大规模的朝国外迁移，也不考虑外国人大量涌入我国；3、假设不考虑战争、自然灾害、疾病对人口数目和性别比的影响；4、假设在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。
5、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定6、假设相同年龄段人口性别比基本稳定。
灰色模型对城市人口预测的探讨
灰色模型对城市人口预测的探讨1前言在交通需求预测时，要求对城市人口进行较为精确的预测，一般的预测方法都需要所研究的人口有具体详细的统计资料，如按年龄和性别的人口数、出生率和死亡率等，且多采用模型如回归预测等进行静态分析预测，往往预测得到的结果不是很满意。
灰色系统理论研究的是贫信息建模，从杂乱无章的原始数据中去开拓、发现、寻找关系。
因此，为了提高城市人口预测精度，提出了运用灰色模型对人口进行预测。
灰色系统指的是部分信息已知，部分信息未知的系统。
灰色系统的理论是将一切随机过程看作是与时间有关的灰色过程，用数据生成的方法发现数据间的内在规律[1]。
实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。
生成模型得到的数据通过累加生成的逆运算―累减生成得到还原模型，再由还原模型作为预测模型，是一种动态预测模型，这样能够实现对城市人口进行较为准确地预测，为交通需求预测提供科学、可靠的依据。
2灰色模型的建立灰色预测模型即GM模型，建模时不直接采用原始数据，而是通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。
本文运用GM （1，1）一阶一元灰色预测模型，具体建模过程如下：设原始数据序列有n个观察值，通过累加生成新序列利用新生成的序列拟合函数曲线，利用拟合出来的函数，求出新生序列的预测值序列。
利用累减还原，得到灰色预测值序列：其中，n为基础数据年数，m为未来预测年个数。
3 模型求解以重庆地区人口预测为例，相关统计人口数据为基础数据，对特征年和目标年的人口数据进行预测。
根据交通需求预测需要，利用行政区的划分并根据各区县的经济发达程度将重庆划分交通小区。
利用灰色GM（1，1）模型对原始序列的确定增长趋势进行预测，利用原始数据对2011-2015年人口进行预测。
以1小区为例，算法如下：根据上述数据，建立含有6个观察值原始数据序列：={ 311.88，307.10，304.45，302.91，300.37，299.41}对其进行一次累加，得到累加数列，再进行函数拟合，得到拟合值：（t）={ 312.01，618.68，923.39，1226.16，1526.96，1826.82}再进行累减，得到累减数列：={ 312.01，306.67，304.72，302.76，300.81，298.85}运用该模型对2011-2015年1小区人口进行预测得到：={296.899，294.945，292.991，91.037，89.083}4模型精度检验4.1 残差检验根据统计学知识，模型精度检验一般用到的指标有原样本均值、方差、标准差、残差及残差的均值、方差，下面对灰色预测模型进行计算结果精度检验。
人口预测模型灰色预测
灰色理论概况社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是根据研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统却是按颜色命名的。
用“黑’’表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰"表示部分信息明确、部分信息不明确。
相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。
灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知"的“小样本"、“贫信息"不确定性系统，它通过对“部分"已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
在人们的生活、经济活动或科研活动中，经常会遇到信息不完全的情况。
例如，在农业生产中，即使是播种面积、、化肥、灌溉等信息完全明确，但由于劳动力技术水平、自然环境、气候条件、市场行情等信息不明确，仍难以准确地预计出产量、产值；在证券市场上，即使最高明的系统分析人员亦难以稳操胜券，因为预测不准金融政策、利率政策、企业改革、政治风云和国际市场变化及其某些板块价格波动对其他板块之影响的确切信息。
灰色系统理论经过20年的发展其主要内容包括以灰色哲学为基础的思想体系，以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色模型(GM)为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面 的内容。
灰色模型按照五步建模思想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机行，挖机潜在的规律，经过差分方程与微分方程之间的互换，实现了利用离散的数据序列建立连续的动态微分方程。
灰色预测是基于GM 模型作出的定量预测，有(1,1)GM )模型、残差(1,1)GM 模型、新陈代谢(1,1)GM 模型、灰色Verhulst 模型、离散灰色模型等几种类型。
灰色模型在人口预测中的应用
0 0. 276 0. 255 0. 07236 0. 3977 0. 24129 0. 12366 0. 04918
1. 7917 0. 5185 2. 8834 1. 7897 0. 9313 0. 3759
通过灰色模型法的实际应用可以看出 , 这种方 法用于人口规模预测具有一定的科学性 、 实用性 , 预 测精度较高 , 有一定的使用价值 。
%
2009 2010
688. 0111 688. 0111 694. 8369 692. 9189 702. 5939 704. 3856 716. 5784 716. 0599 725. 0078 729. 8912 741. 7263 739. 9366 753. 1126 752. 1813 764. 2527 764. 6286
[参考文献 ]
[1] 杨萍 . 灰色预测法及其应用 [ J ]. 内江科技 , 2006 ( 3 ) . [2] 徐国祥 . 统计预测和决策 [M ]. 上海 : 上海财经大学 , 2005. [3] 西安市统计局 、 西安市统计年鉴 ( 2000 - 2007 ) [ Z ]. 北
三、 对西安市未来人口规模进行预测 由模型一得到今后几年西安市户籍人口的预测 数据如表 3。
X ( k)
( 0)
=
{ 688. 0111; 694. 8369; 702. 5939;
71615784; 725. 0078; 741. 7263; 753. 1126; 764.
