归纳方法.ppt
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数学归纳法ppt
证明：（1）当n=1时， 左边
a1 , 右边 a1 0 d a1 ,
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a1 ( k 1)d ,
那么 a a d [a (k 1)d ] d k 1 k 1
a1 [(k 1) 1]d
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
k (k 1)( 2k 1) 1 2 3 k 6
2 2 2 2
那么
12 2 2 3 2 k 2 ( k 1) 2 k ( k 1)(2 k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)(2 k 1) 6( k 1) 2 6 ( k 1)(2 k 2 7 k 6 ) 6 ( k 1)(k 2 )(2 k 3 ) 6 ( k 1)( k 1) 12( k 1) 1 6
例3：用数学归纳法证明：
1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ k ( k 1)(k 2)
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某 同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同 学得到的结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1
a1 , 右边 a1 0 d a1 ,
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a1 ( k 1)d ,
那么 a a d [a (k 1)d ] d k 1 k 1
a1 [(k 1) 1]d
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
k (k 1)( 2k 1) 1 2 3 k 6
2 2 2 2
那么
12 2 2 3 2 k 2 ( k 1) 2 k ( k 1)(2 k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)(2 k 1) 6( k 1) 2 6 ( k 1)(2 k 2 7 k 6 ) 6 ( k 1)(k 2 )(2 k 3 ) 6 ( k 1)( k 1) 12( k 1) 1 6
例3：用数学归纳法证明：
1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ k ( k 1)(k 2)
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某 同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同 学得到的结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1
数学归纳法讲课(整理好)ppt
原理分析
可以看出 , 使所有骨牌都倒下的条 件有两个:
1第一块骨牌倒下 ;
2 任意相邻的两块骨牌 , 前一块倒下一定导致后 一块 倒下.其中, 条件 2事实上就是一个递推关 系:当第k 块
倒下时, 相邻的第k 1块也倒下 .
只要保证1, 2成立, 那么所有的骨牌一定可 以全部 倒下.
证明：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+· · · +2k=k2+k+1, 那么,当n=k+1时，有 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1, 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立.
案例二 (未证递推步) 设n∈N+，求证：2+4+6+· · · +2n=n2+n 证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立. · · +2k=k2+k, (2)假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+· 那么,当n=k+1时，有 (k+1)[2+2(k+1)] 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) = 2 2 (k 1)(k 2) k 3k 2 =(k+1)2+(k+1) 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立. 评注：证明递推步时一定要用假设的结论，否则 递推关系不能成立.
7.1 归纳推理及其方法 课件(共32张PPT)
金受热后体积膨胀，
3. 意义：
银受热后体积膨胀，
不完全归纳推理在日常生活和科
铜受热后体积膨胀，
学研究中有着重要意义。
铁因受为热金后属体受积热膨后胀分，子的凝聚力它减的弱前，提与结论之间的联系是或
分子运动加速，分子彼此距离然加的大。，我们可以通过考察更多的
从而导致膨胀。
认识对象、分析认识对象与有关
而金、银、铜、铁都是金属，现象之间的因果关系等方法，提
……
③共变法—所—以特，点A与：a“有求因量果联的系变。化”
如果被考察现象a有某些变化，有一个因素A也随之发生一 定的变化，那么，这个相关因素A与被考察的现象a有因果联系。
正确地应用共变法需要注意两点： （①其他因素保持不变； ②不超出共变限度 ）
归纳推理的方法
④求同求异并用法——特征：既求同又求异/“两同一异”
归纳推理的方法
例2： 在新疆天山深“求处异一法个”解逻放辑军形哨式所驻地毒蛇很多,经常爬 到房间里来场捣合乱，而当先地行哈情萨况克族人家被里研从究来对没象有发现过蛇。 战士们发现1哈. 萨克族人家A里BC就是比哨所多鹅a，其他居住条件与 哨所一样。2于. 是，战士们－就BC买四只鹅养起来－，哨所里再也没发 现过毒蛇…。… 所以，A与a有因果联系。
新课导入
我们从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球,第二个 是红玻璃球,甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球 的时候，我们会立刻出现一种猜想: “是不是这个袋子里的东西全部都是红玻璃球?” 但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想 失败了。这时，我们会出现另一种猜想: “是不是袋子里的东西全部都是玻璃球?” 但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又 失败了。这时，我们又会出现第三个猜想: “是不是袋子里的东西都是球?” 这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要把袋子里的东 西全部摸出来，才能见个分晓。
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
4.1数学归纳法课件人教新课标2
[例 3] 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2) 个区域．
[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与 k＋1 条直线将平面分成的部 分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到 n＝k＋1 时 的证明．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时， [(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝ 7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k)＋2k1＋1－2k1＋2 ＝(k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1)＋(k＋1 1－2k1＋2) ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1＋2k1＋2＝右边， 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
[例2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出 因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整 除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
数学归纳法复习课件ppt
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
目录
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【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
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4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
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思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
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考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
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【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
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4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
数学归纳法完整PPT课件
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
请问：以上四个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
❖共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
.
