极限的求法总结.ppt
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极限的求法总结
n2
11 lim (1 )
n2 n
1 2
.
例ln i m (1 133 15 ...4 n 1 2 1 )
拆 项 :4 n 2 1 1 ( 2 n 1 ) 1 ( 2 n 1 ) 1 2 (2 n 1 1 2 n 1 1 )
lim( 1 1 ... 1 )
n 13 35
4n2 1
x 0
x
e e e e. 11 lim 1x x 0 2x
x lim1x x 02x
lim 1 x 02(1x)
1 2
14. 将数列极限转化成函数极限求解
例：求极限
lim
n
n
sin
1 n
n2
【说明】这是 1 形式的极限，由于数列极限不能使用
解： 当0x1时，（积分不容易计算）
01xnssiinn33xx xn
故 01xnsin 3xd x1 xnd xxn 11, 01 sin 3x 0 n 10n 1
因为 lim0lim 1 0 x xn1
所以
lim 1xnsin3xdx0
x 01sin3x
10. 用等价无穷小量代换求极限
limx2( x2+93)3 x0 x2( x2+42) 2
9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限
说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法 是都换成最大的和最小的。
例 求 li(m 11 1). n n 2 1 n 2 2 n 2 n
解
n1 1n, n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
(n1,2,3,)
（1）证明
lim
n
xn
存在；
（2）求
lim
2.3 极限的运算法则
= lim =0 x→0 x( 1 + x + 1) x→0 ( 1+ x2 +1)
2
x2
x
7
2.3.2 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
在实际应用中，经常会遇到极限为 的变量 的变量。 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义， 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理 论价值， 论价值，值得我们单独给出定义 的某一变化过程中,函数 极限为零,称 定义1: 的某一变化过程中 函数f(x)极限为零 定义 在x的某一变化过程中 函数 极限为零 称 f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）. 为该过程的无穷小量（简称无穷小） 为该过程的无穷小量 无穷小 例如 : ∵ lim x = 0, ∴ 函 数 x是 当 x → 0时 的 无 穷 小.
§2.3 极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义， 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限， 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的 函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首 先来介绍极限四则运算法则。 先来介绍极限四则运算法则。
10
三、无穷小与无穷大的关系
定理3 在自变量的同一变化过程中, 定理3 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. 为无穷大. 为无穷小, 若 为无穷小, 且f (x) ≠ 0, 则 f (x) 据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为 意义 据此定理，关于无穷大的讨论 都可归结为 关于无穷小的讨论. 关于无穷小的讨论 C 2x + 4 型 . 例6 求 lim 0 x→−1 x + 1 x +1 lim = 0 再利用无穷小与无穷大 之间的关系, 解 ∵ x → −1 再利用无穷 与无穷大 之间的关系, 无穷小 2x + 4 2x + 4 =∞ 可得: 可得: lim 11 x → −1 x + 1
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
大学数学极限ppt课件
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22
y 1 x
时,函数f(x)的极限
y
ox
-∞
+∞
y 1 x
x y=f(x) →0
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23
1. x时,函数f(x)的极限
定义2.2：设函数 y f(x) ，如果当X无 限增大时，函数无限趋近于某个固 定的常数 A,则称当X趋于正无穷时， f(x) 以A为极限，
记为
lifm (x ) A或 f(x ) A (x )
lim C C
xx0
lim x
x x0
x0
limsinx sin x0
xx0
limcosx cos x0
xx0
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38
小结
-、数列 xn的极限：
给定一个数列xn如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于
某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限。
记作
lni mxn A
或 xnA(n )
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12
例：
2,4,8, ,2n,
xn 2n → ∞ (n)
lim2n 极限不存在
n
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13
1, 1, 1,, 1,
234 n
lim 1 0
收
2,1,4,n3 , n ,n(1)n 1,敛
234
n
n(1)n1 lim
1
n n
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14
2,4,8, ,2n,
lim2n
通项 n n 1
→1
(n)
lim n 1 n n 1
数列收敛
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17
2.1.2函数的极限
(limit of function)
归纳高数极限PPT.ppt
由图容易看出：
lim arctan x ,
x
2
2
y arctan x x
lim arctan x ,
x
2
由定理可知： lim arctan x 不存在. x
2
请同学们 自己证一下.