基金项目 : 西安文理学院专项科研资助项目 ,项目编号 ( 200625 ) 作者简介 : 蒿建华 (1959 —) ,女 ,河南新乡人 ,西安文理学院经济与管理系副教授 。
西安文理学院学报 (社会科学版 ) 2008 年 8 月 Aug . 2008 第 11 卷第 3 期 Vol . 11 No. 3 ( ) Journal of Xi′ an University of A rts and Science Social Sciences Edition
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102700 人口问题论文
基于最小二乘法灰色模型的人口数量预
测
一、前言
在普通模型的基础上对其进行优化和新陈代谢，可以分别生成模型一和模型二。
利用最小二乘法对模型一和模型二所预测的两组数据结合真实的数据并拟合，从而得到相应的关键参数，并利用该参数建立第三个模型[1]。
模型三是基于最小二乘法的GM（1，1）模型。
对三个模型所预测的数据进行对比，分析出误差最小的模型，从而该模型最符合实际。
二、灰色预测模型概述
（一）预测的步骤
设x（0）为n个元素的原始数据序列x（0）=[ x （0）（1）， x（0）（2）… x（0）（n）]
1、处理数据
为了使得所建立的模型具有真实可靠性，首先要对数据做出检验并处理。
假设所参考的数据如下：
x（0）=[ x（0）（1）， x（0）（2）…x（0）（n）]，对数列的级比进行计算得出如下结论：
λ（k）= x（0）（k-1）x（0）（k），（k=2，3，，n）
2、模型建立
x（1）（K+1）= x（0）（1）bae-ak+ ba
x（0）（K+1）= x（1）（K+1）- x（1）（K）
3、进行预测值检验
采用残差检验的方法，假设残差为E（k），E（k）= x （0）（k）-x（0）（K）x（0）（K），（k=1，2，3，，n），能否达到要求主要是看E（k）是否小于0.2，E（k）小于0.1就认为达到了高级别的要求。
采用级比偏差值检验，对所参考的数据的级别K0（k）进行计算，利用a即发展系数，从而求得相应的级比偏差。
计算Q（k）=1-1-0.5a1+0.5aλ0（k），最后结果小于0.2才算是达到了一般要求，最后结果小于0.1才算是达到高级别的要求[2]。
（二）优化的GM（1，1）模型
原始非负时间序列为X（0）=X（0）1，X（0）2，…，X（0）n，累加生成序列为X（1）t，如下：
X（1）t=∑im=1X（0）m，t=1，2，…，n（1）
其白化微分方程为：dX（1）dt+aX（1）=u（2）
上述两式当中，a作为辨识参数；u作为待辨识内生变量。
设待辨识向量=au，按最小二乘法求得=（BTB）-1BTy 式中
B=-12X（1）（1）+X（1）（2）1-12X（1）（2）+X （1）（3）1………-12X（1）（n-1）+X（1）（n）1 y=X（0）2X（0）3…X（0）n
如下所示，即为GM（1，1）预测的离散时间响应函数：
X（1）t+1=X（0）1-uae-at+ua（3）
累加的预测值为X（1）t+1，通过对预测值还原可得到如下所示函数：
（0）t+1=（1）t+1-（1）t，t=1，2，3…n（4）
所建立的新陈代谢模型就是在原始序列x（0）=[ x （0）（1）， x（0）（2）…x（0）（n）]的基础上，建模之后将预测值x（0）（n+1）求得，并将最新的信息加入序列当中，并且还要去掉旧的信息x（0）（1），从而才能够保证序列长度不变，以此类推得出GM（1， 1）模型群。
三、利用最小二乘法灰色模型对人口统计进行预测
由于灰色建模的数据都会在5维以上，同时序列越短误差越小，预测时间越短误差越小，预测的时间越接近误差也会相应减小。
5维和6维的灰色预测模型精度高，误差小，与实际值最为接近。
根据实际情况，可将5维模型作为最佳的预测模型。
（一）利用优化的GM（1，1）预测
以1950-1999年的人口数据为依据，对2000-2005年的人口进行预测，利用普通灰色模型得出相应的预测结果：
X1 =[x11 ， x12 ， x13 ， x14 ， x15 ]
式中， x1j 表示采用这种方法第j年预测的数据结果。
（二）利用新陈代谢的GM（1，1）预测
同理，可预测2000-2005年的人口数据，并对GM（1，1）模型进行优化得到相应的预测结果：X2 =[x21 ，
x22 ，x23 ，x24 ，x25 ]
其中， x2j 表示采用这种方法第j年预测的数据结果。
（三）最小二乘法的GM（1，1）预测
对于2000-2005年的人口实际数据，通过查阅资料来检验预测的精准性。
通过上述的方法可以得出预测结果。
假设2000-2005年所预测的人口实际数据为Y=[y1 ，y2 ，y3 ，y4 ，y5 ]。
那么所改进的GM（1，1）模型为y=αx1+βx2+u，通过数据X1 ， X2 ， Y预测出系数α，β。
利用模型一和模型二预测出x1 ， x2 。
综上所述，最小二乘法的灰色预测模型三GM（1，1）为y=αx1+βx2+u。
四、预测结果
基于最小二乘法的GM（1，1），对我国人口总数做一个简单的短期预测，详细数据见表1。
五、结论
基于最小二乘法的GM（1，1）在对数据进行预测以及模拟的过程中较普通的GM（1，1）模型更为科学。
与普通GM（1，1）模型相比，二者都是寻找一条和x（1）或x （0）高度拟合的曲线，本文所述的方法能保证整个原始序列与模拟序列的拟合度最好，所以具有可推广性。
（作者单位：山东科技大学矿业与安全工程学院）。