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
.
8
a 例2：已知数列{ n }，其通项公式为 an = 2n- 1，试猜想该
数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
请问：以上四个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
❖共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
.
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
.
8
a 例2：已知数列{ n }，其通项公式为 an = 2n- 1，试猜想该
数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
数学归纳法.ppt
根据(1)和(2),等式对于任何nN*都成立.
1 1 1 1 已知数列 , , , , , , 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1 , S 2 , S3 , S 4 , 根据计算结果 , 猜想S n的表达式, 并用数学归纳法进行证 明.
用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的.
命题对从n0开始所 有的正整数n都成立
例1 用数学归纳法证明
2 2 2
证明:(1)当n=1时,左边=12=1 1 1 1 2 1 1 右边 1 左边
6
nn 12n 1 1 2 n n N* 6
(2)假设当n=k 时等式成立,即
猜想这个数学通项公式为
1 an n n=5? n=6? ...
多米诺骨牌
能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 1 2 3 k k+1 n
能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?
①第一块骨牌倒下;
递推
②任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致 后一块倒下.
类比多米诺骨牌游戏解决证明数列的通项公式
①第一块 骨牌倒下 ②任意相邻 的两块骨牌, 前一块倒下 一定导致后 一块倒下.
①n=1时,猜想成立
1 ②如果n=k成立,即 ak k 1 ak 1 k ak 1 1 ak 1 1 k 1 k
递 推
n=k+1时猜想也成立
1 数列通公式为 an n
证明一个与正整数n有关的命题步骤
(2)假设当n=k时等式成立，就是 1+3+5+…+(2k-1)=k2 那么， 1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1] =k2+[2(k+1)-1] =(k+1)2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN都 成立。
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2.不完全归纳法
• （1）含义 • 现实可行的途径就是人们通过研究其中的一部分
• 归纳推理是通过个别事物的共性总结一般性原 理，结果具有普遍意义。大学生思想活跃结论得出 的依据是对大学生抽样调查的结果。
3.特征
• （4）结论的可靠性不同。
•
演绎推理的结论与前提的联系是必然的，直言
前提真实，推论形式正确，则结论一定是可靠的；
• 归纳推理的结论和前提的联系在很多情况下却不 是必然的，其结论的性质，有的确实可靠，有的是 或然，或只具有不同程度的可靠性，需要进一步加 以检验和证明。
•
因为归纳推理的前提是以直接经验为依据，而
人们的经验常常要受时间、空间及其他条件的限制，
因而总是不完全的。
（二）归纳法的类型
• 根据归纳法的特点及其前提考察的范围， 可将归纳法分为以下几种：
• 1.完全归纳法 • （1）含义 • 完全归纳法是根据某类事物的每个分子都
具有（或不具有）的某种属性，从而推出该 类事物一般性结论的归纳方法。
完全归纳法的逻辑公式：
• S1是（或不是）P • S2是（或不是）P • S3是（或不是）P • …… • Sn是（或不是）P • S1 S2 S3…………Sn是S类的全部分子 • 所以，所有S都是（或不是）P
（2）完全归纳法具有两个明显的特 征：
• 第一、前提考察了该类事物的全部分子， 那么它的结论必然是真实的、可靠的。