.精品课件.
18
二. x x0 时, f (x) 的极限
x x0 时函数的 极限, 是描述当 x 无限 接近 x0 时, 函数 f (x) 的变化趋势.
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
| f (x) a | a f (x) a
.精品课件.
5
lim f (x) a 的几何意义
x
y
y f (x)
y a ya
y a
O
X
x
当 x X 时, a f (x) a , 即函数的图
形夹在两条平行线 y a 和 y a 之间.
非
常
非
常
严
格
！
.精品课件.
24
例5
证明 lim 2(x2 4) 8 . x2 x 2
证 0, 要 2(x2 4) (8) ,
x2
x 2
只要 | 2(x 2) 8 | 2 | x 2 | 2 | x (2) |
故取 , 则当 0 | x (2) | 时, 有
第二章 极 限
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
.精品课件.
1
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
数学极限ppt
称为数列的通项或一般项。
例如：
1, 1 2
,
1 3
,
1 4
,,
1 n
,
记作：
1
n
记作： (1)n1
1 2
1 , 22
,
1 23
1 , 24
,
1 2n
, 记作：
1
2
n
数列的极限
数列极限的实质：
随着项数n的变化,通项xn的变化趋势 也就是
考察当n→∞时，通项xn的变化趋势。
例 如, 1,
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2.1 极限的概念
现代日常生活中人们常用这种变化趋势来 判断事物的发展趋势。
2.1 极限的概念
【古代极限思想】 庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，
记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
2.1 极限的概念
【古代极限应用】
三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似 值时，提到“割之弥细，所失弥小，割之又 割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失 矣”
例如：
1, 1 2
,
1 3
,
1 4
,,
1 n
,
记作：
1
n
记作： (1)n1
1 2
1 , 22
,
1 23
1 , 24
,
1 2n
, 记作：
1
2
n
数列的极限
数列极限的实质：
随着项数n的变化,通项xn的变化趋势 也就是
考察当n→∞时，通项xn的变化趋势。
例 如, 1,
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2.1 极限的概念
现代日常生活中人们常用这种变化趋势来 判断事物的发展趋势。
2.1 极限的概念
【古代极限思想】 庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，
记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
2.1 极限的概念
【古代极限应用】
三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似 值时，提到“割之弥细，所失弥小，割之又 割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失 矣”
函数的极限PPT幻灯片PPT
lnim xn a, 或xn a (n ).
如果数列没有极限,就称数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限 2.N与任意给定的 有正 关 . 数
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
N定义 : ln i x m na
0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或.存在
一般我们用定义来证明数列的极限 P14 例1-----2
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. 一般而言，求极限是相当困难的。
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
0xx 0 表 x 示 x 0 的.过程
x0 体x接 现x0 近 程.度
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
函数的极限PPT幻灯片PPT
本PPT课件仅供大家学习使用 请学习完及时删除处理 谢谢！
一、 数列的极限
（一）、 数列极限的定义 （二）、 收敛数列的性质
（一）、数列极限的定义
1、由割圆术引入： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽(公元3世纪)
正六边形的面积 A 1
对于我们而言,目前用观察法找出极限 P40 EX16
说明:常数列的极限等于同一常数.
（二）、收敛数列的性质
如果数列没有极限,就称数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限 2.N与任意给定的 有正 关 . 数
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
N定义 : ln i x m na
0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或.存在
一般我们用定义来证明数列的极限 P14 例1-----2
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. 一般而言，求极限是相当困难的。
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
0xx 0 表 x 示 x 0 的.过程
x0 体x接 现x0 近 程.度
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
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一、 数列的极限
（一）、 数列极限的定义 （二）、 收敛数列的性质
（一）、数列极限的定义
1、由割圆术引入： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽(公元3世纪)
正六边形的面积 A 1
对于我们而言,目前用观察法找出极限 P40 EX16
说明:常数列的极限等于同一常数.
（二）、收敛数列的性质
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lim 1 (1 1 ) 1 n 2 2n 1 2
例
lim(
x1
1 x 1
2
x2
) 1
lim( 1 2 ) lim( x 1 2 ) x1 x 1 x2 1 x1 x2 1 x2 1
lim
x1
x 1 x2 1
lim
x1
x
1 1
1 2
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1
o
y x2 1 x
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例 求极限 lim ( x2 3 x2 1) x
lim (
x
x2 3
0ab,00当,当n n
m, m,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
练习1 练习2
求 lim 2x 2 5x 1. x1 x 2 4x 8
求 lim 2n 1 . n n2 n
练习3 练习4
lim (2x 3)20 (3x 2)30
x
(2x 1)50
lim (2x 1)4 (x 1)78
x
(x 1)82
lim x
x4
(2
1 x
)4
x78
(1
1 x
)78
x82 (1
1 x
)82
24
16
5.先变形再求极限
(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
sin x lim 0.
x x
y sin x x
练习1. 求 lim x2 sin 1 .
x0
x
练习2. 求 lim 1 sin x. x x
练习3. 求lim x sin 1 .
x0
x
练习4. 求 lim x sin 1 .
x
x
练习5. 求lim sin x . x0 x
方法总结：
对于求无穷多项的极限和不符合四则运 算的极限，先通过变形在求极限;
2005年数学三考研试题 （第三大题15小题8分）
(15)
1 x
lim( x0 1
e
x
1 ). x
6.利用无穷小运算性质求极限
例 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
1 3
5
...
1 4n2
) 1
拆项
:
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
1 lim( n 1 3
1 3
5
...
1
4n2
) 1
lim 1 (1 1 1 1 ... 1 1 )
n 2 3 3 5
2n 1 2n 1
x2 1) lim ( x2 3 x2 1)( x2 3
x
x2 3 x2 1
lim
2
0
x x2 3 x2 1
x2 1)
例 求 lim x2 +4 2 . x0 x2 +9 3
(分子分母有理化消去零因子)
lim x2 +4 2 lim ( x2 +4 2)( x2 +4 2)( x2 +9 3) x0 x2 +9 3 x0 ( x2 +4 2)( x2 +9 3)( x2 +9 3)
求
4x 1
lim
x1
x2
2x
. 3
解 lim(x2 2x 3) 0 商的法则不能用 x1 又lim(4x 1) 3 0, x1 lim x2 2x 3 0 0. x1 4x 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
x2
4x 1 2x
极限的求法总结
简介：求极限方法举例，列举21种 求极限的方法和相关问题
1.代入法求极限
例1.lim(x2 x 2) x2
例2.设有多项式Pn (x) a0xn a1xn1 ... an ,
求
lim
xx0
Pn
(
x).
lim
xx0
Pn (x)
a0
(
lim
xx0
x)n
例
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
例
lim( 1 n 1 3
7.利用左右极限求分段函数极限
例
设
f (x)
1 x,
x2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 1) 1,
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim a0 x n x b0 x m
a1 x n1 an b1 x m1 bm
3
.
3.消去零因子法 ( 0 型 )
0
例4
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)( x 3)( x
a1
(
lim
xx0
x) n1
an
a0 x0n a1 x0n1 an Pn ( x0 ).
例3.
lim
x1
x
2 3x
5x 2
2
6
商的法则(代入法)
方法总结： 多项式函数与分式函数(分母不为0)用 代入法求极限;
2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限
例
1) 1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
4.无穷小因子分出法求极限
例
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解
x
时,
分子,分母的极限都是无穷大.(型)先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3