• 例证法就是一种用个别、典型的具体事例 实证明论点的论证方法。
• 例如：买葡萄先尝几个再买使用的方法？
2.作用
•
归纳方法在科学研究、技术发展和管理决策过
程中均具有重要的作用。
•
(1)提供假说。简单枚举归纳法、类比和消除归
纳法在科学发现和技术发明方面都起着重要的作用。
如光的波动说的提出和飞机的发明过程中，类比法
都起了不可缺少的作用。
•
(2)证明假说和理论。完全归纳法和数学归纳法
在这方面具有突出的作用。证明三段论的规则要用
到完全归纳法；证明数学定理离不开数学归纳法。
•
2.作用
• (3)确定假说的支持度。以概率和统计方法为 工具的量的归纳法对确定假说的支持度或置 信度起着决定的作用。
• (4)理论择优。这也要靠量的归纳法。
• 归纳推理的前提数量是不定的，有的多，有的少， 根据需要和可能等情况而定。
3.特征
• （3）结论的范围不同。
• 演绎推理的结论，在原则上不超出前提的范围， （但不等于提供新知识），归纳推理的结论，除完 全归纳外，一般都超出前提的范围。
• 例如：
•
演绎推理是以一般为前提的，得出关于个别事
物的结论。零度结冰，所以结冰的水在零度以下。
• (5)对事件未来情况进行预测。
• (6)各种管理决策。
3.特征
• 在与演绎法的区别中揭示归纳法的特征：
• （1）思维的方向相反。一般说来，演绎推理是从一 般到特殊，而归纳则从特殊到一般。
• （2）前提的数量不同。
• 演绎推理的前提数量是有限的，即使是复合演 绎推理中的连锁推理或带证式，也是几个三段论的 结合，前提数量仍然是确定的。
局限性
• 个别——一般：通过完全归纳法所得出的一般性知识结论， 虽然在认识上是新的东西，但是由于前提是关于个别对象 的知识，而结论却是一类对象的共性知识，这只是反映了 人的认识由个别到一般的飞跃，还是相当有限的。
• 适合对象：只有被考察的对象数量有限的，并在完全得到 归纳的条件下，才能加以运用。
• 相对性：当被考察的对象数量极大和无限时，尤其当特殊 类型的个数达到无限时，完全归纳法就不可能应用了。因 此，从某种意义上说，没有绝对的完全归纳法。
归纳方法
2013年9月
一、归纳法
• （一）归纳法的含义及其作用 • 1.含义 • 归纳法就是从个别或特殊的经验材料出
发而概括出一般性原理、原则的思维方法。
归纳法的依据
• 客观事物的存在和发展本身包含着一般与个别 的普遍联系。
• 归纳法是以客观事物的个别和一般的相互关系 为依据的。
• 【在这个意义上说，归纳研究法的对象首先是 关于客观事物的感性材料，并以此为基础，对 获取的经验材料做出许多个别的判断，然后再 由这些判断推论出该类事物一般性结论。】
• 第二、完全归纳法的结论所断定的范围未 超出前提的范围，因此它不是人们开拓新 法有价值
• 因为当人的认识还停留在对个别的、分 散的事物经验状态的时候，就不可能对事物 的共性有明确的认识，通过完全归纳法使认 识由个别上升到一般，事物的共性才能被明 显地揭示出来。
• 从这个意义上说，完全归纳法也是认识 由已知到未知的一种方法。
（3）完全归纳法的运用，必须遵守 两条规则：两个不能
• 第一、前提确实考察了一类事物所包括的 每一个体对象，不能遗漏。
• 第二、每一个前提都必须是真实的，不能 有一个例外。
（4）完全归纳法的作用
• 首先，通过完全归纳法能给人们提供新的概括 性知识，使知识由局部、个别上升到全部、一 般。
2.不完全归纳法
• （1）含义 • 不完全归纳法，是根据某类事物的部分对象具有某
种属性，而作出该类事物都具有某种属性的一般性 结论的归纳法。
• 我们日常在科学研究中所使用的归纳法就是不完全 归纳法。
• 在科学研究中，人们所探讨的科学概念和规律，通 常都是涉及到无限的对象，因此这些结论不可能用 完全归纳法得到。
• 其次，完全归纳法不仅是人们认识不可缺少的 一种方法，同时也是一种重要的论证方法。
• 人们经常在议论中引用某类事物的每一个别事物的情况，来 论证、说明一类事物所具有的共性和规律，这一过程就是完 全归纳法的运用。
例如
• 某学生学习情况来论证该校学生的学习情 况。
• 【通过学生中考研群体得出结论：科技大 学的学生勤奋好学】
例如：
• 使用归纳法在如下特殊的命题中： • 冰是冷的。 • 在击打球杆的时候弹子球移动。 • 推断出普遍的命题如： • 所有冰都是冷的。或： 在太阳下没有冰。 • 对于所有动作，都有相同和相反的重做动作。 • 人们在归纳时往往加入自己的想法，而这恰恰
帮助了人们的记忆。
归纳法与例证法
• 归纳法可以先举事例再归纳结论，也可以 先提出结论再举例加以证明。前者即我们 通常所说之归纳法，后者我们称为例证法。